campione di scrittura rapporto

Problema della
misura e metrologia
Esempi di leggi fisiche


Abbiamo visto che la fisica descrive i fenomeni
naturali stabilendo delle relazioni (matematiche) tra
le grandezze fisiche
F  ma
II legge di Newton
T2
1
T1
Rendimento massimo di una macchina
termica operante tra le temperature
T1 e T2 (T1 > T2)
V  RI
Legge di Ohm
Per confrontare i due membri delle relazioni occorre
misurare le grandezze fisiche
2
Misura di una grandezza fisica
 Misurare una grandezza significa esprimere il suo
valore in relazione a quello di un campione ad essa
B
A
omogeneo
Per misurarla occorre
Campione C
 Definire un campione
Sottomultipli del campione
 Definire una procedura per confrontare la grandezza
con il campione
Risultato della misura:
 Un numero e un’unità di misura LAB=3.6 campioni
Va specificato il campione per ogni
grandezza fisica ?  grandezze derivate numero
unità di misura
3
Notazione

Il valore numerico di una grandezza G verrà rappresentato
simbolicamente in questo modo
G = g {G}
dove con g indicheremo il valore numerico e con {G} l’unità di
misura, ovvero il tipo di campione prescelto.
Ad esempio scriveremo
l=4m
per indicare che il rapporto tra la lunghezza l di un segmento e
quella del campione prescelto ad essa omogeneo vale 4.
4
Fondamentale: per esprimere una misura, NON
BASTA esprimere il risultato (numero reale) seguito
dall’unità di misura:
Una caratteristica intrinseca di ogni
misura fisica è l’incertezza di misura.
Ad ogni misura fisica va associato il
corrispondente errore di misura.
Dunque il concetto di
misura viene formalizzato
da tre entità distinte:
- Un numero reale
- Un’unità di misura
- L’errore di misura
Vedremo successivamente come
5
Misura in fisica classica e quantistica

In fisica classica oggetto e osservatore sono entità indipendenti


In fisica quantistica oggetto e osservatore sono inscindibili


precisazione cruciale nel contesto quantistico
La natura ci pone un limite invalicabile sulla “misurabilità” di
grandezze coniugate: principio di indeterminazione di Heisenberg


quando l’oggetto è confrontabile con la lunghezza d’onda della luce,
l’osservazione modifica l’oggetto da studiare
Osservabili = grandezze fisiche misurabili


l’osservazione di un oggetto macroscopico non modifica (generalmente)
l’oggetto stesso da studiare
Esempio:
DxDp ≥ ћ/2 ≈ 5×10-35 Js
In questo corso ci occuperemo di sistemi “grandi” rispetto alla
costante d’azione ћ  contesto classico
6
Grandezze fondamentali e derivate





Esempio: lunghezza (fondamentale) ed area (derivata)
Si esprimono in termini delle unità di misura fondamentali
(esempio: area → m2 )
Le unità di misura di tutte le altre grandezze fisiche sono
derivate da quelle fondamentali attraverso le relazioni che
legano ciascuna grandezza a quelle fondamentali
(definizione ↔ legge fisica, e.g. p=F/S ↔ F=ma)
la distinzione tra grandezze fondamentali e grandezze derivate
è del tutto arbitraria, è solo una questione di scelta
L’insieme delle grandezze fondamentali prescelte con i
rispettivi campioni (unità di misura) definisce un
sistema di unità di misura
7
Dimensione delle grandezze fisiche


Due grandezze omogenee (tali dunque da poter essere
confrontate mediante l’utilizzo dello stesso campione), si
dice che hanno la stessa dimensione.
Formalmente la dimensione di una grandezza G viene
indicata tra parentesi quadre
dimensione di G = [G]

Di fatto, [G] può anche essere vista come la classe di tutte
le possibili unità di misura di G.
8
Dimensione delle grandezze fisiche


Dato un sistema di unità di misura (esempio M, L e T nel SI della
meccanica classica), allora qualunque grandezza G può essere espressa
come
G= g{G} = k· ma{M}a· lb{L}b· tg{T}g
dove k è una costante adimensionale (k≡1  coerenza)
la dimensione (a, b, g) di G sarà allora data da
[G]=[M]a[L]b[T]g

con a, b, g numeri razionali
Se a, b, g sono nulli, la grandezza è adimensionale, come ad esempio i
numeri puri, gli angoli espressi in radianti, oppure alcune funzioni
analitiche (exp, log, sin...)
9
Osservazione


la dimensione (a, b, g) di una grandezza G sarà sempre della forma
[G]=[M]a[L]b[T]g... [X]d
con a, b, g, d numeri razionali? Sì, dimostriamolo.
Posso sempre sviluppare G=f(X) in un intorno di un suo particolare
valore:
f(X)=f(X0)+f’(X0)(X-X0)+f’’(X0)(X-X0)2/2+f’’’(X0)(X-X0)3/6+…

