LEIBNIZ

LEIBNIZ
Supplemento matematico al testo L’Economia — The CORE Project
Notazioni e convenzioni. Data una funzione y = f (x), la sua derivata si scrive dy/dx.
Una notazione alternativa è f 0 (x). La derivata seconda è la derivata della derivata, e si
scrive d 2 y/dx 2 oppure f 00 (x).
Data una funzione in due variabili z = f (x, y), possiamo derivare rispetto a x, trattando y come una costante. La derivata risultante è detta derivata parziale di f rispetto a
x e si indica con ∂ f /∂x o anche ∂z/∂x. Analogamente, la derivata rispetto a y, trattando
x come una costante, è detta derivata parziale di f rispetto a y e si scrive ∂ f /∂y o anche
∂z/∂y.
Differenziando ancora, abbiamo le derivate parziali seconde ∂ 2 f /∂x 2 e ∂ 2 f /∂y 2 . In
modo simile, possiamo definire
!
!
∂ ∂f
∂ ∂f
e
∂y ∂x
∂x ∂y
note come derivate parziali miste. Per le funzioni che tipicamente sono oggetto di
analisi, le due derivate parziali miste sono uguali, e il loro valore comune si indica
indifferentemente
∂2f
∂2f
oppure
.
∂x∂y
∂y∂x
Leibniz 1. La curva di isocosto e la sua inclinazione
Definiamo la curva di isocosto e spieghiamo il significato della sua inclinazione e la sua
intercetta.
Nel testo, abbiamo considerato il costo di produzione quando assumere un lavoratore
costa 20 £ e una tonnellata di carbone costa 10 £, e abbiamo tracciato una retta nella
figura 7 del capitolo 2 lungo la quale il costo di produzione è costante.
Generalizzando, se il costo di un’unità di lavoro è w e di una tonnellata di carbone è p,
il costo di produzione sarà wL + pR, dove L è il numero di unità di lavoro e R la quantità
di carbone in tonnellate utilizzati nel processo produttivo. Tale espressione assumerà un
valore costante lungo una curva esprimibile mediante l’equazione
wL + pR = c
dove c è una costante positiva che rappresenta il costo. Possiamo riscrivere l’equazione
così:
c w
R = − L.
p p
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pagina 1
§ 2.6
Vediamo che se L cresce di un’unità, R si ridurrà di w/p unità. L’inclinazione della retta
che rappresenta tale equazione è dunque −w/p, cioè il prezzo relativo dei due input con
segno meno.
Possiamo anche vedere che se L = 0 allora R = c/p: questa è l’intercetta della retta
di isocosto sull’asse R. Se c cambia mentre p e w restano invariato, l’intercetta si sposta:
l’inclinazione non cambia e la retta si sposta parallelamente.
Leibniz 2. Proprietà della funzione di produzione
Funzione di produzione, produttività media marginale
Mostriamo come è possibile rappresentare matematicamente la funzione di produzione e
come sono definiti il prodotto medio e il prodotto marginale.
Possiamo scrivere la funzione di produzione in termini matematici:
y = f (h)
dove y è l’output e h sono le ore di lavoro impiegate. Il prodotto medio è definito nel
testo come
f (h)
y
=
n
h
Nel testo, si definisce anche la produttività marginale del lavoro come l’extra output ottenuto da un’unità extra di lavoro. Ora è possibile essere più precisi considerando ciò che
succede quando si utilizzino solo un po’ più di lavoro al posto di un’intera unità aggiuntiva. Se una quantità addizionale di lavoro (∆h) producesse una quantità addizionale di
output (∆y), allora la variazione di output in rapporto alla variazione di lavoro sarebbe:
f (h + ∆h) − f (h)
∆y
=
∆h
∆h
Quando ∆h tende a zero
∆y
dy
→
∆h
dh
che è la definizione analitica di prodotto marginale. Nei Leibnitz seguenti si useranno le
definizioni analitiche delle quantità marginali. L’extra output ottenuto da un’unità extra
di lavoro è approssimato efficacemente dal prodotto marginale definito analiticamente se
le variazioni nell’impiego di lavoro sono sufficientemente piccole. Nel testo abbiamo
anche visto una funzione di produzione rappresentata nella figura 2 del capitolo 2. Una
funzione che ha le stesse caratteristiche doi quella della figura 2 è
y = Ah α
dove A e α sono costanti tali che A > 0 e 0 < α < 1. Il significato dei limiti imposti ad α
saranno chiariti in seguito. In realtà si può subito osservare che questa funzione non è la
rappresentazione precisa di quella nella figura 2, perché mentre quest’ultima è costante
per h > 15, la prima è sempre crescente in h. Visto che il prodotto marginale è la derivata
dy/dh, il prodotto marginale nel caso della funzione considerata sarà
α
αy
α Ah α−1 = Ah α =
h
h
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pagina 2
§ 3.1
Se le ore lavorate h sono positive allora anche l’output y sarà positivo. Visto che anche
α è positivo, avremo che
αy
>0
h
e quindi il prodotto marginale è positivo.
Ora possiamo spiegare i limiti imposti ad α. Dato che il prodotto medio è y/h e
il prodotto marginale è αy/h, α è il rapporto fra il prodotto marginale e quello medio.
L’ipotesi che α < 1 implica che il prodotto marginale del lavoro sia sempre inferiore al
prodotto medio del lavoro.
Scriviamo
La produttività marginale decrescente
Nel testo si è spiegato, usando la figura 2, che la produttività marginale del lavoro si può
assumere come decrescente. Forniamo ora una formulazione matematica di questo concetto con riferimento a una data funzione di produzione.
Nel paragrafo precedente abbiamo considerato la seguente funzione di produzione:
y = Ah α
dove A e α sono costanti tali che A > 0 e 0 < α < 1. Abbiamo anche visto che in questo
caso il prodotto marginale del lavoro sarà
prodotto marginale del lavoro = α Ah α−1 =
α α αy
Ah =
h
h
che è positivo se h > 0. Dimostreremo ora che se le ore di lavoro aumentano il prodotto
marginale del lavoro diminuisce.
