Processi stocastici “Jump-Diffusion”: aspetti probabilistici

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DIPARTIMENTO DI DISCIPLINE MATEMATICHE,
FINANZA MATEMATICA ED ECONOMETRIA
WORKING PAPER N. 13/2
Processi stocastici “Jump-Diffusion”:
aspetti probabilistici
Attilio Wedlin
ISBN 978-88-343-2472-1
VITA E PENSIERO
Università Cattolica del Sacro Cuore
DIPARTIMENTO DI DISCIPLINE MATEMATICHE,
FINANZA MATEMATICA ED ECONOMETRIA
WORKING PAPER N. 13/2
Processi stocastici “Jump-Diffusion”:
aspetti probabilistici
Attilio Wedlin
VITA E PENSIERO
Attilio Wedlin, Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali, Ma-tematiche
e Statistiche “Bruno de Finetti”, Università degli Studi di Trieste, Piazzale
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© 2013 Attilio Wedlin
ISBN 978-88-343-2472-1
Abstract
In questo lavoro a carattere introduttivo ci proponiamo di
presentare in una prospettiva storica alcuni modelli economici che
impiegano processi jump – diffusion limitando, per quanto possibile,
le difficoltà di carattere matematico; daremo però al lettore indicazioni
bibliografiche per consentirgli di acquisire, se lo desidera, la
conoscenza rigorosa degli strumenti probabilistici che intervengono
nel discorso.
Keywords: Processi stocastici, processi di Lévy, equazioni
differenziali stocastiche, processi di diffusione, processi di punto.
3
1. Introduzione
Nella letteratura economico - finanziaria recente vengono spesso
proposti modelli stocastici e dinamici che si basano sull’uso di
“processi jump – diffusion”, cioè di processi stocastici le cui
realizzazioni sono continue a tratti, cioè affette da discontinuità di
salto di ampiezza aleatoria in epoche aleatorie. Cioè tra due
discontinuità successive l’andamento del processo è quello di una
funzione continua, ma una traiettoria generica sull’intervallo
temporale [0,T] presenta un numero finito o infinito di discontinuità di
prima specie aventi ampiezze generalmente differenti tra loro.
I campi in cui si rendono utili tali modelli sono i più diversi: nei
fenomeni economici si verificano spesso cambiamenti di regime non
prevedibili, come quando la banca centrale decide una variazione di
un qualche tasso di interesse o come quando il prezzo di mercato di un
bene o di un’azione subisce un incremento, positivo o negativo, di
ampiezza rilevante in tempi brevi; nelle scienze fisiche tali modelli
possono rappresentare l’evoluzione nel tempo dell’energia di una
particella che, nel suo cammino, urta contro altre particelle perdendo o
acquistando energia; in campo medico, variazioni improvvise e
importanti di parametri vitali, come la pressione arteriosa o il livello di
glicemia, possono richiedere l’impiego di rappresentazioni del tipo su
menzionato.
In generale, le rappresentazioni di fenomeni aleatori mediante
funzioni continue rendono poco probabili le variazioni sensibili dei
livelli delle variabili in tempi brevi cosicché possono essere necessari
modelli in cui siano ammessi esplicitamente andamenti discontinui.
Nella letteratura probabilistica i processi stocastici jump – diffusion
non sono una novità: già negli anni trenta del secolo scorso importanti
matematici, quali B. de Finetti, A.N. Kolmogorov, A. Khintchine, P.
Lévy e altri, avevano studiato una categoria di processi di Markov con
le caratteristiche suddette; oggi tali processi sono noti come “processi
di Lèvy”. Naturalmente i processi jump - diffusion che si usano
attualmente, per esempio nell’ambito della Finanza matematica, sono
ben più complicati di quelli e richiedono agli addetti ai lavori la
conoscenza di strumenti matematici raffinati, argomento dei corsi
universitari di Calcolo stocastico.
4
2. Cenni storici
Per un inquadramento storico adeguato dobbiamo risalire all’anno
1900: nel marzo di quell’anno importante per la storia della Fisica e
della Matematica un matematico francese, Louis Bachelier (18701946), discusse la sua tesi di dottorato dal titolo “Théorie de la
Spéculation” (1) con una commissione formata dai professori H.
Poincaré, P. Appell e J. Bussinesque. Si può affermare che questa tesi
rappresenta, se non proprio l’atto di nascita, sicuramente un evento
eccezionalmente importante per il sorgere della Teoria dei processi
stocastici e della moderna Finanza matematica poiché in essa veniva
introdotto il fondamentale processo stocastico oggi detto “di moto
Browniano” e veniva costruito con esso un modello probabilistico per
la rappresentazione dell’evoluzione nel tempo dei prezzi dei beni e
delle attività finanziarie: sicuramente il primo esempio di modello
dinamico e stocastico di fenomeni economici.
