La geometria della carta piegata

LA GEOMETRIA DELLA CARTA PIEGATA
A cura di Denise Trentinaglia
Considerazioni didattiche
La costruzione del sapere geometrico, il controllo concettuale del disegno e la semiosi percettiva
In geometria la costruzione dei concetti è intimamente legata all’elaborazione di rappresentazioni.
La percezione fisica, legata ai sensi, di un oggetto geometrico è il primo passo verso la concettualizzazione.
Si passa attraverso una prima fase, quella della “Geometria Naturale”, “intuitiva”1, in cui vi è un continuo scambio tra
la realtà fisica e il modello geometrico in via di formazione.
Il costante rimando alla realtà garantisce in questa fase la verità delle affermazioni.
Il ragionamento geometrico si basa su particolari oggetti, comunemente chiamati figure geometriche.
In esse conoscenze concettuali e rappresentazioni pittoriche sono mescolate e quindi non sono né pure immagini né puri
concetti.
Il disegno possiede quindi un significato iconico perché in esso sono presenti sia l’aspetto concettuale che quello
figurale.
Il controllo concettuale non può prescindere da quello della rappresentazione in quanto entrambi, simultaneamente,
concorrono alla formazione delle immagini, dei modelli e dei concetti geometrici.
Una rappresentazione è sottoposta alla percezione dei sensi ma profondamente legata alla significazione a cui essa
rimanda.
Si innesca quindi un processo di semiosi percettiva ossia da uno stimolo percettivo si richiama un determinato concetto
attraverso un procedimento logico.
In questo senso può risultare particolarmente efficace l’utilizzo di un supporto concreto come quello della carta, per
richiamare i concetti attraverso la percezione fisica di un oggetto geometrico.
Il rischio, tuttavia, è quello di fornire agli alunni immagini eccessivamente stereotipate, trasmettere concetti geometrici
banalizzati e ingenerare misconcezioni.
1
Mariotti M. A.: “La geometria in classe. Riflessioni sull’insegnamento e apprendimento della geometria” Pitagora –
Bologna, 2005
Breve storia dell’origami
Origami è una parola di origine giapponese che significa "piegare la carta" o "carta piegata", secondo il contesto della
frase in cui viene usata, e indica una tecnica che permette di realizzare figure e forme di ogni tipo mediante la piegatura
di uno o più fogli di carta.
La storia dell’origami comincia probabilmente con l’invenzione della carta, che si fa risalire ufficialmente al 105 d.C. in
Cina. Il nuovo materiale aveva, fra i suoi innumerevoli pregi, quello di poter essere piegato e ripiegato senza strapparsi
e di "mantenere la piega".
L’origami potrebbe essere nato allora, ma non esistono notizie precise; occorre aspettare il 610 d.C., allorché un
monaco buddista portò la tecnica per la fabbricazione della carta in Giappone.
Nonostante la rapida diffusione della fabbricazione della carta, quest’ultima rimase per anni un materiale raro e
pregiato, il cui uso era riservato alle cerimonie religiose o ad altre occasioni importanti. La carta non veniva usata per
realizzare "modelli" come li intendiamo oggi, bensì per creare figure astratte aventi un significato simbolico e rituale,
seguendo rigide regole formali note a pochi specialisti.
I modelli in carta venivano utilizzati in riti benaugurali e per offerte propiziatorie come figure dal significato simbolico
che avevano lo scopo di portare fortuna e buona sorte.
Le tecniche per piegare le varie figure vennero tramandate oralmente di generazione in generazione fino all’inizio del
XVIII secolo, quando pare siano apparsi i primi libri con istruzioni di piegatura. Il repertorio, però, non variava molto.
Venivano pubblicati soprattutto modelli ripresi dalla tradizione orale (gru, rane, stelle, scatole, bamboline, decorazioni),
riportandone gli schemi di piegatura senza alcuna innovazione.
Le pieghe, relativamente semplici e facili da memorizzare, permettevano la realizzazione di soggetti stilizzati ed
essenziali.
Tra il XVI e il XVII secolo la tecnica della piegatura della carta si diffondo anche in Europa, in particolar modo in
Spagna e in Italia.
Figure di carta piegata venivano usate dai prestigiatori per stupire l’ingenuo pubblico di allora mentre la tecnica era
applicata anche per piegare i tovagliolini e impreziosire così le tavole rinascimentali.
A partire dal XIX secolo l’origami si è sviluppato anche in senso creativo, con l’elaborazione di forme più moderne che
portano a estremi livelli di raffinatezza e di complessità le semplici regole basilari dei modelli classici.
Grandi maestri giapponesi, ma anche origamisti occidentali, fanno dell’origami una forma d’arte con cui dare una
nuova dimensione alla propria creatività.
La geometria della carta piegata
Per acquisire confidenza con la tecnica dell’origami iniziamo il laboratorio con alcune semplici operazioni preliminari,
che permetteranno di chiarirci sulla terminologia specifica da adottare e su alcune regole da rispettare nella piegatura
della carta.
Si inizia con la realizzazione di una “Cavalletta” di carta per abituarci al lavoro da condurre.
Cavalletta origami
Con un piccolo quadrato di carta colorata verde realizziamo la cavalletta origami.
Piegare il foglietto lungo una delle diagonali.
In questo modo si ottiene un triangolo rettangolo isoscele di cui la diagonale appena piegata ne è l’ipotenusa.