Nell’espressione del prodotto marginale α Ah α−1 , h è elevato alla potenza α − 1, che
è negativa se α < 1. Quando h aumenta h α−1 diminuisce, e siccome A e α sono positive
diminuisce anche α Aα−1 e quindi diminuisce la produttività marginale del lavoro.
Questo può essere visto anche calcolando la derivata seconda:
Ah α
y
d2 y
α−2
=
(α
−
1)α
Ah
=
α(α
−
1)
= α(α − 1) 2 .
2
2
dh
h
h
Come prima, h, A e α sono positivi. Siccome 0 < α < 1, abbiamo α(α − 1) < 0. Ne
segue che
y
d2 y
=
α(α
−
1)
< 0.
dh2
h2
Da ciò la conclusione che il prodotto marginale (dy/dh) diminuisce quando h aumenta.
Funzioni convesse e funzioni concave
Spieghiamo il concetto di funzione concava e convessa nell’ambito delle funzioni di produzione.
Nel caso della funzione di produzione y = Ah α con A > 0 e 0 < α < 1, abbiamo visto che il prodotto marginale è decrescente. Questo significa che quando ci muoviamo
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pagina 3
verso la destra lungo il grafico della funzione, l’inclinazione della cirva diminuisce. Una
funzione con una tale proprietà è detta concava.
La proprietà della concavità ha un implicazione. Supponiamo che le ore lavorate in un
periodo siano 0 e in un secondo periodo siano 16. Ora confrontiamo l’output prodotto in
questi due periodi con l’output prodotto utilizzando 8 ore di lavoro in entrambi i periodi.
Si note che in tutti e due i casi il lavoro complessivamente impiegato è 16.
Assumiamo
√ per semplicità che A = 1 e α = 0, 5, per cui la funzione di produzione
diventa y = h. Quando le ore di lavoro sono 0 anche il prodotto è 0: quando le ore
lavorate sono 16 il prodotto è 4; e quindi nei due periodi il prodotto complessivo sarà
√ 4.
Se al contrario si lavorasse
√ uguale a 8 in
√ per 8√ore in ogni periodo, il prodotto sarebbe
ogni periodo. Siccome 8 = 2 2, l’output complessivo sarebbe 4 2, che è maggiore
di 4. E quindi per un dato ammontare di ore lavorate l’output totale è maggiore se le ore
sono distribuite in maniera meno estrema.
Se invece avessimo assunto che α > 1, avremmo trovato che l’output totale è maggiore quando il lavoro viene distribuito in modo diseguale. In questo caso l’inclinazione
della funzione di produzione aumenta quando il lavoro impiegato aumenta: il prodotto
marginale del lavoro aumenta invece di diminuire all’aumentare di h. In questo caso la
funzione sarebbe stata convessa. Potere controllare per vostro conto sostituendo ad α
valori maggiori di 1 (ad esempio 2).
Leibniz 3. Preferenze e insieme fattibile
Il tasso marginale di trasformazione
Ricaviamo l’espressione matematica del saggio marginale di trasformazione ed esaminiamo le sue proprietà.
Nel testo, abbiamo visto che il saggio marginale di trasformazione è il valore assoluto dell’inclinazione della frontiera del consumo possibile. La frontiera del consumo possibile,
e quindi il saggio marginale di trasformazione, dipende dalla funzione di produzione.
Consideriamo la funzione di produzione y = f (h), dove y è l’output e h sono le ore di
lavoro impiegate. Sostituiamo nell’espressione utilizzando la relazione tra ore di lavoro
e ore di tempo libero:
h = h̄ − `
dove h̄ è il totale delle ore che possono essere allocate tra lavoro e tempo libero. L’equazione della frontiera del consumo possibile è quindi
y = f ( h̄ − `).
Troviamo l’inclinazione della frontiera del consumo possibile derivando rispetto a `.
Utilizzando la regola di derivazione della funzione composta:
d
dy
= f 0 ( h̄ − `) · ( h̄ − `) = − f 0 ( h̄ − `).
d`
d`
Assumiamo come prima che il prodotto marginale del lavoro sia positivo e decrescente.
Pertanto − f 0 ( h̄ − `), l’inclinazione della frontiera del consumo possibile, è un numero negativo; il suo valore assoluto, noto come saggio marginale di trasformazione, è
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pagina 4
§ 3.3
f 0 ( h̄ − `). Possiamo pensare al saggio marginale di trasformazione come ad una misura
della riduzione dell’output quando il tempo libero aumenta di un’ora. Così come per il
saggio marginale di sostituzione, si tratta solo di un valore approssimato, ma è una buona
approssimazione finché ci riferiamo a piccole variazioni.
L’inclinazione della frontiera del consumo possibile è negativa, come illustrato nella
figura 5 del capitolo 3. La figura mostra anche che man mano che ci muoviamo verso
destra lungo la frontiera, aumentando il tempo libero e riducendo il consumo, la curva
diventa più ripida: il saggio marginale di trasformazione aumenta. Ciò dipende dall’ipotesi di rendimenti decrescenti (prodotto marginale del lavoro decrescente). Al crescere di
`, le ore di lavoro diminuiscono e, grazie all’ipotesi di rendimenti decrescenti, il prodotto
marginale del lavoro f 0 ( h̄ − `) aumenta.
Funzioni di utilità in due variabili, utilità marginale, curve di indifferenza, saggio marginale di sostituzione
Definiamo l’utilità marginale per una funzione in due variabili e otteniamo la formula della
pendenza della curva di indifferenza in termini di utilità marginali.
Assumiamo che l’utilità U dipenda sia dal tempo libero che dal consumo. Esprimiamo
questa dipendenza mediante la funzione U = U (`, y), dove ` è il numero di ore di tempo
libero e y è una misura del consumo. Assumiamo che tutto quanto è prodotto sia consumato, cosicché y è anche una misura dell’output: nell’esempio del capitolo 3 del testo, y
è il voto ottenuto nell’esame.