Indicati con S (t ) e {W (t ); t ≥ 0} il prezzo aleatorio di un bene o
di un’attività finanziaria al tempo t e, rispettivamente, il processo di
moto Browniano, L. Bachelier proponeva la rappresentazione
S (t ) = σ .W (t ) , o la più generale
1)
S (t ) = S (0) + μ .t + σ .W (t ) ,
ove S (0) e W (t ) erano assunti essere indipendenti e ove μ e σ > 0
erano delle costanti note. Poiché {W (t ); t ≥ 0} è un processo
Gaussiano con funzione valor medio identicamente nulla e funzione di
covarianza Cov [W (t ), W ( s ) ] = min ( s, t ) si ha per il processo
{S (t )} :
2)
E [ S (t ) ] = E [ S (0) ] + μ .t ,
Cov [ S (t ), S ( s ) ] = Var [ S (0) ] + σ 2 .min ( s, t ) .
5
Nell’ipotesi che sia E[ S (0)] > 0 e μ ≥ 0 si ha E [ S (t ) ] > 0 , ma il
valore del prezzo S (t ) può essere negativo; inoltre l’estrema
irregolarità delle traiettorie di W (t ) , che sono continue ma quasi
certamente non derivabili in ogni punto t , implica un’irregolarità
analoga per gli andamenti di S (t ) . Da qui l’impossibilità di previsioni
affidabili su S (t ) .
I contenuti della tesi di Bachelier, di cui parleremo ancora nel
seguito, erano decisamente in forte anticipo rispetto ai livelli degli
studi economici e matematico-probabilistici dell’epoca. Con
l’eccezione della Scuola di Losanna (L. Walras e V. Pareto) i
ragionamenti e le trattazioni degli economisti erano sostanzialmente di
tipo qualitativo ed anche quando si affrontavano questioni di
“equilibrio economico generale” le formalizzazioni non erano mai di
tipo stocastico.
Per quanto riguarda la nozione di probabilità non esisteva ancora
né un’impostazione formale né una di tipo interpretativo; per la prima
bisognerà aspettare più di trent’anni: nel 1933, A. N. Kolmogorov
pubblicò una monografia, dal titolo “Grundbegriffe der
Wahrscheinlichkeitrechnung” (2), che considerava il Calcolo delle
probabilità come un caso particolare della recente Teoria della misura,
conferendo con ciò agli studi di probabilità una piena rispettabilità
matematica. Anche per l’impostazione interpretativa bisognerà
arrivare agli anni Trenta: B. de Finetti espose la sua interpretazione
soggettiva della probabilità in una serie di conferenze all’Istituto H.
Poincaré di Parigi nel 1935. Il seminario aveva il titolo “La prevision:
ses lois logiques, ses sources subjectives” (3).
Evidentemente, in assenza di una Teoria della probabilità non
poteva esistere nel 1900 una Teoria dei processi stocastici: a parte L.
Bachelier, i primi ad impiegare la nozione di processo stocastico come
insieme di numeri aleatori sono F. Lundberg nel 1903, A. Einstein nel
1905, A. Markov nel 1906, N. Wiener nel 1923 e pochi altri.
Ritornando alla tesi di Bachelier appare impressionante la sequenza
delle anticipazioni di concetti e risultati importanti presenti in essa:
egli riconosce quella che si chiamerà in seguito la “proprietà
markoviana” del processo { W (t ) }; determina le condizioni di
coerenza per le sue funzioni di transizione, che in seguito si diranno
6
“condizioni di Chapman – Kolmogorov”, e trova per esse l’equazione
differenziale alle derivate parziali che sarà ritrovata più tardi e
indipendentemente da A. Einstein; introduce la nozione di
“conditional expectation”, o funzione di regressione, che Kolmogorov
definirà rigorosamente nel 1933 e potremmo continuare.
Come spesso accade a coloro le cui idee anticipano troppo i tempi,
L. Bachelier non vide riconoscere dai contemporanei il valore delle
sue impostazioni. Dopo la morte del suo relatore di tesi e sostenitore
H. Poincaré egli non trovò nell’ambiente matematico parigino
l’accoglienza che meritava e nonostante che proseguisse nei suoi studi
e nelle pubblicazioni scientifiche arrivò molto tardi ad occupare una
cattedra universitaria a Besancon.
