SCHEDA DI LAVORO n. 1.1 Primi passi con i SISTEMI DINAMICI

SCHEDA DI LAVORO n. 1.1
Primi passi con i SISTEMI DINAMICI DISCRETI (S.D.D.)
1. Inserite nelle tabelle gli elementi mancanti delle seguenti sequenze numeriche:
(indicheremo con a(0) l’elemento iniziale della sequenza, con a(1) quello che occupa la
seconda posizione, ecc. . . )
a(0)
a(1)
a(2)
a(3)
1
8
27
64
b(0)
b(1)
b(2)
b(3)
0
1
2
2
4
a(4)
...
a(9)
...
a(n)
b(4)
...
b(9)
...
b(n)
4
16
2. Calcolate i sei termini richiesti delle sequenze di numeri definite dalle seguenti leggi:
A.
a(n) =
n+1
2
a(0)
con n ≥ 0 numero naturale
a(1)
a(2)
a(3)
a(4)
a(8)
a(4)
a(8)
A.
B.


 a(0) = 1
2
1

 a(n) = a(n − 1) +
2
a(0)
a(1)
con n ≥ 1 numero naturale
a(2)
a(3)
B.
Dopo aver confrontato i termini ottenuti, applicando le leggi A e B, cosa potete concludere?
Cosa potete dire invece del metodo con cui avete ottenuto i termini mancanti nei due
casi?
SCHEDA DI LAVORO n. 1.2
”INIZIAMO A MODELLIZZARE”
1. Vogliamo riempire una vasca senza allagare la stanza da bagno.
La vasca da riempire ha un volume di 1000 litri; sono già stati versati 50 litri d’acqua e
la portata del rubinetto è di 2 litri al minuto.
— Detta xt la quantità di acqua nella vasca dopo t minuti, riempite la seguente tabella:
x1
x2
x3
x4
— Scrivete la legge del S.D.D. che rappresenta tale fenomeno, tenendo conto dei dati.
— Scrivete la soluzione del S.D.D.
— Quanto tempo occorre per riempire la vasca?
2. Alla fine della stagione estiva vi viene chiesto di svuotare una piscina di volume pari
ad un certo V0 noto. Ipotizzando che la piscina sia piena d’acqua fino all’orlo e che vi
vengano proposte due possibilità di svuotamento:
1. svuotarla ogni minuto del 10% dell’acqua in essa presente;
2. svuotarla ogni minuto di 20 litri,
quale proposta scegliereste per terminare il lavoro più in fretta possibile?
SCHEDA DI LAVORO n. 2.1
MODELLI PER LA DINAMICA DI POPOLAZIONI
1. Associa ad ogni popolazione uno o più meccanismi di variazione della numerosità:
A. il numero di batteri in una capsula di Petri
1. nascita
B. il numero di gatti selvatici in un bosco, in alta montagna
2. morte
C. il numero di cittadini in un comune
3. immigrazione
D. il numero di umani sulla terra
4. emigrazione
2. Quale passo temporale è ragionevole usare per studiare la variazione della numerosità negli esempi precedenti, e perché?
secondo
ora
giorno
mese
anno
10 anni 100 anni 10000 anni
A
B
C
D
3. Fissiamo l’attenzione sul caso dei cittadini di un comune di un milione di abitanti.
Supponiamo che:
- l’immigrazione sia solo di provenienza estera,
- i cittadini emigranti siano semplicemente cittadini che si trasferiscono in comuni
vicini,
- il numero di immigrati superi sempre di 1000 il numero degli emigrati.
Nella tabella che segue sono riportati i dati per un certo anno. Che dati vi aspettereste
per un comune analogo ma di due milioni di abitanti? E di 800000 abitanti?
abitanti
nascite
morti
immigrati
emigrati
1000000
21000
19000
8000
7000
2000000
800000
4. Indicheremo con t0 ,t1 ,. . . (t con 0, t con 1) gli istanti di tempo in cui misuriamo o
calcoliamo la numerosità. Con N0 indicheremo la numerosità al tempo t0 , con N1 la
numerosità al tempo t1 , etc.