Le derivate parziali ∂U/∂` e ∂U/∂y sono note rispettivamente come utilità marginale del tempo libero e utilità marginale del consumo. Assumiamo che un aumento del
tempo libero e del consumo comporti sempre un aumento dell’utilità dell’individuo, per
cui entrambe le utilità marginali sono positive. Le figure 3 e 4 del capitolo 3 mostrano
graficamente le funzioni di utilità parziali; le loro inclinazioni (positive) rappresentano le
utilità marginali. Possiamo fare lo stesso in questa sede tenendo costante y e pensando a
U come una funzione di ` soltanto, o viceversa tenendo costante ` e pensando a U come
funzione solo di y. Le curve nei grafici delle figure 3 e 4 sono concave, con l’utilità
marginale di ` decrescente al crescere di `, e lo stesso per y.
L’equazione di una tipica curva di indifferenza è
U (`, y) = c
dove c è una costante. Mostriamo ora la relazione tra inclinazione delle curve di indifferenza e utilità marginali.
Supponiamo che ` e y subiscano una piccola variazione ∆` e ∆y. La variazione di U
sarà
∂U
∂U
∆` +
∆y.
∆U ≈
∂`
∂y
Supponiamo che sia il punto iniziale (`, y) che quello finale, dopo la variazione, siano
sulla curva di indifferenza U (`, y) = c. In questo caso ∆U = 0, per cui
∂U
∂U
∆` +
∆y ≈ 0
∂`
∂y
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ovvero, riarrangiando
,
∆y ∂U ∂U
≈
−
∆`
∂` ∂y
Questo è un esempio della regola della derivata implicita, che incontreremo ancora nei
Leibniz successivi. Dal momento che stiamo considerando movimenti lungo una curva
di indifferenza, dy/d` è l’inclinazione della curva stessa. E dal momento che le utilità
marginali ∂U/∂` e ∂U/∂y sono positive, sarà dy/d` < 0, il che conferma che la curva
di indifferenza è inclinata negativamente. Il valore assoluto di detta inclinazione è detto
saggio marginale di sostituzione tra consumo e tempo libero. L’ultima equazione ci dice
dunque che
saggio marginale di sostituzione =
utilità marginale del tempo libero
.
utilità marginale del consumo
Possiamo pensare al saggio marginale di sostituzione come all’ammontare del consumo
cui l’individuo è disposto a rinunciare per avere un’unità aggiuntiva di tempo libero, mantenendo costante l’utilità. È solo un’approssimazione, ma è una buona approssimazione
se si tratta di piccole quantità; vale quanto abbiamo detto a proposito della definizione di
produttività marginale del lavoro in Leibniz 2.
Che succede al saggio marginale di sostituzione (SMS) quando la combinazione di `
e y dell’individuo si muove lungo la curva di indifferenza verso destra, con ` che cresce
e y che si riduce? Sotto ipotesi ragionevoli, esso si riduce. Come abbiamo fatto nel testo,
assumiamo che l’utilità marginale del tempo libero sia una funzione crescente rispetto al
tempo libero (per dato consumo) che l’utilità marginale del consumo sia una funzione
decrescente del consumo (per dato tempo libero): in altre parole, l’utilità è concava sia in
` che in y, come nelle figure 3 e 4. Assumiamo anche che l’utilità marginale del tempo
libero cresca, o non cambi, se il consumo cresce; da quanto abbiamo detto sulle derivate
parziali sappiamo che ciò equivale a dire che l’utilità marginale del consumo aumenta, o
resta invariata, al crescere del tempo libero. Dunque, se ` aumenta e y diminuisce l’utilità
marginale del tempo libero si riduce e l’utilità marginale del consumo aumenta. Pertanto,
il saggio marginale di sostituzione, essendo pari al rapporto tra una quantità che si riduce
e una che aumenta, tenderà a ridursi quando ci muoviamo verso destra lungo una curva
di indifferenza.
Il saggio marginale di sostituzione decrescente quando la funzione di
utilità è del tipo Cobb-Douglas
Illustriamo quanto detto nel paragrafo precedente nel caso di una specifica funzione di
utilità.
Come abbiamo fatto sopra, consideriamo un individuo con funzione di utilità U = U (`, y),
dove ` è il numero di ore di tempo libero e y è il consumo. Supponiamo che la funzione
di utilità assuma la forma specifica
U = `α y β ,
dove α e β sono costanti tali che 0 < α < 1 e 0 < β < 1. Una tale funzione di
utilità è detta di tipo Cobb-Douglas; α e β indicano l’importanza che l’individuo assegna
rispettivamente al tempo libero e al consumo.
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Derivando rispoeto a ` otteniamo l’utilità marginale del tempo libero:
∂U
U
= α` α−1 y β = α .
∂`
`
Dal momento che α > 0, l’utilità marginale del tempo libero è positiva per tutti i valori
positivi di consumo e tempo libero. Inoltre, dal momento che α < 1, l’utilità marginale
del tempo libero si riduce se il tempo libero aumenta e il consumo rimane costante; per
vedere perché, si osservi che ` è elevato ad una potenza negativa (α − 1) nell’espressione
di ∂U/∂`.
In modo analogo, l’utilità marginale del consumo è
U
∂U
= β .
∂y
y
Ricordando che 0 < β < 1 e ragionando come abbiamo fatto sopra, vediamo che l’utilità
marginale del consumo è positiva per tutti i valori positivi di consumo e tempo libero,
e che l’utilità marginale del tempo libero si riduce al crescere del consumo se il tempo
libero resta costante.
Dunque, sia l’utilità marginale del tempo libero che quella del consumo è positiva
ma decrescente. In altre parole l’utilità è concava in ciascun bene, come illustrato dalle
figure 3 e 4 del capitolo 3.
Notiamo anche che, siccome
∂U
= α` α−1 y β
∂`
e α e β sono positivi, ∂U/∂` è una funzione crescente rispetto a y per dato `, quindi
soddisfa le condizioni indicate in conclusione al paragrafo precedente, che assicurano
che il saggio marginale di sostituzione si riduca quando ci muoviamo verso destra lungo
una curva di indifferenza, cioè quando il tempo libero aumenta e il consumo si riduce.
Il fatto che con la funzione di utilità Cobb-Douglas il saggio marginale di sostituzione
può essere dimostrato in modo più semplice e diretto. Il saggio marginale di sostituzione
,
U U
SMS =
` y
sarà in questo caso:
,
αU βU
αy
SMS =
=
,
`
`
β`
che ovviamente diminuisce quando ` aumenta e quando y si riduce. Notiamo anche
che questa dimostrazione del fatto che il saggio marginale di sostituzione è decrescente
richiede soltanto che α e β siano positivi, non che essi assumano valori minori di 1.
