Lezione 12

!"
∈
#
$ %#
&'"
∈
∈
(
−
-
(*
−
−
−
'
.
-
&
/
-
*
∈
'
−
−
+
'
!
'
∈ %,
*
+
+
%
−
∈
−
⊆ℜ
−
−
∈
'
+
!
∈ %
)
(
3 x1 + 2 x 2 − x 3
&'"
+ ' '
'
'.
'
3
'
'
x1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0
'
'
&∈
1
'2
'
− x1 + 2 x 2 + x 3 − x 4 = 6
&!" #&
∈
5
'
' +
5
'
*
1' '"2
'
!" #
−
5
−
'.
'
5 −
5 −
0
5
,'
2
'
4
(
−
1
!" #
,
'
'
5
'
'
'
=5
9
5 −
5 −
'
: *
∈ℜ
−
5
,
'
'
5−
5
'
% ,
%
% #
∈
7
(
'
*
'
'
'
'
'
1 !"2
6
+
'.
'
'
∃ ∈ℜ
;
'.
;< +
8
> ?
> ?
+
& "
'
'.
∈ℜ
'
≠∅
∃ ∈ℜ
1 2
1 2
'
:
'
.
∈
'.
.
/
@ −∞% ,
,
'
,A#
%
−
1 2
'.
1 2
=
"
> ?
1'
:
' '
.
2
'
!"
:
c T = c T − c BT B − 1 A ≥ 0 T
cT ≥ uT A
1 2
&'"
B
B
&
9
problema Primale
*
T
*
T
B
*
B
T
F
*
F
T
B
−1
T
c0 ≤ z = c x = c x + c x = c B b = u b
&'"
1 2
≥
> ? C
:
problema Duale
≤
(
'
Primale
−
≥
−
"
Forma standard
−$
#
!
!
' -
≥
≤
/
/
"
≥
≥
≥
≤
≤
−
≤
Duale
' -
)
(
#
!
( )*+
#
'
#
≥
∈%
ui ≥ 0,
#
≤
∈%
ui ≤ 0,
#
=
∈%
u i libero , i ∈ M 3
'
'
'
≥
' ∈&
≤
!"
i∈ M
!
−
1
i∈ M2
"
uT Aj ≤ c j, j ∈ N1
T
'∈&
u Aj ≥ c j, j ∈ N 2
' ∈&
uT Aj = c j, j ∈ N 3
≥
≤
'
≥
≤
≥
≤
−
"
≤
≥
( )*+
0
4
'
'.
E
'
,
D %
&
'
−
−
−
!
( )*+
≥
≤
%#
"
!
&
−
"
−
≥−
≤−
−
−
"
!"
−
,
≥
≤
+
%
≥
≤
( )*+
−
*
%
6
8
<
,
&
"
%
∈
'
∈
7
. '.
9
9
/
7
9
&
9
=
"