EQUAZIONI non LINEARI - Dipartimento di Matematica Tor Vergata

Transcript

EQUAZIONI non LINEARI
Francesca Pelosi
Dipartimento di Matematica, Università di Roma “Tor Vergata”
CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE
http://www.mat.uniroma2.it/∼pelosi/
EQUAZIONI non LINEARI – p.1/44
EQUAZIONI NON LINEARI
Data una funzione f : R → R consideriamo il problema di
determinare i valori x tali che
f (x) = 0
Tali valori sono solitamente chiamati zeri o radici della
funzione f .
Esempi:
Pn
− Equazioni algebriche: Pn (x) = i=0 ai xi = 0
√
x
2
x − log(x) = 3
− x + 4 sin(x) = 0, e + x = 0,
EQUAZIONI NON LINEARI
In generale non sono disponibili formule esplicite per la
determinazione delle radici di una funzione (per esempio
equazioni algebriche n > 4)
⇒
metodi iterativi
Tecniche che consentono di approssimare le soluzioni
con un prestabilito grado di precisione
A partire da una approssimazione iniziale x0 si
costruisce una successione x1 , x2 , . . . che, sotto
opportune ipotesi, risulta convergere alla radice
cercata
Procedimenti iterativi
Sia P un problema ed α una soluzione del problema P .
Supponiamo di utilizzare un procedimento iterativo per la
determinazione di α che genera una successione
{xi }i=0,1,... convergente ad α.
È importante tener presente tre questioni fondamentali:
1. Scelta del valore di innesco e convergenza
Supponiamo di considerare procedimenti iterativi
ricorrenti ad un passo xi+1 = φ(xi ) è necessario per
poter innescare il procedimento un punto di innesco x0
DEF: Un metodo converge localmente ad α se la convergenza
della successione {xi } dipende in modo critico dalla vicinanza di
x0 ad α. Il procedimento è globalmente convergente quando la
convergenza non dipende da quanto x0 è vicino ad α.
Per i metodi a convergenza locale la scelta del punto di
innesco è cruciale.
2.
Velocità di convergenza:
DEF: data una successione {xi } convergente ad un limite α, si
ponga ei := xi − α. Se esistono due numeri reali p e C tali che sia
|ei+1 |
lim
=C
p
i→∞ |ei |
si dice che la successione ha ordine di convergenza p e
fattore di convergenza C .
Per p = 1 la convergenza si dice lineare
Per p = 2 la convergenza si dice quadratica.
Nel caso p = 1 si deve necessariamente avere C < 1.
Un metodo iterativo è convergente di ordine p se tale è la
successione da esso generata.
3.
Criteri di arresto
Chiaramente non è possibile generare infinite iterate della
successione. Il procedimento dovrebbe arrestarsi quando
|ei | = |xi − α| < toll
Non disponendo della soluzione è necessario procurarsi
una stima di ei . Una possibile strategia è quella di
approssimare ei con |xi+1 − xi |. Si ottiene il criterio di
arresto assoluto
|xi+1 − xi | < tollA
Il criterio di arresto assoluto può fallire:
se tollA = 10−6 e |α| ' |xi | ' 10−12 tolleranza troppo grande
se tollA = 10−6 e |α| ' |xi | ' 1012
tolleranza troppo piccola
3.
... criteri di arresto
conviene usare un criterio di arresto relativo dato da
|xi+1 − xi |
< tollR
|xi+1 |
OSS: la tolleranza utilizzata nel criterio di arresto
relativo NON deve essere minore della precisione di
macchina, ma
tollR > εm
(due numeri macchina non possono avere distanza
relativa minore di εm )
3.
... criteri di arresto
Per equazioni non lineari si può anche utilizzare il
controllo del residuo:
