come trovare il dominio di una funzione

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COME TROVARE IL DOMINIO
DI UNA FUNZIONE
Ebook con spiegazioni, esempi,
numerosi esercizi
con risoluzione commentata
Mariairene Guagnini
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Prima edizione: gennaio 2014
Sito web: www.mathematice.it
Contatti: [email protected]
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INDICE
Schema generale condizioni di esistenza funzioni di variabile reale pag. 4
Come si trova il dominio di una funzione. Alcune indicazioni pag. 7
Esercizi di base
pag 10
Risultati degli esercizi di base
pag 11
Svolgimento degli esercizi di base pag 14
Esercizi
pag 18
Risultati degli esercizi
pag 20
Svolgimento degli esercizi
pag 24
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SCHEMA GENERALE
CONDIZIONI DI ESISTENZA
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
indice
● funzioni polinomiale. Nessuna condizione
x 3−4 x8 ;
esempi:
y=−4 x 4−√ 3 x+π ;
3 x−2
f  x = 3
 5−1
Esistono per ogni valore reale di x.
● funzioni razionali fratte. Condizione esistenza: denominatore ≠ 0
esempio :
y=
2 x−3
2
. Condizione di esistenza: 2−5 x≠0  x≠
2−5 x
5
● radici di indice pari. Condizione esistenza: radicando ≥ 0
esempio :
f  x = 2 x 3 . Condizione di esistenza: 2 x 3≥0  x ≥−
● radici di indice dispari. Nessuna condizione
esempio :
5
y= 2 x3 . Esiste per ogni valore reale di x.
● valore assoluto. Nessuna condizione
esempio :
2
y=∣4−x ∣ . Esiste per ogni valore reale di x.
3
2
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● esponenziali a base costante maggiore di zero. Nessuna condizione
esempio :
y=2
x
. Esiste per ogni valore reale di x.
● esponenziali a base variabile. Condizione esistenza: base > 0
esempio :
2
y= x−2x −3 x . Condizione di esistenza:
x−20 x2
● logaritmi a base costante positiva e diversa da 1. Condizione esistenza: argomento > 0
esempio :
f  x =log 2 5 x  3 . Condizione di esistenza:
3
5 x 30 x− 
5
● logaritmi a base variabile. Condizioni di esistenza: argomento > 0 ˄ base > 0 ˄ base ≠ 1.
esempio :
y=log x−2 x .
Condizioni di esistenza:
{
x>0
x−2>0 →
x −2≠1
{
x>0
x>2 → 2<x <3∨x >3
x ≠3
● seno, coseno. Nessuna condizione
esempi :
f (x )=sin(2 x+π)
y=cos 3 x  . Esistono per ogni valore reale di x.
● tangente (con argomento in radianti).
Condizione di esistenza: argomento≠ π +k π con k ∈ℤ (cioè k =0,±1,±2,... )
2
esempio: tan (2 x + π ) .
3
Condizione di esistenza: 2 x+ π ≠ π +k π → 2 x≠ π +k π → x≠ π +k π k ∈ℤ
3 2
6
12
2
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● cotangente (con argomento in radianti).
Condizione di esistenza: argomento≠k π con k ∈ℤ (cioè k =0,±1,±2,... )
esempio: cot( 2 x+ π ) .
4
Condizione di esistenza: 2 x+ π ≠k π → 2 x≠− π +k π → x≠− π +k π k ∈ ℤ
4
4
8
2
● arcoseno, arcocoseno. Condizioni di esistenza −1≤argomento≤1 cioè
{argomento≥−1
argomento≤1
esempio: arcsin 3− x
Condizioni di esistenza
3−x≥−1 → −x≥−4 → x≤4 → 2≤ x≤4
{3−
{−x≤−2 {x≥2
x≤1
● arcotangente, arcocotangente. Nessuna condizione.
esempio :
y=arctan 3−x  . Esiste per ogni valore reale di x.
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COME SI TROVA IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE
ALCUNE INDICAZIONI
indice
Il dominio (campo di esistenza / insieme di definizione) di una funzione
f (x ) è l'insieme dei
valori x per cui esiste la funzione.
Generalmente si deve trovare il dominio di una funzione formata a partire da più funzioni base.
