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Tecnica
maggio 2013
la termotecnica
Energie Rinnovabili
di Marco Torresi, Bernardo Fortunato, Sergio Mario Camporeale
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Modello cfd per il calcolo delle prestazioni e degli effetti
di scia di turbine eoliche ad asse verticale
Nel presente lavoro, viene proposto un metodo di calcolo fluidodinamico in grado di valutare, con ridotti tempi di calcolo, il campo di velocità in scia
e le prestazioni dei rotori Darrieus per lo studio di parchi eolici. Tale metodo potrà essere facilmente esteso al caso di turbine ad asse orizzontale.
Il metodo è validato per confronto con le prestazioni sperimentali del rotore Darrieus da 17 metri testato presso i Sandia National Laboratories
(Albuquerque) e con i risultati di altri modelli.
EFFECTIVE FLUID-DYNAMIC MODEL FOR PERFORMANCE AND WAKE EFFECT ANALYSES OF VERTICAL
AXIS WIND TURBINES
In this work, an effective numerical technique is proposed in order to investigate flow characteristics (e.g. wakes) and performance of Darrieus rotors
in standalone configuration or included in a wind farm. This model could be easily extended to the case of horizontal axis wind turbines. The model
is validated in the case of the Sandia 17-meter Darrieus rotor tested at the Sandia National Laboratories, Albuquerque, by means of comparison with
experimental data and results from other codes.
Introduzione
L’energia eolica è attualmente una tra le più importanti fonti
energetiche rinnovabili (FER). Nel 2012, l’industria eolica
statunitense ha installato impianti per 13.124 GW portando la
potenza eolica complessivamente installata negli USA a 60 GW
(1). In Italia, la produzione di energia eolica ha raggiunto nel 2011
il valore di 9.8 TWh (pari al 13.4% della produzione elettrica da
FER) (2). Al raggiungimento di questi risultati hanno contribuito
i miglioramenti tecnologici nelle turbine di grandi dimensioni, la
riduzione dei costi, tecniche di produzione più efficienti e una
maggiore coscienza ambientale (3).
Le turbine eoliche possono essere suddivise in due categorie:
turbine ad asse orizzontale e turbine ad asse verticale. Anche se
le prime sono sicuramente le più diffuse, hanno un inconveniente:
necessitano di sistemi di orientamento secondo la direzione del
vento. Invece, le turbine ad asse verticale possono sfruttare l’energia
eolica indipendentemente dalla direzione del vento (4). Queste
ultime si distinguono in: turbine a portanza (es. rotori Darrieus) e
turbine a resistenza (es. rotori Savonius).
In questo lavoro l’attenzione è rivolta alle turbine Darrieus. Questo
tipo di turbina (brevettata nel 1931 (5) ma sviluppata solo dopo il
1970) è meccanicamente e strutturalmente semplice (6), tuttavia,
la semplicità meccanica non si estende alla sua aerodinamica:
le pale seguono traiettorie circolari e sono soggette a continue
oscillazioni in termini di velocità relative e angoli di attacco (7). Di
conseguenza, i profili alari delle pale possono facilmente andare in
stallo soprattutto a bassi rapporti di velocità periferica, λ (ovvero
rapporto tra la velocità periferica calcolata al raggio massimo e la
velocità indisturbata del vento).
Nel tempo sono stati sviluppati diversi modelli matematici allo scopo
di valutare le prestazioni dei rotori Darrieus. Questi possono essere
classificati come segue: (a) momentum model, che dividono il campo
di moto in tubi di flusso e in ciascuno risolvono l’equazione di bilancio
della quantità di moto mediante uno o due dischi attuatori (8); (b)
vortex model, che sostituiscono le pale con dei vortici (9) risultando
più generali ma anche più complessi e computazionalmente più
onerosi; (c) finite difference model, in cui la presenza del rotore è
schematizzata mediante termini sorgente nelle equazioni di bilancio
della quantità di moto (10-11); (d) CFD model, in cui vengono risolte
le equazioni di Navier-Stokes in regime turbolento.
Tutti questi approcci teorici e numerici sono stati validati confrontando
i risultati con i dati sperimentali raccolti sia sul campo sia in galleria
del vento. Pregevole è l’attività sperimentale svolta presso i Sandia
National Laboratories (12-14).