Portare i due vertici degli angoli acuti sul vertice dell’angolo retto e piegare “chiudendo” il pezzo. Le due pieghe sono
assi dei due cateti del triangolo rettangolo isoscele. Quello che si ottiene dopo la piegatura è un altro quadrato lungo la
cui diagonale giacciono i due lembi di carta appena piegati
Piegare a metà lungo la diagonale. Si torna ad ottenere un triangolo rettangolo isoscele: si tratta in realtà di due triangoli
sovrapposti che hanno in comune l’ipotenusa ed il pezzo è, per così dire, “doppio” nella parte dell’angolo retto.
Piegare ognuna delle due metà del pezzo in modo che l’angolo retto sporga leggermente oltre l’ipotenusa, per simulare
le ali della cavalletta (in questa fase i ragazzi scambiano la cavalletta per una barchetta, perché effettivamente la
somiglianza è piuttosto forte, se non fosse per il colore della carta).
A questo punto non resta che disegnare gli occhi alla cavalletta avendo cura di non confondere la testa con il posteriore
dell’animale.
Con qualche semplice piega, abbiamo ottenuto una cavalletta che possiamo divertirci anche a far saltare! Basterà colpire
delicatamente la cavalletta sulla testa, senza schiacciarla e spiccherà un bel salto. Tanto più piccolo è il foglietto di
partenza, tanto meglio la cavalletta salterà.
Alcuni termini…
Dopo aver preso dimestichezza con le prime pieghe, che devono essere sempre e comunque fatte con cura e precisione
per una riuscita ottimale del pezzo, mancano da chiarire alcuni termini specifici per evitare incomprensioni.
Prendiamo un normale foglio A4 e pieghiamolo a metà. E’ possibile piegarlo in due modi differenti, è possibile cioè
tracciare due mediane nel rettangolo del foglio, quella del lato lungo e quella del lato corto. Questo termine
“geometrico” è il primo da tenere in mente per il nostro lavoro.
Torniamo al nostro foglio piegato a metà: riaprendolo ci possiamo rendere conto delle caratteristiche della piega appena
fatta. Si tratta di una cosiddetta piega a valle (la indicheremo con “∨”), perché ha una forma a V come il profilo di una
valle.
Se invece proviamo a capovolgere il foglio la stessa piega appare rivolta all’insù, come la vetta di una montagna (a V
rovesciata) che per questo viene detta piega a monte (la indicheremo con “∧”).
Con queste conoscenze preliminari, siamo pronti per fare il calendario origami.
Calendario origami
Per realizzare questo calendario è stato necessario predisporre del materiale da distribuire agli alunni. Si tratta di 6 fogli
A4 colorati per ogni alunno su cui sono stati stampati i 12 mesi dell’anno. Con la metà di ogni foglio viene realizzato un
modulo.
In allegato a questo elaborato si trova un CD con le istruzioni per la piegatura e l’assemblaggio del rombododecaedro
modulare, che vengono riportate di seguito.
Le fasi di piegatura
1° FASE:
Piegare ognuno dei 6 fogli prestampati a
metà e tagliali lungo la mediana appena
individuata
Si ottengono così 12 fogli per i 12 moduli
del dodecaedro; su ogni foglio si trova un
mese stampato.
2° FASE:
Piegare lungo la mediana del lato
maggior
e
(median
a
minore)
lasciand
o
all’ester
no la parte con il mese stampato
3° FASE:
Riaprire.
Piegare i due lati minori sulla mediana
appena segnata e riaprire il foglio ad ogni
piega
Il foglio risulta diviso verticalmente in 4
parti uguali da 3 pieghe a valle
4° FASE:
Portare ogni vertice del rettangolo sul
piede della mediana situato sul lato
opposto
al
vertice
stesso.
Piegare
e
riaprire.
Procedendo in questo modo per tutti i
quattro vertici, il foglio viene ripartito in
vari settori e al centro si può osservare…
…il contorno della faccia rombica del
dodecaedro
5° FASE:
Tutte le pieghe fatte fin’ora sono pieghe a
valle. Ora è necessario “rovesciarne”
alcune e farle diventare pieghe a monte.
In particolare è necessario piegare
all’esterno la metà superiore destra e la
metà inferiore sinistra delle due pieghe
parallele alla mediana come nel disegno.
E’ importante rovesciare le “mezze
pieghe” nella posizione indicata (metà
superiore per quella di destra, metà
inferiore per quella di sinistra) altrimenti il
modulo risulterà piegato in maniera
sbagliata e non si incastrerà con gli altri in
fase di montaggio.
Questo passaggio è necessario per poter
chiudere più facilmente il pezzo…
6° FASE:
… Basta infatti prendere il modulo ai
vertici superiore destro e inferiore sinistro
e spingerli uno contro l’altro per chiudere
il pezzo su sé stesso
7° FASE:
Una volta chiuso il modulo, capovolgerlo
e piegare in avanti i due triangolini che si
vedono sporgere.
8° FASE:
Nascondere i due triangolini appena
piegati e piegare il modulo lungo le
parallele che completano il contorno della
faccia rombica e…
…spingere indietro le due alette, dal lato
opposto rispetto alla stampa del mese
Il modulo è completato.
Ora sono necessari altri 11 pezzi uguali a
quello appena descritto
…Per ripassare le fasi di piegatura…
…Un diagramma trovato in rete
L’assemblaggio
I 12 moduli che andranno a comporre il
rombododecaedro sono del tipo “taschina-aletta”
(o “maschio-femmina”).
Ciò significa che l’aletta di un pezzo deve essere
inserita nella taschina del modulo vicino.
Si incastrano insieme i primi tre moduli
(inserendo un’aletta di ogni pezzo nella taschina
degli altri) e si procede aggiungendo via via gli
altri 9 pezzi, curando di fare gli opportuni
abbinamenti di colore.
Il Rombododecaedro modulare finito…