Lezione 12 - Ca` Foscari

Finanza Aziendale
Lezione 12
Analisi del rischio
Obi tti i della
Obiettivi
d ll lezione
l i
„ I rendimenti e la loro misurazione
„ I rendimenti medi ed il loro rischio
„ La misurazione del rischio e l’effetto diversificazione
„ La CML e la SML
„ Il coefficiente beta
I rendimenti monetari
Il rendimento di un investimento in azioni
azioni, come di
uno in obbligazioni o di ogni altro investimento, ha
2 componenti:
p
1. Nel corso dell’anno la maggior parte delle società
paga dividendi agli azionisti. Questo pagamento è
la componente di reddito del rendimento.
2. L’altra parte del rendimento, che si aggiunge ai
di id di è il guadagno
dividendi,
d
in
i conto capitale
i l o, se
negativo, la perdita in conto capitale
dell investimento.
dell’investimento
I rendimenti monetari
Esempio, supponiamo :
di aver acquistato 100 azioni al prezzo di 37$
ciascuna;
che durante l’anno
l anno sia stato pagato un dividendo di
1,85$ per azione.
che alla fine dell’anno il p
prezzo di mercato di ogni
g
azione sia di 40,33$.
Quale sarà il rendimento totale?
1,85 + 3,33 = 5,18$ per azione
Rendimenti monetari
Entrate
Total
$42.18
Dividendi (Div1)
$1.85
Prezzo finale dell’azione (P1)
$40.33
Tempo
Uscite
t
– $37 (P0)
t=1
I rendimenti percentuali
„
E’ più conveniente riassumere le informazioni sui
rendimenti in termini percentuali piuttosto che monetari
monetari.
„
La domanda alla quale intendiamo rispondere è
pertanto: qual è il rendimento che otteniamo da ogni $
investito? Definiamo:
„
Dividend
de d yyield:
ed
Divt+1 / Pt
„
Guadagno in conto capitale:
(Pt+1 – Pt) / Pt
Combinando queste 2 componenti si ottiene il
rendimento totale dell’investimento
dell investimento….
Rendimenti percentuali
Rendimento % =
Dividendi alla
+
fi del
fine
d l periodo
i d (Di
(Div1)
Variazione del prezzo
di mercato
t (P1 - P0)
Prezzo di mercato iniziale (P0)
Dividend Yield delle azioni ordinarie USA
10%
9
8
7
6
5
4
3
2
1
I rendimenti periodali
• Il grafico che segue mostra la crescita di un
dollaro investito all’inizio del 1926 in alcune attività
finanziarie relative al mercato finanziario
statunitense:
–
–
–
–
Azioni ordinarie
Azioni a piccola capitalizzazione (cd. small cap)
Titoli di Stato statunitensi a lungo termine
Buoni del Tesoro (T-bills).
• Nessuno di questi rendimenti è corretto per tenere
conto delle imposte o dei costi di transazione che
si sostengono per la compravendita e la custodia
dei titoli
• I rendimenti reali annui possono essere calcolati
sottraendo ai rendimenti storici effettivi l’inflazione
annua.
Un investimento di un dollaro in diversi tipi di
portafoglio (1$ alla fine del 1925)
Indice ($)
1925
1935
1945
1955
1965
1975
1985
1998
I rendimenti periodali
•
Si definisca Rt il rendimento nel generico anno t, o rendimento annuo
(espresso in decimali!). Il rendimento totale ottenibile dall’anno 1 all’anno T
è il prodotto dei rendimenti di ciascuno di questi anni:
(1+R1) x (1+R2) x … x (1+Rt) x … x (1+RT)
•
Per esempio,
p , se in un periodo
p
di 3 anni i rendimenti fossero 11,, -5 e 9 p
per
cento, un investimento di un dollaro all’inizio del periodo avrebbe un valore
di:
(1+R1) x (1+R2) x (1+R3) =
=(1+0,11) x (1-0,05) x (1+0,09) = 1,15
•
•
15% (o 0,15) è il rendimento che deriva dall’investire in azioni i dividendi
del primo anno per altri due anni e dal reinvestire i dividendi del secondo
anno per un altro anno.
Il rendimento del 15% è chiamato rendimento periodale dei tre anni.
I rendimenti annui totali
• I 4 grafici che seguono riportano sotto forma
di istogramma, anno per anno (1926-1998),
il rendimento
di
t annuo percentuale
t l
rispettivamente di:
–
–
–
–
–
azioni ordinarie;
azioni di piccole società;
Titoli di Stato statunitensi a lungo termine;
Buoni del Tesoro statunitense;
Tasso di inflazione
inflazione.
