Esercizi di geometria per la laurea triennale
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Esercizi di geometria per la laurea triennale
Esercizi 1 Spazi vettoriali 1. Nello spazio vettoriale R3 si considerino i vettori 0 1 1 1 v1 = 1 , v2 = 0 , v3 = 1 , v4 = 1 1 1 0 1 si determini un vettore non nullo appartenente a span{v1 , v2 } ∩ span{v3 , v4 } 2. Si determini per quali valori del parametro reale t il seguente insieme è un insieme di vettori linearmente indipendenti 0 t t v1 = 2t , v2 = 0 , v3 = 2t t 1 2 Si determini inoltre la dimensione dello spazio W (t) = span{v1 , v2 , v3 }, al variare di t. 3. Rispondere Vero o Falso, motivando la risposta, alle seguenti affermazioni (a) i vettori di una lista che contiene due vettori uguali sono sempre linearmente dipendenti (b) è possibile trovare una lista di vettori linearmente indipendenti che contiene un vettore e il suo doppio (c) togliendo un vettore a una lista di più di due vettori linearmente indipendenti ottengo ancora una lista di vettori linearmente indipendenti 3 (d) dal fatto che tre vettori di VO sono due a due linearmente indipendenti, segue sempre che i tre vettori sono linearmente indipendenti. 3 (e) siano v1 , v2 , v3 ∈ VO ; si ha sempre che v1 , v2 , v1 ∧ (v1 ∧ v2 ) sono linearmente dipendenti 4. Determinare una base ortonormale per lo spazio span{v1 , v2 }, dove 0 1 v1 = 1 , v2 = 1 −1 1 1 2 Geometria analitica 1. Calcolare l’ampiezza degli angoli formati dalla diagonale principale del cubo1 con un lato ad essa incidente e con un lato ad essa non incidente. 2. Un tetraedro2 regolare ha i lati di lunghezza 1 determinare le coordinate dei suoi vertici rispetto a un opportuno riferimento cartesiano ortogonale monometrico 3. Calcolare l’ampiezza dell’angolo formato da due faccie del tetraedro. 4. In un sistema di riferimento affine si considerino rametriche x = t+1 x y = 3 y r) s) z = 2t z le rette di equazioni pa= 2t − 1 = −t = t Determinare se sono coincidenti, incidenti, parallele o sghembe. 5. Nel riferimento cartesiano ortogonale monometrico RC(O, i, j, k) si consideri il punto P = (0, 1, 2) e i vettori v = 2i+j e w = i−2j+k. Determinare se esiste un piano passante per P e (a) parallelo a v e a w (b) parallelo a v e ortogonale a w (c) ortogonale a v e a w 6. Nel riferimento cartesiano ortogonale monometrico RC(O, i, j, k) sono dati il punto P = (1, 1, 1)e la retta r di equazione x+y+z =4 x−y =0 Determinare la distanza di P da r. 7. Nel riferimento cartesiano ortogonale monometrico RC(O, i, j, k) sia data la retta di equazioni cartesiane x+z =2 s) x−y =0 e il punto P = (0, 1, 1). Determinare le equazioni dei piani che contengono la retta di equazione parametrica x=t−1 y = 2t − 2 z=0 e che 1 quella che collega due vertici opposti le cui 4 faccie sono triangoli equilateri 2 poliedro 2 (a) passano per il punto P (b) sono paralleli alla retta s (c) sono ortogonali alla retta s 8. Nel riferimento cartesiano ortogonale monometrico RC(O, i, j, k) si considerino le rette di equazione cartesiana x=1 x+y =0 r) s) y=0 z=1 Si determini l’equazione di una retta che passa per il punto O = (0, 0, 0) e interseca sia r sia s. 3 Matrici e applicazioni lineari 1. Si determini il rango delle seguenti matrici in funzione del parametro t 0 0 t t 0 t 0 2t t 0 0 3t 1 0 1 0 t 1 1 t 0 0 1 −1 2. Si determini per quali valori del parametro t la seguente matrice è invertibile e per quei valori si calcoli l’inversa: 1 0 1 0 t 0 t 1 1 3. Sia T : R3 → R3 l’applicazione lineare associata, rispetto alle basi canoniche, alla matrice 1 2 1 0 1 1 1 0 −1 (a) Determinare una base per ImT e KerT , se esiste. (b) Detrminare una base per l’immagine del sottospazio generato dal vettore 1 1 1 (c) Stabilire se esiste la controimmagine del vettore 0 −1 2 e al caso determinarla. 3 4. Sia data l’applicazione lineare T : R2 → R3 definita da x1 + x2 x1 T = x1 − x2 . x2 x1 Si determini la matrice associata a T rispetto (a) le basi standard di R2 e R3 (b) le basi 1 −1 1 , 1 −1 1 1 0 , 0 , 1 1 1 1 rispettivamente di R2 e R3 . 5. Si considerino in R2 e R3 le basi del punto (b) dell’esercizio precedente. si consideri l’applicazione lineare G che ha (rispetto le basi suddette) la seguente matrice associata 0 1 2 1 −1 0 x1 Si determini l’immagine del generico vettore . x2 6. Si consideri l’applicazione lineare T : R3 x1 T x2 = x3 → R3 definita da x1 + x2 tx1 + tx2 x2 − x3 Si determini al variare del parametro t la dimensione di Ker(T ) e Im(T ). 7. Siano T e G trasformazioni lineari da R2 in sé tali che 1 1 1 −2 T = T = 1 −2 −1 1 1 2 1 3 G = G = 0 −2 2 −3 Si osservi che T e G sono univocamente determinate dalle condizioni poste. Si determini la dimensione dell’immagine di G ◦ T . 4 4 Diagonalizzazione degli operatori 1. Nello spazio VO3 si fissi un vettore non nullo w. Si consideri l’operatore3 T che al vettore v associa v ∧ w . T è diagonalizzabile? 2. Indicare quali fra le seguenti coppie di matrici sono simili4 e quali no, spiegandone il motivo 1 0 2 0 (a) 0 2 0 1 1 2 1 0 (b) 0 2 0 2 2 2 2 0 (c) 0 2 0 2 3. Nel caso in cui la risposta all’esercizio precedente sia positiva si determini una matrice invertibile che realizza la similitudine. 4. L’operatore T di R3 è definito nella base canonica {i, j, k} da T (i) = i + 2j − k, T (j) = 2j − k, T (k) = −2k Dire se T è diagonalizzabile e, al caso, determinare una base di autovettori. 5 Operatori ortogonali, rotazioni 1. Si consideri l’operatore su R3 , T : x 7→ Ax dove x ∈ R3 e a 0 b A= 0 b a b a 0 Si determini per quali valori dei parametri a e b l’operatore é ortogonale. 2. Si consideri l’operatore su R3 , T : x 7→ Ax dove x ∈ R3 e 1 −2 −2 1 2 −1 A= 2 3 2 −1 2 (a) Si provi che T è una rotazione. (b) Si determini un versore dell’asse di rotazione. (c) Si determini il coseno dell’angolo assoluto della rotazione. 3 endomorfismo 4 coniugate 5