Si è già detto che nei primi anni del XX secolo gli economisti non
avevano ancora la preparazione necessaria per lo studio dei mercati
finanziari; negli anni Trenta gli statistici A. Cowles e H. Working
intrapresero uno studio sistematico dell’evoluzione dei prezzi di
mercato, ma non trovarono nelle serie storiche esaminate elementi
quali trend e ciclicità che consentissero una previsione degli
andamenti futuri. Ad un risultato analogo arrivò lo statistico inglese
M.G. Kendall che presentò i suoi risultati nel 1953 ad una riunione
della Royal Statistical Society con la comunicazione dal titolo “The
analysis of economic time-series. Part 1. Prices” (4). Nel 1959,
M.F.M. Osborne e H. Roberts in due importanti lavori sostennero la
sostanziale imprevedibilità dei prezzi futuri confermando una volta di
più l’intuizione di L. Bachelier.
Nel 1965 vennero pubblicati due notevoli articoli di P. Samuelson,
premio Nobel per l’Economia nel 1970, con i titoli “Proof that
properly anticipated prices fluctuate randomly” (5) e “Rational theory
of warrant pricing” (6). In essi veniva proposto un modello stocastico
per l’evoluzione dei prezzi che introduceva il “processo di moto
Browniano geometrico”:
3)
ln
S (t )
= μ .t + σ .W (t ) ;
S (0)
7
in questo modello è il logaritmo del prezzo relativo a comportarsi
come un processo di moto Browniano. Dall’uguaglianza precedente si
ricava facilmente l’espressione per S (t )
4)
S (t ) = S (0).exp {μ .t + σ .W (t )}
alla quale si arriva anche risolvendo l’equazione differenziale
stocastica
5)
⎡⎛
⎤
σ2 ⎞
dS (t ) = S (t ). ⎢⎜ μ +
⎟ dt + σ .dW (t ) ⎥ ,
2 ⎠
⎣⎝
⎦
S (0) = S0 .
Nei modelli visti fin qui le traiettorie del processo S (t ) sono
continue e quindi risultano improbabili grandi variazioni nel livello
dei prezzi in tempi brevi, a meno di non ammettere elevati valori della
volatilità σ .
Nella letteratura economica il primo articolo a proporre un modello
di processo jump – diffusion sembra essere quello dello statistico
americano S.J. Press (1967) dal titolo “A compound events model for
security prices” (7) nel quale si assume la seguente ipotesi in
sostituzione della 3) :
N (t )
S (t )
6)
= σ .W (t ) + ∑ Y j ,
ln
S (0)
j =1
ove i numeri aleatori Y j sono assunti essere mutuamente indipendenti
e indipendenti dal processo poissoniano N (t ) , oltre che dal processo
W (t ) . In altre parole i logaritmi dei prezzi relativi seguono un
modello dato da una combinazione lineare di un moto Browniano e di
8
un processo di Poisson composto i cui jumps Y j hanno una
distribuzione di probabilità normale, N (m, v) . Come vedremo in
seguito, la somma a secondo membro della 6) costituisce un semplice
processo di Lévy le cui caratteristiche sono determinate dalla volatilità
σ, dall’intensità λ del processo N (t ) , supposta costante, e dalla
distribuzione N (m, v) delle discontinuità Y j .
In campo assicurativo si trova un modello analogo al precedente
sotto il nome di modello di Cramèr – Lundberg che descrive
l’andamento nel tempo del capitale U(t) di una compagnia di
assicurazioni: esso cresce attraverso l’acquisizione dei premi pagati
dagli assicurati, ma subisce delle diminuzioni aleatorie in epoche
aleatorie a causa dei risarcimenti dei danni denunciati dagli stessi
assicurati. Formalmente il modello è il seguente:
N (t )
7)
U (t ) = U (0) + [ μ .t + σ .W (t ) ] − ∑ Y j ,
j =1
μ > 0, Y j > 0,
in cui la presenza del processo W(t) descrive le irregolarità casuali
nell’acquisizione dei premi e ove, a differenza del modello precedente,
le discontinuità Y j hanno una comune distribuzione di probabilità tale
{
}
che sia P Y j ≥ 0 = 1 .