Rendimenti annui delle azioni ordinarie 1926-1998
Rendimenti annui totali (%)
60
40
20
0
20
40
1925
1935
1945
1955
1965
1975
1985
1998
Rendimenti annui delle azioni di piccole società 19261998
Rendimenti totali (%)
160
140
120
100
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
1925
1935
1945
1955
1965
1975
1985
1998
Rendimenti annui totali dei Titoli di Stato USA: 1926-1998
Rendimenti annui totali (%)
( )
50
Treasury Bonds
40
30
20
10
0
-10
1925
1935
1945
1955
1965
1975
1985
1998
Rendimenti annui totali dei Buoni del Tesoro USA: 19261998
Rendimenti annui totali (%)
16
14
Treasury Bills
12
10
8
6
4
2
0
1925
1935
1945
1955
1965
1975
1985
1998
Inflazione annua USA: 1926-1998
Tasso annuo d’inflazione (%)
20
15
10
5
0
-5
-10
- 20
1925
1935
1945
1955
1965
1975
1985
1998
La misurazione del rendimento
• La storia dei rendimenti del mercato dei capitali è troppo
complessa per essere trattata in forma estesa. Per
“usare”
usare la storia dobbiamo trovare qualche maniera
trattabile per descriverla, sintetizzando i dati in poche
e semplici affermazioni.
• La figura che segue illustra la distribuzione di
frequenza dei rendimenti: sull’asse delle y è riportato il
numero degli
g anni che si trovano nell’intervallo indicato
sull’asse delle x.
Istogramma dei rendimenti delle azioni ordinarie USA: 1926-1998
Numero di anni
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Rendimenti (%)
-55
-45
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
45
55
La misurazione del rendimento e del rischio
•
Data una distribuzione di frequenza possiamo calcolare la
media aritmetica della distribuzione.
•
La differenza tra i rendimenti di titoli rischiosi e i
rendimenti di titoli privi di rischio rappresenta il rendimento
aggiuntivo che deriva dalla rischiosità dei titoli azionari ed
è iinterpretabile
t
t bil come un premio
i per il rischio
i hi (risk
(i k
premium).
•
Il secondo indice che caratterizza una distribuzione dei
rendimenti è una misura del rischio degli stessi. La
varianza e la sua radice quadrata
quadrata, lo scarto quadratico
medio, sono le più comuni misure di dispersione.
Rendimenti annui totali: 1926-1998
Rendim. Medio
Deviazione std
Azioni di aziende di grandi dim.
13.2%
20.3%
Small-companies
17 4
17.4
33 8
33.8
Obbligazioni societarie a L/T
6.1
8.6
Titoli di Stato a Lungo termine
57
5.7
92
9.2
Buoni del Tesoro statunitense
3.8
I fl i
Inflazione
32
3.2
Distribuzione
45
4.5
– 90%
0%
+ 90%
La distribuzione normale
Media = 12,3%
s = 20,3%
20 3%
Rendimento
del titolo
-3s
-2s
-1s
-47.7%
74.1%
-27.4%
-7.1%
0
13.2%
+1s
33.5%
+2s
53.8%
+3s
Il concetto di rischio
‰ Il rischio deriva dal fatto che il rendimento effettivo di un
progetto
p
g
d’investimento p
può essere diverso dal suo
rendimento atteso
‰ Q
Questa
t differenza
diff
di
dipende
d d
da di
diverse cause, alcune
l
sono
specifiche dell’investimento (rischio specifico di un
progetto o rischio specifico d’impresa) mentre altre sono
comuni a tutti gli investimenti (rischio sistematico o di
mercato)
23
Il ribaltamento dell’ottica da impresa a
mercato
t per d
determinare
t
i
il prezzo di un
titolo rischioso
(alla ricerca di criteri oggettivi di determinazione del costo del
capitale)
• Rendimento atteso
• Varianza e scarto quadratico medio
• Covarianza e correlazione
24
Come scegliere il migliore portafoglio
di titoli da detenere?
•
Rendimento del portafoglio = media ponderata del
rendimento dei titoli che lo compongono
Scenario
Boom
Normale
Crisi
Probabilità
0,25
0,50
0,25
Ra
20%
10%
0%
Rb
5%
10%
15%
E(Ra) = (0,25)(0,20)+(0,50)(0,10)+(0,25)(0,00) = 0,10
E(Rb))= (0,25)(0,05)+(0,50)(0,10)+(0,25)(0,15) = 0,10
25
Come scegliere il migliore
portafoglio
t f li di tit
titolili d
da d
detenere?
t
?
(segue)
Varianza del portafoglio
<=
media ponderata delle varianze dei singoli titoli
perché
hé c’è
’è l’l’effetto
ff tt della
d ll DIVERSIFICAZIONE
26
Come scegliere il migliore
portafoglio
t f li di tit
titolili d
da d
detenere?
t
?