Scopo di questo lavoro è quello di presentare un efficace metodo
di analisi del comportamento fluidodinamico delle turbine
Darrieus, basato sulla risoluzione delle equazioni RANS, mediante
l'introduzione di termini sorgente nella porzione di volume spazzata
dalle pale.
Rispetto ai codici CFD generalmente utilizzati per i rotori ad asse
verticale, in cui viene risolto il campo di moto non stazionario
mediante il ricorso a griglie mobili solidali al rotore e notevolmente
fitte in prossimità delle superfici palari, l’approccio proposto
nel presente lavoro riduce drasticamente i costi computazionali,
consentendo di poter considerare anche casi molto complessi come
quelli che riguardano l’interazione fra più rotori (15).
TURBINA DARRIEUS
La turbina in esame è il rotore Darrieus da 17 metri con geometria
troposchiana approssimata (costituita da due tratti rettilinei alle
estremità di un arco di cerchio) testato presso i Sandia National
Laboratories, Albuquerque (NM). In particolare, è analizzata la
versione con 2 pale (estruse in alluminio), senza razze, con profilo
NACA0015 e lunghezza della corda, c = 610 mm (15). L'altezza
del rotore è 17,08 m e il suo diametro massimo è 16,73 m.
Il centro dell'arco circolare è sul piano equatoriale a 2,777 m
Marco Torresi, Bernardo Fortunato, Sergio Mario Camporeale, D. M. M. M. Politecnico di Bari
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dall’asse del rotore. I tratti rettilinei sono collegati all’arco di cerchio
in modo tale da garantire la continuità della derivata prima della
linea media della pala (Figura 1).
Figura 1 - Turbina Darrieus da 17 metri con geometria
troposchiana approssimata testata presso i Sandia National
Laboratories
MODELLO 3D CFD SEMPLIFICATO
Il modello si basa sulla risoluzione delle equazioni RANS 3D in
condizioni di flusso incomprimibile e stazionario scritte in forma
conservativa e discretizzate secondo un approccio ai volumi finiti.
Il campo di moto è ottenuto dalle equazioni di bilancio della
quantità di moto, mentre il campo di pressione è ricavato dalla
risoluzione di un'equazione di correzione della pressione al fine
di garantire la conservazione della massa secondo l’algoritmo
SIMPLE (Semi Implicit Pressure-Linked Equation). La turbolenza
è modellata mediante il modello semi-empirico k-ε standard. Per
correlare il tensore degli sforzi di Reynolds al tensore di velocità
di deformazione medio, si ricorre all'ipotesi di Boussinesq. Questo
modello di turbolenza è stato scelto in considerazione della sua
robustezza, dell'economicità e della ragionevole accuratezza in
una vasta gamma di casi, motivi che spiegano l’ampio uso di
questo modello nelle applicazioni industriali. Tutti i termini viscosi e
convettivi vengono discretizzati mediante schemi up-wind accurati
al primo ordine.
Dominio di calcolo
Il dominio di calcolo (circa 550.000 celle) è suddiviso in tre zone.
Per la zona spazzata dal rotore, è stata sviluppata una griglia
strutturata costituita da un solo strato di celle con i centroidi
appartenenti alla superficie di rivoluzione generata dalla linea
media delle pale. Nella direzione normale, la larghezza delle celle
è pari a 2/7 del raggio massimo della turbina, in analogia con
quanto fatto da Rajagopalan e Fanucci (10). Lungo la circonferenza
sono disposti 60 intervalli uguali, mentre sono 48 quelli lungo
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l’asse. La zona interna al rotore è stata discretizzata mediante una
griglia strutturata con 8 celle in direzione radiale.
La zona esterna, di forma cilindrica a base circolare, ha un raggio
pari a 10 diametri ed è composta da tre strati: uno con un’estensione
assiale pari a quella della turbina e altri due strati che si estendono
per 4.877 m fino al suolo e per 3 diametri verso l’alto. Lo strato
superiore è suddiviso in 28 intervalli, invece lo strato inferiore
in 24 intervalli a partire da una altezza di cella al suolo pari a
1 cm. Infine, la zona esterna è suddivisa in due blocchi: uno più
esterno toroidale realizzato con griglia strutturata con 8 celle nella
direzione radiale e uno più interno discretizzato con una griglia
non strutturata con un fattore di crescita pari a 1,2 a partire dal
rotore. Non è stato considerato l’albero del rotore né il basamento.