Famoso nella letteratura economica rimane l’articolo di R. Merton
del 1976 dal titolo “Option pricing when underlying stock returns are
discontinuous” (8) nel quale egli propone il modello
8)
dS (t ) = S (t ).[ μ .dt + σ .dW (t ) + dZ (t ) ] ,
ove Z (t ) =
S (0) = S0 ,
N (t )
∑ Y = ∫ y.Nω (t , dy) è un processo di Poisson composto
j =1
j
R
analogo a quello presente nella 6) , espresso anche come integrale
stocastico di Riemann – Stieltjes rispetto alla misura aleatoria di
Poisson Nω (t , dy ) che descrive completamente, come vedremo, il
processo Z (t ).
9
La soluzione dell’equazione differenziale stocastica 8) è nota come
“processo di Lévy geometrico” ed è espressa dalle
t
⎫⎪
σ2 ⎞
⎪⎧⎛
S (t ) = S0 .exp ⎨⎜ μ −
⎟ .t + σ .W (t ) + ∫ log (1 + Ys )Nω (ds, R) ⎬ =
2 ⎠
0
⎩⎪⎝
⎭⎪
⎧⎪⎛
⎫⎪
⎡ N (t )
⎤
σ2 ⎞
= S0 . ⎢∏ (1 + Yn ) ⎥ .exp ⎨⎜ μ −
⎟ .t + σ .W (t ) ⎬ .
2 ⎠
⎣ n =1
⎦
⎩⎪⎝
⎭⎪
3. Qualche dettaglio matematico – probabilistico
Allo scopo di non appesantire eccessivamente l’esposizione
rinunceremo talvolta ai dettagli analitici e al rigore nella trattazione
rinviando il lettore ai manuali elencati in bibliografia.
(a) Una semplice equazione differenziale stocastica
I tre modelli di tipo esponenziale presentati nel paragrafo
precedente, e cioè i modelli di Samuelson, di Press e di Merton, sono
soluzioni di equazioni differenziali stocastiche del tipo
9)
dS (t ) = S (t )dL(t ),
S (0) = S0 ,
denominate spesso in letteratura “equazioni di Doleans - Dade”, ove
L(t ) rappresenta un processo di Lévy, cioè sostanzialmente un
processo stocastico a parametro continuo avente incrementi
indipendenti e omogenei. Allo scopo di presentare la soluzione
generale della 9) scriveremo
L(t ) = Lc (t ) + ∑ ΔL( s ) ,
s ≤t
10
ove Lc (t ) denota la componente continua del processo e
∑ ΔL(s) la
s ≤t
sua componente discontinua. Il simbolo ΔL( s ) indica l’eventuale
discontinuità L( s ) − L( s − ) all’epoca s . Nel modello di Merton è
Lc (t ) = μ.t + σ .W (t ) e
N (t )
∑ ΔL(s) = Z (t ) = ∑ Y j .
s ≤t
j =1
Si dimostra che nell’ipotesi che sia Y j > −1 per ogni intero j , la
soluzione dell’equazione 9) è espressa dalla
1
⎧
⎫
⎧
⎫
S (t ) = ⎨∏ [1 + ΔL( s )] .e −ΔL ( s ) ⎬ .exp ⎨ L(t ) − [ Lc , Lc ] (t ) ⎬ ,
2
⎩
⎭
⎩ s ≤t
⎭
10)
ove il simbolo [ Lc , Lc ] (t ) denota il processo stocastico “variazione
quadratica della componente continua di L(t ) ” definito dal limite in
n
media quadratica
2
lim ∑ ⎡⎣ Lc (t ) − Lc (t ) ⎤⎦ . Nel modello di
n →∞
j =0
(n)
j +1
(n)
j
Merton, e anche in quello di Samuelson, si ha [ Lc , Lc ] (t ) = σ 2 .t : in
tal caso il processo variazione quadratica di Lc (t ) è deterministico.
(b) Cenni sui processi di Lévy
Il punto di partenza è dato dalle distribuzioni di probabilità
“infinitamente divisibili” che sono strettamente connesse con i
processi a parametro continuo ad incrementi indipendenti e omogenei.
Ricordiamo che il numero aleatorio X ha una distribuzione
infinitamente divisibile se per ogni intero n esistono numeri aleatori
X ni , i = 1,…….,n , indipendenti e ugualmente distribuiti, tali che sia
d
n
X = ∑ X ni . Bisogna dire subito che molte delle distribuzioni usate
i =1
correntemente hanno questa proprietà, ad esempio le distribuzioni
Normale, Gamma, di Poisson,….
11
Nei primi anni Trenta Bruno de Finetti, scoprendo la connessione
suddetta, affrontò il problema di trovare la rappresentazione generale
per tali distribuzioni, il ché corrisponde a trovare quella per i processi
con incrementi indipendenti e omogenei; egli riuscì a trovare il
seguente notevole risultato.
