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3
4
5
Francesco Carlucci
ECONOMETRIA II
Contents
Preface
1 Introduction
1.1 Serie storiche e loro modelli
1.2 Sommario ragionato
2 Basic elements: Univariate time series
2.1 La scomposizione classica delle serie storiche economiche
Il ciclo negli USA
Il ciclo in Italia
Alcuni tipi standard di tendenza
La tendenza come curva logistica
Il livellamento esponenziale
La tendenza a media mobile
Le limitazioni della scomposizione classica
2.2 Trasformazioni rilevanti delle serie storiche
La media mobile
Il saggio di crescita
La trasformazione logaritmica
Il saggio di variazione approssimato con una differenza logaritmica
2.3 L’operatore di ritardo L
Un’utile uguaglianza
2.4 Il processo aleatorio stazionario
Definizione di processo stazionario
Motivazioni economiche per la stazionarietà
2.5 Il rumore bianco ed altri esempi di processi stazionari
Il rumore bianco
Processi periodici
2.6 Alcune definizioni di contorno
Il processo stazionario in senso forte
Le autocorrelazioni di Yule e di Slutsky
Il processo generatore dei dati
6
3 Basic elements: Wold’s theorem and autoregressive (AR) models
3.1 La scomposizione del Wold
Il filtro lineare
La funzione di risposta all’impulso
3.2 Il modello autoregressivo a somma mobile (ARMA)
Lo schema a somma mobile MA(q)
La funzione di risposta all’impulso in Economia
Lo schema autoregressivo AR(p)
Schemi autoregressivi come forme ridotte
Lo schema ARMA(p,q)
3.3 Il modello autoregressivo del primo ordine
Equivalenza di uno schema AR(1) con un MA(∞)
Stazionarietà
Momenti
La procedura di Cochrane ed Orcutt
La passeggiata aleatoria
3.4 Richiamo sui numeri complessi
Forma trigonometrica del numero complesso
Formula di De Moivre
3.5 Il modello autoregressivo di ordine p generico
Equivalenza di uno schema AR(p) con un MA(∞)
Momenti
Le equazioni di Yule-Walker
3.6 Il modello autoregressivo del secondo ordine
Equivalenza dello schema AR(2) con un MA(∞)
Momenti
3.7 Il ciclo economico medio
La costante nella tendenza
L’oscillazion ciclica nel modello AR(2)
4 Basic elements: Moving-sum (MA) models and projection
4.1 I modelli a somma mobile
L’ invertibilità
L’identificazione
4.2 I modelli ARMA
Il modello ARMA(p,q)
Il modello ARMA(1,1)
Stazionarietà ed invertibilità per il processo ARMA(1,1)
I coefficienti del processo MA(∞) equivalente
La funzione di risposta all’impulso del modello ARMA(2,2)
4.3 I modelli ARMA per il PIL in Italia e negli USA
Il PIL in Italia
Il PIL negli USA
7
4.4 La proiezione
La proiezione per il processo AR(1) stazionario
La proiezione per il processo AR(p) stazionario
La proiezione per il processo MA(1) invertibile
La proiezione per il processo ARMA(p,q) stazionario ed invertibile
4.5 Il processo integrato e il modello ARIMA
4.6 La persistenza
4.7 La stagionalità
L’eliminazione della stagionalità con le variabili di comodo
Stagionalità variabile
Stagionalità additiva o moltiplicativa
L’eliminazione della stagionalità con i modelli ARIMA stagionali
5 I momenti campionari ed i minimi quadrati
5.1 La costruzione del modello
Ergodicità
5.2 La stima dei momenti campionari
Gli intervalli di confidenza di Bartlett
Applicazioni
Le stime di Yule-Walker
5.3 Alcune proprietà asintotiche degli stimatori
Convergenza in distribuzione
Convergenza in probabilità
Consistenza
Il test del “portmanteau”
Il test di normalità di Jarque e Bera
5.4 La stima dei minimi quadrati
La stima approssimata dei minimi quadrati per il modello ARMA
Il criterio dei minimi quadrati
