Tra matematica e caos

Introduzione
L’uomo ha da sempre un obiettivo, o meglio un desiderio, studiare la natura.
Secondo Karl Popper ogni evento naturale è causato da qualche evento precedente; cosicché ogni
evento è spiegabile e prevedibile. Tuttavia il senso comune attribuisce all’uomo, almeno in molte
situazioni, la capacità di scegliere liberamente fra possibili alternative d’azioni.
Tale contraddizione è comunemente chiamata dilemma del determinismo.
Ma qual è la chiave di questo problema? E’ il rapporto che l’uomo ha con il mondo, o meglio con il
tempo. Il tempo è la dimensione fondamentale della nostra esistenza ma è anche la dimensione
fondamentale della fisica: dalla dinamica classica newtoniana fino alla relatività e alla fisica
quantistica il tempo risulta “incorporato” in qualsiasi fenomeno temporale, con un unico vincolo:
non esiste una freccia del tempo, ovvero non vi è alcuna distinzione tra il passato e il futuro, anzi è
prevista una certa simmetria temporale in tutti i processi naturali.
Nella seconda metà dell’ottocento, grazie agli studi del fisico Boltzman, venne identificato tale
paradosso: egli, sulla scia degli studi sull’evoluzione della specie di Darwin in biologia, credette di
poter dare una descrizione evoluzionistica dei fenomeni fisici, ma non fece altro che evidenziare la
contraddizione tra le leggi della fisica newtoniana fondate sull’equivalenza tra passato e futuro e il
suo tentativo di formulazione evoluzionistica1.
Dopo Boltzman la freccia del tempo è stata relegata in un primo momento nell’ambito della
fenomenologia, ma con lo sviluppo della fisica del non equilibrio e della scienza dei sistemi
dinamici instabili ad opera del premio nobel Prigogine 2 si rese necessaria una revisione dell’idea di
tempo usata dall’epoca di Galileo. A partire dagli studi di Prigogine si aprirono una stragrande
maggioranze di ricerche in molti settori, tra cui quello del caos deterministico.
Il concetto di caos deterministico sembra un ossimoro, ovvero l’accostamento di due termini che
esprimono concetti contrari. Infatti «caos» significa assenza di regole, irregolarità, imprevedibilità,
mentre l’aggettivo «deterministico» significa regolare, prevedibile, e viene riferito a fenomeni
ordinati e pianificabili. La scoperta del caos deterministico, nell’ambito della teoria matematica dei
sistemi dinamici non lineari, spezza questa dicotomia, in quanto ci mostra come si possano generare
successioni di numeri apparentemente casuali mediante l’applicazione ripetuta (iterazione) di
semplici funzioni, anche di quelle che si studiano nei bienni delle scuole medie superiori, purché
non lineari. L’irregolarità delle sequenze così generate, unitamente al fatto che modifiche anche
impercettibili del valore da cui inizia il processo iterativo possono causare cambiamenti notevoli nei
valori successivi (la cosiddetta sensitività rispetto alle condizioni iniziali), se da una parte
diminuiscono la capacità di fare previsioni sul comportamento asintotico dei modelli dinamici non
lineari, dall’altra suggeriscono che fenomeni del mondo reale che evolvono in modo
apparentemente casuale potrebbero essere simulati matematicamente mediante l’iterazione di
semplici schemi deterministici. Questo ha destato la nostra curiosità e anche dei non addetti ai
lavori, tanto che la cosiddetta «teoria del caos» è recentemente entrata a pieno titolo, anche se
talvolta in maniera un po’ impropria, in settori esterni alla letteratura scientifica, dai romanzi alla
pittura, dal cinema ai salotti culturali.
Ora vi aspettereste questo:
Un sistema dinamico si dice caotico se presenta le seguenti caratteristiche:
1
A quei tempi la fisica newtoniana era l’espressione di una conoscenza ideale, obiettiva e completa; il suo tentativo di
introdurre una freccia del tempo erano una minaccia a tale ideale.
2
La fisica del non equilibrio, sviluppatasi negli ultimi decenni, ha condotto a nuovi concetti come quello di strutture
dissipative e auto-organizzazione, oggi largamente utilizzati in molti ambiti; tali processi sono caratterizzati da un
tempo unidirezionale.