Teorema di B. de Finetti : le distribuzioni infinitamente divisibili sono
tutte e sole quelle aventi funzione caratteristica del tipo
Φ (u ) = exp {λ.[ χ (u ) − 1]} ed inoltre quelle ottenute come limiti di
opportune successioni di funzioni caratteristiche del tipo precedente.
Si osservi che l’espressione presente nell’enunciato è la funzione
caratteristica di una distribuzione di Poisson composto nella quale λ
indica l’intensità del processo di Poisson N (t ) mentre χ (u ) indica
la funzione caratteristica della distribuzione dei jumps Y j . E’
abbastanza sorprendente ricavare dal teorema suddetto che la
distribuzione Gaussiana può essere rappresentata come limite di
distribuzioni di Poisson composto!
La suddetta rappresentazione non era però quella generale che fu
trovata da P. Lévy qualche anno dopo; il risultato è noto come
“formula di Lévy – Khintchine” e corrisponde alla seguente
espressione per la funzione caratteristica:
⎧⎪
⎫⎪
σ2
Φ(u ) = exp ⎨i μ u − .u 2 + ∫ ⎡⎣eiux − 1 − iux.I ( −1,1) ( x) ⎤⎦ν (dx) ⎬
2
R −{0}
⎩⎪
⎭⎪
nella quale compare la “misura di Lévy” ν (dx) alla quale si richiede
di soddisfare le condizioni
∫(x
2
∧ 1)ν (dx) < ∞ e ν ({0}) = 0 .
R
La corrispondente rappresentazione generale per i processi con
incrementi indipendenti e omogenei è detta “formula di Lévy – Ito”:
12
X (t ) = μ .t + σ .W (t ) +
∫
−
x. N ω (t , dx) +
x <c
ove
Nω (t , dx)
indica
−
la
N ω (t , dx) = Nω (t , dx) − t.ν (dx)
∫
x.Nω (t , dx ) ,
x ≥c
misura
è
detta
aleatoria
“misura
di
di
Poisson;
Poisson
compensata”.
Il significato del simbolo Nω (t , dx) è quello di numero aleatorio
dei jumps di ampiezza compresa nell’intervallo (x, x+dx] che si
verificano
nell’intervallo
temporale
(0,
t];
ovviamente
t
Nω (t , B) = ∫ ∫ Nω (ds, dx) è il numero aleatorio dei jumps di
0 B
ampiezza contenuta nell’insieme boreliano B verificatisi
nell’intervallo (0,t]. E’ inoltre ν ( B ) = E [ Nω (1, B ) ] ed infine
t
l’integrale di Poisson
∫ ∫ x.Nω (dx, ds)
esprime la somma dei jumps
B 0
di ampiezza contenuta in B verificatisi nell’intervallo temporale (0, t].
Dal punto di vista del significato della formula di Lévy – Ito si può
affermare che il generale processo a tempo continuo con incrementi
indipendenti e omogenei, cioè il generale processo di Lévy, è una
combinazione lineare di t, del processo di moto Browniano W(t) e di
un processo puramente discontinuo che può avere un numero infinito
di discontinuità in ogni intervallo temporale finito, quando ν ( R ) non
è finita.
Più in dettaglio, dei due integrali nella formula di Lévy – Ito il
secondo, concernente discontinuità di ampiezza non minore del
numero reale positivo c, si può affermare che esso rappresenta la
somma dei jumps in (0, t] di un processo di Poisson composto
caratterizzato dalla misura aleatoria Nω [ dt , ds ] definita in
R+ × [c, +∞) . Il primo integrale invece concerne la somma dei jumps
di ampiezza minore di c generati da una combinazione lineare di
13
infiniti processi di Poisson composto: per evitare che tale somma
possa divergere si è impiegata la misura di Poisson compensata
−
N ω (t , dx) = Nω (t , dx) − t.ν (dx) .
Il processo di Merton è un semplice caso particolare in cui la
componente discontinua è data da un processo di Poisson composto
che ha un numero finito di discontinuità in ogni intervallo temporale
finito perché la corrispondente misura di Lévy è finita, cioè
ν ( R) < ∞ ; per esso la misura di Lévy della componente discontinua è
data dalla ν (dx) = λ.FY (dx) , ove FY (dx) indica la misura di
probabilità corrispondente alla comune funzione di ripartizione FY (.)
dei jumps Y j .