L’ortogonalità (deterministica) dei disturbi stimati rispetto alle variabili esplicative
5.5 Il coefficiente di determinazione
Il coefficiente di determinazione centrato
Il coefficiente di determinazione corretto
5.6 I disturbi come enti aleatori: le ipotesi deboli
Lo stimatore dei minimi quadrati per il modello lineare multiplo
Consistenza dello stimatore dei minimi quadrati
La stima della varianza dei disturbi
Matrici di dispersione robuste
La matrice di correlazione degli stimatori dei parametri di regressione
Il teorema di Gauss-Markov e gli stimatori BLU
5.7 La stima dei fattori di destagionalizzazione con i minimi quadrati
Conformazione stabile
Conformazione variabile
5.8 Le ipotesi forti sui residui
Disturbi con distribuzione di probabilità normale
Normalità dello stimatore dei minimi quadrati
Intervalli di confidenza per i parametri del modello lineare con 2 noto
Verifica delle ipotesi con 2 noto
Caso della varianza ignota
Il test della t di Student
8
Stima intervallare della varianza dei residui
5.9 Stima dei minimi quadrati per il PIL in Italia e negli USA
Il modello per il PIL in Italia
Il modello per M1 negli USA
5.10 Qualche richiamo di algebra delle matrici
Equazione caratteristica di una matrice e sue soluzioni
La traccia di una matrice ed alcune sue proprietà
Forme quadratiche e matrici definite positive e negative
Matrici idempotenti e loro proprietà
Proprietà degli autovalori e autovettori
5.11 Verifica di ipotesi lineari multiple
Caso di una sola ipotesi lineare
Caso di più ipotesi lineari
Verifica della bontà di adattamento complessiva di un modello
Il test della F di Fisher
5.12 Il cambiamento strutturale
Test di cambiamento strutturale nel caso in cui k<n2
Il cambiamento strutturale in Italia dopo il 2006
5.13 Appendice
Le condizioni sufficienti per i minimi quadrati ordinari
La distorsione della varianza campionaria
Dimostrazione del teorema di Gauss-Markov
6 La massima verosimiglianza e la costruzione dei modelli ARMA
6.1 Il criterio della massima verosimiglianza
La verosimiglianza
Interpretazione del criterio di stima della massima verosimiglianza
La log-verosimiglianza
L’estremo inferiore di Cramèr-Rao
Proprietà dello stimatore di massima verosimiglianza per n finito
Proprietà asintotiche dello stimatore di massima verosimiglianza
6.2 La distribuzione normale e la stima del modello ARMA
Il caso della distribuzione normale
La log-verosimiglianza del modello ARMA
La stima di massima verosimiglianza condizionata per il modello ARMA
La stima di massima verosimiglianza esatta per il modello ARMA
6.3 Il test LR del rapporto delle verosimiglianze
Il test del rapporto delle verosimiglianze nel cambiamento di struttura
6.4 Il test LR asintotico e il test dei moltiplicatori di Lagrange
Interpretazione geometrica dell’equivalenza dei test LR ed LM
6.5 Criteri di scelta del modello
6.6 La procedura Box-Jenkins di costruzione del modello
Le autocorrelazioni parziali
Schema AR(1)
Schema AR(2)
Schema MA(1)
Schema MA(2)
Schemi di ordine superiore al secondo
9
6.7 Costruzione degli schemi ARIMA
I minimi quadrati non lineari
La retroproiezione
6.8 La costruzione di modelli per tre serie storiche in Italia
I prezzi al consumo
Il livello degli ordini interni
L’indice generale della produzione industriale
6.9 Appendice
Condizioni sufficienti per il massimo della log-verosimiglianza nel caso normale
7 Modelli a spazio degli stati e filtro di Kalman
7.1 La rappresentazione a spazio degli stati