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pagina 7
Leibniz 4. L’allocazione ottimale del tempo libero
Il saggio marginale di trasformazione e il saggio marginale di sostituzione
Nel testo, abbiamo visto che un individuo raggiunge il più alto livello di utilità possibile sulla
frontiera del consumo possibile in corrispondenza di un punto in cui il saggio marginale
di trasformazione è uguale al saggio marginale di sostituzione. Deriviamo ora questa
condizione di uguaglianza, e dimostriamo che c’è solo una combinazione di consumo e
tempo libero che la rispetta.
Sia U (`, y), dove ` sono le ore di tempo libero e y il consumo (es. il voto nell’esame
come nel capitolo 3), la funzione di utilità individuale. Dal momento che l’individuo
desidera selezionare un punto sulla frontiera del consumo fattibile, possiamo pensare a y
come una funzione di `, ovvero y = y(`). Possiamo quindi esprimere l’utilità come se
fosse funzione della sola variabile `: U = U (y(`), `). L’individuo sceglie ` in modo da
massimizzare tale funzione.
La derivata totale dell’utilità rispetto a ` è
dU ∂U ∂U dy
=
+
,
d`
∂`
∂y d`
dove dy/d` è l’inclinazione della frontiera del consumo possibile. Perché l’utilità sia
massimizzata dU/d` deve essere pari a zero, ovvero deve essere soddisfatta la condizione
,
dy ∂U ∂U
=
.
−
d`
∂` ∂Y
Abbiamo visto in Leibniz 3 che il lato sinistro dell’equazione è il saggio marginale di
trasformazione (SMT), e che il lato destro è il saggio marginale di sostituzione. Pertanto,
in corrispondenza dell’ottimo
SMT = SMS.
Questa equazione è un esempio di condizione del primo ordine per l’ottimizzazione;
ovvero, di condizione relativa alle derivate prime.
In Leibniz 3 abbiamo mostrato che il SMT è una funzione crescente e che il SMS
è una funzione decrescente rispetto al tempo libero. C’è pertanto un solo valore di ` in
corrispondenza del quale i due saggi sono uguali. Come nella figura 7 del capitolo 3, c’è
un solo punto in cui la frontiera del consumo possibile e la più alta curva di indifferenza
raggiungibile possono essere tangenti l’una con l’altra.
Saggio marginale di trasformazione e di sostituzione: un esempio
Illustriamo i principi del paragrafo precedente con una specifica funzione di produzione e
di utilità.
Come in Leibniz 2, assumiamo che la funzione di produzione sia y = Ah α , dove y
è l’output, h sono le ore di lavoro impiegate, A e α sono costanti positive e α < 1.
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pagina 8
§ 3.4
Assumiamo per semplicità che A = 1. Come in Leibniz 3, assumiamo che le ore di
lavoro h e quelle di tempo libero ` soddisfino la relazione h = h̄ − `, dove h̄ è il numero
totale di ore disponibili. Questo vincolo, insieme con la funzione di produzione, ci dà
l’equazione della frontiera del consumo possibile:
y = ( h̄ − `) α .
derivando rispetto a ` abbiamo
dy
αy
= −α( h̄ − `) α−1 = −
.
d`
h̄ − `
Dunque, il saggio marginale di trasformazione (SMT) è dato dall’equazione
SMT = −
αy
dy
=
.
d` h̄ − `
Esso soddisfa le proprietà indicate nel paragrafo precedente: è positivo e cresce se ci
muoviamo lungo la frontiera aumentando il tempo libero e diminuendo il consumo. Per
dimostrare quest’ultima proprietà deriviamo nuovamente:
g
d f
d2 y
d
(SMT) = − 2 = α
( h̄ − `) α−1 = α(1 − α)( h̄ − `) α−2 ,
d`
d`
d`
che è una quantità positiva, visto che 0 < α < 1.
Troviamo ora la scelta ottima di consumo e tempo libero corrispondente a questa
specifica frontiera del consumo possibile e a questa specifica funzione di utilità. Come nell’ultimo paragrafo di Leibniz 3, assumiamo per la funzione di utilità la forma
funzionale
U (`, y) = ` a y b ,
dove a e b sono due costanti positive [usiamo a e b invece di α e β perché abbiamo usato
α nell’espressione della funzione di produzione]. Come abbiamo visto sopra, il saggio
marginale di sostituzione (SMS) per questa funzione di utilità è ay/b`. In corrispondenza
del punto di ottimo in cui SMT = SMS, avremo dunque
ay
αy
=
.
b`
h̄ − `
Dividendo per y e riarrangiando l’equazione, abbiamo (a + αb)` = a h̄. Quest’ultima equazione e quella relativa alla frontiera del consumo possibile ci consentono di
determinare l’ottima scelta di tempo libero e consumo:
!α
a h̄
αbh̄
∗
∗ α
∗
y = ( h̄ − ` ) =
.
` =
a + αb
a + αb
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pagina 9
Leibniz 5. Il cambiamento tecnologico
§ 3.5
Mostriamo come il progresso tecnologico si possa rappresentare in modo formale attraverso la funzione di produzione.
In Leibniz 2 abbiamo considerato la funzione di produzione y = Ah α , dove A e α sono
parametri tali che A > 0 e 0 < α < 1. Se A aumenta, l’output aumenterà anch’esso per
ciascun datyo livello di ore di lavoro. Quindi, un aumento di A si può interpretare come
progresso tecnologico.
Se α aumenta, l’output si ridurrà se 0 < h < 1 e aumenterà se h > 1. Se h sono ore
di lavoro, il caso normale sarà h > 1, per cui un aumento di α, determinando un aumento
dell’output, può rappresentare anch’esso il progresso tecnologico.