|f (xi+1 )| ≤ toll
se |f 0 (α)| << 1: è inaffidabile
( |ei | potrebbe essere molto grande)
se |f 0 (α)| >> 1: troppo restrittivo
se |f 0 (α)| ' 1: produce un indicazione soddisfacente
Quando non si ha la certezza della bontà dei tests
(su xi e su f ), conviene includerli entrambi,
In pratica se il criterio di arresto funziona, non si ha la
soluzione α, ma solo una sua approssimazione
Metodo di bisezione
Il metodo di bisezione è il metodo iterativo più semplice
per approssimare gli zeri reali di una funzione.
Ipotesi:
1) f (x) continua nell’intervallo [a, b]
2) f (a)f (b) < 0
per il teorema degli zeri ammette almeno una soluzione α
di f (x) = 0, in (a, b).
Si procede suddividendo ad ogni passo l’intervallo [a, b] a
metà e determinando in quale dei due sottointervalli si
trova la soluzione, dimezzando così l’ampiezza
dell’intervallo che contiene α.
Metodo di bisezione
ALGORITMO
1. Si pone a0 := a e b0 := b
2. Per i = 0, 1, . . . , nmax si calcolano
ai + b i
,
xi :=
2
1. Se f (xi ) · f (ai ) < 0
2. Altrimenti se f (xi ) · f (bi ) < 0
3. altrimenti se f (xi ) = 0
e
⇒
⇒
⇒
f (xi )
ai+1 := ai , bi+1 := xi
ai+1 := xi , bi+1 := bi
xi := α
3. Il procedimento viene arrestato se per un indice i risulta
|f (xi )| ≤ toll e/o
|ai − bi | ≤ toll
Metodo di bisezione
α
a=a0
b=b0
Metodo di bisezione
α
a=a0
x0=a1
b=b0
=b1
Metodo di bisezione
α
a=a0
x0=a1
=a2
x1=b2
b=b0
=b1
Metodo di bisezione
Per costruzione ad ogni passo l’ampiezza dell’intervallo è
dimezzata, dopo n passi arriviamo all’intervallo [an , bn ] di
ampiezza:
bn−2 − an−2
bn−1 − an−1
b0 − a 0
=
bn − a n =
= ··· =
2
2
2
2n
n
Se come stima di α prendiamo xn = an +b
abbiamo
2
b0 − a 0
|en | = |xn − α| ≤ n+1
2
Se poniamo
2
n+1
b0 −a0
2n+1
≤ ε otteniamo n da
b0 − a 0
⇒ n ≥ log2
≥
ε
b0 − a 0
ε
−1
Metodo di bisezione
Il metodo di bisezione converge globalmente alla
soluzione con la sola ipotesi che f sia continua
nell’intervallo [a, b].
La convergenza è però lenta e questo costituisce il limite
del metodo: ad ogni passo si riduce l’errore di 1/2, per
ridurlo di 1/10 (1 cifra decimale) occorrono circa 3.3 passi.
Una spiegazione può essere ricercata nel fatto che non si
tiene conto dei valori della funzione ma soltanto dei segni.
Geometricamente il metodo costruisce ad ogni passo
l’approssimazione della radice calcolando l’intersezione
con le ascisse della retta passante per i punti
(a, segn f (a)) , (b, segn f (b))
Metodo della regula falsi
Un modo naturale per migliorare il metodo di bisezione è
quello di considerare anche i valori che la funzione
assume negli estremi dell’intervallo
Si prende come nuova approssimazione della soluzione
l’intersezione delle ascisse con la retta passante per
(a, f (a)) , (b, f (b))
(
y − f (a) =
(f (b)−f (a))
(x
b−a
y = 0,
− a),
da cui si ottiene
x = a − f (a)
(b − a)
f (b) − f (a)
Metodo della regula falsi
Il metodo risultante è noto come metodo della regula falsi
o della falsa posizione
1. Dato [a0 , b0 ] tale che f (a0 )f (b0 ) < 0
2. Finchè non sia verificato un criterio di arresto, poni
(bi − ai )
1. xi := ai − f (ai )
f (bi ) − f (ai )
2. Se f (xi ) · f (ai ) < 0
⇒ ai+1 := ai , bi+1 := xi
3. Altrimenti
⇒ ai+1 := xi , bi+1 := bi
4. i = i + 1
Il metodo genera una successione di intervalli in cui è
contenuta la radice: la scelta dell’intervallo in base al