 Sensibilità alle condizioni iniziali, ovvero a variazioni infinitesime delle condizioni al contorno
(o, genericamente, degli ingressi) corrispondono variazioni finite in uscita. Come esempio
banale: il fumo di più fiammiferi accesi in condizioni macroscopicamente molto simili
(pressione, temperatura, correnti d'aria) segue traiettorie di volta in volta molto differenti.
 Imprevedibilità, cioè non si può prevedere in anticipo l'andamento del sistema su tempi lunghi
rapportati al tempo caratteristico del sistema a partire da assegnate condizioni al contorno.
 L' evoluzione del sistema è descritta, nello spazio delle fasi, da innumerevoli orbite ('traiettorie
di stato'), diverse tra loro con evidente componente stocastica agli occhi di un osservatore
esterno, e che restano tutte confinate entro un certo spazio definito: il sistema cioè non evolve
verso l'infinito per nessuna variabile; si parla in questo caso di ' attrattori ' o anche di “caosdeterministico”.
ovvero una trattazione tecnica e dettagliata della teoria del caos deterministico con le sue
innumerevoli applicazioni; ma noi proponiamo un progetto che, come suggerisce il titolo, è tra
matematica e caos;
Vogliamo presentare le tappe del nostro approccio alla teoria del caos deterministico passando per i
concetti di irreversibilità, imprevedibilità, sensibilità alle condizioni iniziali e piano caos
(quest’ultimo è il vero ispiratore del progetto che vedrete (o che avete già visto) nei laboratori di
fisica), nozioni queste alla base di un qualsiasi sistema caotico (come si evince dalla definizione
riportata in precedenza) e soprattutto spendibili e applicabili alla comune programmazione della
scuola secondaria e che spesso sfociano (come ad esempio il modello di Ehrenfest) in quella tanto
ricercata applicazione della matematica alla fisica.
L’irreversibilità – Markov ovvero il Modello di Ehrenfest
Introduzione
In natura ci sono processi reversibili ed irreversibili; quest’ultimi sono la “regola”, i primi, invece costituiscono
l’eccezione, ovvero delle idealizzazioni.
La distinzione tra processi irreversibili e reversibili fu introdotta per la prima volta nel 1865 da Clausius
nell’introduzione del concetto di entropia: diversamente dall’energia che si conserva, l’entropia (dell’universo) cresce
verso un massimo e permette quindi di distinguere tra processi reversibile (crescita entropia = 0) e processi irreversibili
(variazione entropia maggiore di 0 ).
Inoltre la crescita dell’entropia delinea la direzione del futuro e in un certo senso accenna ad una sorta di freccia del
tempo presente in ogni processo naturale. Perfino i processi probabilistici più semplici sono orientati nel tempo; nel
1907 Paul e Tatiana Eherenfest introdussero un modello probabilistico noto appunto come modello di Ehrenfest: tale
modello è un esempio di processo di Markov, e la sua attuazione ed applicazione concreta sono semplici (anche se per
avere risultati significativi occorrono tempi molto lunghi) e permettono di comprendere e sviluppare due punti
fondamentali:
è un processo irreversibile, orientato nel tempo (tende allo stato più probabile pur partendo da una
condizione lontana da tale stato);
si applica in modo chiaro e lineare all’espansione spontanea di un gas nel vuoto.
Esaminiamolo in dettaglio.
Come è fatto?
All’interno di due urne sono contenute delle palline numerate (il numero delle palline, N, è del tutto arbitrario,
ovviamente per avere risultati significati non deve essere basso).
Supponiamo N = 12.
Sia data una terza urna contenete N bigliettini numerati esattamente come le palline.
1
12
7
9
3
4
2
6
A
5
10
11
1
5
9
2
6
10
3
7
11
4
8
12
8
B
Bigliettini numerati
(“Volendo far matematica”, tra l’insieme dei bigliettini e l’insieme delle palline c’è una corrispondenza biunivoca).
Come funziona?
Ogni volta che si estrae un biglietto, la pallina corrispondente cambia urna, e il biglietto viene reinserito; dopo un certo
numero di estrazioni avremo un certo numero di palline nell’urna blu (A) e un certo numero nell’urna rossa (B);
operando in termini probabilistici possiamo indicare tale stato con il simbolo [NA ,NB ]; a tale stato corrispondono tutti i
microstati ottenibili permutando le palline in A e B, lasciando invariati N A e NB. Il numero dei microstati lo possiamo
indicare con W ed è dato da : W
N!

