Autovalori di matrici Data una matrice quadrata A si definiscono

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Autovalori di matrici
Data una matrice quadrata A si definiscono autovalori e
autovettori rispettivamente quei valori reali o complessi e
quei vettori non nulli che verificano il sistema:
Au = λu
Tale sistema è equivalente al sistema omogeneo:
(A − λI)u = 0
che ammette soluzioni non banali (u 6= 0) se e solo se λ è
tale che:
det(A − λI) = 0
Si verifica facilmente che tale determinante coincide con
un polinomio di grado n (Polinomio caratteristico):
det(A − λI) = Pn(λ)
Pertanto gli autovalori di una matrice, che sono gli zeri di
tali polinomio, sono, contando la molteplicità, n. L’insieme
formato con tali autovalori si denota con λ(A).
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Gli autovalori godono di numerose proprietà:
• Se la matrice A possiede autovalori λ(A) 6= 0, allora
la matrice possiede matrice inversa A−1. Inoltre gli
autovalori di A−1 sono i reciproci degli autovalori di
A. Infine, le due matrici hanno gli stessi autovettori.
• Se la matrice A possiede un autovalore λ allora
– la matrice A − αI ammette l’autovalore λ − α
– la matrice αA ammette l’autovalore αλ
– la matrice An ammette l’autovalore λn
• La matrice AT (trasposta di A) possiede gli stessi autovalori diA
• Una matrice possiede autovalori nulli se e solo se il suo
determinante è nullo
• Gli autovalori di una matrice sono, in valore assoluto,
minori o tutt’al più uguali di una qualunque norma
matriciale indotta da una norma vettoriale
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Teorema sulla molteplicità (algebrica) associata ad un
autovalore
Sia A una matrice di ordine n, dotata di k autovalori
distinti
λ1, λ2, ..., λk ,
ciascuno con molteplicità
m1, m2, ..., mk , m1 + m2 + ... + mk = n
allora:
• m1λ1 + m2λ2 + ... + mk λk = a11 + a22 + ... + ann
(Traccia di A)
m
m
m
• λ1 1 × λ2 2 × ... × λk k = det(A)
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Due matrici A e B si dicono simili se esiste una matrice
S non singolare per cui risulta:
A = SBS −1.
Teorema sugli autovalori e autovettori di matrici simili
Siano A e B due matrici simili, esse hanno gli stessi autovalori.
Inoltre se x è un autovettore di A associato all’autovalore
λ , allora S −1x un autovettore di B associato all’autovalore
λ.
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Diagonalizzazione (triangolarizzazione ) di una matrice
La matrice A di ordine n si dice diagonalizzabile (triangolarizzabile) se esistono una matrice S di ordine n non
singolare e una matrice D di ordine n diagonale ( triangolare) tale che
A = SDS −1,
ovvero se è simile a una matrice diagonale (triangolare).
Teorema
Una matrice A di ordine n è diagonalizzabile se e solo se
essa ammette n autovettori linearmente indipendenti.
Teorema
Sia A matrice di ordine n a elementi reali, allora esiste
una matrice ortogonale che la triangolarizza.
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Sia A matrice di ordine n simmetrica:
• gli autovalori sono reali
• gli autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali
• esiste una matrice ortogonale che diagonalizza A
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Definizione di forma quadratica associata alla matrice A
Data la matrice A di ordine n, la funzione:
n X
n
X
T
Q(x) = x Ax =
ai,j xixj
i=1 j=1
si dice forma quadratica associata alla matrice A.
Teorema sulla forma di una forma quadratica
Data la matrice A di ordine n, sia:
T
A
+
A
A0 =
.
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Risulta:
xT Ax = xT A0x.
Si osservi che la matrice A0 simmetrica.
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Definizione di forma quadratica definita
La forma quadratica xT Ax
• si dice definita positiva se
xT Ax > 0, ∀x 6= 0
• si dice definita negativa se
xT Ax < 0, ∀x 6= 0
• si dice semidefinita positiva se
xT Ax ≥ 0, ∀x 6= 0
• si dice semidefinita negativa se
xT Ax ≤ 0, ∀x 6= 0
• indefinita negli altri casi.
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Condizioni necessarie e sufficienti per forme quadratiche
basate sugli autovalori
Sia A una matrice simmetrica di ordine n.
La forma quadratica xT Ax è definita positiva (negativa)
se e solo se gli autovalori di A sono positivi (negativi).
La forma quadratica xT Ax è semidefinita positiva (negativa) se e solo se gli autovalori di A sono non negativi
(non positivi).
La forma quadratica xT Ax è indefinita se e solo se gli
autovalori di A sono di segno opposto.
Proprietà di matrici simmetriche definite positive
Sia A una matrice simmetrica di ordine n definita positiva, allora:
• gli elementi sulla diagonale principale sono positivi
• il determinante della matrice positivo.