Leibniz 6. La funzione di utilità dell’altruista
Nella figura 3 del capitolo 4, abbiamo visto che, se Ana è altruista, il suo ottimo sarà nel
punto di tangenza tra una curva di indifferenza e la frontiera dei payoff possibile. Troviamo
tale punto di ottimo nel caso di una specifica funzione di utilità ed evidenziamo alcune
conclusioni relative a tale funzione
Supponiamo che la funzione di utilità di Ana sia del tipo Cobb-Douglas
U (x, y) = x α y β ,
dove x è l’ammontare di reddito in migliaia di peseta che va ad Ana e y l’ammontare corrispondente che va a Beatriz, mentre α e β sono due costanti positive. Diremo qualcosa
di più su come interpretare α e β più sotto. Derivando l’espressione
αU
∂U
= αx α−1 y β =
∂x
x
∂U
βU
= αx α y β−1 =
.
∂y
y
Pertanto, utilizzando la regola della derivata implicita, l’inclinazione della curva di indifferenza è data da:
,
dy
∂U ∂U
αy
=−
=− .
dx
∂x ∂y
βx
L’equazione della frontiera dei pay-off possibili è x + y = 10, con inclinazione −1. Nel
punto di tangenza B, l’inclinazione dell curva di indifferenza deve essere uguale a quella
della frontiera dei payoff possibili, ovvero:
αy
−
= −1.
βx
Dal momento che riguarda le derivate prime, si tratta di un altro esempio di condizioni
del primo ordine per l’ottimalità.
Per trovare i valori ottimali di x e y devono essere soddisfatte simultaneamente la
condizione che definisce la frontiera dei payoff possibili e la condizione del primo ordine,
ovvero:


 x + y = 10
 βx − αy = 0,

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pagina 10
§ 4.2
da cui otteniamo la soluzione
x=
10α
α+ β
y=
10 β
.
α+ β
Notiamo che prendendo α = 0, 7 e β = 0, 3 abbiamo x = 7 e y = 3, come nel testo.
Interpretiamo α e β. Data la funzione di utilità di Ana U (x, y) = x α y β , la suddivisione
preferita di un reddito pari a 10 tra lei e Beatriz è data da
α
x
=
10 α + β
β
y
=
10 α + β
Possiamo dunque sottolineare due punti importanti, entrambi specifici della funzione di
utilità Cobb-Douglas:
a) la proporzione rimane la stessa qualunque sia la somma da allocare tra i due individui
(cioè se sostituiamo 10 con qualsiasi altro numero)
b) la proporzione dipende da α e β; più precisamente, dipende dal rapporto α/ β. Maggiore è α rispetto a β, maggiore sarà la parte di reddito che Ana desidererà tenere per
se stessa.
Leibniz 7. Allocazioni Pareto efficienti
Condizioni per l’efficienza paretiana
Deriviamo un sistema di due equazioni che descrivono le allocazioni Pareto efficienti nello
scenario descritto nel Capitolo 5.
Supponiamo che la funzione di utilità di Angela sia U (`, y), dove ` e y indicano rispettivamente le ore di tempo libero e la quantità di grano consumata. Per le ragioni spiegate
in Leibniz 4, il saggio marginale di sostituzione tra consumo e tempo libero di Angela è
,
∂U ∂U
.
M (`, y) =
∂` ∂y
L’ammontare di grano prodotto da Angela è y + R, dove R è la rendita dovuta a Bart.
L’output di grano di ngela è una funzione crescente del numero di ore in cui lavora, e
quindi è una funzione decrescente del suo tempo libero:
y + R = G(`)
dove G è una funzione decrescente. Il grafico di questa funzione, con y + R sull’asse
verticale, è la frontiera del consumo possibile congiunta di Angela e Bart, cioè la curva
rossa nella figura 5 nel testo. D’altra parte, se scriviamo l’ultima equazione come
y = G(`) − R
e, fissato un valore di R, la disegniamo con y sull’asse verticale, abbiamo la frontiera del
consumo possibile di Angela per quel dato R.
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pagina 11
§ 5.7
L’inclinazione di ciascuna di queste frontiere (definite per diversi valori di R) è lo
stessa, ed è pari al valore negativo G0 (`); assumiamo, come nei grafici nel testo, che tale
inclinazione diventi sempre più negativa al crescere di `. In altre parole G è una funzione
decrescente e concava di `, e il saggio marginale di trasformazione tra consumo e tempo
libero è −G0 (`).
Un’allocazione è Pareto efficiente se né Angela né Bart possono migliorare la propria
utilità senza peggiorare quella dell’altro. Ciò richiede che Angela raggiunga il massimo
di utilità possibile compatibilmente con un livello dato di rendita a Bart. Pertanto, per
dato R, Angela sceglie ` e y in modo da massimizzare la sua utilità U (`, y), sotto il
vincolo dato dalla frontiera del consumo possibile: y = G(`) − R. Sappiamo da Leibniz
4 che la scelta ottimale di ` e y da parte di Angela soddisfa le condizioni marginali del
primo ordine di uguaglianza tra saggio marginale di sostituzione saggio marginale di
trasformazione, ovvero
M (`, y) = −G0 (`).
L’allocazione Pareto efficiente per dato R è quindi ottenuta risolvendo per ` e y il sistema
di due equazioni
0


 G (`) + M (`, y) = 0
 G(`) − y = R.

La prima equazione rappresenta la condizione del primo ordine per l’efficienza paretiana,
la seconda garantisce che l’allocazione sia fattibile.
Condizioni per l’efficienza paretiana con scambio volontario
Continuando con lo scenario descritto nel capitolo 5, spieghiamo quali allocazioni sono
compatibili con lo scambio volontario e otteniamo l’espressione matematica per il livello
massimo della rendita di Bart.
Nel paragrafo precedente, abbiamo mostrato come trovare l’allocazione Pareto efficiente
corrispondente ad uno specifico valore R della rendita di Bart. Come spiegato nel capitolo
5, possiamo pensare che R sia determinato dalla forza contrattuale e dalla legge. Ciò non
implica che R possa assumere qualsiasi valore: se lo scambio è volontario, esso deve
restare all’interno di un certo intervallo.
Per prima cosa, Bart è libero di lasciare il suo terreno incolto, per cui R ≤ 0. In
secondo luogo, come abbiamo spiegato nel testo, c’è un ammontare massimo di rendita
che Bart può ottenere senza violare la condizione che Angela ottenga un’utilità almeno
pari a quelle che avrebbe se non lavorasse. Indichiamo con R∗ tale ammontare massimo,
e con ` ∗ e y ∗ il tempo libero e il consumo di Angela in corrispondenza dell’allocazione
Pareto efficiente in cui R = R∗ (l’allocazione è rappresentata dal punto A nella figura 10
del capitolo 5).