.
N A! N B !
Se N = 12, qual è il valore di NA e NB affinché W è massimo o minimo?
Cosa accade se effettuiamo un numero grandissimo di estrazioni?
Per comprendere e derivarne le opportune considerazioni necessita un’applicazione concreta del modello di Eherenfest.
Ma facciamo un po’ i conti: se volessimo effettuare 1000 estrazioni, supponendo di avere un’agilità tale nelle braccia
che ci permetta di completare un’estrazione in appena 4 secondi, occorrerebbero 4000 secondi, ovvero più di ora.
Il prof. Bruno Reffo ha realizzato un applicazione con Microsoft Visual Basic che simula in maniera velocissima il
modello in questione.
Simulazione del modello con visual basic
Struttura
Funzionamento
Di seguito riportiamo l’immagine del risultato ottenuto proponendo la simulazione di 7000 estrazioni nel caso in
cui le palline nella prima urna siano 3; (abbiamo bloccato la simulazione dopo 5757 estrazioni). Al centro del
form il software genera un diagramma in cui vengono rappresentati la ricorrenza del numero di palline all’interno
dell’urna A.
Conclusioni e domande stimolo
 Dov’è l’irreversibilità?
 Qual è il numero minimo di estrazioni per ottenere risultati significativi?
Ma supponiamo che le palline delle due urne siano 12 molecole di un gas e che le due urne siano due regioni
comunicanti. Che cosa accade? Questo modello ci torna utile?
Simulazione del modello con visual basic applicato all’espansione libera di un gas
Struttura
Alle due urne sono state sostituite due contenitori sferici contenenti molecole di gas; si è preferito mantenere
invariata la parte grafica per evidenziare maggiormente il nesso tra i due fenomeni.
Funzionamento
Di seguito riportiamo l’immagine del risultato ottenuto proponendo la simulazione di 1000 estrazioni nel caso in
cui le molecole del gas nel primo recipiente siano 3.
Conclusioni e domande stimolo
Dall’analisi della simulazione possiamo concludere che la diffusione è sempre più probabile nel verso da dove la
concentrazione è maggiore a dove la concentrazione è minore. La diffusione in verso opposto non è impossibile, è
solo meno probabile (a tal proposito ci viene in mente come il secondo principio della termodinamica è stato
formulato. In particolare occorre insistere sulla sostituzione della parola “impossibile”, tipica degli enunciati
originari di Kelvin e Clausius, con l’espressione “ improbabile”).
L’imprevedibilità - Bernoulli
Introduzione
Nella dinamica classica come in quella quantistica il tempo opera in modo continuo, mentre nelle applicazioni che ci
accingiamo a studiare, come nel modello delle urne di Eherenfest, la trasformazione avviene a intervalli di tempo
regolari. Questa discretizzazione del tempo conduce ad una forma semplificativa di equazione del moto, che permette
un raffronto più facile tra i due livelli descrittivi: quello individuale (corrispondente alle traiettorie) e quello statistico.
L’equivalenza tra questi due punti di vista rimane valida solo se si prendono in considerazione comportamenti dinamici
stabili, ovvero corrispondenti ad un sistema integrabile, mentre si rompe se prendiamo in considerazione un modello di
sistema dinamico instabile. Ad esempio possiamo prendere in considerazione un facile esempio di applicazione caotica,
cioè l’applicazione di Bernoulli.
Come è fatto?
L’applicazione di Bernoulli restituisce la seguente equazione del moto:
xn 1 2 x n 
modulo 1
.
Osserviamo che tale legge denota come l’equazione del moto sia deterministica ma non invertibile.
Come funziona?
Ad ogni passo, ovvero al variare di n, il valore di x, modulo 1, raddoppia. Se conosciamo
x n resta fissato x n 1 ; questo
è un esempio di caos deterministico: traiettorie calcolate a partire da punti inizialmente molto vicini divergono
progressivamente. Possiamo osservare che ad ogni passo la coordinata raddoppia, pertanto dopo n passi la divergenza è
proporzionale a 2n.