(c) Generalizzazioni dei processi di Lévy
Si è detto che il generale processo di Lévy è una combinazione
lineare di t, di W(t) e di un processo puramente discontinuo. La
naturale generalizzazione di questo modello si ottiene sostituendo a
W(t) un “processo di diffusione” e alla componente discontinua un
“processo di punto pesato”.
Un processo di diffusione (omogeneo) è la soluzione di una
equazione differenziale stocastica del tipo
dX (t ) = α ( X t ) dt + β ( X t ) dW (t ),
X (0) = X 0 ,
ove le funzioni aleatorie α ( X t ) e β ( X t ) , dette coefficiente di drift e,
rispettivamente, coefficiente di diffusione, devono soddisfare
opportune condizioni di integrabilità.
Si dimostra che i processi di diffusione sono markoviani e che le
loro traiettorie sono continue, analogamente a quelle del processo di
moto Browniano W(t). Un semplice processo di diffusione è dato dalla
soluzione dell’equazione di Langevin:
14
dX (t ) = −α . X (t )dt + β dW (t ),
con coefficienti
α e β
X (0) = X 0 ,
positivi. Si dimostra che il processo
soluzione è dato dalla
t
(11)
X (t ) = X 0 .exp {−α .t} + β .∫ exp {−α ( t − s )} dW ( s )
0
e se la condizione iniziale X 0 ha una distribuzione Gaussiana allora
{ X (t ); t ≥ 0} è Gaussiano con funzione
valor medio E [ X (t ) ] = E [ X 0 ] .e −α t e funzione di varianza
Var [ X (t ) ] = e −2α t .Var ( X 0 ) + ⎡⎣ β 2 . (1 − e −2α t ) / 2α ⎤⎦ .
E’
detto
anche il processo soluzione
processo di Ornstein – Uhlenbeck quello espresso dalla (11) se la
condizione iniziale X 0 è un numero aleatorio con distribuzione
Gaussiana di valor medio nullo e varianza β 2 / 2α : in tal caso il
processo X (t ) è stazionario, oltre che Gaussiano e markoviano.
Un processo di punto pesato (marked point process) è una
successione di coppie di numeri aleatori (Tn , Yn ) , n ≥ 1 , ove Tn
indica l’epoca aleatoria in cui si verifica l’ennesimo evento di un
fissato insieme e Yn il peso aleatorio associato a quell’evento. Per un
esempio si pensi all’arrivo di successivi clienti ad una cassa di un
supermercato: Yn potrebbe essere l’importo pagato dall’ennesimo
cliente della giornata giunto a quella cassa al tempo Tn .
La caratterizzazione probabilistica di tali processi può essere fatta
in
termini
di
una
misura
aleatoria
di
conteggio
M ω (t , B) =
Tn ≤ t . Yn ∈ B , definita in ( R+ × R ) e ove B ∈ Β R ,
∑
n ≥1
della quale un caso particolare è la misura aleatoria di Poisson
Nω (t , B) di cui si è detto in precedenza; la particolarità consiste nella
15
costanza dell’intensità λ del processo dei tempi di arrivo { Tn }, che
una distribuzione Gamma- ( n, λ ) , e l’uguale
Tn
assegna a
distribuzione FY (.) dei numeri aleatori mutuamente indipendenti Yn .
Se esiste la densità
M ω (dt , dy )
di
M ω (t , B)
allora è
t
M ω (t , B) = ∫ ∫ M ω (ds, dy ) e
la somma aleatoria dei pesi Yn
0 B
associati agli eventi verificatisi nell’intervallo temporale [0, t] è
esprimibile come
t
∑ Yn . Tn ≤ t = ∫ ∫ y.M ω (ds, dy) .
n ≥0
0 R
Un semplice esempio, già noto, è il processo di Poisson composto
N (t )
Z (t ) = ∑ Y j : per esso è M ω (t , B ) = Nω (t , B) ; esempi meno
j =1
semplici si ottengono consentendo all’intensità λ ( t ) di variare nel
tempo e assumendo che anche la distribuzione degli Yn dipenda dal
tempo:
si
avrebbe
allora
t
E[ M ω (t , B )] = ∫ M ω (t , B)dP(ω ) = ∫ ∫ λ ( s).Fs (dy ) .
Ω
0 B
Ovviamente, le traiettorie dei processi di punto pesati sono costanti
a tratti, come quelle del processo di Poisson composto. Sono anch’essi
processi di Markov se i numeri aleatori Yn sono mutuamente
indipendenti e se sono indipendenti dai tempi aleatori Tn .
