Matematica II-Esercitazione 6
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Matematica II-Esercitazione 6 April 9, 2008 Esercizio 1. Trovate i punti di massimo e minimo della funzione: f (x, y) = x3 + y 3 sulla regione delimitata dai vertici: A(1, 1), O(0, 0), B(2, 0). R: Prima di tutto determiniamo le equazioni delle rette che formano le frontiere della regione ammissibile. Queste sono: • il segmento AO il quale ha l’equazione: y − yO x − xO = y A − yO xA − xO ossia y = x, con 0 ≤ x ≤ 1 • il segmento OB, di equazione: y = 0 con 0 ≤ x ≤ 2 • il segmento AB, di equazione: y − yA x−1 x − xA y−1 = = ⇐⇒ yB − y A xB − xA 0−1 2−1 ossia y = 2 − x, con 1 ≤ x ≤ 2 1. Localizziamo ora i punti stazionari interni, se esistono: ( ∂f (x,y) = 3x2 = 0 x=0 ∂x ⇐⇒ ∂f (x,y) 2 y=0 = 3y = 0 ∂y L’unico punto stazionario interno è il punto (0, 0). Controlliamo con le condizioni di secondo ordine che tipo di punto è il nostro punto critico. È immediato che il determinante della matrice hessiana nel punto critico è: detH(0, 0) = 0 1 Di conseguenza, per potere capire la natura del punto (0, 0) dobbiamo studiare il comportamento della funzione in prossimità del punto. Prima di tutto calcoliamo il valore della funzione nell’origine: f (0, 0) = 0 Notiamo che la funzione è sempre strettamente positiva in tutti i punti della regione ammissibile diversi dall’origine. Quindi, possiamo affermare che il punto critico (0,0) è un punto di minimo per la nostra funzione. Andiamo ora a studiare le frontiere: I) Il segmento AO: - ha l’equazione y = x con 0 ≤ x ≤ 1. Sostituendo y = x nella funzione originale, f (x) = 2x3 e derivando otteniamo: f 0 (x) = 6x2 il che implica che l’unico punto critico di questa funzione corrisponde a x = 0. A questo valore di x corrisponde un valore y = x = 0. Quindi il punto critico è (x, y) = (0, 0) già studiato in precedenza. I punti terminali di questo segmento sono A(1, 1) e O(0, 0) (studiato). Il valore della funzione nel punto A: f (1, 1) = 2 II) Il segmento OB: - ha l’equazione y = 0 con 0 ≤ x ≤ 2. Sostituendo y = 0 nella funzione originale, f (x) = x3 e derivando otteniamo: f 0 (x) = 3x2 il che implica che l’unico punto critico è (x, y) = (0, 0) già studiato in precedenza. I punti terminali di questo segmento sono B(2, 0) e O(0, 0) (studiato). Il valore della funzione nel punto B: f (2, 0) = 8 III) Il segmento AB: - ha l’equazione y = 2 − x con 1 ≤ x ≤ 2. Sostituendo y = 2 − x nella funzione originale, f (x) = 6x2 − 12x + 1 e derivando otteniamo: f 0 (x) = 12x − 12 il che implica che l’unico punto critico è (x, y) = (1, 1) già studiato in precedenza. I punti terminali di questo segmento sono A(1, 1) e B(2, 0) (studiati entrambi in precedenza). Comparando ora i valori della funzione nei punti critici interni, di frontiera e nei punti terminali possiamo dire che: 2 • il punto di minimo: (0, 0, 0); • il punto di massimo: (2, 0, 8). Esercizio 2. Studiate i punti critici delle seguenti funzioni: f (x, y, z) = x2 − 4xy + 4y 2 + 3z 2 R: Ci sono un’infinità di punti critici: tutti i punti della forma (2k, k, 0). Il determinante della matrice Hessiana nei puntio critici è pari a zero. Però osservando che possiamo riscrivere la funzione: f (x, y, z) = (x − 2y)2 + 3z 2 possiamo immediatamente dire che f (x, y, z) > 0 = f (2k, k, 0) per ogni (x, y, z) 6= (2k, k, 0). Di conseguenza possiamo subito dire che i punti critici sono tutti punti di minimo relativo. Esercizio 3. Risolvete il seguente esercizio di programmazione lineare: max 2x + 4y s.v. x − y ≥ −2 −x + y ≥ −2 2x + y ≤ 4 x, y ≥ 0 R: Il punto di massimo é il vertice: 2 8 3, 3 . Esercizio 4. L’economia di una piccola regione montana è costituita da due soli beni prodotti dai settori produttivi: Settore 1 e Settore 2. Le interrelazioni fra le produzioni dei settori sono deffinite come segue: per produrre un’unità del bene 1 si impiegano 0, 3 unità dello stesso bene e 0, 4 unità del bene 2. Per produrre un’unità del bene 2 si impiegano 0, 6 unità dello stesso bene e 0, 2 unità del bene 1. Nell’ipotesi che esista una domanda esterna rivolta ai due settori di 5000 unità richieste al settore 1 e 8000 unità di bene richieste al settore 2 si chiede di: • formulare e risolvere il problema per la determinazione delle quantità dei beni prodotti dai due settori in modo che, tenuto conto dei consumi intermedi sia soddisfata la domanda esterna; • dire quali dovrebbero essere le nuove produzioni necessarie per soddisfare un’aumento della domanda esterna del 20% per entrambi i settori. 3 R: a) x1 = 18000, x2 = 38000; b) x1 = 21600, x2 = 45600. Esercizio 5. Una scatola è un parallelipipedo rettangolo ed è costruita con due tipi di materiali. Le parti superiore ed inferiore sono di cartone pesante che costa 20 cent/m2 , quelle laterali di cartone leggero che costa 10 cent/m2 . Dato che la scatola deve avere una capacità di 2 m3 , quali devono essere le sue dimensioni se il prezzo va minimizzato? R: La funzione che ci dà il costo della scatola è: C(L, l, h) = 20 · 2 · L · l + 10 · (2 · L · h + 2 · l · h) dove: L - lunghezza della base della scatola, l - larghezza della base, h - altezza della scatola. Il problema diventa: max C(L, l, h) = 40Ll + 20Lh + 20lh s.v. V = Llh = 2 L, l, h > 0 Questo è un problema di massimizzazione vincolata sotto un vincolo di uguaglianza. Troviamo l’espressione dell’altezza in funzione delle altre due dimensioni, dal vincolo: 2 h= Ll e sostituendo questo nella funzione di costo otteniamo il seguente problema di massimizzazione: 40 40 max 40Ll + + L,l l L Le condizioni di primo ordine, ( ∂C(L,l) = 40l − L402 = 0 ∂L ∂C(L,l) = 40L − 40 ∂L l2 = 0 ci portano al seguente sistema: lL2 = 1 Ll2 = 1 il quale ha come soluzione unica: L = 1, l = 1. Il determinante della matrice hessiana nel punto (1, 1) è pari a: 80 40 = 4800 det H = 40 80 4 e dato che gli elementi della diagonale principale sono positivi possiamo affermare che veramente L = 1, l = 1 corrisponde ad un costo minimo. L’ultimo elemento che dobbiamo determinare è l’altezza e facciamo questo semplicemente sostituendo i valori trovati per L e l nella formula che abbiamo ricavato dal vincolo di uguaglianza. 2 =2 h= Ll Quindi, le dimensioni della scatola che minimizzano il costo sono L = 1, l = 1, h = 2, dove L stà per lunghezza, l per larghezza e h per altezza del parallelipipedo. 5