A questo punto si potrebbe citare, il coefficiente di Ljapunov che si ottiene passando al limite per n all’infinito dopo
aver stabilito che la divergenza vale
e n log 2 , ma quest’aspetto esula da questo lavoro.
Se per il modello di Ehrenfest il tempo necessario era di circa 4000 secondi, proviamo a pensare per un attimo il tempo
che occorrerebbe a calcolare e rappresentare in un piano cartesiano due diverse traiettorie generate dall’applicazione di
Bernoulli. Anche in questo caso il prof. Bruno Reffo ha realizzato un applicazione con Microsoft Visual Basic 6.0 che
simula in maniera velocissima il modello in questione.
Simulazione del modello con visual basic
Struttura
Funzionamento
Il programma ripropone due simulazioni di traiettorie generate dall’applicazione di Bernoulli a partire da due
condizioni iniziali che differiscono di poco (in termini matematici ciò si traduce con la questione della precisione
delle condizioni al contorno, in termini fisici si traduce nel concetto di precisione delle misure); nel corso del
tempo la traiettoria si approssima arbitrariamente ad ogni punto compreso tra 0 e 1.
Conclusioni e domande stimolo
Il fatto che le traiettorie divergono visibilmente pur partendo da condizionali iniziali che differiscono di
pochissimo (nell’applicazione in questione addirittura nell’ordine dell’ottava cifra decimale) rappresenta
l’imprevedibilità (e la sensibilità alle condizioni iniziali) di un sistema caotico.
Se passiamo alla descrizione statistica (ovvero andiamo a simulare l’evoluzione della distribuzione di probabilità
per l’applicazione), la distribuzione di probabilità converge rapidamente verso il suo valore di equilibrio: mentre
la traiettoria rimane irregolare, la funzione che rappresenta la distribuzione di probabilità tende rapidamente ad
un valore costante (Prigogine: operatore di Perron-Frobenius); in pratica l’instabilità a livello della traiettoria
conduce ad un comportamento stabile al livello della descrizione statistica. Ecco la fina dell’armonia tra i due
punti di vista citati prima, e questo permette di dare un senso, ovviamente a livello statistico, alle leggi che
governano i sistemi caotici.
Lorenz e l’effetto farfalla
Introduzione
Edward Lorenz, professore al dipartimento di meteorologia del MIT (Massachusetts Institute of Technology), inizia i
suoi studi proponendosi di creare un modello meteorologico in gradi di prevedere il tempo atmosferico. Nel 1963
pubblica un articolo dal titolo Deterministic Nonperiodic Flow, nel quale si proponeva di spiegare il comportamento
caotico dell’atmosfera terrestre considerandolo come uno strato d’aria riducibile a un comportamento lineare.
Nello stesso anno Lorenz giunge alla conclusione che non è possibile effettuare previsioni meteorologiche a lungo
termine a causa della sensibilità del risultato alle condizioni iniziali; vale la pena ricordare una sua famosissima battuta:
“il battito di ali di una farfalla in Brasile può provocare un tornado in Texas”.
Come è fatto?
Lorenz elabora le equazioni del moto prendendo in considerazione tre variabili: l’ampiezza x(t) del moto di
convenzione, la differenza di temperatura y(t) tra correnti ascensionali e discensionali e lo scarto di temperatura z(t)
rispetto a un profilo lineare. Per effettuare l’analisi introduce degli sviluppi in serie di cui conserva i termini di ordine
più basso al fine di ottenere un sistema basato su semplici equazioni lineari.
dx
S 
y x 
dt
dy
Rx y xz
dt
dz
xy Bz
dt
Per risolverle si aiuta con due parametri e un calcolatore.
Come funziona?
Il parametro che modifica la natura delle soluzioni è la grandezza R. Lo spazio delle fasi è quello delle coordinate x, y e
z dal punto di vista fisico delle variabili introdotte. Se R è minore di uno esiste una sola soluzione stabile: x = y = z = 0.
È l’origine dello spazio delle fasi e corrisponde a uno stato uniforme dove la convezione è assente. A partire da
qualunque condizione iniziale, cioè da qualunque punto di coordinate [ x(t0 ), y(t0), z(t 0) ], ogni traiettoria nello spazio
delle fasi termina nell’origine. In altri termini, anche se esistono all’inizio i moti di convezione prima o poi scompaiono.