4. Processi stocastici jump – diffusion
Alla fine del paragrafo riguardante alcuni cenni storici
sull’adozione di modelli stocastici del tipo jump - diffusion nella
letteratura economica ci si era soffermati sul modello di Merton la cui
soluzione forniva il processo di Lévy geometrico. Una prima
generalizzazione di quel modello può riguardare i due coefficienti
16
μ e σ che possono essere ipotizzati dipendenti dal tempo in un
qualche modo deterministico e quindi sostituiti da due funzioni
μt e σ t integrabili. Allora l’equazione (8) diventa
(12)
dS (t ) = S (t ).[ μt dt + σ t dW (t ) + dZ (t )] ,
S (0) = S0 ,
la cui soluzione è il processo jump – diffusion
t
⎧t ⎛
⎫ ⎡ N (t )
⎤
1 2⎞
S (t ) = S0 .exp ⎨ ∫ ⎜ μ s − σ s ⎟ds + ∫ σ s dW ( s ) ⎬ . ⎢∏ (1 + Yn ) ⎥ .
2 ⎠
⎦
0
⎩0 ⎝
⎭ ⎣ n =1
Il primo integrale nella parentesi graffa è un integrale di Riemann
mentre il secondo è un integrale stocastico di Wiener.
Un’ulteriore generalizzazione si ottiene considerando l’equazione
differenziale
(13)
dS (t ) = S (t − ).[ μω (t )dt + σ ω (t )dW (t ) + γ ω (t , y )dZ (t )] ,
S (0) = S0 ,
nella
quale
sono
introdotti
i
coefficienti
stocastici
μω (t ), σ ω (t ) e γ ω (t , y ) : sono processi stocastici ai quali vengono
richieste opportune proprietà di misurabilità e integrabilità; in
particolare si richiede che γ ω (t , y ) sia “prevedibile” (in lingua
inglese: predictable), cioè che il suo valore al tempo t sia
determinabile in base ai valori precedenti mediante un passaggio al
limite, il ché accade se il processo è continuo a sinistra per ogni t, o se
è continuo per ogni t. Si veda su ciò, per esempio, il testo di F.C.
Klebaner [2]. A causa di questa condizione nella (13) compare a
17
secondo membro S (t − ) = lim S (τ ) anziché S (t ) , ove il passaggio al
τ ↑t
limite va inteso in probabilità.
Si dimostra che la soluzione della (13) è espressa dalla
t
⎧t ⎛
⎫ N (t )
1
⎞
S (t ) = S0 .exp ⎨ ∫ ⎜ μω ( s ) − .σ ω2 ( s ) ⎟ ds + ∫ σ ω ( s )dW ( s ) ⎬ .∏ [1 + γ ω (Tn , Yn ) ]
2
⎠
0
⎩0 ⎝
⎭ n =1
ove il primo integrale stocastico nella parentesi graffa è da intendersi
in media quadratica mentre il secondo è una generalizzazione
dell’integrale di Wiener, detta integrale stocastico di Ito, poiché la
funzione integranda σ ω (t ) è un processo stocastico e non una
funzione deterministica come nell’integrale di Wiener che compare
nella soluzione della (12).
Un modello ancora più generale si ottiene sostituendo il processo di
Poisson composto che descrive la componente discontinua con un
generale processo di punto pesato caratterizzato dalla misura aleatoria
di conteggio M ω (dt , dy ) :
(14)
dS (t ) = S (t − ).[ μω (t )dt + σ ω (t )dW (t ) + ∫ γ ω (t , y ).M ω (dt , dy )] ,
R
S (0) = S0 .
Siamo così giunti ad una equazione differenziale stocastica del tipo
(9) ove il processo L(t ) è dato dalla somma di un processo di
diffusione
t
t
0
0
X 1 (t ) − X 1 (0) = ∫ μω ( s)ds + ∫ σ ω ( s )dW ( s )
e un processo di punto pesato
18
t
X 2 (t ) − X 2 (0) = ∫ ∫ γ ω ( s, y ).M ω (ds, dy )
R 0
tra loro indipendenti e indipendenti da S (0) ; tale somma è spesso
indicata in letteratura “processo jump – diffusion” anche se non c’è
ancora un accordo generale su tale denominazione.
19
Bibliografia
(1) L. Bachelier, “Théorie de la spéculation”, Annales de l’Ecole
Normale Supérieure 17 (1900), 21 – 86.
(2) A.N. Kolmogorov, “Foundations of the Theory of
Probability”, Chelsea Press, New York, (1950). (The German
original appeared in 1933).