(segue)
Varianza:
σ2a = (0,25)(0,2-0,1)2+(0,5)(0,1-0,1)2+(0,25)(0,0-0,1)2 = 0,005
σ2b = (0,25)(0,05-0,1)2+(0,5)(0,1-0,1)2+(0,25)(0,15-0,1)2 = 0,00125
Deviazione standard:
σa = (0,005)1/2 = 0,07071
σb = ((0,00125))1/2 = 0,03536
27
Come scegliere il migliore
portafoglio
t f li di tit
titolili d
da d
detenere?
t
?
(segue)
Covarianza:
σ2ab = (0,25)[(0,2-0,1)(0,05-0,1)] +(0,5)[(0,1-0,1)(0,1-0,1)]
+(0,25)[(0,0-0,1)(0,15-0,1)] = -0,0025
Correlazione:
σ2ab / (σaσb) = -0,0025 / [(0,07071)(0,03536)] = -1
28
Varianza del rendimento di un
portafoglio e diversificazione
• VARP = X2Aσ2A + 2XAXBρA,BσAσB+X2Bσ2B
X = proporzioni del portafoglio investite nelle 2 attività
σ = scarto quadratico medio di ciascun titolo
σA,B = covarianza tra i 2 titoli
ρA,B
A B = correlazione tra i 2 titoli
ρA,BσAσB = σA,B (quindi la covarianza tra i due titoli non è
altro
lt che
h la
l loro
l
correlazione
l i
moltiplicata
lti li t per llo scarto
t
quadratico medio di ciascuna attività)
29
Varianza del rendimento di un
portafoglio e diversificazione (segue)
• VARP = X2Aσ2A + 2XAXBρA,BσAσB+X2Bσ2B
Se ρ = 1 allora lo scarto quadratico medio del rendimento di
un p
portafoglio
g è uguale
g
alla media p
ponderata degli
g scarti
quadratici medi dei singoli rendimenti
Se ρ < 1 allora lo scarto quadratico medio di un portafoglio
con 2 titoli è minore della media ponderata degli scarti
quadratici medi dei singoli titoli
L’effetto diversificazione si ha non appena la correlazione
è meno che perfettamente positiva, ossia quando ρ < 1
30
Varianza del rendimento di un
portafoglio e diversificazione (segue)
Se:
XA = 1/3
E(Ra) = 10%
σ2A = 0,005
XB = 2/3
E(Rb) = 10%
σ2B = 0,00125
σAB = -0,0025
Allora:
E(R ) = XAE(RA) + XBE(RB) = 1/3 (10%)
E(Rp)
(10%)+ 2/3 (10%) = 10%
VARP = X2Aσ2A +X2Bσ2B + 2XAXBρA,BσAσB
(1/3)2 (0,005)
(0 005) + (2/3)2 (0,00125)
(0 00125) + 2(1/3)(2/3)(
2(1/3)(2/3)(0.0025)=0
31
Varianza del rendimento di un
portafoglio e diversificazione (segue)
Infatti, investendo 100 in A e 200 in B si ottiene un portafoglio che:
Scenario
Boom
Normale
Crisi
Probabilità
0,25
0 50
0,50
0,25
A
120
110
100
B
210
220
230
Totale
330
330
330
R a+b
10%
10%
10%
Risulta essere PRIVO DI RISCHIO!
32
Insieme dei portafogli possibili
detenendo 2 attività (ogni curva rappresenta
una diversa correlazione))
Rendimento
atteso del
portafoglio
g
ρ = -1
ρ = -0,5
ρ=0
B
ρ = 0,5
ρ=1
A
Scarto quadratico medio
del rendimento del
portafoglio
33
L’insieme dei portafogli possibili detenendo 2
attività:
Frontiera Efficiente e Minima Varianza
Rendimento
atteso del
portafoglio
g
B
MV
A
Scarto quadratico medio
del rendimento del
portafoglio
34
L’insieme di portafogli ammissibili
nel caso di più di 2 titoli (segue)
• Le opportunità sono disposte su di un’area
• Il numero delle osservazioni cresce
35
L’insieme di portafogli ammissibili
nel caso di più di 2 titoli (segue)
• Le opportunità sono disposte su di un’area
Rendimento
atteso del
portafoglio
MV
Scarto quadratico medio
del rendimento del
portafoglio
36
L’insieme di portafogli ammissibili
nel caso di più di 2 titoli
• Il numero delle osservazioni cresce
N di titoli in
portafoglio
N totale di
termini
N di varianze
N di covarianze
1
1
1
0
2
4
2
2
3
9
3
6
10
100
10
90
100
10.000
100
9.900
N
N2
N
N2-N
Con tanti titoli la varianza del portafoglio
dipende più dalle covarianze che dalla varianze
d i singoli
dei
i
li tit
titolili
37
La varianza del rendimento di un
portafoglio con più titoli (segue)
(S tuttii i titoli
(Se
i li h
hanno lla stessa varianza
i
e covarianza)
i
)
VARP = (1/N)varunif + (1-1/N)covunif
Per N → ∞
P
VARP = covunif
Un esempio: con un portafoglio composto da 30 titoli si
azzera quasi totalmente il rischio diversificabile; con un
portafoglio composto da 15 titoli si elimina per circa l’80%
il rischio diversificabile.