Tutti gli addendi di questa espressione sono omogenei se e solo se
f(X) è una legge di potenza: infatti d(n)(Xd) Xn =cost Xd-n Xn=cost Xd
Negli altri casi, scriverò G=f(X/[X]), ad esempio: G = log(M/kg)
10
Applicazioni dell’analisi dimensionale (1)

L’analisi dimensionale risulta molto utile per il “dubugging”
dei problemi:
Nell’equazione A+B+... = C+D+... tutti i termini devono
avere le stesse dimensioni.
Esempio 1
Esempio 2
F  ma
MLT 2  F
1
x  x o  v o t  at 2
2
x o posizione iniziale
v o velocità iniziale
a accelerazione
ma  ML T 2
x  L 
[ x0 ]  [ L ]
v ot   LT 1 T  L 

 
1 2
2
2
a
t

LT
T
 L 
 2 o 
11
Applicazioni dell’analisi dimensionale (2)

Permette di ricavare in modo approssimato alcune leggi fisiche
a prescindere dalla conoscenza della dinamica del sistema
Esempio 1: Quanto tempo impiega un corpo di massa
m a cadere da un’altezza h? Suggerimento: impostare

Dt=khxmygz
[T]=[k][L]x[M]y[LT-2]z=[Lx+zMyT-2z]
Esempio 2: Ricavare il periodo delle piccole
oscillazioni di un pendolo.
Esempio 3: Ricavare la terza legge di Keplero.
Esempio 4: Ricavare la velocità di propagazione delle
onde trasversali in una corda (conoscendo tensione,
lunghezza e massa)

12
Riassumendo:



Abbiamo definito cosa sono gli osservabili in fisica 
grandezze fisiche (misurabili) =
numero reale + incertezza
Grandezze omogenee  unità di misura (campione) 
dimensione fisica delle grandezze
Formalmente scriveremo:
G = g {G} ± dg {G}
dove G è la grandezza, {G} è l’unità di misura e g e dg
sono rispettivamente il valore della grandezza e della
sua incertezza. Con [G] abbiamo indicato invece la
dimensione fisica di G.
13
Sistemi di unità di misura

Un buon sistema di unità di misura deve essere assoluto, coerente e
possibilmente decimale:


assoluto (o completo) ≡ ogni grandezza fisica si può ricavare dalle grandezze
fondamentali con una relazione analitica
coerente ≡ tali relazioni analitiche (sia tra le grandezze sia tra le unità di misura)
hanno come costante di proporzionalità l’unità



esempio: v = l/t
se {v}= m/s = 1 {l}/{t}  coerente
se {v} = km/h = 1000 m / 3600 s = 0.278 m/s = 0.278 {l}/{t} non coerente
decimale ≡ multipli e sottomultipli delle unità sono potenze di 10
Per definire il sistema di unità di misura, bisogna prima scegliere le
grandezze fondamentali:


Se G è il numero delle quantità misurabili e NR è il numero delle leggi che le legano, il
numero minimo di quantità indipendenti è: GM = G – NR
Ad esempio, tra le grandezze Velocità, Spazio e Tempo solo due sono indipendenti:
quali scegliamo come fondamentali?
Criterio guida:
- facile disponibilità del campione e
- non variabilità del campione nel tempo.
14
Sistema Internazionale (S.I.)