Esempi:
y=sin x+ln x (somma di due funzioni)
y=ln(sin x) (composizione di due funzioni)
● Casi frequenti
Funzione
Dominio della funzione
f (x )±g ( x)
Dominio f (x ) ∩ Dominio g ( x)
f ( x )⋅g ( x )
Dominio f ( x ) ∩ Dominio g ( x)
k⋅ f ( x) con k ≠0
Dominio f ( x )
f ( x)
g (x)
Dominio f ( x ) ∩ Dominio g ( x) ∩ { x ∈ℝ: g (x )≠0 }
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● Funzioni composte.
Occorre analizzare la funzione come negli esempi seguenti.
Esempio 1.
y=√ ln x
Lo schema di composizione è
Le condizioni di esistenza sono
Esempio 2.
logaritmo
radice
x → ln x →
√ ln x .
esistenza logaritmo
{x>0
ln x≥0 esistenza radice
y=ln (arcsin x)
Lo schema di composizione è
Le condizioni di esistenza sono
arcoseno
logaritmo
x → arcsin x → ln(arcsin x ) .
x≤1 esistenza arcoseno
{−1≤
arcsin x>0 esistenza logaritmo
● Consigli importanti.
(1) Non modificare la funzione senza aver prima posto tutte le condizioni di esistenza.
Esempio 3: il dominio della funzione
f (x )=log( x −2)+log( x+3) è
D=(2 ;+∞) .
Se, prima di trovare il dominio, applico la prima proprietà dei logaritmi ottengo
f ( x )=log [( x−2)( x+3)] e
posso
erroneamente
pensare
che
il
dominio
sia
D=(−∞;−3)∪(2 ;+∞)
(2) Scrivere prima, con cura, tutte le condizioni di esistenza e solo successivamente svolgere i
calcoli relativi a tali condizioni.
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● Esempi
Esempio 5. log 3 x  2−x
La funzione data è la somma di due funzioni: il logaritmo e la radice quadrata.
3 x>0 esistenza logaritmo → x>0
→ {x>0 → 0<x≤2
{2−x≥0
{
esistenza radice
−x ≥−2
x≤2
NB. Attenzione agli “ = ” .
Esempio 6.
f  x =
 3−x
x 2−3 x
La funzione data è il rapporto di una radice quadrata e di un polinomio
{
3− x≥0
esistenza radice →
2
x −3 x≠0 esistenza frazione
Esempio 7.
f  x =

x≥3
→ x>3
{x≠0∧x≠3
3−x
x−5
La funzione data è la radice quadrata di una frazione.
{
3−x
≥0 esistenza radice →
x−5
x−5≠0 esistenza frazione
→ 3≤ x<5
{3≤x<5
x≠5
Osservazione sulla definizione di dominio
Nella ricerca del dominio occorre fare attenzione al caso in cui la funzione ha delle limitazioni
nella definizione.
Esempio 8.
E' data la funzione
{
f ( x )=x 2 −4 x
. Il polinomio esiste sempre, ma ci sono le condizioni
1≤x<3
aggiuntive nella definizione della funzione. Quindi il dominio è
D=[ 1;3 ) .
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ESERCIZI DI BASE
indice
Svolgere da ciascuno dei seguenti esercizi, controllando i risultati e gli svolgimenti proposti dal
testo.
3
1)
y= x 2 −4
risultato esercizio 1
svolgimento esercizio 1
2)
y= x − 2− x
risultato esercizio 2
svolgimento esercizio 2
3)
2−x
√ x +3
risultato esercizio 3
svolgimento esercizio 3
4)
y=√ 2−√ 1−x
risultato esercizio 4
svolgimento esercizio 4
5)
y=sin √4 x
risultato esercizio 5
svolgimento esercizio 5
6)
y=
risultato esercizio 6
svolgimento esercizio 6
7)
y=tan( x −4)
risultato esercizio 7
svolgimento esercizio 7
8)
y=∣sin x∣
risultato esercizio 8
svolgimento esercizio 8
9)
y=
√x
∣x−2∣
risultato esercizio 9
svolgimento esercizio 9
sin x
cos( 2 x− π )
4
2
10)
y=ln (x −3 x )
risultato esercizio 10
svolgimento esercizio 10
11)
y=cot (π x )
risultato esercizio 11
svolgimento esercizio 11
risultato esercizio 12
svolgimento esercizio 12
12) arccos( x 2−3)
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RISULTATI DEGLI ESERCIZI DI BASE
indice
Risultato esercizio 1
La funzione
3
y= x 2 −4 esiste per ogni valore di
svolgimento esercizio 1
x ∈ℝ .