Sia u0 l’utilità di riserva di Angela. Pertanto u0 = U (` 0 , y0 , dove ` 0 e y0 sono i livelli
di tempo libero e di consumo se Angela non lavore; possiamo pensare che ` 0 coincida
con h̄ in Leibniz 3. Dunque, ` ∗ e y ∗ sono determinato dalle condizioni del primo ordine
per l’efficienza paretiana indicate nel paragrafo precedente e dalla condizione che l’utilità
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di Angela sia u0 ; ovvero risolvendo il sistema di due equazioni
0 ∗
∗ ∗


 G (` ) + M (` , y ) = 0
U (` ∗ , y ∗ ) = u0

Dal momento che l’allocazione è fattibile, la rendita massima di Bart sarà
R∗ = G(` ∗ ) − y ∗ .
L’efficienza paretiana e lo scambio volontario: un esempio
Illustriamo quanto spiegato nei due paragrafi precedenti utilizzando una specifica funzione
di utilità e una specifica funzione di produzione.
Usando la stessa notazione dei paragrafi precedenti, supponiamo che la funzione di utilità
di Angela sia
U (`, y) = ` α y β ,
dove α e β sono costanti positive. Assumiamo che α = β = 1/2. Per ragioni che son
state spiegate alla fine di Leibniz 3, il saggio marginale di sostituzione di Angela è dato
da
αy y
= .
M (`, y) =
β` `
Supponiamo che la frontiera del consumo possibile congiunto di Angela e Bart sia
1
y + R = 200 − ` 2 .
2
La frontiera ha la forma generale delle curve rosse nei grafici del capitolo 5. In questo
caso, il saggio marginale di trasformazione −dy/d` è pari a `. Il sistema di due equazioni
che determina l’allocazione Pareto efficiente è pertanto
y


` = `
 200 − 1 ` 2 − y = R.
2

La prima equazione (condizioni del primo ordine per l’efficienza paretiana) può essere
scritta come ` 2 = y. Sostituendo nella seconda equazione, abbiamo
200 −
3y
= R.
2
2
(200 − R)
3
y=
La soluzione è quindi
r
`=
2
(200 − R).
3
Troviamo ora il livello massimo della rendita di Bart per dato valore dell’utilità di riserva
di Angela u0 . Supponiamo che u0 = 27. In corrispondenza dell’allocazione Pareto
efficiente in cui la rendita è massima, Angela ottiene la sua utilità di riserva, per cui
` 1/2 y 1/2 = 27.
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Come sopra, l’efficienza paretiana richiede che y = ` 2 ; pertanto, ` 3/2 = 27 = 33 , da cui
` = 32 = 9, e il tempo libero e il consumo di Angela in corrispondenza di tale allocazione
sono
`∗ = 9
y ∗ = (` ∗ ) 2 = 81.
La rendita massima di Bart è data da
R∗ = 200 −
3
× 81 = 78, 5.
2
Leibniz 8. La rendita da occupazione
Mostriamo come è possibile derivare la rendita da occupazione, definita nel testo come la
perdita attesa risultante dal restare disoccupato per un periodo di durata incerta.
Sia w il salario (settimanale) e z la disutilità dell’impegno sul lavoro. Il vantaggio derivante dal lavorare, pari a w − z, cui Juan rinuncia quando è disoccupato, è parzialmente compensato dal beneficio b. Pertanto, se la disoccupazione durasse per esempio 3
settimane, avremmo
rendita = perdita totale = 3(w − z − b).
Supponiamo ora che la durata della disoccupazione, che indichiamo con d, sia una
variabile incerta. In questo caso:
rendita = perdita totale attesa
= (w − z − b)Prob(d = 1) + 2(w − z − b)Prob(d = 2) + . . .
= (w − z − b)E(d),
dove E indica il valore atteso. Notiamo che la rendita cresce al crescere di w o di E(d) e
si riduce al crescere di z e b.
Diremo che la durata attesa E(d) è una “statistica sufficiente” per la determinazione della rendita: mentre le probabilità associate alle diverse possibili durate d possono
assumere qualsiasi valore positivo purché la loro somma sia uno, esse influenzeranno la
rendita solo attraverso E(d). Questa proprietà non sarà più soddisfatta se il beneficio
varia durante il periodo di disoccupazione. Per fare un esempio che risulti realistico in
molti paesi, supponiamo che il sussidio di disoccupazione settimanale sia una costante b
per T di periodi e successivamente sia pari a zero. In questo caso:
rendita = (w − z − b)Prob(d = 1) + · · · + T (w − z − b)Prob(d = T ) +
+ (T + 1)(w − z)Prob(d = T + 1) + (T + 2)(w − z)Prob(d = T + 2) +
= (w − z)E(d) − b [Prob(d = 1) + 2Prob(d = 2) + · · · + TProb(d = T )] .
Notiamo che la rendita è tanto minore quanto più grande è T. Inoltre, in questo caso, per
dato T finito, la riduzione nella rendita causata da un aumento unitario di b è inferiore a
quella causata da un aumento unitario di z.
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§ 6.6
Leibniz 9. La funzione di risposta ottima del lavoratore
§ 6.7
Mostriamo come rappresentare matematicamente la funzione di risposta ottima e studiamo il comportamento delle varie derivate.
Nel capitolo 6, la risposta ottima del lavoratore è stata definita come l’impegno e profuso dal lavoratore in corrispondenza di ciascun livello del salario orario w. L’impegno
dipende anche:
• dalla durata attesa della disoccupazione d;
• dal livello di disoccupazione u;
• dal livello del sussidio di disoccupazione b.
Possiamo dunque esprimere matematicamente l’impegno in funzione delle variabili da
cui dipende:
e(w, d,u, b).
Nel testo, abbiamo sostenuto che l’impegno cresce al crescere del salario orario. Ciò
significa che ∂e/∂w > 0. Abbiamo anche detto che la curva che rappresenta e rispetto a
w, tenendo costanti le altre variabili, diventa più piatta al crescere di w. Perciò, e è una
funzione crescente e concava di w per dati d, u e b.