segno della funzione, comporta una convergenza globale
è più veloce rispetto al metodi di bisezione, anche se in
generale [ai , bi ]i→∞ 6→ 0 pertanto il criterio di arresto
basato sull’ampiezza dell’intervallo non è applicabile.
Altre idee . . .
Data f (x), x0 f (x0 ): si approssima la funzione con una
retta per (x0 , f (x0 ))
y = f (x0 ) + m(x − x0 )
Si ottiene una versione linearizzata del problema f (x) = 0,
(
y = 0,
f (x0 )
da cui x1 = x0 −
m
y = f (x0 ) + m(x − x0 ),
In generale
xi+1 = xi −
f (xi )
mi
A seconda della scelta di mi si ottengono:
metodo delle corde (mi = m = costante),
metodo delle secanti e metodo di Newton
Metodo delle secanti
mi : coefficiente angolare della retta per (xi , f (xi )) e
(xi−1 , f (xi−1 ))
f (xi ) − f (xi−1 )
mi =
(xi − xi−1 )
(xi − xi−1 )
xi+1 = xi − f (xi )
f (xi ) − f (xi−1 )
Può essere visto come una variante della regula falsi in
cui sono richieste due approssimazioni iniziali senza
alcun’altra condizione e senza la necessità di controllare il
segno di f (x)
La convergenza del metodo è garantita se le
approssimazioni iniziali sono “abbastanza vicine” alla
radice α: convergenza locale
Metodo di Newton
mi : derivata prima di f in xi
mi = f 0 (xi )
xi+1 = xi −
f (xi )
f 0 (xi )
Geometricamente si prende come nuova
approssimazione l’intersezione delle ascisse con la retta
tangente a f in (xi , f (xi ))
Alla i−esima iterazione questo metodo richiede due
valutazioni funzionali
f (xi ), f 0 (xi )
L’aumento del costo computazionale è compensato dal
fatto che la convergenza (locale) è di ordine superiore al
primo. In generale è quadratica
Metodo di Newton
α
x
0
Metodo di Newton
α
x1
x
0
Metodo di Newton
α
x
2
x1
x
0
Metodo di Newton
α
x
3
x
2
x1
x
0
Metodi di iterazione funzionale
La ricerca degli zeri di una funzione f è ricondotta allo
studio dei punti fissi di un’opportuna funzione g :
f (α) = 0 ⇔ g(α) = α
La successione delle approssimazioni sarà definita
assegnto x0 come:
xi+1 = g(xi ),
i = 0, 1 . . .
La funzione di iterazione g non è unica e può essere
costruita nei modi più diversi, ma non tutti daranno luogo
a strumenti efficienti.
Bisogna studiare sotto quali condizioni la successione
delle iterate appartenga sempre al dominio di f e sia
convergente ad α.
Metodi di iterazione funzionale
EX: Corde
f (x)
f (x)
=0 ⇔ x−
=x
f (x) = 0 ⇔ −
m
m
f (x)
⇒ g(x) = x −
m
EX: Newton
f (x)
f (x)
=0 ⇔ x− 0
=x
f (x) = 0 ⇔ − 0
f (x)
f (x)
f (x)
⇒ g(x) = x − 0
f (x)
Metodo di iterazione funzionale
g(x)
α
x0
g(x)
α
x
1
x0
g(x)
α
x2
x
1
x0
g(x)
α
x x2
3
x
1
x0
α
x0
α
x1
x0
α
x1
x
2
x0
α
x1 x
3
x
2
x0
α
x1 x
3
x4 x2
x0
Convergenza
Risultato importante teoricamente, ma nella pratica è
difficile stabilire a priori l’intervallo in cui sono soddisfatte
le ipotesi.
TEO (Ostrowski): Sia α un punto fisso di g ∈ C 1 [α − ρ, α + ρ]. Se
|g 0 (x)| < 1, ∀x ∈ [α − ρ, α + ρ]
allora ∀x0 ∈ [α − ρ, α + ρ] la successione delle iterate generata da
g è tale che
1. xi → α unico punto fisso di g
2. xi ∈ [α − ρ, α + ρ]
DIM: Per ipotesi g è una contrazione per cui il punto fisso è
unico (si dimostra per assurdo).
Convergenza
Per dimostrare che la successione converge si considera
xi+1 − α = g(xi ) − g(α)
(Teo della media)
= g 0 (ηi )(xi − α)
dove ηi ∈ (α, xi ). Per 2. |g 0 (ηi )| < M < 1 per cui
