Prova scritta del 16/05/14
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Prova scritta del 16/05/14
Controllo Digitale - A.A. 2013/2014 Prova scritta parziale n. 1 del 16.05.2014 Tempo per la soluzione: 2 ore Nome PC Problema 1. In un sistema di realtà virtuale, l’utente è interfacciato attraverso un joystick con un simulatore digitale. Il simulatore, in accordo con un dato modello dell’ambiente virtuale con cui l’operatore deve interagire, esercita mediante gli attuatori presenti sul joystick un ritorno di forza (force feedback) fh (t), in modo tale che l’utente percepisca le caratteristiche dinamiche dell’oggetto o dell’ambiente simulato. Con riferimento alla figura, sia f (t) la forza esercitata dall’operatore e G(s) il modello meccanico del joystick, che può essere visto come un oggetto di massa m che si muove senza attrito sotto l’azione della forza risultante f (t) − fh (t). Sia infine x(t) la posizione del joystick, la cui dinamica è quindi data da mẍ(t) = f (t) − fh (t) Il simulatore digitale campiona la posizione x(t) con periodo T e genera, in accordo con la dinamica dell’ambiente virtuale descritta dalla funzione di trasferimento H(z), il ritorno di forza. La forza aggiuntiva d(kT ) rappresenta un disturbo simulato. Si supponga che l’utente debba “toccare” un oggetto con determinate caratteristiche di elasticità e viscosità. Si assuma quindi che il modello dell’ambiente virtuale sia dato dall’approssimazione discreta (col metodo di Eulero all’indietro) di un sistema meccanico costituito da una molla di costante K e da uno smorzatore di costante B. Tale sistema è descritto nel continuo dall’equazione differenziale fh (t) = Kx(t) + B ẋ(t) 1. Si assuma il sistema inizialmente a riposo. All’istante t = 0 l’operatore urta il joystick imprimendo un impulso di forza (f (t) = δ(t)). Calcolare, in corrispondenza di questa sollecitazione, i primi due valori della posizione x(t) che vengono campionati dal simulatore (x(0) e x(T )). 2. Calcolare la funzione di trasferimento W (z) = X(z)/D(z) tra il disturbo simulato d(kT ) e la posizione campionata x(kT ). 3. Si ponga m = 0.5 e B = 0.5/T . Studiare qualitativamente la stabilità del sistema, ovvero della funzione di trasferimento W (z), al variare della costante K della molla virtuale. In particolare, mostrare che il sistema è stabile per valori di K sufficientemente piccoli e instabile per valori di K sufficientemente grandi1 . f (t) K x(t) f (t) Joystick _ fh (t) fh (t) B m x(t) G(s) Joystick ZOH H(z) T Ambiente simulato d(kT ) Ambiente simulato Problema 2. Progettare un controllore digitale C(z) con opportuna scelta del passo di campionamento per l’impianto s − 10 P (s) = in modo da soddisfare le seguenti specifiche: s(s + 4) • sistema di controllo internamente stabile, • errore a regime di inseguimento nullo in corrispondenza ad un’uscita desiderata yk0 a rampa, • parametri del transitorio della risposta al gradino unitario ts ≈ 1 s, ŝ ≤ 0.4. Ripetere il progetto con l’impianto P (s) = 1 Nei s − 10 (Attenzione!) s2 (s + 4) sistemi di realtà virtuale, è noto che le caratteristiche di stabilità peggiorano all’aumentare della rigidezza degli oggetti simulati.