Le variabili d e u sono due variabili distinte perché perché il tasso di disoccupazione
dipende non solo dalla durata della condizione di disoccupazione ma anche dalla probabilità con cui i lavoeratori diventano disoccupati. Abbiamo detto nel capitolo 6 che
l’impegno dipende dalla probabilità di essere licenziati in corrispondenza di ciascun livello di impegno e dalle conseguenze del licenziamento che dipendono dalla durata attesa
della condizione di disoccupazione. Ci aspettiamo dunque che un aumento di d o di u
aumenti l’impegno. Un aumento di b significa che il costo per il lavoratore di un singolo
episodio di disoccupazione si riduce, e dunqua si riduce anche l’impegno.
Ciò significa che
∂e
>0
∂w
∂e
>0
∂d
∂e
>0
∂u
∂e
<0
∂b
e ∂e/∂w diminuisce al crescere di w: ∂ 2 e/∂w 2 < 0.
Leibniz 10. La fissazione ottimale del salario
Come abbiamo visto nel testo, l’impresa desidera massimizzare il rapporto impegno/salario
e/w . Deriviamo formalmente questa conclusione a partire dall’ipotesi di massimizzazione
del profitto, e otteniamo la formula del salario che massimizza il profitto.
Sia N il numero totale di ore di lavoro impiegate dall’impresa. I ricavi totali dell’impresa
dipendono da N e, le ore di lavoro impiegate moltiplicate per lo sforzo orario; indichiamo
tali ricavi con R(N e). Il profitto totale dell’impresa è dunque R(N e) − wN, dove w è
il salario orario. L’impegno e dipende dal salario w nel modo descritto dalla funzione
di risposta ottima del lavoratore. Come abbiamo visto in Leibniz 9, l’impegno dipende
anche altre fattori, che però per il momento consideriamo costanti; consideriamo quindi
le derivate totali invece di quelle parziali.
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§ 6.8
Dal momento che e dipende da w, rappresentiamo i profitti, che dipendono da w e N,
con l’espressione
F (w, N ) = R(N e) − wN.
L’impresa sceglierà w e N in modo da massimizzare F (w, N ). Potremmo caratterizzare
la soluzione usando le condizioni di massimizzazione di una funzione in due variabili ma
c’è un modo più semplice di procedere. Indichiamo con B la spesa totale per i salari wN
e pensiamo alla scelta dell’impresa come ad una scelta delle variabili w e B invece che w
e N. Il profitto è ora rappresentato dall’espressione
!
eB
−B
R
w
e possiamo ragionare come se la sua massimizzazione da parte dell’impresa avvenisse in
due stadi: prima viene scelto w in modo da massimizzare il rapporto e/w (che indichiamo
con A); quindi si sceglie B in modo da massimizzare R( AB) − B.
Consideriamo il primo stadio. Dalla regola di derivazione del quoziente abbiamo
"
#
e
1
de
= 2 w
−e .
d
w
dw
w
Pertanto, e/w viene massimizzato quando l’espressione tra parentesi quadre è zero, ovvero quando
e
de
= .
dw w
Questa equazione è rappresentata graficamente nella figura 7 nel testo. Le curve di isoprofitto nella figura sono curve in cui e/w è costante, ovvero semirette uscenti dall’origine. In ciascun punto (w, e), l’inclinazione della curva di isoprofitto passante per quel
punto è e/w. L’ottimo si raggiunge dove l’inclinazione della funzione di risposta ottima
eguaglia l’inclinazione della curva di isoprofitto più alta tra quelle ottenibili.
Leibniz 11. Costo marginale e costo medio
Diamo una definizione formale del costo marginale e del costo medio
Nel capitolo 7 abbiamo definito la funzione del costo C(Q) come il costo totale di produzione di un determinati ammontare di prodotto e il costo marginale come il costo di
aumentare la produzione da Q a Q + 1. In realtà, le figure 5 e 6 di quel capitolo mostrano il grafico della funzione del costo come una curva continua che mette in relazione il
costo totale C per ogni valore di Q, e non soltanto per valori discreti di auto prodotte.
In altre parole, utilizziamo l’ipotesi che le variabili Q e C siano variabili continue e non
discrete. Questa può risultare un’ipotesi un po’ forzata, ma essa può essere vista come
una approssimazione accettabile specialmente quando sono considerati elevati volumi di
produzione. In più ci permette di utilizzare il linguaggio matematico, per definire le variabili introdotte. Definiamo allora il costo marginale (marginal cost) come la derivata
rispetto a Q della funzione del costo totale:
MC = C 0 (Q) =
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dC
dQ
§ 7.2
Definiamo il costo medio (average cost) come il rapporto fra il costo totale e la quantità
prodotta:
C
AC = .
Q
Leibniz 12. Profitto e curve di isoprofitto
§ 7.3
Troviamo l’equazione della curva di isoprofitto e la sua pendenza
Nel testo abbiamo visto che il profitto Π è dato dall’equazione:
Π(Q, P) = PQ − C(Q).
Quindi una qualsiasi curva di isoprofitto sarà esprimibile con l’equazione
PQ − C(Q) = k
dove k è una costante.
Utilizzando la regola della derivazione implicita, l’inclinazione della curva sarà:
dΠ
dP
C(Q) − P
dQ
=−
=
.
dΠ
dQ
Q
dP
Alternativamente, possiamo scrivere P come funzione implicita di Q e trovare dP/dQ
con la regola della derivazione di un quoziente:
!
dP
d k + C(Q)
QC(Q) − k − C(Q) QC 0 (Q) − PQ C 0 (Q) − P
=
.
=
=
=
dQ dQ
dQ
Q
Q2
Q2
Ricordando che C 0 è uguale al costo marginale, la pendenza della curva dell’isoprofitto è
Costo marginale − Prezzo
.
Prodotto
Leibniz 13. La scelta dell’impresa
Otteniamo la condizione del primo ordine per la massimizzazione del profitto e mostriamo
come che si può esprimere come eguaglianza fra costi marginali e ricavi marginali.