|xi+1 − α| < M |xi − α| < · · · < M i+1 |x0 − α|
⇒ lim |xi+1 − α| = 0
i→∞
Inoltre dalla continuità di g 0 si ha
|xi+1 − α|
lim
= lim g 0 (ηi ) = g 0 (α)
i→∞ |xi − α|
i→∞
Convergenza
La convergenza può esserci in insiemi molto più grandi di
quelli in cui |g 0 (x)| < 1: condizione sufficiente,
convergenza locale
g(x)
α
α
x1 x
3
x4 x2
x0
−1 < g 0 (α) < 0:
convergenza alternata
x x2
3
x
1
x
0
0 < g 0 (α) < 1:
convergenza monotona
xi+1 − α = g 0 (ηi )(xi − α), con ηi ∈ (α, xi )
Convergenza
Se |g 0 (α)| > 1 allora |α − xi+1 | > |α − xi |:
locale divergenza
x
1
x
0
α
x
x1
0
x
3
x
2
g 0 (α) < −1
x
4
g 0 (α) > 1
Ordine di convergenza
Per i metodi di iterazione funzionale è possibile anche
dare una relazione tra ordine del metodo e molteplicità di
α rispetto a g 0
TEO: Sia α ∈ I (opportuno intervallo) punto fisso di g ∈ C p [I] con p ≥ 2.
Se per un punto x0 ∈ I la successione {xi } è convergente e se
g 0 (α) = g 00 (α) = · · · = g (p−1) (α) = 0 e g (p) (α) 6= 0
allora il metodo ha ordine di convergenza p e risulta
g (p) (α)
|xi+1 − α|
lim
=
p
i→∞ |xi − α|
p!
Ordine di convergenza
DIM:
Dallo sviluppo di Taylor si ha in generale
(tenuto conto che xi+1 = g(xi )):
xi+1 − α = g(xi ) − g(α)
(xi − α)2
+ ···
= g (α)(xi − α) + g (α)
2!
p−1
p
(x
(x
−
α)
−
α)
i
i
+ g (p) (ξ)
· · · + g (p−1) (α)
(p − 1)!
p!
0
00
dove ξ ∈ (xi , α). Quindi se valgono le hp del teorema si ha
la tesi.
A parità di ordine di convergenza p, quanto più piccola
g (p) (α)
p!
tanto più veloce sarà la
risulterà la quantità
convergenza delle iterate ad α.
Convergenza metodo di Newton
Il metodo di Newton può essere visto come un metodo di
iterazione funzionale con la funzione g data da
f (x)
g(x) = x − 0
f (x)
Osservando che se f ∈ C 2 e f 0 (α) 6= 0 (ovvero α radice
semplice)
f 00 (x)f (x)
0
g (x) =
⇒
g
(α) = 0
0
2
(f (x))
0
quindi il metodo è localmente sempre convergente e la
convergenza è almeno quadratica. Per radici doppie
(f 0 (α) = 0), o multiple in generale, la convergenza si
riduce a lineare.
Convergenza metodo di Newton
Risultati di convergenza globale
TEO:
Sia f ∈ C 2 [α, α + ρ] tale che
(i) f (x)f 00 (x) > 0 in (α, α + ρ]
(ii) f 0 (x) 6= 0 in (α, α + ρ]
allora ∀x0 ∈ (α, α + ρ] la successione originata dal metodo di
Newton DECRESCE monotonicamente ad α. Per gli intorni sinistri
[α − ρ, α] si ottiene una successione che converge in modo
monotono CRESCENTE ad α.
ESERCIZI
Esecizio 1.
Posto f (x)
= x8 − 2:
1) analizzare la convergenza di Newton per approssimare la radice positiva di f ;
√
√
8
1) f (x) = 0 ⇔
− 2 = 0, per x = ± 2, si studia la convergenza ad α = 8 2. Costruiamo
la g del metodo di iterazione funzionale associata ad f , consideriamo le derivate f 0 (x) = 8x7 ,
f 00 (x) = 56x6 :
x8
g(x)
0
=
g (x)
=
g 0 (α)
=
f (x)
7x8 + 2
x8 − 2
x− 0
=
= x−
f (x)
8x7
8x7
f (x)f 00 (x)
56x6 (x8 − 2)
7 x8 − 2
=
=
0
2
14
(f (x))
64x
8 x8
√
0 8
g ( 2) = 0 ⇒ convergenza locale
Vediamo se possiamo applicare il teorema di convergenza del metodo di Newton:
a) per (α, α + ρ] : si ha f (x)
> 0, f 00 (x) > 0 ∀x > α per cui f (x)f 00 (x) > 0, e inoltre
f 0 (x) 6= 0 ∀x > α ⇒ convergenza per x > α (monotona decrescente)
b) per [α − ρ, α) : si ha f (x)
< 0, f 00 (x) > 0 ⇒ l’ipotesi (i) del teorema non è soddisfatta.
Esecizio 1 (segue ...)
Studiamo |g 0 (x)|
<1⇔