Il sistema dinamico discreto è la legge che permette di calcolare di quanto aumenta (o
diminuisce) la numerosità passando da un istante di tempo al successivo:
Nt+1 − Nt = qualche cosa che dipende dal modello
Riempite le caselle a seconda del meccanismo che determina la variazione di numerosità:
contributo dovuto alla
natalità
mortalità
saldo immigrazione-emigrazione
Nt+1 − Nt
5. Scrivete infine la legge Nt+1 − Nt =
Supponendo che oggi (tempo iniziale) il numero degli abitanti del comune sia N0 =
1000000 (dato iniziale), determinate il numero di abitanti tra 3 anni:
N3 =
SCHEDA DI LAVORO n. 2.2
IL MODELLO DI MALTHUS
Supponiamo ora che il saldo immigrazione-emigrazione sia nullo. Se la natalità supera
la mortalità il sistema dinamico è dato da
Nt+1 − Nt = aNt , con a > 0, dunque Nt+1 = (1 + a)Nt
(modello di Malthus)
Dal fenomeno...
1. La popolazione mondiale aumenta del 50 % ogni 25 anni. Qual è il corrispondente
valore di a? Supponendo che ora sia di 6 miliardi, quanto sarà tra 25, 50, 100 anni?
2. Qual è la soluzione del modello di Malthus, cioè qual è l’espressione di Nt per t
qualsiasi?
3. La numerosità di una popolazione batterica raddoppia ogni 4 ore. Se inizialmente è
10000, quant’è dopo 24 ore?
4. Grafico della soluzione. Considerando l’esempio del punto precedente, disegnare nel
piano cartesiano i punti (t; Nt ) per t = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
...al modello...
5. Costruzione grafica di un S.D.D.
Consideriamo il s.d.d. Nt+1 = 2Nt con dato iniziale N0 = 1.
- Tracciare la retta y = 2x e la bisettrice del primo e terzo quadrante;
- disegnare sull’asse delle ascisse il valore iniziale N0 ;
- determinare graficamente il valore di N1 in ordinata utilizzando il grafico di y = 2x;
- riportare graficamente in ascissa il valore di N1 .
Iterando la procedura disegnare i successivi tre valori di Nt .
Nt
, con N0 = 16. Determinare la soluzione Nt .
2
Ripetere anche in questo caso la costruzione grafica del punto precedente. Cosa accade
6. Consideriamo il s.d.d. Nt+1 =
alla soluzione al crescere di t?
7. Utilizzando la costruzione grafica appena vista, classificare per comportamento simile i s.d.d. Nt+1 = αNt al variare di α numero reale positivo. Quale valore di α separa
i differenti comportamenti?
...e ritorno
8. Quali dei seguenti fenomeni possono essere descritti dal s.d.d. Nt+1 = αNt e per
quali valori di α?
a) Una popolazione ha saldo nullo tra nati e morti e più immigranti che emigranti.
b) Una massa di radio di 228 si dimezza per decadimento radioattivo in 6,7 anni.
c) Una popolazione ha saldo nullo tra immigranti ed emigranti, e più morti che nati.
d) Una popolazione ha saldo nullo tra immigranti ed emigranti, e tra morti e nati.
e) Per la forza di gravità una massa nel vuoto accelera di 9,8 metri al secondo quadro.
f) Per attrito, una massa in moto su di un piano rallenta del 10 % ogni secondo.
g) La discussa Legge di Moore afferma che la tecnologia in 18 mesi raddoppia il numero di transistor che si possono inserire su un centimetro quadro.
SCHEDA DI LAVORO n. 3.1
VEDIAMO COSA SUCCEDE QUANDO α E’ MINORE DI ZERO . . .
1. Un pendolo senza attrito oscilla indefinitamente intorno alla verticale. Sia v0 = 4
dm/s la velocità con cui passa per la prima volta dalla verticale, v1 la velocità con cui
ci passa per la seconda volta,. . . Che relazione c’è tra v1 e v2 ? Scrivere il S.D.D. che
governa il fenomeno, e la sua soluzione.
2. Disegnare la soluzione del S.D.D. del punto 1. Una soluzione di questo tipo è detta
periodica, perché dopo un numero finito di passi si ripete identicamente. In questo
caso il periodo è 2, infatti la soluzione si ripete ogni 2 passi temporali. Disegnare il
S.D.D. con dato iniziale 4. In quale proprietà grafica si traduce la periodicità? E il fatto
che il periodo sia 2?