Quando R è compreso tra 1 e 24, vi sono due soluzioni stazionarie e stabili, rappresentare nello spazio delle fasi da due
punti verso i quali convergono tutte le traiettorie. Questi punti attrattori, così come un attrattore coincide con l’origine
nel caso in cui R sia minore di uno. I modello di Lorenz diventa sorprendente quando R diventa più grande di 24. Oltre
questo valore si nota infatti la scomparsa di ogni soluzione stazionaria stabile. Le traiettorie sono attratte in una regione
dello spazio delle fasi, all’interno della quale restano completamente confinate. Inoltre, e soprattutto il loro percorso
cambia a seconda delle condizioni iniziali scelte, rilevando la sensibilità alle condizioni iniziali tipica di un attrattore
strano.
Simulazione del modello con visual basic
Struttura
Funzionamento
In un sistema cartesiano bidimensionale si prende un punto a caso. A partire dalle coordinate date il programma
disegna i punti che corrispondono alle tre equazioni lineari inserite. I punti dovrebbero mostrare un
comportamento caotico, invece si dispongono seguendo una certa regolarità impossibile da riscontrare nelle
equazioni, andando a formare un attrattore strano la cui forma ricorda le ali di una farfalla.
Conclusioni e domande stimolo
Con i suoi studi Lorenz ha capito che qualsiasi sistema fisico che si comporta in modo non periodico risulta
imprevedibile, quindi anche il minimo battito d’ali di una farfalla può provocare un uragano dall’altra parte del
mondo.
Trasformazione del fornaio e piano caos
Introduzione
L’equazione di Bernoulli possiede già una freccia del tempo nell’equazione del moto. Per assistere all’emergere di tale
freccia dobbiamo tirare in ballo un altro semplicissimo esempio di applicazione reversibile, la trasformazione del
fornaio. Come l’applicazione di Bernoulli, tale trasformazione è un esempio di caos deterministico.
Come è fatto?
In un certo senso la trasformazione del fornaio è una generalizzazione dell’applicazione di Bernoulli: invece di
considerare una sola variabile x nell’intervallo [0,1], consideriamo due variabili x e y definite in un quadrato di lato 1.
Come funziona?
La trasformazione consiste nell’appiattire il quadrato facendogli assumere la forma di un rettangolo e nel tagliare
quest’ultimo in due parti per ricostruire il quadrato. Lungo l’ascissa x (detta coordinata dilatante in quanto ad ogni
trasformazione la distanza tra due punti raddoppia), il principio di trasformazione è lo stesso che nell’applicazione di
Bernoulli. Lungo l’ordinata y (coordinata contraente) ad ogni trasformazione la distanza tra due punti si dimezza.
Ovviamente durante la trasformazione la superficie del quadrato si conserva. Osserviamo che la trasformazione del
fornaio, come già anticipato in precedenza, è una trasformazione reversibile in quanto può essere invertita scambiando
il ruolo delle coordinate. Inoltre la trasformazione è anche deterministica e permette di calcolare la posizione di ogni
punto dopo un certo numero di trasformazione.
Come abbiamo fatto per la trasformazione di Bernoulli è interessante studiare l’effetto di iterazioni successive della
trasformazione del fornaio. Non essendo esperti pasticcieri o fornai, ci si è avvalsi di un’applicazione in Visual Basic
6.0 che simula tale trasformazione.
Simulazione del modello con visual basic
Struttura
Funzionamento
Si parte da un insieme di punti localizzati in una piccola regione del quadrato; l’applicazione mostra chiaramente
l’effetto di dilatazione e dimezzamento. Poiché le coordinate variano nell’intervallo [0,1], i punti vengono sempre
reinseriti nell’area di partenza e ciò determina una distribuzione uniforme su tutto il quadrato.
Conclusioni
La rappresentazione binaria permette di mettere in evidenza la dimensione caotica e aleatoria della
trasformazione: la trasformazione del fornaio permette di realizzare mediante uno strumento deterministico (il
computer) un piano caos.
Applicazioni
Trasformazioni geometriche complesse - Hanon
Bibliografia
Ilya Prigogine – La fine delle certezze – Bollati Boringhieri
Seymour Lipschutz – Calcolo delle probabilità – Etas
Sitografia