Qunidi per
x>
8
7 x −2
8 x8
7 x8 −2
8 x8
q
8 14
15
< 1,
> −1

 ∀x,
q
q
⇔
 x < − 8 14 , x > 8 14
15
15
si ha la convergenza (Per il Teorema di Ostrowski la condizione
|g 0 (x)| < 1 deve essere verificata in un intorno di α, ma poichè per x > α si ha 0 < g 0 (x) < 1
la convergenza è monotona, posso estendere l’intorno a tutto (α, +∞))
2
250
1.8
Newton
Iterate
1.6
200
x =2
1.4
0
1.2
150
1
100
0.8
0.6
50
0.4
x =2
0.2
0
0.5
0
0
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
2) indicare quante iterazioni del metodo di bisezione sono necessarie per approssimare la radice positiva
di f con una precisione ε
<
2) Si vuol trovare k per cui |ek |
|ek |
≤
⇒
⇒
10−2 , considerando
[a, b] =
1
2
,
3
.
2
= |xk − α| < 10−2
|bk − ak |
b−a
= k+1 < 10−2
2
2
3
1
1
−
· k+1 < 10−2 ⇒ 2k+1 > 100
2
2
2
k > log2 (100) − 1 ' 5.64
⇒ almeno 6 iterazioni
Esecizio 2.
= x3 − 3x2 + 2x = 0 può immediatamente essere trasformata nel seguente
problema di punto fisso g(x) = x con g(x) = x3 − 3x2 + 3x. Analizzare la convergenza e l’ordine del
L’equazione f (x)
metodo delle iterate in un introrno delle 3 soluzioni.
f (x) = 0 ⇔ x3 − 3x2 + 2x = 0 ⇔ x(x − 1)(x − 2) = 0, per α = 0, β = 1, γ = 2.
g 0 (x) = 3x2 − 6x + 3, la convergenza è garantita in un intorno della soluzione se |g 0 (x)| < 1 :
g 0 (α)
=
g 0 (β)
=
g 0 (γ)
=
g 0 (0) = 3 ⇒ divergenza locale
g 0 (1) = 0 ⇒ convergenza locale (almeno di ordine p = 2)
g 0 (2) = 3 ⇒ divergenza locale
Analizziamo solo la convergenza per β
|g 0 (x)|
=
= 1 e studiamo dove vale |g 0 (x)| < 1 ⇔
|3(x − 1)2 | = 3(x − 1)2 < 1 ⇒ convergenza locale
1
1
per x ∈ 1 − √ , 1 + √
.
3
3
Inoltre
g 00 (x)
=
g 000 (x)
6x − 6 ⇒ g 00 (1) = 0 ⇒ convergenza almeno di ordine p = 3
=
6 6= 0 ⇒ convergenza esattamente di ordine p = 3.
Esecizio 3.
Studiare la convergenza del metodo di Newton applicato a f (x)
=
2
√
x3
3 3
+ x2 − 1.
a) Si fa uno studio della funzione per capire dove sono gli zeri:
f 0 (x)
con
=
√
x
2 2
√ x + 2x = 2x √ + 1 = 0, per x = 0, x = − 3,
3
3
√
√
f (0) = −1, f (− 3) = 0, ⇒ α = − 3 radice doppia
√
> 0 (f crescente) per x > 0 e x < − 3.
Si osserva che poichè per x > 0 la funzione è crescente con f (0) = −1 < 0 e
f (1) = √2 > 0 ⇒ c’è un ’altra radice β ∈ (0, 1), tale radice è semplice in quanto
f 0 (x)
3
f 0 (x)
6= 0, per x > 0. Studiamo la derivata seconda:
f 00 (x)
f 00 (x)
b)
=
> 0 (f convessa) per x > −
Convergenza a β
√
3
4
√ x+2=0 ⇔ x=−
2
3
√
3
.
2
∈ (0, 1): Per x > β si ha f (x) > 0 e f 00 (x) > 0 con f 0 (x) 6= 0 quindi per il
teorema del metodo di Newton si ha convergenza monotona decrescente. Da un esame grafico si
vede che la convergenza si può estendere ∀x0
> 0 (eventualmente dopo la prima iterazione).
L’ordine è almeno 2 in quando la radice è semplice.
Convergenza a β
∈ (0, 1)
18
18
16
16
14
14
12
12
10
10
8
8
6
6
4
4
x =0.2
2
0
−2
Convergenza ad α
2
0
−1
√
0
x0=3
0
1
2
−2
3
−1
= − 3: f (x) < 0 e f 00 (x) < 0 per x <
1
√0
− 23 con
2
3
f 0 (x) 6= 0 per x 6= α
√