3. Un pendolo con attrito (non eccessivo), continua ad oscillare intorno alla verticale, ma tra un passaggio e l’altro perde una frazione costante della sua energia. Ad
esempio, sia v0 = 4 dm/s e supponiamo che ogni volta che il pendolo ripassa per la
verticale abbia perso un quarto della sua velocità. Qual è il S.D.D. che descrive questo
fenomeno?
4. Disegnare il S.D.D. del punto 3. con dato iniziale 4. Cosa accade alla soluzione?
Scrivere la soluzione e disegnarne il grafico. Si può dire che è periodica?
5. (Una strana partita di tennis) Due giocatori incarogniti giocano nel seguente modo:
ogni volta che la palla arriva nel proprio campo, per mettere in difficoltà l’avversario
la rimandano nel campo opposto con velocità maggiore di un quarto. Supponendo che
entrambi non sbaglino mai e che la velocità iniziale della pallina sia 4 dm/s, qual è il
S.D.D. che descrive la velocità della pallina ogni volta che passa sulla rete?
6. Scrivere la soluzione del S.D.D. dell’esercizio precedente, con dato iniziale v0 = 4
dm/s e disegnarla. Come descrivereste a parole l’andamento della soluzione?
SCHEDA DI LAVORO n. 3.2
Individuare il modello di s.d.d. che meglio si adatta ad ognuna delle seguenti situazioni e scriverne le equazioni.
1. La moltiplicazione dei moscerini della frutta, in caso di offerta illimitata di cibo, avviene in modo tale che l’aumento della popolazione è proporzionale alla popolazione
stessa e al tempo trascorso. Supponendo di considerare intervalli di tempo pari ad 1
giorno, sapendo che il numero di moscerini al termine del secondo giorno è di 180 e al
termine del quarto è di 300, determina la popolazione iniziale e la popolazione dopo
10 giorni.
2. Il Cobalto 60 ha tempo di dimezzamento λ pari a 5,26 anni. Che percentuale della
sostanza è decaduta dopo un anno e dopo due anni?
Per concludere, consideriamo il generico S.D.D. lineare, con α numero reale e con dato
iniziale x0 = 4. Ricorrendo alle rappresentazioni grafiche del sistema, quali delle seguenti parole usereste per descrivere le soluzione al variare di α?
α>1
costante
periodica
oscillante
crescente
decrescente
limitata
illimitata
divergente
convergente
α=1
0<α<1
−1 < α < 0
α = −1
α < −1
SCHEDA DI LAVORO n. 4.1
SISTEMI DINAMICI DISCRETI AFFINI
1. Nei boschi abruzzesi vivono attualmente 1000 lupi. Statisticamente ogni anno la
popolazione di lupi diminuisce del 20 % ma il branco viene ripopolato annualmente di
100 esemplari. Qual è il destino dei nostri lupi? Con questo metodo riusciremo a non
farli estinguere?
2. In un lago di allevamento di trote ci sono inizialmente 4000 pesci, settimanalmente
si riproducono del 5 % e la richiesta di vendita è di 200 trote a settimana. Si analizzi se
la pesca è eccessiva o se invece l’allevatore può essere certo che il suo allevamento non
è destinato a estinguersi.
In entrambi i problemi:
• scrivete il s.d.d. che descrive il fenomeno;
• rappresentate il grafico del s.d.d.;
• notate qualche differenza tra i grafici ottenuti e quelli dei s.d.d. lineari della
scheda precedente?
• cosa succede, graficamente, cambiando condizione iniziale?
SCHEDA DI LAVORO n. 4.2
S.D.D. AFFINI: PUNTO DI EQUILIBRIO E STABILITA’
- Abbiamo studiato nella Scheda di lavoro n. 4.1 processi di crescita in cui intervengono
anche influenze esterne, modellizzabili mediante s.d.d. affini:

 x condizione iniziale
0
 x = αx + β
t+1
t
- Abbiamo visto sia graficamente che sperimentalmente sul foglio Excel che ogni s.d.d.
affine è caratterizzato da un punto particolare chiamato EQUILIBRIO DEL
SISTEMA (E) che è indipendente dalla condizione iniziale x0 ed ha il ruolo di valore di
SATURAZIONE al cui raggiungimento il processo dinamico si arresta diventando stazionario.