Introdotto nel 1961 nella XI Conferenza Generale dei Pesi e Misure
Legalmente adottato in Italia dal 1982
Il S.I. è completo, coerente e decimale
Il S.I. codifica anche le modalità di scrittura (e.g. i nomi delle unità
vanno scritti sempre minuscoli e non hanno plurale)
 Chi decide?
Ufficio Internazionale dei Pesi e Misure (BIPM) controllato da
Comitato Internazionale dei Pesi e Misure controllato da
Conferenza Generale dei Pesi e Misure (si riunisce ogni 4 anni)
 In Italia l’ente preposto è l’Ente Nazionale per l’Unificazione,
i campioni sono realizzati dal Galileo Ferraris e dall’Istituto
Colonnetti (entrambi a Torino)
Codifica ISO-31
15
Multipli e sottomultipli nel S.I.
Il S.I. codifica l'uso dei prefissi moltiplicativi secondo le potenze di 1000
(e, in aggiunta, prefissi per 10 e 100):
Fattore
Prefisso
Simbolo
Fattore
Prefisso
Simbolo
1024
yotta-
Y-
10-24
yocto-
y-
1021
zetta-
Z-
10-21
zepto-
z-
1018
exa-
E-
10-18
atto-
a-
1015
peta-
P-
10-15
femto-
f-
1012
tera-
T-
10-12
pico-
p-
109
giga-
G-
10-9
nano-
n-
106
mega-
M-
10-6
micro-
µ-
103
chilo-
k-
10-3
milli-
m-
102
etto-
h-
10-2
centi-
c-
10
deca-
da-
10-1
deci-
d-
16
Grandezze fondamentali nel S.I.
17
Guida alla scelta del campione
 la precisione delle misure dipende dalla
definizione del campione.
 la definizione può cambiare nel tempo man mano che si
dispone di nuova tecnologia e di nuove conoscenze per
migliorare la precisione delle misure
 un campione deve essere:
 accessibile e riproducibile
 invariabile
18
Il campione del tempo
Il campione del tempo ha subito cambiamenti nel corso degli anni:
 ~1830 (su proposta di Gauss)
 1s = 1/86400 del giorno solare medio
 1960
 1s = 1/31 556 925.97474 dell’anno tropicale 1900
(rotazione terrestre aumenta di circa 1 secondo
l’anno per effetto delle maree)
 1967 [definito nella XIII CGPM]
 1s = durata di 9 192 631 770 periodi della
radiazione emessa dall'atomo 133Cesio nella
Altro modo di misurare
transizione tra i due livelli iperfini
il tempo: si contano
(F=4, M=0) e (F=3, M=0) dello stato
le oscillazioni
2
10
fondamentale S(1/2)  n = DE/h ~ 10 Hz
dell’atomo di azoto
1 s ≡ 9192631770 * 1/n
nella molecola di
N
H
H
H
N
(precisione ~1 parte su 1016!)
ammoniaca NH3
19
Il campione della lunghezza

Anche il metro ha cambiato diverse volta definizione nel corso degli anni:
1795
 1 m = 1/40000000 del meridiano terrestre passante per Parigi
(tale lunghezza fu riprodotta con una sbarra di platino-iridio)

1889
 1 m = la distanza tra due tacche della sbarra di platino-iridio
(precisione delle incisioni 0.2 micron → precisione di circa 10-7)

1960
 1 m = 1650763.73 lunghezze d’onda della luce emessa dal 86Kr
(riga rosso-arancione → precisione di circa 10-8)

