Cenni di Topologia in R

1
Cenni di topologia in ℜ .
Sottoinsiemi di ℜ : INTERVALLI.
[a, b] := {x ∈ ℜ :
a ≤ x ≤ b} CHIUSO
(a, b ) := {x ∈ ℜ :
a < x < b} APERTO
(a, b]
né chiusi né aperti.
e
[a, b )
]a, b[
Definizione di INTORNO. Si definisce intorno di centro x0 e raggio δ > 0
{
l’insieme : I( x0 , δ ) := x ∈ ℜ :
x − x0 < δ } .
Definizione. Un punto x0 si dice interno all’insieme A (nel nostro caso A indica un
intervallo della retta reale) se esiste un suo intorno I( x0 , δ ) contenuto in A.
Un punto x0 si dice esterno ad A se è interno al complementare di A.
Un punto x0 si dice di frontiera per A se non è né interno né esterno ad A.
o
A = insieme dei punti interni ad A
∂A (oppure FA ) = insieme dei punti di frontiera per A
Osservazione:
o
- se x0 ∈ A ⇒ x0 ∈ A
o
- se x0 ∉ A(ed è esterno) ⇒ x0 ∉ A
- se
x0 ∈ ∂ A allora può aversi o x0 ∈ A oppure x0 ∉ A, in ogni caso ∀I( x0 )
contiene sia punti di A sia punti del complementare di A.
ESEMPIO
. A=(a,b) ogni punto di A è interno. a e b sono di frontiera
. A=[a,b) ogni punto di A, tranne a, è interno. a e b sono di frontiera.
. A=(a,+∞) ogni punto di A è interno. a è l’unico punto di frontiera.
2
Definizione. x0 è punto di accumulazione per A se in ∀I( x0 , δ ) esiste un punto di A
diverso da x0 ( cioè in ogni intorno di x0 esistono infiniti punti di A).
DA= derivato di A è l’insieme dei punti di accumulazione per A.
Osservazione.
- Se x0 ∈ DA allora può aversi x0 ∈ A oppure x0 ∉ A .
o
- Se x0 ∈ A ⇒ x0 ∈ DA .
Se x0 ∉ DA allora x0 si dice isolato.
Se DA = Φ (insieme vuoto) allora A si dice discreto. Es. A := {1,2,3,4}.
Se DA = A allora A si dice perfetto. Es A:=[a,b]
o
Definizione. A ⊆ ℜ è aperto se ogni x ∈ A è punto interno cioè se A = A .
A si dice chiuso se il suo complementare è aperto.
ℜ e Φ sono gli unici insiemi sia aperti che chiusi.
Definizione. Si definisce chiusura di A e si indica A , l’insieme: A ∪ ∂A .
A è chiuso ⇔ A = A .
Definizione. A ⊂ ℜ è limitato se ∃I(0, r) che lo contiene.
Teorema di Bolzano Weierstrass.
Ogni A ⊂ ℜ (in generale ℜ ) limitato e infinito, possiede almeno un punto di
accumulazione.
n
Un insieme chiuso e limitato in ℜ ammette massimo e minimo.
n
Definizione. A è limitato superiormente se ∃K ∈ ℜ :
Esempi:
(- ∞, 0) è limitato superiormente.
(0, + ∞) non è limitato superiormente.
x ≤ K,
∀x ∈ A .
3
Definizione. A è limitato inferiormente se ∃H ∈ ℜ :
x ≥ H,
∀x ∈ A .
Esempi.
(0, + ∞) è limitato inferiormente.
(- ∞, 0) non è limitato inferiormente.
(0,1] è limitato sia inferiormente (da 0) che superiormente (da 1).
Definizione. A è limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente.
Definizione. Si dice estremo superiore (analogamente estremo inferiore) di A e si
indica con sup A ( inf A ), il minimo ( massimo) dei maggioranti (minoranti) di
A, se esiste.
Il sup A e inf A se esistono sono unici.
Se sup A ∈ A ⇒ sup A = massimo di A
Se inf A ∈ A ⇒ inf A = minimo di A.
Definizione. P ∈ ℜ è maggiorante (minorante) per A se
i) P è confrontabile con ogni x ∈ A ,
ii) ∀x ∈ A si ha
x ≤ P, ( x ≥ P ) .