In particolare, gli equilibri del sistema nei due problemi della Scheda di lavoro n. 4.1
sono rispettivamente E1 =
ed E2 =
• Provate ora a determinare il punto E di un s.d.d. affine nel caso generale,
in funzione di α 6= 1 e di β 6= 0.
SUGGERIMENTO: per determinare il punto E dobbiamo imporre che da un certo istante in poi il sistema cessi di evolvere. . .
1. Che tipi di equilibri sono quelli ottenuti nei due problemi della Scheda di lavoro
n. 4.1? Dove si può parlare di equilibrio stabile? Dove invece di equilibrio instabile?
2. Lo scansafatiche Osvaldo ha avuto l’occasione che aspettava da sempre: sua zia
Caterina gli ha lasciato in eredità 100.000 ¤. Egli ha deciso così di vivere di rendita.
Il suo capitale produce ogni mese interessi pari all’1 % e per vivere egli stima di aver
bisogno di 1000 ¤ al mese. Ce la farà? Cosa accadrebbe se il capitale iniziale fosse di
90.000 ¤ o di 110.000 ¤? Che tipo di equilibrio raggiungerà dunque il sistema?
SCHEDA DI LAVORO n. 4.3
SOLUZIONE DI S.D.D. AFFINI
1◦ metodo (algebrico)
Partendo dal s.d.d. affine xt+1 = αxt + β con condizione iniziale x0 , cercate di scrivere
la soluzione del sistema xt in funzione solo di α, di β e di x0 .
SUGGERIMENTO: calcolate almeno le prime tre iterazioni e poi generalizzate sfruttando il
1 − α2
1 − α3
fatto che 1 + α =
e 1 + α + α2 =
.........
1−α
1−α
x1 = αx0 + β
x2 = αx1 + β = α(αx0 + β) + β = α2 x0 + αβ + β = α2 x0 + β(1 + α)
x3 =
...
xt =
2◦ metodo (geometrico)
Traslando l’origine degli assi del piano (xt ; xt+1 ) nel punto di coordinate (E; E), possiamo considerare il grafico del s.d.d. affine come un caso particolare del lineare. Dunque,
ricordando che la soluzione del s.d.d. lineare è . . . , calcolate la soluzione dell’affine.
SCHEDA DI LAVORO N. 5.1
IL MODELLO LOGISTICO
Occupiamoci del caso di popolazioni con risorse limitate.
Consideriamo il modello di Malthus: xt+1 = Axt , con A > 1. Si assume ora che A
decresca linearmente al crescere di xt con un certo tasso β: A = α − βxt .
Sostituendo α − βxt alla A del modello malthusiano, si ottiene: xt+1 = xt (α − βxt )
detto modello di Verhulst (o modello logistico).
1. Il seguente esperimento, proposto nel 1934 dal biologo russo Georgyi F. Gause
(1910-1986), in relazione allo sviluppo del protozoo Paramecium caudatum, mise chiaramente in evidenza i limiti del modello lineare. Gause pose 5 protozoi in una provetta
contenente del brodo di coltura e osservò per 6 giorni di seguito la loro crescita. Durante i primi giorni (quando gli individui erano ancora pochi e l’ambiente, cioè il brodo di
coltura, era lungi dall’essere saturato) il tasso di crescita era enorme: il 230,9 % al giorno. In seguito, però, la crescita rallentò progressivamente, fino ad arrestarsi al numero
di 375 individui con la relativa saturazione dell’ambiente.
a. Determinate quali sono i parametri α e β in questo caso.
b. Fate delle ipotesi sull’evoluzione del sistema.
2. I delfini della specie Lissodelphis borealis sono spesso catturati nel Pacifico Settentrionale dalle grandi reti lasciate in mare aperto per pescare specie ittiche di interesse
commerciale. La dinamica di questa specie, in assenza di prelievo da parte delle reti,
può essere descritta per mezzo di un modello logistico del tipo:
Nt+1 = rNt (1 − KNt ),
dove Nt rappresenta il numero di delfini sopravvissuti dopo t anni, β = 15, 12 · 10−6 e
K = 9 · 10−6 .