Supponiamo che l’impresa abbia di fronte una domanda la cui equazione sia P = f (Q)
dove P è la variabile dipendente e il costo totale di produzione di una determinata quantità
di prodotto sia C(Q).
Abbiamo visto che nella figura 8 del capitolo 7 il punto di massimo profitto è il punto
di tangenza E fra la curva di domanda e la curva di isoprofitto. Nel punto E, la pendenza
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§ 7.3
della curva di domanda eguaglia la pendenza della curva dell’isocosto. Da Leibniz 12
sappiamo che la pendenza della curva di isoprofitto è
C 0 (Q) P
− ,
Q
Q
mentre la pendenza della curva di domanda è f 0 (Q). Quindi nel punto di tangenza deve
essere vero che:
C 0 (Q) − P
f 0 (Q) =
Q
Riarrangiando i termini e usando il fatto che P = f (Q) sulla curva di domanda, possiamo
vedere che
f (Q) + Q f 0 (Q) = C 0 (Q).
Questa relazione, ricavata dalla pendenza della curva nel punto di massimo profitto, è
chiamata condizione del primo ordine per la massimizzazione del profitto.
Il ricavo dell’impresa è dato da R(Q) = PQ = f (Q)Q. Dalle regole di differenziazione di un prodotto
R0 (Q) =
d(Q f (Q))
= f (Q) + Q f 0 (Q).
dQ
Quindi la condizione del primo ordine per la massimizzazione dl profitto può essere
scritta come R0 (Q) = C 0 (Q).
Le due parti di questa equazione sono le derivate (i valori marginali) della funzione
del ricavo e della funzione del costo. Quindi la condizione del primo ordine può essere
scritto
Ricavo marginale = costo marginale
o più semplicemente: M R = MC.
C’è un modo più diretto e intuitivo di ottenere questa condizione di equilibrio. I
profitti dell’impresa (ricavi meno costi) sono pari a R(Q) − C(Q). La condizione del
primo ordine per la massimizzazione del profitto è
d(R(Q) − C(Q))
=0
dQ
e quindi R0 (Q) = C 0 (Q).
Leibniz 14. Elasticità della domanda e altre elasticità
Diamo definizione formale dell’elasticità della domanda e mostriamo che la nozione di elasticità si può applicare anche ad altri contesti.
Supponete di avere una funzione di domanda che metta in relazione la quantità domandata al prezzo. Se il prezzo cambia da P a P + ∆P, la quantità domandata cambierà da
Q a Q + ∆Q. Il rapporto fra la variazione proporzionale della domanda e la variazione
proporzionale del prezzo è
∆Q/Q P ∆Q
= ·
∆P/P Q ∆P
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pagina 18
§ 7.5
Quando ∆Q → 0, questo rapporto tende a
P dQ
·
Q dP
che è l’elasticità della domanda.
Visto che la curva di domanda è normalmente inclinata negativamente, l’elasticità è
generalmente un numero negativo. Ad esempio se la funzione di domanda di mercato per
un bene fosse
Q = 100P−0,8
allora
100P−0,8
Q
dQ
= −80P−1,8 = −0, 8
= −0, 8
dP
P
P
Per cui l’elasticità e costante e pari a −0.8.
Se il prezzo P di un bene aumenta, allora la quantità domandata normalmente diminuisce; la spesa per il bene che è il prodotto PQ, invece, può aumentare o diminuire.
Utilizzando la regola della differenziazione di un prodotto
!
dQ
d(PQ)
P dQ
=Q+P
=Q 1+
= Q(1 − )
dP
dP
Q dP
dove è l’elasticità della domanda in valore assoluto. Quindi quando il prezzo aumenta
la spesa aumenta se < 1 (se la domanda è rigida, o inelastica) e diminuisce se > 1
(se la domanda è elastica). Il concetto di elasticità è un concetto matematico generale,
sebbene esso sia utilizzato a quanto sembra solo dagli economisti.
Considerando una funzione y = f (x), l’elasticità di y rispetto a x è
x dx x f 0 (x)
=
y dy
f (x)
Questa misura può essere approssimata per piccole variazioni di x dal rapporto fra la
variazione proporzionale di x e la variazione proporzionale di y. Moltiplicando numeratore e denominatore per 100 possiamo sostituire la “variazione proporzionale” con la
“variazione percentuale” nella frase precedente. Quindi se assumiamo che una variazione del 1% sia una variazione piccola, l’elasticità è approssimativamente l’incremento
percentuale di y quando x aumenta del 1%.
Un altro esempio interessante di elasticità è quello fornito dalla funzione di produzione definita in Leibnitz 2[B]: y = Ah α , dove y è il prodotto, h sono le ore di lavoro e A e
α sono costanti con A > 0 e 0 < α < 1. In questo caso,
y
h dy
dy
= Aαh α−1 = α =⇒
=α
dh
h
y dh
per cui l’elasticità dell’output rispetto alle ore di lavoro è pari ad α.
Abbiamo visto due esempi di funzioni con elasticità costante, ma non è sempre questo
il caso. Consideriamo la frontiera delle possibilità di consumo di Leibniz 4[B]: y =
( h̄ − `) α dove y è l’output e ` sono le ore di tempo libero. L’elasticità di y rispetto a ` è:
αy
`
α`
× =−
h̄ − ` y
h̄ − `
In questo caso l’elasticità dipende da `, ed è molto vicina allo zero quando ` è basso e
molto grande (e negativa) quando ` è vicino a h̄.
−
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Una questione importante riguardo al segno. Gli economisti usano spesso il termine
“elasticità” per indicare il valore assoluto della elasticità. Ad esempio, nel caso di un
bene la cui domanda di mercato fosse Q = 100P−0,8 , il valore assoluto della elasticità
della domanda è 0.8 e questo valore positivo viene usato per indicare l’elasticità della
domanda del bene al posto di −0.8. Allo stesso modo, il risultato ottenuto prima per la
relazione fra spesa e variazione del prezzo di un bene, si può ora riformulare dicendo:
la spesa effettuate per acquistare un determinato bene cresce al crescere del suo prezzo
se l’elasticità è minore di 1, mentre essa decresce al crescere del prezzo se l’elasticità è
maggiore di 1.
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