D=ℝ .
esercizi di base
Risultato esercizio 2
La funzione
y=√ x− √ 2−x esiste per 0≤x≤2 .
svolgimento esercizio 2
D=[ 0 ;2] .
esercizi di base
Risultato esercizio 3
La funzione
2−x
esiste per
 x3
svolgimento esercizio 3
x>−3 .
D=(−3 ;+∞ ) .
esercizi di base
Risultato esercizio 4
La funzione
y= 2− 1− x esiste per −3≤x≤1 .
svolgimento esercizio 4
D=[−3 ;1] .
esercizi di base
Risultato esercizio 5
La funzione
y=sin 4 x esiste per
svolgimento esercizio 5
x≥0 .
esercizi di base
D=[ 0 ;+∞ ) .
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Risultato esercizio 6
La funzione
y=
sin x
cos( 2 x− π ) esiste per
4
svolgimento esercizio 6
3
3
x≠ π+k π , k ∈ℤ . ℝ ∖{ π+k π , k ∈ℤ }
8
2
8
2
esercizi di base
Risultato esercizio 7
La funzione
y=tan x−4 esiste per
svolgimento esercizio 7
x≠4+ π +k π, k ∈ℤ
2
π
. ℝ ∖{ 4+ 2 +k π , k ∈ ℤ}
esercizi di base
Risultato esercizio 8
La funzione
y=∣sin x∣ esiste per ogni valore di
svolgimento esercizio 8
x ∈ℝ .
D=ℝ .
esercizi di base
Risultato esercizio 9
La funzione
y=
 x esiste per 0≤x2∨x 2 .
∣x −2∣
svolgimento esercizio 9
D=[ 0 ;2 )∪( 2 ;+∞ ) .
esercizi di base
Risultato esercizio 10
La funzione
2
y=ln  x −3 x  esiste per
svolgimento esercizio 10
x0∨ x3 .
esercizi di base
D=(−∞ ;0 )∪( 3;+∞ ) .
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Risultato esercizio 11
La funzione
y=cot (π x ) esiste per
svolgimento esercizio 11
x≠k , k ∈ℤ .
D=ℝ∖ ℤ
esercizi di base
Risultato esercizio 12
La funzione arccos x 2−3 esiste per −2≤ x≤− 2∨  2≤ x≤2 .
D=[−2 ;− √ 2 ]∪[ √ 2; 2 ] .
svolgimento esercizio 12
esercizi di base
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SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI DI BASE
indice
Svolgimento esercizio 1
La funzione
3
y= x 2 −4 è la radice cubica di un polinomio. Il polinomio non ha condizioni di
esistenza; la radice cubica è di indice dispari e quindi non presenta condizioni di esistenza. Il
dominio (campo di esistenza / insieme di definizione) è quindi formato da tutti i numeri reali.
D=ℝ .
esercizi di base
Svolgimento esercizio 2
Per la funzione
y= x−  2− x dobbiamo prendere in esame l'esistenza delle due radici
quadrate:
x≥0
{2−x≥0
→
x≥0
{−x≥−2
→
→
{x≥0
x≤2
0≤x≤2 → D=[0 ;2]
.
esercizi di base
Svolgimento esercizio 3
Per la funzione
2− x
dobbiamo prendere i esame l'esistenza della radice quadrata e il fatto
 x3
che il denominatore deve essere diverso da zero:
{√x+3≥0
x+3≠0
→
esercizi di base
x ≥−3
{x+3≠0
→
{x≥−3
x≠−3
→
x−3 → D=(−3 ;+∞ ) .
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Svolgimento esercizio 4
Per la funzione
y= 2− 1− x dobbiamo considerare l'esistenza delle due radici quadrate:
−x≥−1
→ {
{1−2−x≥0
1−x≥0
−√1− x≥−2
√
x≤1
→ −3≤x≤1 →
{x≥−3
→
{√x≤1
1−x ≤2
→
{1−x≤1x≤4
→
x≤1
{−x≤3
→
D=[−3;1] .
esercizi di base
Svolgimento esercizio 5
Per la funzione
y=sin 4 x l'unica condizione che dobbiamo considerare è quella dell'esistenza
della radice (perché ha indice pari):
x≥0 .