Condizioni al contorno
In corrispondenza della superficie semicilindrica di ingresso è
imposta una distribuzione uniforme di velocità, invece sull’altra metà
è imposta una distribuzione di pressione uniforme. La superficie
circolare inferiore, corrispondente al suolo, è una parete che
soddisfa la legge di aderenza, invece quella superiore, considerata
anch’essa come una parete (al fine di limitare il dominio di calcolo),
risulta liscia ovvero priva di attrito.
Modellistica della turbina
Per modellare l'effetto delle pale sul campo di moto sono stati aggiunti
termini sorgente nelle equazioni di bilancio della quantità di moto
nella zona spazzata dal rotore, come proposto da Rajagopalan e
Fanucci (10).
Le forze scambiate dipendono dalle velocità relative tra fluido e pala.
Pertanto per valutarle, è necessario calcolare la velocità relativa,
W, sottraendo alla velocità assoluta, V, quella di trascinamento,
U in ognuna delle celle intercettate dalle pale del rotore nel loro
percorso:
⎧ W
⎪⎪ r
⎨ Wt
⎪
⎪⎩ Wz
=
=
=
Vr
=
=
Vt − ω r
Vz
Vx cosθ +Vy sin θ
−Vx sin θ +Vy cosθ − ω r
(1)
Poiché il profilo aerodinamico delle pale è definito nel piano, πnt,
ortogonale alla linea media, è necessario decomporre il vettore, W,
rispetto al sistema di riferimento locale, Ontp (Figura 2). Definendo
β l'angolo tra la tangente alla linea media della pala e l'asse del
rotore, risulta:
⎧ W
⎪⎪ n
⎨ Wp
⎪
⎪⎩ Wt
=
=
=
Wr cos β + Wz sin β
−Wr sin β + Wz cos β
(2)
Wt
A questo punto, è possibile calcolare il modulo della componente
di velocità relativa, Wnt, nel piano πnt:
Wnt = Wn2 + Wt 2
(3)
e l'angolo di attacco, α:
⎛ W ⎞
α =arctan ⎜ n ⎟
⎝ −Wt ⎠
(4)
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necessari per la valutazione dei coefficienti di portanza, CL,
e di resistenza, CD. Da questi possono essere quindi ricavati i
corrispondenti coefficienti di forza nel sistema di riferimento locale
(Equazione 5):
⎧ C
⎪⎪ t
⎨ Cn
⎪
⎪⎩ C p
=
=
=
CL sin α − CD cos α
CL cos α + CD sin α
(5)
0
Da questi, tramite relazioni trigonometriche, è possibile ricavare
i corrispondenti coefficienti nei sistemi di riferimento polare e
assoluto come descritto in (15). Per calcolare la forza scambiata
all’interno di ogni cella, ΔFm, è necessario moltiplicare il contributo
di ciascun elemento di pala, ΔF, per il numero di pale, B, e per la
frazione di tempo, Δt/T, in cui il singolo elemento di pala si trova in
essa. Se Δθ è l'ampiezza angolare del generico volume di controllo
e ω la velocità angolare, l’intervallo di tempo, Δt, è pari a:
Δt =
Δθ
ω
pertanto:
ΔFm =ΔF
(6)
BΔt
BΔθ
=ΔF
T
2π
(7)
La componente cartesiana della forza nell’i-esima direzione
esercitata da un singolo elemento di pala caratterizzato da una
lunghezza di corda, c, e un’altezza, ΔH, rispetto al piano normale,
πnt, è:
1
ΔFi =Ci ρ Wnt2 c ΔH
2
∀i = x, y, z
Introdotta la solidità locale, σr:
Bc
σr =
2r
i termini sorgente possono essere calcolati come segue:
ΔFm,i
σ ρ Wnt2
Si = −
= −Ci r
∀i = x, y, z
rΔθΔHΔr
2π Δr
(8)
(9)
(10)
Figura 2 - Proiezioni della velocità relative e dei coefficienti
di forza nel sistema di riferimento locale Ontp
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Stallo dinamico
Durante il funzionamento, le continue oscillazioni dell’angolo
d’attacco possono portare le pale della turbina Darrieus ad andare
in stallo. Esistono due diversi tipi di stallo: lo stallo statico e quello
dinamico.