(3) B. de Finetti, “La prévision: ses lois logiques, ses sources
subjectives”. Annales de l’Institut Henri Poincaré, vol. VII,
fasc. I; 1 – 68.
(4) M.G. Kendall, “The analysis of economic time-series. Part 1.
Prices”. Journal of the Royal Statistical Society 96 (1953), 11
– 25.
(5) P.A. Samuelson, “Proof that properly anticipated prices
fluctuate randomly”, Industrial Management Review 6
(1965), 41 - 49.
(6) P.A.Samuelson, “Rational theory of warrant pricing”.
Industrial Management Review 6 (1965), 13 – 31.
(7) S.J. Press, “A compound events model for security prices”.
Journal of Business 40 (1967), 317 – 335.
(8) R.C. Merton, “Option pricing when underlying stock returns
are discontinuous”. Journal of Financial Economics 3 (1976),
125 – 144.
Altre indicazioni bibliografiche
Per una prima introduzione al Calcolo stocastico riteniamo di
suggerire il testo di H.H. Kuo per la grande attenzione che dedica
all’aspetto didattico
[1] H.H. Kuo (2006) – Introduction to Stochastic Integration.
Springer.
Maggiori informazioni sugli argomenti di questa nota introduttiva
ai processi jump - diffusion si possono ottenere dai testi:
20
[2] F.C. Klebaner (2005) – Introduction to Stochastic Calculus with
Applications. World Scientific.
[3]
T. Mikosch (1998) - Elementary Stochastic Calculus with
Finance in View. World Scientific.
[4] A.N. Shiryaev (1999) – Essentials of Stochastic Finance (Vol. n.
3). World Scientific.
Giustamente molto citato il seguente testo dedicato alle equazioni
differenziali stocastiche e ad alcune applicazioni
[5] B. Oksendal (2003) – Stochastic Differential Equations. Springer
– Verlag.
I seguenti trattati presuppongono una prima informazione
sull’Analisi stocastica ottenibile dai testi precedenti
[6] D. Applebaum (2009) – Lévy Processes and Stochastic Calculus.
Cambridge University Press.
[7] P. Brémaud (1981) – Point Processes and Queues: Martingale
Dynamics. Springer – Verlag.
[8] R.S. Liptser and A.N. Shiryaev (2001) – Statistics of Random
Processes. Springer – Verlag.
[9]
P. Protter (2004) – Stochastic Integration and Differential
Equations. Springer – Verlag.
[10] L.C.G. Rogers and D. Williams (1994) – Diffusions, Markov
processes and Martingales. J. Wiley.
Sui processi stocastici jump – diffusion ci limitiamo ad indicare la
nota seguente, utile anche per la sua ricca bibliografia
21
[11]
W.J. Runggaldier (2002) – “Jump, Diffusion models”.
Dipartimento di Matematica Pura e Applicata dell’Università di
Padova.
ed il testo più impegnativo
[12] B. Oksendal and A. Sulem (2005) – Applied Stochastic Control
of Jump Diffusions. Springer.
22
Dipartimento di Discipline Matematiche,
Finanza Matematica ed Econometria
Working Papers
2012
12.1. CARSTEN KRABBE NIELSEN & GERD WEINRICH,
Bank Regulation when both Deposit Rate Control and
Capital Requirements are Socially Costly, maggio 2012.
12.2. FAUSTO MIGNANEGO & ALESSANDRO SBUELZ,
Analytical cyclical price-dividend ratios, luglio 2012.
BARZI,
FLAVIA
CORTELEZZI,
12.3. FEDERICA
GIOVANNI MARSEGUERRA & MARIA GRAZIA
ZOIA, Cooperative innovation. Evidence from Italian
firms, novembre 2012.
2013
GIAN
PAOLO
&
CORNARO
13.1 CLEMENTE
ALESSANDRA, Lower Bounds for Kirchhoff Index: a
Numerical Procedure, gennaio 2013.
13.2 WEDLIN ATTILIO, Processi stocastici “Jump-Diffusion”:
aspetti probabilistici, gennaio 2013.
23
Finito di stampare da
Gi&Gi srl - Triuggio (MB)
Gennaio 2013
24
COP Wedlin.qxd:_ 24/01/13 13:11 Page 1
DIPARTIMENTO DI DISCIPLINE MATEMATICHE,
FINANZA MATEMATICA ED ECONOMETRIA
WORKING PAPER N. 13/2
Processi stocastici “Jump-Diffusion”:
aspetti probabilistici
Attilio Wedlin
ISBN 978-88-343-2472-1
VITA E PENSIERO