D=[ 0 ;+∞ ) .
esercizi di base
Svolgimento esercizio 6
Per la funzione
y=
sin x
cos( 2 x− π ) l'unica condizione è quella del denominatore diverso da zero
4
(seno e coseno esistono perché hanno come argomento un polinomio):
cos (2 x− π )≠0 →
4
2 x≠
3π
+k π , k ∈ℤ →
4
esercizi di base
2 x− π ≠ π +k π , k ∈ℤ →
4 2
x≠
2 x≠ π + π +k π , k ∈ℤ →
4 2
3π
3
+k π , k ∈ℤ → ℝ ∖{ π+k π , k ∈ℤ } .
8
2
8
2
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Svolgimento esercizio 7
y=tan x−4 dobbiamo prendere in esame l'esistenza della tangente:
Per la funzione
x−4≠ π +k π , k ∈ℤ →
2
x≠4+ π +k π , k ∈ℤ → ℝ ∖{ 4+ π +k π , k ∈ ℤ} .
2
2
esercizi di base
Svolgimento esercizio 8
Data la funzione
y=∣sin x∣ , sin x esiste per ogni x e il valore assoluto non richiede
condizioni di esistenza → la funzione in esame esiste per ogni
x ∈ℝ .
D=ℝ .
esercizi di base
Svolgimento esercizio 9
Per la funzione
y=
x
∣x−2∣
dobbiamo considerare le condizioni dell'esistenza della radice
quadrata e e del denominatore diverso da zero:
{∣x≥0
x−2∣≠0
→
x≥0
{x−2≠0
→
→
{x≥0
x≠2
0≤x2∨x2 → D=[ 0 ;2 )∪( 2 ;+∞ ) .
esercizi di base
Svolgimento esercizio 10
Per la funzione
x 2−3 x0 →
esercizi di base
y=ln  x 2−3 x  dobbiamo porre la condizione di esistenza de logaritmo:
x0∨ x3 → D=(−∞ ;0 )∪( 3;+∞ ) .
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Svolgimento esercizio 11
Per la funzione
y=cot (π x ) dobbiamo porre la condizione di esistenza della cotangente:
π x≠k π, k ∈ℤ →
x≠k , k ∈ℤ → D=ℝ∖ ℤ .
esercizi di base
Svolgimento esercizio 12
Per la funzione arccos x 2−3 dobbiamo porre la condizione di esistenza dell'arcocoseno:
2
−1≤x −3≤1 →
{
2
x −3≥−1
→
2
x −3≤1
{
2
x ≥2
→
2
x ≤4
x≤−√ 2∨x≥ √ 2
{−2≤x≤2
−2≤ x≤− 2∨ 2≤x≤2 → D=[−2 ;−  2 ]∪[  2 ;2 ] .
esercizi di base
→
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ESERCIZI
indice
Svolgere da ciascuno dei seguenti esercizi, controllando i risultati e gli svolgimenti proposti dal
testo.
3
13)
x −x+3
y=arctan
2
x
14)
y=
15)
y=
risultato esercizio 13
svolgimento esercizio 13
log 0.5 x
log 0.5 x−1
risultato esercizio 14
svolgimento esercizio 14
x+3
2−√ x−1
risultato esercizio 15
svolgimento esercizio 15
16)
y=(2− x)(1−√ x)
risultato esercizio 16
svolgimento esercizio 16
17)
y=log 2∣3−x∣
risultato esercizio 17
svolgimento esercizio 17
18)
y=ln (e −2 e +1)
risultato esercizio 18
svolgimento esercizio 18
19)
y=ln (ln ( x))
risultato esercizio 19
svolgimento esercizio 19
20)
y=ln x
risultato esercizio 20
svolgimento esercizio 20
21)
y=log x (2−x )
risultato esercizio 21
svolgimento esercizio 21
2x
2
x
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22)
y=log x∣2−x∣
risultato esercizio 22
svolgimento esercizio 22
23)
y=√ tan x
risultato esercizio 23
svolgimento esercizio 23
24)
2−4 x
y= √ x x
4 −2
risultato esercizio 24
svolgimento esercizio 24
risultato esercizio 25
svolgimento esesercizio 25
2 ln x−5
risultato esercizio 26
svolgimento esercizio 26
√log 0.5 x
2 √ log 0.5 x−5
risultato esercizio 27
svolgimento esercizio 27
28) y=arcsin (log 1 x)
risultato esercizio 28
svolgimento esercizio 28
29) y=arcsin x−arccos(1−2 x 2)
risultato esercizio 29
svolgimento esercizio 29
30) y=ln ( √ x+1−( x−1))
risultato esercizio 30
svolgimento esercizio 30
risultato esercizio 31
svolgimento esercizio 31
risultato esercizio 32
svolgimento esercizio 32
25) y=
26)
4 x −2 x
√ 2−4 x
y=
27) y=
√ ln x
2
31) y=
sin x
sin 2 x
32) y=
x −sin x
2
x −cos x
2
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RISULTATI DEGLI ESERCIZI
indice
Risultato esercizio 13
La funzione
y=arctan
svolgimento esercizio 13
x3 −x+3
esiste per
x2
x≠0 .
