Soluzione al tema di Telecomunicazioni n. 3

Soluzione al tema di Telecomunicazioni n. 3
1) L’antenna in esame ha una lunghezza lineare multipla di λ/2 ed è quindi eccitata
su armonica. In particolare, essendo l = 3 λ/2 si ha un’eccitazione su armonica
dispari uguale a 3. L’antenna ha una alimentazione al centro della parte
irradiante e per questo viene detta simmetrica. L’espressione del campo elettrico
di un’antenna lineare simmetrica, a grande distanza da essa e nella direzione
definita dall’angolo zenitale δ, è:
60 ⋅ IMAX
E =  F(δ)
r
3 λ/2
In cui r è la distanza misurata dal centro dell’antenna, IMAX è il valore massimo di
corrente in antenna e F(δ) è il fattore di direttività pari a:
cos ( β l/2 ⋅ cosδ - cosβ l/2
F(δ) = 
)
sen δ
In quest’ultima formula l rappresenta la lunghezza di antenna e β = 2π / λ.
Nel caso di antenne eccitate su armonica dispari, il fattore F diventa:
cos ( n ⋅ π/2 cosδ)
F(δ) = 
sen δ
con n = 1, 3, 5 ecc., numero di armonica. Infatti:
β l/2 = 2π / λ ⋅ n ⋅ λ / ( 2 ⋅ 2 )
e
cos ( β l/2 ) = 0
Per il caso in esame, l’espressione richiesta per il campo elettrico alla generica
distanza r, è la seguente:
60 ⋅ IMAX
cos ( 3 π/2 ⋅ cosδ)
E =  
sen δ
r
2) Per calcolare gli angoli che individuano le direzioni nelle quali si ha irradiazione
nulla, basta uguagliare a zero, il numero del fattore F di direttività; cioè:
cos ( 3 π/2 ⋅ cosδ) = 0
Da questa si ricava:
3 ⋅ π/2 ⋅ cosδ = arcos 0 = π/2
3 ⋅ π/2 ⋅ cosδ = arcos 0 = 3 π/2
Dalla prima si ha:
3 ⋅ cosδ = 1 e quindi δ1 = arcos 1/3 = 70°,5
Dalla seconda si ha:
cosδ = 1 e quindi δ0 = 0
Questi angoli si riferiscono al primo quadrante, avendo considerato il modulo di
F(δ). Complessivamente le direzioni di irradiazione nulla sono quelle rappresentate
in figura.
E=0
E=0
E=0
δ1
δ1
E=0
E=0
E=0
3) Dalla distribuzione precedente, si deduce che il numero dei lobi di irradiazione è
pari a tre. Infatti tra due direzioni con irradiazione nulla, deve essere presente un
lobo di irradiazione.
Per determinare la direzione di massima irradiazione, si potrebbe fare la
derivata prima di F rispetto a δ ed uguagliare a zero.
Data la non semplicità di questo calcolo, si preferisce ottenere questo risultato
dalla seguente tabella, in cui ogni 10° si è determinato il valore assoluto di F(δ).
δ
senδ
δ
cosδ
δ
270 cosδ
δ
cos(270 cosδ
δ)
δ)
cos ( 270 ⋅ cosδ

sen δ
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0
0,17
0,34
0,50
0,64
0,77
0,87
0,94
0,98
1
1
0,98
0,94
0,86
0,77
0,64
0,50
0,34
0,17
0
270
264
252
234
207
174
135
92
47
0
0
0,07
0,28
0,59
0,89
0,99
0,71
0,04
0,68
1
0
0,62
1,01
1,18
1,39
1,29
0,81
0,04
0,70
1
Dalla tabella si deduce che la massima irradiazione si ha per un angolo compreso
tra 40° e 50°. Effettuando i calcoli di F, in questo intervallo, si ottiene il massimo,
cioè F = 1,4 per δ = 43°.
E=0
E = 1,4E0
E = 1,4E0
δ=43°
δ=43°
E=0
E=0
δ1
E = E0
E = E0
E=0
E=0
E = 1,4E0
E=0
E = 1,4E0
4) Affinché si abbia, nella direzione di massima irradiazione, un campo elettrico EM
= 0,2 mV/m, la corrente in antenna deve avere un valore massimo pari a:
EM ⋅ r
IM = 
60 ⋅ F(43°)
Dato che r = 50 Km, F = 1,4 ed EM = 0,2 10-3 V/m si ha:
0,2 ⋅10-3 ⋅50⋅103
IM =  ≅ 0,12 A
60 ⋅ 1,4
5) Se si varia la frequenza a 50 MHz, l’antenna è eccitata sulla quinta armonica.
L’espressione del campo elettrico è:
60 ⋅ IMAX cos ( 5 π/2 ⋅ cosδ)
E =  
sen δ
r
Le direzioni in cui si ha irradiazione nulla, si ricavano ponendo:
cos ( 5 π/2 ⋅ cosδ) = 0
e
cos ( 5 π/2 ⋅ cosδ)
 = 0
sen δ
Dalla prima si ricavano le condizioni cosδ = 1/5 e cosδ = 3/5 da cui gli angoli: δ1 =
78°,5 e δ2 = 53°,1. Dalla seconda si ha δ3 = 0° come condizione limite. In questa
antenna si hanno perciò cinque lobi di irradiazione, ognuno compreso tra due
direzioni ad irradiazione nulla. Per ricavare l’angolo che individua la direzione di
massima irradiazione, si ricorre ad una tabella analoga a quella vista in precedenza.
δ
senδ
δ
cosδ
δ
450 cosδ
δ
cos(450 cosδ
δ)
cos ( 450 cosδ
δ)

sen δ
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0
0,17
0,34
0,50
0,64
0,77
0,87
0,94
0,98
1
1
0,98
0,94
0,86
0,77
0,64
0,50
0,34
0,17
0
450
441
423
387
346
288
225
153
76
0
0
0,16
0,45
0,89
0,97
0,31
0,71
0,89
0,23
1
0
0.92
1,34
1,78
1,52
0,40
0,81
0,95
0,24
1
Da questa tabella si deduce che il lobo principale si ha tra 0° e 53°,1; il massimo di
F vale 1,755 e si ottiene per δ’ = 32°.
Per avere un campo di 0,2 mV/m alla distanza r = 50 Km nella direzione di massima
irradiazione (δ’ = 32°), la corrente in antenna deve valere:
EM r
0,2 ⋅10-3⋅50⋅103
IM =  =  = 95 mA
60 F(32°)
60 ⋅ 1,755
Come si nota per ottenere lo stesso campo elettrico, la corrente in antenna deve
essere piu’ piccola. All’aumentare del numero dell’armonica il lobo principale si ha
per un angolo zenitale piu’ piccolo.