8 I modelli stazionari rispetto alla differenza
8.1 La tendenza stocastica
8.2 I modelli stazionari rispetto alla tendenza (TS) e alla differenza (DS)
8.3 La scomposizione di Beveridge e Nelson
La scomposizione per mezzo delle proiezioni
9 Eteroschedasticità condizionata
10 I modelli multivariati
10.1 le critiche del Sims ai modelli strutturali
Il modello VAR
Relazione tra il modello VAR ed il sistema di equazioni simultanee
10.2 Il modello in ambiente stocastico: la stazionarietà
La tendenza stocastica multivariata
10.3 La scomposizione del Wold ed il rumore bianco multivariato
L’analisi delle risposte all’impulso o dei moltiplicatori
La strutturalizzazione del processo aleatorio
Il modello VAR e la scomposizione del Wold
10.4 L’ortogonalizzazione dei disturbi
La fattorizzazione di Choleski
10.5 Il modello ARMA vettoriale
Trasformazione del VARMA(p,q) nel VAR(∞)
Trasformazione del VARMA(p,q) nelVMA(∞)
Caratteri dei modelli VAR
10.6 Alcuni richiami di algebra delle matrici
Proprietà degli autovalori e autovettori
Operazione di vettorizzazione di A vec(A)
Prodotto del Kronecker
10.7 Il modello VAR(1)
Trasformazione del VAR(1) nel VMA(  )
Le matrici di dispersione
Le equazioni di Yule-Walker
10.8 Un esempio di modello VAR(1): i tassi di crescita negli USA, in Giappone e in Italia
10.9 Il modello VAR(p)
Equivalenza di uno schema VAR(p) con un VMA(  )
Le equazioni di Yule-Walker
10
10.10 Il modello VMA(q)
Equivalenza di uno schema VMA(q) con un VAR(  )
Invertibilità del modello VMA(q)
Le matrici di dispersione
11 Inferenza statistica per i modelli VARMA
11.1 La stima dei minimi quadrati
La stima dei minimi quadrati
11.2 Lo stimatore dei minimi quadrati
Non distorsione
Consistenza
Validità delle ipotesi per la consistenza
Normalità asintotica
Un esempio
11.3 La stima di Yule-Walker
Un esempio
11.3 La massima verosimiglianza
La funzione di verosimiglianza
La stima di massima verosimiglianza
Gli stimatori di massima verosimiglianza
12 Proiezione e causalità secondo Granger
13 Identificazione e VAR strutturali
14 VAR di cointegrazione
15 VAR e CVAR bayesiani
16 La rappresentazione frequenziale
11
12
Chapter 1
Introduction
1.1 Serie storiche e loro modelli
Alcuni dei dati socioeconomici forniti dalle istituzioni statistiche (gli istituti di
statistica nazionali ed internazionali, i ministeri, le banche centrali, e così via) sono
rilevati in un tempo t prefissato. Sono i cosiddetti dati sezionali e riguardano in
generale il comportamento di un gruppo di operatori, come le famiglie, i lavoratori, gli
investitori, … Se questo gruppo è costituito, al variare del tempo, dagli stessi
operatori, si hanno i dati di pannello, usati, ad esempio, nell’analizzare il
comportamento delle famiglie o dei lavoratori da un periodo all’altro.
Se invece ciò che interessa è l’andamento nel tempo di una o più variabili, i
relativi dati costituiscono una serie storica, univariata nel primo caso, multivariata nel
secondo. Delle serie storiche interessano a noi i fatti stilizzati, cioè quei caratteri che
vengono considerati più importanti e che valgono in tutto il periodo in cui sono rilevati
i dati: la tendenza, ad esempio, è uno di questi. Il presente testo mostra come su tali
fatti stilizzati vengono costruiti dei modelli rappresentativi delle serie storiche nel
periodo di osservazione.
Nelle Figure 1.1, 1.2, 1.3 ed 1.4 sono esposti i grafici di quattro serie di carattere
economico, utili a rappresentare le caratteristiche più rilevanti della generica serie.