D=ℝ∖ { 0}=(−∞ ;0 )∪( 0;+∞ ) .
esercizi
Risultato esercizio 14
La funzione
y=
log 0.5 x
esiste per 0<x<0.5∨x>0 .
log 0.5 x−1
svolgimento esercizio 14
D=( 0 ;0.5 )∪( 0.5 ;+∞ ) .
esercizi
Risultato esercizio 15
La funzione
y=
x+3
esiste 1≤x <5∨x >5 .
2−√ x−1
svolgimento esercizio 15
D=[ 1;5 )∪( 5;+∞ ) .
esercizi
Risultato esercizio 16
La funzione
y=(2− x)(1−√ x) esiste per 0≤x<2 . D=[ 0 ;2 ) .
svolgimento esercizio 16
esercizi
Risultato esercizio 17
La funzione
y=log 2∣3−x∣ esiste per
svolgimento esercizio 17
esercizi
x≠3 . D=ℝ∖ { 3}=(−∞ ;3 )∪( 3 ;+∞ ) .
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Risultato esercizio 18
La funzione
2x
x
y=ln (e −2 e +1) esiste per
svolgimento esercizio 18
x≠0 .
D=ℝ∖ { 0}=(−∞ ;0 )∪( 0;+∞ ) .
esercizi
Risultato esercizio 19
La funzione
y=ln (ln ( x)) esiste per
svolgimento esercizio 19
x>1 .
D=( 1 ;+∞ ) .
esercizi
Risultato esercizio 20
La funzione
2
y=ln x esiste per
svolgimento esercizio 20
x>0 .
D=( 0 ;+∞ ) .
esercizi
Risultato esercizio 21
La funzione
y=log x (2−x ) esiste per 0<x<1∨1<x<2 .
svolgimento esercizio 21
D=( 0 ;1 )∪( 1; 2 ) .
esercizi
Risultato esercizio 22
La funzione
y=log x∣2−x∣ esiste per 0<x<1∨1<x<2∨ x>2 .
D=( 0 ;1 )∪( 1; 2 )∪( 2;+∞ ) .
svolgimento esercizio 22
esercizi
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Risultato esercizio 23
La funzione
y=√ tan x esiste per 0+k π≤ x< π +k π , k ∈ ℤ .
2
svolgimento esercizio 23
esercizi
Risultato esercizio 24
La funzione
2−4 x
y= √ x x esiste per
4 −2
x<0∨0<x≤
1
1
. D=(−∞ ;0 )∪( 0; ] .
2
2
esercizi
Risultato esercizio 25
La funzione
y=
4 x −2 x
esiste per
√ 2−4 x
x<
1
.
2
1
D=(−∞ ; ) .
2
esercizi
Risultato esercizio 26
ln x
La funzione y= √
2 ln x−5
esiste per
x≥1∧x≠e
5
2
.
5
2
D=[ 1;e )∪( e ;+∞ ) .
esercizi
Risultato esercizio 27
La funzione
25
y=
√log 0.5 x
2 √ log 0.5 x−5
25
25
esiste per 0<x<0.5 4 ∨0.5 4 <x≤1 .
25
D=( 0 ;0.5 4 )∪( 0.5 4 ;1 ] .
esercizi
5
2
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Risultato esercizio 28
La funzione
y=arcsin (log 1 x) esiste per
2
1
≤x≤2 .