quindi per il teorema sul metodo di Newton si ha convergenza monotona crescente in (−∞, − 3)
√
√
e monotona decrescente in (− 3, − 23 ). Da un esame grafico si vede che c’è convergenza
∀x0 < 0, eventualmente dopo la prima iterazione. Ordine p = 1 per radice doppia.
15
10
5
x =−4
0
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
Esecizio 4.
Assegnata l’equazione f (x)
=
5 3
x
2
−
15 2
x
2
+ 6x − 1 = 0 analizzare la convergenza del metodo di
Newton dopo un breve studio analitico dell’andamento della funzione.
Si ha:
f 0 (x)
=
f 0 (x)
>0
con
inoltre
- f 0 (x)
15 2
1
1
x − 15x + 6 = 0, per x1 = 1 − √ ' 0.5, x2 = 1 + √ ' 1.5
2
5
5
1
1
per x ∈ (−∞, 1 − √ ) ∪ (1 + √ , +∞)
5
5
1
1
7
7
f (x1 ) = √ '
, f (x2 ) = − √ ' − ,
16
16
5
5
lim f (x) = −∞, lim f (x) = +∞
x→−∞
x→+∞
> 0 (f crescente) per x < x1 e poichè f (x1 ) > 0 e f (0) = −1 < 0 ⇒ c’è una radice
semplice α ∈ (0, x1 ).
- f 0 (x) > 0 (f crescente) per x > x2 e poichè f (x2 ) < 0 e f (x) tende a +∞ per x che tende a
+∞ ⇒ c’è una radice semplice β ∈ (x2 , +∞).
- Inoltre poichè f (x1 )f (x2 ) < 0 c’è una terza radice γ ∈ (x1 , x2 ) = (1 − √1 , 1 + √1 ).
5
Studiamo la derivata seconda:
f 00 (x)
=
f 00 (x)
15x − 15 = 0 ⇔ x = 1, con f (1) = 0 ⇒ γ = 1
>
0 ⇔ x>1
5
a)
Convergenza ad α in (−∞, 1 − √1
5
): per x < α si ha f (x) < 0 e f 00 (x) < 0 con f 0 (x) 6= 0
quindi per il teorema sul metodo di Newton si ha convergenza monotona crescente per
x0 ∈ (−∞, α). L’ordine è almeno 2 in quando la radice è semplice. Per x > α si ha f (x) > 0
e f 00 (x) < 0, le ipotesi del teorema non sono soddisfatte.
b)
Convergenza a β in (1 + √1
5
, +∞): per x > β si ha f (x) > 0 e f 00 (x) > 0 con f 0 (x) 6= 0
quindi per il teorema sul metodo di Newton si ha convergenza monotona decrescente per
x0 ∈ (β, +∞). L’ordine è almeno 2 in quando la radice è semplice. Nel’intorno sinistro di β le
ipotesi del teorema non sono soddisfatte.
c)
Convergenza a γ
= 1 in (1 −
sono soddisfatte: per x
>1
√1 , 1
5
√1 ). Le condizioni del teorema sul metodo di Newton non
5
si ha f (x) < 0 e f 00 (x) > 0 mentre per x < 1 si ha f (x) > 0 e
+
f 00 (x) < 0. Quindi il teorema non può essere applicato.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
α
−0.2
γ
β
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
0.5
1
1.5
2
Esecizio 5.
= (ex − 1)2 = 0
i) analizzare la convergenza del metodo di Newton per approssimarne le radici e in caso di
convergenza determinare l’ordine.
ii) Stabilire se il metodo iterativo xi+1
affermativo determinarne l’ordine.
Si ha:
f (x)
=
f 0 (x)
=
f 0 (x)
>0
f 00 (x)
=
= g(xi ) con g(x) = x −
ex −1
è convergente e in caso
ex
(ex − 1)2 = 0, per x = 0 ⇒ α = 0, f (x) > 0 ∀x 6= 0
2ex (ex − 1) = 0 per x = 0 ⇒ α radice doppia
per x
>0
2ex (2ex − 1) = 0 per ex =
1
1
⇒ x = ln < 0
2
2
1
2
- in (0, +∞) : si ha f (x)f 00 (x) > 0 e f 0 (x) 6= 0 quindi per il teorema del metodo di Newton si ha
convergenza monotona decrescente ∀x0 ∈ (0, +∞)
- in (ln( 1
), 0) : si ha f (x)f 00 (x) > 0 e f 0 (x) 6= 0 quindi per il teorema del metodo di Newton si ha