1983 [definito nella XVII CGPM]
Poiché la velocità della luce nel vuoto c è una costante fondamentale della natura, si è pensato di ridefinire il metro in
questo modo:
 1 m = distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a
1/299792458 secondi (fa uso della definizione di secondo)
 Nella pratica si utilizza la relazione l=c/nn, ovvero si misura la lunghezza d’onda a
partire dalla frequenza di oscillazione: il metro è la distanza tra 1579800,298728
lunghezze d’onda della luce laser elio-neon. Bisogna anche tener conto del vuoto non
perfetto (in cui non vale n=1)
(precisione raggiunta ~1 parte su 1011)
20
Il campione della massa
 Finora non è stato ancora possibile definire il
campione di massa (il kilogrammo) sulla base
delle proprietà atomiche: ancora conviene
(da un punto di vista della precisione) usare metodi “classici”
 [definito nella III CGPM, 1901]
1kg ≡ massa contenuta in un cilindro di platino iridio conservato nel BIPM
di Sèvres (circa 1 dm3 di H2O distillata)
 Il confronto di massa si ottiene con la bilancia
(precisione ~1 parte su 108)
 A livello atomico è definita l’unità di massa atomica
(non appartiene al S.I.)
 1 unità di massa atomica = 1/12 della massa del 12C.
 relazione tra le due unità:
1 unità di massa atomica =1.6605402 10-27 kg
21
Le altre grandezze fondamentali del S.I.
ampere (A) [definito nella IX CGPM, 1948]
intensità della corrente costante che percorrendo due fili conduttori, rettilinei,
posti nel vuoto, paralleli, di lunghezza infinita e di sezione circolare con diametro
infinitesimo, posti alla distanza di 1 metro uno dall'altro è tale da far sì che i due
conduttori si attirino o si respingano con una forza pari a 2x10-7 N/m.
kelvin (K) [definito nella XIII CGPM, 1967]
1/273.16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell'acqua
mole (mol) [definito nella XIV CGPM, 1971]
quantità di materia di un sistema che contiene tante unità elementari quanti
sono gli atomi contenuti in 0.012 kg di Carbonio 12 (=NA)
candela (cd) [definito nella XVI CGPM, 1979]
intensità luminosa di una sorgente che emette una radiazione monocromatica
di frequenza pari a 540*1012 Hz con un’intensità energetica di 1/683 watt/sr.
22
Alcune grandezze fisiche derivate nel S.I.
Grandezza
Area
Volume
Densità
Definizione
Unità di misura
A=base per altezza
metri quadri
m2
V=area di base per altezza
metri cubi
m3
=massa diviso volume occupato
kilogrammi per
metro cubo
metri al secondo
kg/ m 3
metri al secondo
quadrato
newton
m/s2
N
kg m/ s2
P=(forza normale)/area
pascal
Pa
N/ m2
Lavoro=forza per spostamento
joule
J
Nm
K= 1/2 massa per velocità al quadrato joule
J
Nm
P=(lavoro effettuato)/(tempo
impiegato)
p=massa per velocità
watt
W
J/s
kilogrammi per
metri al secondo
kg m/ s
M=r x F (erre vettor F) prodotto
vettoriale tra il vettore posizione e
laForza
Nm
v=(Distanza percorsa)/(tempo
impiegato)
Accelerazione a=(Variazione di velocità)/(tempo
impiegato)
F=massa per accelerazione
Forza
Velocità
Pressione
Lavoro
Energia
cinetica
Potenza
Quantità di
moto
Momento di
una forza
m/s
23
Altri sistemi di unità di misura
Sistema cgs:
Questo sistema, per quel che riguarda la meccanica, utilizza le stesse grandezze
fondamentali del SI, cambiano invece le unità di misura (i campioni): il centimetro per la
lunghezza e il grammo per la massa.
L'unità di tempo è la stessa nei due sistemi di riferimento.
Sistema britannico:
Le grandezze fondamentali della meccanica sono la lunghezza (misurata in piedi),
la forza (misurata in libbre), e il tempo (misurato in secondi).
Il sistema britannico non è un sistema decimale (ad esempio un piede è uguale a
12 pollici). Attualmente i campioni di libbra e di piede vengono definiti sulla base
del kilogrammo e del metro del sistema SI. Per esempio un pollice è uguale 2.54 cm.
Sistema pratico degli ingegneri:
Utilizza come grandezze fondamentali la lunghezza (metro), il tempo (secondo) e la forza, la
cui unità di misura è il kilogrammo-peso che corrisponde al peso del campione di massa del
S.I., quando si trova al livello del mare e a 45° di latitudine.
Sistema delle unità naturali:
Usato principalemente in fisica quantistica, ha come grandezze fondamentali (adimensionali)
c, h e G (velocità della luce, costante di Planck e costante di gravitazione)
24
La misura del tempo
 Il tempo deve svolgere una doppia funzione:
 Scandire gli eventi, dare origine ad una cronologia (tempo civile =
calendario)
 Misurare degli intervalli di tempo (il tempo trascorso tra due eventi)
 Come si fa la misura del tempo (degli intervalli di tempo)?
 Si usa un fenomeno periodico, un fenomeno che si ripete identico a
se stesso dopo un intervallo di tempo.
 Si contano il numero dei cicli e delle frazioni di ciclo del fenomeno
periodico contenute nell’intervallo di tempo che si vuole misurare
 Come si misura:
 l’intervallo di tempo intercorso tra il Big Bang ed oggi (4· 1017 s)?
 l’intervallo di tempo che intercorre tra la produzione di una Z0 e il
suo decadimento in due leptoni (10-23 s)?
 ci servirebbe un orologio che copra 40 ordini di grandezza!
25
Misure di tempi
 Misure dirette:
 Pendoli
 Oscillazioni molecolari
 Orologi al Cesio
 Misure indirette:
 Datazioni con radioisotopi (con 14C, 238U etc)
N(t) = N(0)e-t/t
N(t)/t è l’attività e si misura in
becquerel (1 bq= 1 disintegrazione/s)
N(0) concentrazione in atmosfera
 Tempi di reazioni chimiche (ordine del ps)
 Tempi in fisica nucleare e sub-nucleare
(vite medie fino a 10-25 s)
26
Misure di lunghezze
 Misure dirette con prototipi del campione
 Triangolazioni:
C

A
CD  AB

D
tan  tan 
tan   tan 
B
 Esempio: distanze astronomiche (metodo della parallasse)
 Misure di lunghezze basate su misure di tempi (si basano
sul doppio percorso di segnali luminosi o onde sonore)
 Misure di lunghezze nucleari: scattering alla Rutherford
  R
2
N TOT NSCATTERED

A
NINPUT
R ~ 1 fm=10-15m
27