2
1
D=[ ; 2] .
2
esercizi
Risultato esercizio 29
La funzione
y=arcsin x−arccos(1−2 x 2) esiste per −1≤x≤1 .
D=[−1 ;1 ] .
esercizi
Risultato esercizio 30
La funzione
y=ln ( √ x+1−( x−1)) esiste per −1≤x<3 .
D=[−1 ;3 ) .
esercizi
Risultato esercizio 31
La funzione
y=
sin x
esiste per
sin 2 x
x≠k π , k ∈ℤ . ℝ ∖{ k π , k ∈ℤ}
2
2
esercizi
Risultato esercizio 32
La funzione
esercizi
y=
x 2−sin x
esiste per
2
x −cos x
x≠±α con α≈0.8241 .
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SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI
indice
Svolgimento esercizio 13
La funzione
frazione
x
→
y=arctan
x 3−x+3
x2
x3 −x+3
è composta nel seguente modo:
x2
arcotangente
→
arctan
x 3−x+3
.
x2
L'arcotangente esiste sempre (se esiste l'argomento), quindi l'unica condizione è relativa
all'esistenza della frazione: denominatore≠0 → x 2≠0 → x≠0 →
D=ℝ∖ { 0}=(−∞ ;0 )∪( 0;+∞ ) .
esercizi
Svolgimento esercizio 14
La funzione
y=
log 0.5 x
è costituita dal rapporto di due espressioni, in cui compare lo stesso
log 0.5 x−1
logaritmo. Dobbiamo quindi considerare l'esistenza di questo logaritmo e porre il denominatore
della frazione diverso da zero.
{
x>0
esistenza logaritmo
log 0,5 x−1≠0 denominatore≠0 →
x>0
{x≠0.5
esercizi
{
x>0
log 0.5 x≠1 →
{
x>0
log 0.5 x≠log 0.5 0.5 →
→ 0<x<0.5∨x>0 → D=( 0 ;0.5 )∪( 0.5 ;+∞ ) .
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Svolgimento esercizio 15
La funzione
y=
x+3
è costituita dal rapporto di due espressioni e nel denominatore
2−√ x−1
compare una radice quadrata.
esistenza radice
x≥1
x≥1
→ {
→ {
{x−1≥0
x−1≠4
2−√ x−1≠0 denominatore≠0
√ x−1≠2
→
→ D=[ 1;5 )∪( 5;+∞ ) .
{x≥1
x≠5
→
1≤x <5∨x >5
esercizi
Svolgimento esercizio 16
La funzione
y=(2− x)(1−√ x) è un'esponenziale con base variabile. La base è un polinomio,
l'esponente contiene una radice quadrata.
x>0 cond. base esponenziale
{2−
x≥0
esistenza radice
→
{x<2
x≥0
→ 0≤x<2 → D=[ 0 ;2 ) .
esercizi
Svolgimento esercizio 17
Lo schema di composizione della funzione
x
polinomio
→
3−x
valore assoluto
→
∣3−x∣
logaritmo
→
y=log 2∣3−x∣ è:
log 2∣3−x∣ .
Polinomio e valore assoluto di polinomio non richiedono condizioni, quindi dobbiamo porre solo
la condizione di esistenza del logaritmo:
∣3−x∣>0 → 3− x≠0 →
esercizi
x≠3 → D=ℝ∖ { 3}=(−∞ ;3 )∪( 3 ;+∞ ) .
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Svolgimento esercizio 18
Data la funzione
2x
x
y=ln (e −2 e +1) , i due esponenziali esistono per ogni x, quindi dobbiamo
porre solo la condizione di esistenza del logaritmo:
e 2 x −2 e x +1>0 → (e x −1)2>0 → e x −1≠0 → e x ≠1 → e x ≠e 0 →
x≠0 →
D=ℝ∖ { 0}=(−∞ ;0 )∪( 0;+∞ ) .
esercizi
Svolgimento esercizio 19
Lo schema di composizione della funzione
x
logaritmo
→
ln x
logaritmo
→
y=ln (ln ( x)) è :
ln(ln x ) .