2
convergenza monotona crescente ∀x0 ∈ (ln(1/2), 0) (o in ogni intervallo chiuso della forma [α − ρ, α)
contenuto in (ln(1/2), 0))
⇒ convergenza monotona ∀x0 > ln(1/2), del primo ordine in quanto la radice è doppia.
f 00 (x)
>0
per x
> ln
Esecizio 5.
= (ex − 1)2 = 0
affermativo determinarne l’ordine.
= g(xi ) con g(x) = x −
ex −1
è convergente e in caso
ex
2.5
y=f(x)
2
1.5
1
0.5
0
x0=1
−0.5
−1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ii) Sia il metodo delle iterate con:
ex − 1
g(x) = x −
e g(x) = x per α = 0,
ex
ex ex − ex (ex − 1)
1
0
g (x) = 1 −
=
1
−
ex ex
ex
g 0 (0) = 0 ⇒ convergenza locale (almeno) del secondo ordine
1
g 00 (x) =
6= 0 ∀x ⇒ (esattamente) del secondo ordine
ex
Analizzando la condizione |g 0 (x)| < 1 si trova che vale per x > ln(1/2) e quindi si ha convergenza in
ogni intorno di α contenuto in (ln(1/2), +∞)
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
y=g(x)
0.4
0.4
0.2
0.2
0
x =1
0
−0.2
0
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−0.8
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
Si nota graficamente convergenza anche per x0
y=g(x)
x =0.8
0
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
< ln(1/2).
Esecizio 6.
= e1−x − 1 = 0
= g(xi ) con g(x) = x + e1−x − 1 è convergente e in
caso affermativo determinarne l’ordine.
i) Si ha:
f (x)
=
f 0 (x)
=
f 00 (x)
=
- in (1, +∞) : si ha f (x)
e1−x − 1 = 0, per x = 1 ⇒ α = 1, f (x) > 0 per x < 1
−e1−x < 0, ∀x ⇒ α radice semplice
e1−x > 0 ∀x
< 0, f 00 (x) > 0 quindi il teorema del metodo di Newton non è applicaile
- in (−∞, 1) : si ha f (x)f 00 (x)
> 0 e f 0 (x) 6= 0 quindi per il teorema del metodo di Newton si ha
convergenza monotona crescente ∀x0 ∈ (−∞, 1) o in ogni intervallo chiuso della forma [1 − ρ, 1) ivi
contenuto (secondo ordine per radici semplici).
Esecizio 6.
= e1−x − 1 = 0
= g(xi ) con g(x) = x + e1−x − 1 è convergente e in
caso affermativo determinarne l’ordine.
1.5
y=f(x)
1
0.5
0
−0.5
−1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
ii) Sia il metodo delle iterate con:
g(x)
=
g 0 (x)
=
g 00 (x)
=
|g 0 (x)|
<
x + e1−x − 1 e g(x) = x per α = 1,
1 − e1−x = 0 per x = 1 = α ⇒ convergenza locale (almeno) del secondo ordine
e1−x 6= 0 ∀x ⇒ (esattamente) del secondo ordine
1 per x > 1 − ln(2) ' 0.3
quindi si ha convergenza in ogni intorno di α contenuto in (1 − ln(2), +∞)
2
2
1.8
1.8
1.6
1.6
y=g(x)
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
x =2
0
0
0
0.5
y=g(x)
1.4
1
1.5
x0=0
0
2
Si nota graficamente convergenza ∀x0
0
0.5
1
1.5
2
∈ R.

EQUAZIONI non LINEARI - Dipartimento di Matematica Tor Vergata

Transcript

Documenti analoghi

Un p`o di esercizi.

Esercizi sulle serie di potenze

Contenuto interattivo e convergenza: implicazioni per la società dell

Metodi Numerici e Modelli Matematici

Paura di guidare? Può dipendere dalla vista

http://ariel.ctu.unimi.it/corsi/mateassistita http://users.mat.unimi.it

Prog. form. Matinfo 12

INSUFFICIENZA DI CONVERGENZA

Calcolo Scientifico