Nella 1.1 è riportata la serie annuale (a) del PIL reale in Italia dal 1970 al 2006,
mentre nella 1.2 ne compare una (b), analizzata spesso dagli studiosi, relativa al
numero mensile dei passeggeri nelle aerolinee internazionali. Essa fu inizialmente
studiata nel testo che ha dato origine alla moderna modellistica delle serie storiche 1,
con un periodo di osservazione che va dal gennaio 1949 al dicembre 1960. Nella terza
1
Box e Jenkins (1970).
13
figura, la 1.3, è riportata la serie (c) delle variazioni mensili …..dal … al …, mentre
nella 1.4 compare quella (d) dei rendimenti giornalieri delle azioni IBM a Wall Street
dal 17 maggio 1961 al 2 novembre 1962.
Il carattere più evidente della serie del PIL, arrestata al 2006 per evitare gli
anni della Grande Crisi, riguarda la sua tendenza, che indica la componente di crescita
(o decrescita) approssimativamente costante, mentre quella del numero di passeggeri
nelle aerolinee internazionali è caratterizzata, oltreché da una tendenza crescente,
anche da una conformazione che si ripresenta in modo simile all’interno di ogni anno
di rilevazione, la cosiddetta stagionalità.
1800000
Real GNP in Italy
1600000
1400000
1200000
1000000
800000
600000
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006
GNP
Trend
Figura 1.1 – Serie storica annuale del PIL reale in Italia, in migliaia di euro, interpolato
mediante una tendenza polinomiale lineare, dal 1970 al 2006. (Fonte: OECD, 1914)
Nella serie a si nota poi una variabilità nel tempo essenzialmente costante,
mentre nella b la variabilità è chiaramente crescente. Ambedue le serie, inoltre, al
netto della tendenza e della stagionalità, sono caratterizzate da un’oscillazione di
ampiezza variabile che costituisce il ciclo, e che può essere considerata come una
modulazione dei dati intorno alla tendenza.
14
Figura 1.2 – Serie storica mensile del numero di passeggeri sulle linee aeree internazionali, in
migliaia, dal gennaio 1949 al dicembre 1960. (Fonte: Box e Jenkins,1970)
La serie c viene riportata perché indica il caso in cui non si ha né tendenza, né
stagionalità, né ciclo, e deve quindi essere rappresentata tramite un modello nel quale
siano presenti, se esistono, soltanto le relazioni tra gli elementi della serie storica e
quelle rappresentative di un’eventuale variabilità non costante nel tempo.
La serie d si muove costantemente intorno allo zero ma la sua variabilità è
approssimativamente costante nei primi 235 giorni ma poi aumenta o diminuisce
repentinamente nei giorni successivi. Un suo modello, quindi, deve essere in grado di
rappresentare questa variabilità dipendente dal tempo.
15
Figura 1.3 – Serie storica dei
I modelli possono essere deterministici, come ad esempio nel caso della tendenza
costituita da un polinomio nel tempo, ed allora essi generano direttamente i dati della
serie storica. Oppure possono essere costruiti in ambito stocastico, ed allora essi
individuano un processo aleatorio che genera i dati stessi. In altre parole i dati sono
prodotti dal modello tramite un processo aleatorio che è chiamato processo generatore
dei dati (DGP).
I modelli costruiti con le serie univariate, composta da elementi relativi ad una
sola variabile, non possono che basarsi sulle relazioni esistenti tra i valori della stessa
variabile misurati in tempi diversi, mentre quelli costruiti con le serie multivariate,
cioè di più serie storiche considerate congiuntamente, si basano anche sulle relazioni
eventualmente presenti tra le variabili, anch’esse determinate possibilmente con
distanze temporali diverse.
Figura 1.4 – Serie storica dei rendimenti giornalieri delle azioni IBM a Wall Street dal
17/05/1961 al 2/11/1962. (Fonte: Box e Jenkins,1970)
1.2 Sommario ragionato
16