Dobbiamo porre le condizioni di esistenza dei due logartimi
{lnx>0x>0
esistenza primo logaritmo
→
esistenza secondo logaritmo
{lnx>0x>ln 1
→
{x>0
x >1
→
x>1 →
D=( 1 ;+∞ ) .
esercizi
Svolgimento esercizio 20
Lo schema di composizione della funzione
x
logaritmo
→
ln x
quadrato
→
2
( ln x)
2
y=ln x è:
.
L'unica condizione che dobbiamo porre è quella relativa all'esistenza del logaritmo ( il quadrato
esiste sempre se esiste la sua base):
esercizi
x>0 → D=( 0 ;+∞ ) .
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Svolgimento esercizio 21
La funzione
y=log x (2−x ) è un logaritmo, a base variabile, di un polinomio.
x≠1
cond. base logaritmo
{x>0∧
2− x>0 cond. argomento logaritmo
x≠1
{x>0∧
x<2
→
→ 0<x<1∨1<x<2 →
D=( 0 ;1 )∪( 1; 2 ) .
esercizi
Svolgimento esercizio 22
La funzione
y=log x∣2−x∣ è un logaritmo a base variabile.
x≠1
cond. base logaritmo
{∣x>0∧
2− x∣>0 cond. argomento logaritmo
→
x≠1
{x>0∧
2− x≠0
→
x≠1
{x>0∧
x≠2
→
0<x<1∨1<x<2∨ x>2 → D=( 0 ;1 )∪( 1; 2 )∪( 2;+∞ ) .
esercizi
Svolgimento esercizio 23
Lo schema di composizione della funzione
x
tangente
→
tan x
radice quadrata
→
y=√ tan x è:
√ tan x .
x≠ π +k π , k ∈ℤ esistenza tangente
2
→
tan x≥0
cond. esistenza radice
{
0+k π≤ x< π +k π ,
2
video tan(x)>=0
esercizi
k ∈ℤ .
x≠ π +k π , k ∈ℤ
2
0+k π≤x< π +k π ,
2
{
D={ x ∣ k π≤ x< π +k π ,
2
k ∈ℤ}
k∈ℤ
→
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Svolgimento esercizio 24
La funzione
2−4 x
y= √ x x è il rapporto di due espressioni e il numeratore presenta una radice
4 −2
quadrata. Gli esponenziali presenti esistono per ogni x.
{
2−4 x ≥0
4 x −2 x ≠0
{
1
2 →
x≠0
x≤
esistenza radice quadrata
→
denominatore diverso da zero
x<0∨0<x≤
{
4 x ≤2
→
4 x ≠2 x
{
22 x ≤21
→
2 2 x ≠2 x
{22 xx≤1
≠x
→
1
1
→ D=(−∞ ;0 )∪( 0; ] .
2
2
esercizi
Svolgimento esesercizio 25
x
La funzione
x
4 −2
è il rapporto di due espressioni e il denominatore presenta una radice
y=
√ 2−4 x
quadrata. Gli esponenziali presenti esistono per ogni x.
{
x
2−4 ≥0
2−4 x ≠0
2x
1
2 <2
esercizi
esistenza radice quadrata
→
condizione denominatore
→ 2 x<1 → x<
{
x
2−4 ≥0
→ 2−4 x >0 → 4 x <2 →
x
2−4 ≠0
1
1
→ D=(−∞ ; ) .
2
2
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Svolgimento esercizio 26
La funzione
y=
√ ln x
2 ln x−5
è il rapporto di due espressioni, il denominatore presenta una radice
quadrata e compare due volte ln x .
{
x>0
condizione esistenza logaritmo
ln x≥0
condizione esistenza radice →
2 ln x −5≠0 condizione denominatore
{
x>0
x≥1
5
→
ln x≠ln e 2
{
x >0
x≥1
5
→
x>0
ln x≥ln 1
→
5
ln x≠
2
{
{
5
ln x≠ ln e
2
5
5
5
x>0
x ≥1
→
x≥1∧x≠e 2 → D=[ 1;e 2 )∪( e 2 ;+∞ ) .
x≠e 2 ≈12.18
esercizi
Svolgimento esercizio 27
La funzione
y=
√log 0.5 x
2 √ log0.5 x−5
è un rapporto e compare due volte
{
x>0
condizione esistenza logaritmo
log 0.5 x≥0
condizione esistenza radice →
2 √ log 0.5 x−5≠0 condizione denominatore
{
x>0
x≤1
(base minore di 1)
→
25
log 0.5 x≠
4
{
x>0
x ≤1
{
25
4
25
4
x≠0.5 ≈0,013
esercizi
25
4
.