Lo stallo statico si ha in condizioni di flusso costante quando, al di
sopra di un certo angolo d’attacco critico (detto di stallo statico,
αSS), avviene la separazione del flusso all’estradosso della pala
con un repentino crollo della portanza e un aumento improvviso
della resistenza.
Con la turbina in rotazione l'angolo di attacco oscilla, passando
continuamente da valori positivi a valori negativi consentendo di
superare αSS senza che avvenga la separazione del flusso. Tuttavia,
se l'angolo di attacco diventa sufficientemente grande si assiste
comunque a una separazione del flusso. In questo caso si parla
di stallo dinamico: (a) durante l’aumento dell’angolo di attacco, il
flusso rimane attaccato anche oltre αSS e solo successivamente si
assiste alla separazione del flusso; (b) quando l'angolo di attacco
diminuisce (partendo dalla condizione di stallo), il riattacco del
flusso avviene generalmente in corrispondenza di un angolo
d’attacco inferiore ad αSS, dando luogo a un ciclo di isteresi.
La velocità di variazione dell’angolo di attacco ha particolare
rilevanza per l’instaurarsi del fenomeno dello stallo dinamico così
come il tipo di movimento, il profilo aerodinamico della pala, il
numero di Reynolds, e il numero di Mach.
Per tener conto degli effetti della stallo dinamico, sono stati
sviluppati diversi modelli empirici. Uno di questi è il modello di
Gormont (originariamente sviluppato per le eliche degli elicotteri
(17)) con la modifica di Berg (18), introdotta specificatamente
per le turbine Darrieus. In questo lavoro, alcuni coefficienti del
modello (in particolare K1 e Am) sono stati ulteriormente modificati
e differenziati a seconda che debbano essere utilizzati per il calcolo
della portanza o della resistenza. I dettagli del modello di stallo
dinamico utilizzati sono riportati in (15).
RISULTATI
Al fine di validare il metodo proposto, sono state eseguite diverse
simulazioni sulla turbina Darrieus da 17 metri testata presso i
Sandia National Laboratories (16). Oltre al confronto con i dati
sperimentali sono stati considerati anche i risultati ottenuti con altri
codici (il CARDAAV di Paraschivoiu e il 3D viscous model di Allet
e Paraschivoiu (3)).
Il confronto è effettuato in termini di potenza erogata dal rotore,
P, al variare della velocità indisturbata del vento, Vref, nel caso in
cui il rotore operi a velocità angolare costante (n = 42,2 giri/min)
(Figura3).
A basse velocità del vento (ovvero alti λ) il modello tende a fornire
valori della potenza erogata leggermente superiori a quelli
sperimentali. Ciò è in parte dovuto al fatto che nel calcolo effettuato
non si è tenuto conto della presenza dell’albero e quindi si è
trascurata la perdita dovuta all’interazione della scia prodotta
dall’albero con le pale. A ogni modo, bisogna evidenziare la
capacità del codice di seguire correttamente l’andamento della
curva di potenza al crescere della velocità del vento, oltre i 12 m/s,
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Figura 3 - Andamento della potenza erogata, P, al variare
della velocità del vento, Vref, a 42,2 giri/min
zona in cui la potenza risulta all’incirca costante. Questa è la zona
più critica perché in queste condizioni inizia a diventare importante
il fenomeno dello stallo dinamico. Avere risultati accurati a elevate
velocità del vento è fondamentale perché è in queste condizioni che
il rotore eroga la maggiore potenza.
Fino a 15 m/s, il codice fornisce risultati molto vicini a quelli
sperimentali e decisamente migliori di quelli del 3D viscous model
proposto da Allet e Paraschivoiu (3). Successivamente, il codice
fornisce risultati che, pur discostandosi da quelli sperimentali, sono
confrontabili con quelli del CARDAAV nell’intervallo 15 - 17.5
m/s e decisamente migliori oltre questo intervallo. La capacità
del codice di operare ad alte velocità del vento e bassi λ, è legata
all’utilizzo di una formulazione modificata del modello di stallo
dinamico di Gormont-Berg come descritto in (15).
Il metodo proposto, non solo fornisce le prestazioni globali della
turbina ma consente anche di valutare le forze scambiate dai singoli
elementi di pala nelle diverse posizioni angolari, fondamentali per
il dimensionamento delle pale stesse.