38
La varianza del rendimento di un
portafoglio con più titoli
Varianza del
rendimento del
portafoglio
Rischio
diversificabil
e
covunif
Rischio non
diversificabile
N di titoli
• VARP non va mai a 0
• Rischio di un titolo = Rischio di portafoglio (non
diversificabile) + Rischio diversificabile
39
Perché scegliere un portafoglio
diversificato?
Per l’avversione al rischio
Inseriamo nel portafoglio un titolo privo di rischio
40
Il portafoglio ottimale
Rendimento
atteso del
portafoglio
g
Tasso
privo di
rischio
i hi
MV
A
Scarto quadratico medio
del rendimento del
portafoglio
41
Il portafoglio ottimale (2)
Rendimento
atteso del
portafoglio
g
M
Tasso
privo di
rischio
i hi
MV
A
Scarto quadratico medio
del rendimento del
portafoglio
42
Il portafoglio ottimale (3)
Rendimento
atteso del
portafoglio
g
M
Tasso
privo di
rischio
i hi
MV
A
Scarto quadratico medio
del rendimento del
portafoglio
43
Il portafoglio ottimale (4)
Rendimento
atteso del
portafoglio
g
Linea del
mercato
t dei
d i
capitali (CML)
M
Tasso
privo di
rischio
i hi
Scarto quadratico medio
del rendimento del
portafoglio
44
Il Principio di Separazione di
Tobin
La combinazione ottimale di investimenti
rischiosi è indipendente
p
dal livello di avversione
al rischio individuale
L’investitore prende due decisioni distinte, ovvero
• Determinazione della frontiera efficiente e
individuazione del punto “M”
M
• Scelta della combinazione tra il punto “M” e l’attività
priva
p
ad
di rischio
sc o (su
(sulla
a base de
delle
ep
proprie
op e p
preferenze
eee e
personali)
45
Da portafoglio ottimale a
Portafoglio di Mercato
Ipotesi forti di mercato perfetto e completo
• Tassi
T
i attivi
tti i = tassi
t
i passivi
i i
• Aspettative omogenee per tutti gli investitori
• Razionalità e avversione al rischio per tutti gli
investitori
Portafoglio “M” = Portafoglio di Mercato
N.B.:portafoglio di mercato è quello che comprende pro quota tutti gli
presenti in un mercato
investimenti rischiosi p
46
Rischiosità di un titolo rispetto al
portafoglio di mercato
Cov( Ri , RM )
σ 2 ( RM )
= covarianza tra il rendimento dell’attività i e il
rendimento del portafoglio di mercato
= varianza del mercato
47
Il Beta
Graficamente è l’inclinazione della retta interpolante
dei punti che indicano i rendimenti del singolo titolo
rispetto ai rendimenti del mercato
Rendimento
del titolo (%)
Inclinazione =
β
Rendimento
del mercato
(%)
48
Il rendimento atteso del mercato
• RM = RF + premio per il rischio
RF = tasso privo di rischio
Università Ca’ Foscari di Venezia
Prof. Giorgio Bertinetti
49
Relazione tra rendimento atteso e
beta di un titolo
Rendimento
atteso del titolo
(%)
RM
Linea del mercato degli
g
investimenti (SML)
M
RF
1
Università Ca’ Foscari di Venezia
Prof. Giorgio Bertinetti
Beta del titolo
50
Il Capital Asset Pricing Model
(CAPM)
Re = RF + (RM – RF) x β
Valore finanziario del
tempo
Quantità di rischio
Prezzo del rischio
• Il CAPM implica che il rendimento atteso di un
titolo sia positivamente correlato con il proprio
beta (si veda figura precedente)
• Se β = 0 allora Re = RF
• Se
S β = 1 allora
ll
Re = RM
Università Ca’ Foscari di Venezia
Prof. Giorgio Bertinetti
51
Parole Chiave della lezione
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Rendimento, varianza e covarianza
Effetto di diversificazione
Frontiera efficiente
Rischio diversificabile
Linea del mercato dei capitali
Principio di separazione
Portafoglio di mercato
Beta
CAPM
Università Ca’ Foscari di Venezia
Prof. Giorgio Bertinetti
52