{
x >0
x≤1
log 0.5 x≠
√ log 0.5 x
25
log0.5 0.5
4
x >0
log 0.5 x≥log 0.5 1
→
5
log
x≠
√ 0.5 2
→
{
x>0
x≤1
log 0.5 x≠log 0.5 0.5
25
4
25
4
25
4
→ 0<x<0.5 ∨0.5 <x≤1 → D=( 0 ;0.5 )∪( 0.5 ;1 ] .
→
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Svolgimento esercizio 28
y=arcsin ( log 1 x) è:
Lo schema di composizione della funzione
2
x
logaritmo
log 1 x
→
arcoseno
arcsin (log 1 x) .
→
2
{
2
x>0
−1≤log 1 x≤1
{
esistenza logaritmo
condizione arcoseno →
2
x>0
1 −1
log 1 x≥log 1 ( )
2
→
2
2
1
x≥
2
{
x>0
1 −1
x≤( )
→
2
1
x≥
2
{
x>0
log 1 x ≥−1
2
→
log 1 x≤1
2
{
x>0
1
2 →
2
2
1
log 1 x≤log 1
2
2
2
log 1 x ≥−log 1
{
x>0
1
x≤2
1
→ ≤x≤2 → D=[ 2 ; 2] .
1
2
x≥
2
esercizi
Svolgimento esercizio 29
E' data la funzione
{
y=arcsin x−arccos(1−2 x 2) .
−1≤ x≤1
esistenza arcoseno
2
−1≤1−2 x ≤1 esistenza arcocoseno
{
−1≤x≤1
x 2≤1
→
2
x ≥0
esercizi
{
→
{
−1≤ x≤1
1−2 x 2≥−1 →
1−2 x 2≤1
−1≤x≤1
−1≤x≤1 → −1≤x≤1 → D=[−1 ;1 ] .
∀ x∈ℝ
{
−1≤x≤1
−2 x 2≥−2 →
−2 x 2≤0
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Svolgimento esercizio 30
E' data la funzione
y=ln ( √ x+1−( x−1)) .
{
x +1≥0
esistenza radice qu.
→
√ x+1−( x −1)>0 esistenza logaritmo
x≥−1
{√ x+1>x−1
(*)
────────
(*)
{
{
x −1≥0
x≥1
x−1<0
x<1
√ x+1> x−1 → x+1≥0 ∨ x+1>( x−1)2 → x≥−1 ∨ x+1>x 2+1−2 x →
{
−1≤x<1 ∨
{
x≥1
→ −1≤x<1 ∨
x 2−3 x<0
{
x≥1
{0<x
<3
→ −1≤x<1 ∨ 1≤x<3 →
−1≤x<3
────────
Riprendiamo il sistema iniziale
x≥−1
{−1≤x<3
→ −1≤x<3 → D=[−1 ;3 ) .
esercizi
Svolgimento esercizio 31
La funzione
y=
sin x
è il rapporto di due espressioni. L'unica condizione che dobbiamo
sin 2 x
porre è la condizione del denominatore:
sin 2 x≠0 → 2 x≠k π ,
k ∈ ℤ → x≠k π ,
2
k∈ℤ .
D=ℝ ∖ { x=k π , k ∈ℤ }
2
Osservazione. Non è corretto il seguente procedimento:
y=
sin x →
sin 2 x
y=
sin x
1
→
→
y=
2 sin x cos x
cos x
semplificare prima di porre le condizioni di esistenza.
esercizi
x≠ π +k π ,
2
k ∈ℤ , perché non si può
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Svolgimento esercizio 32
2
La funzione
y=
x −sin x
è il rapporto di due espressioni. L'unica condizione che dobbiamo
2
x −cos x
porre è la condizione del denominatore:
x 2−cos x≠0 → cos x≠x 2 .
Risolviamo l'equazione associata cos x=x 2 con un metodo grafico:
video metodo grafico
{
y=cos x
y= x 2
x=α ,
α≃0.8241
Quindi la funzione esiste per
esercizi
x≠±α con α≈0.8241 .