A titolo di esempio, in Figura 4 sono riportati i risultati ottenuti in
termini di coefficiente di forza tangenziale, CT, in corrispondenza
del piano equatoriale per due diversi valori di λ.
A λ = 2,33, le pale sono fortemente influenzate dal fenomeno
dello stallo dinamico, in particolar modo quando la posizione
angolare, θ, è compresa tra 180° e 270° e quando è compresa tra
-40° e 50°. In questi intervalli, il coefficiente di forza tangenziale,
CT, diminuisce e fluttua attorno a un valore medio quasi costante,
circa metà di quello massimo. Il modello proposto è in grado di
simulare tale comportamento in gran parte di questi due intervalli
dando risultati migliori rispetto agli altri due codici. I risultati
si discostano dai dati sperimentali principalmente nell’intervallo
tra 15° e 50°, in cui il modello prevede un riattacco anticipato
Figura 4 - Coefficienti di forza tangenziale, CT, in
corrispondenza del piano equatoriale, al variare della
posizione angolare, θ, a λ = 2,33 (destra) e a λ = 3,70
(sinistra) per n = 38,7 giri/min
del flusso, e nell’intervallo tra 210° e 240°, in cui viene prevista
un'eccessiva separazione.
A λ = 3,70, le pale non sono più soggette a fenomeni di stallo
profondo e le prestazioni del modello sono paragonabili a quelle
degli altri metodi.
Il principale vantaggio del modello proposto, rispetto ai modelli tipo
streamtube, è la possibilità di avere non solo informazioni circa le
velocità indotte a valle del rotore ma una conoscenza dell’intero
campo di moto. Ad esempio, in Figura 5, si mostrano le isolinee
di velocità a λ = 5 e n = 42,2 giri/min. In questo modo è possibile
visualizzare l’estensione della scia a valle del rotore. Nella vista BB
l’asimmetria del campo di moto è legata alla rotazione del turbina,
invece nella vista AA si nota sia lo strato limite che si sviluppa in
prossimità del suolo sia l’accelerazione del flusso che si incanala al
di sotto del rotore (nel modello non è stata considerata la presenza
del basamento al di sotto del rotore).
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Figura 5 - Isolinee di velocità sul piano equatoriale (sez. BB)
e sul piano meridiano (sez. AA) per λ = 5 e n = 42,2 giri/min
CONCLUSIONI
è stato sviluppato un modello di calcolo per l’analisi delle prestazioni globali
di turbine Darrieus e per l’analisi degli effetti di scia.
Questo modello è stato realizzato modificando un codice CFD commerciale
(Ansys-Fluent), in grado di risolvere le equazioni RANS 3D per flussi
incomprimibili e stazionari con un approccio ai volumi finiti, introducendo
opportuni termini sorgente nelle equazioni di bilancio della quantità
di moto. Al fine di tener conto degli effetti dello stallo dinamico, sono
state introdotte delle modifiche alla versione di Berg del modello di stallo
dinamico originariamente proposto da Gormont.
I risultati preliminari presentati in questo lavoro dimostrano la capacità del
modello di valutare le prestazioni globali dei rotori Darrieus in termini di
potenza erogata anche quando la velocità del vento e quindi la potenza
risultano elevate, ovvero quando il λ è basso. Ciò è dovuto principalmente
alle modifiche applicate al modello di stallo dinamico.
Poiché questo modello, di fatto, non risolve il campo di moto in prossimità
delle pale del rotore (evitando di fatto costosi affinamenti della griglia in
prossimità del rotore) ma introduce solo il loro effetto sul campo di moto,
attraverso l’introduzione di termini sorgenti nelle regioni spazzate dalle pale
dei rotori, si ottiene una drastica riduzione dei tempi e dei costi di calcolo.
Ad esempio, i tempi di calcolo necessari per giungere a convergenza su
una griglia di circa 550.000 celle, sono inferiori a 12 minuti eseguendo
il codice su un singolo processore di un Intel® Xeon® 5150 a 2,66 GHz.
Naturalmente il principio ispiratore di tale modello è del tutto generale e,
pertanto, potrà essere esteso in maniera analoga alle turbine eoliche ad
asse orizzontale.
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