– Sapendo che oggi è ivi stimata la presenza di 90000 delfini, fate delle ipotesi sull’evoluzione della popolazione.
SCHEDA DI LAVORO N. 5.2
PUNTI DI EQUILIBRIO DELLA CRESCITA LOGISTICA E LORO STABILITA’
I processi di crescita logistica ammettono punti di equilibrio.
- Come si possono calcolare algebricamente i punti di equilibrio del sistema?
Scrivetene l’espressione nel caso generale in funzione di α e di β.
1. Quali sono i punti di equilibrio dei due problemi della Scheda di lavoro n. 5.1? Che
cosa si può dire circa la stabilità di questi punti?
2. In una popolazione di tignole del riso, che deve vivere in condizioni di laboratorio
con una limitata disponibilità di risorse, vengono misurati i seguenti valori: x0 = 50
animali, il coefficiente di crescita α pari a 1,02 e il coefficiente β pari a 10−6 .
a. Analizzate l’evoluzione del sistema elaborando i dati con Excel.
b. Si può parlare di equilibrio e, in caso di risposta affermativa, di che tipo di
equilibrio si tratta?
SCHEDA DI LAVORO N. 5.3
MODELLO LOGISTICO E CAOS
Analizziamo il caso in cui la crescita logistica avvenga secondo il s.d.d.
xt+1 = xt (α − βxt ) con α = β.
1. Consideriamo il seguente s.d.d.:
xt+1 = 4xt (1 − xt ) con x0 = 0, 8
- Calcolate i punti di equilibrio.
- Esplorate il sistema utilizzando il foglio elettronico ed il grafico della soluzione.
- Cosa potete concludere sull’evoluzione del sistema?
2. Esplorate il sistema dell’esercizio 1. con α pari rispettivamente a 2, 3, 3.2, 3.5 e
x0 = 0, 1.
Cosa osservate al variare di α?
SCHEDA DI LAVORO N. 6.1
BRUCHI E FARFALLE
Per una specie di farfalle, il ciclo vitale dura esattamente un mese: per la prima metà
del mese la farfalla vive come bruco e dunque non si riproduce; nella seconda metà del
mese il bruco diventa farfalla e la farfalla completa il suo ciclo riproducendosi e, subito
dopo, morendo.
Situazione A.
• Inizialmente ci sono 100 bruchi e 250 farfalle.
• Tutti i bruchi diventano farfalle.
• Ogni farfalla genera in media 1,2 bruchi.
Quanti bruchi e quante farfalle si avranno dopo un mese? E dopo due mesi?
Situazione B.
• Inizialmente ci sono sempre 100 bruchi e 250 farfalle.
• Nessuna delle farfalle muore.
• Ogni farfalla genera in media 1 bruco.
Qual è il s.d.d. corrispondente? Qual è il suo (unico) stato di equilibrio?
Che succede dopo un mese se inizialmente c’è un solo bruco e nessuna farfalla? Dopo
due mesi? E dopo tre...?
Situazione C.
• Inizialmente ci sono ora 400 bruchi e 800 farfalle.
• In ogni mese, muore il 50 % delle farfalle presenti.
• Ogni farfalla genera in media 0,5 bruchi.
Qual è il s.d.d. corrispondente? Quante farfalle si avranno dopo uno / due mesi?
Considerate ora il caso in cui i bruchi inizialmente siano 390 (e le farfalle 800). Calcolate
il numero di bruchi e di farfalle per i primi 5 valori di t e rappresentate il grafico della
soluzione per questi valori.
Approssimativamente, quante farfalle e quanti bruchi ci saranno dopo un periodo
lungo (ad esempio, dopo 10 anni = 120 mesi)?
SCHEDA DI LAVORO N. 6.2
LABORATORI IN CONCORRENZA
Prologo. Nell’istituto di Ricerca Centrale della Nuova Calzedonia1 , ci sono due laboratori che sono in concorrenza sullo stesso progetto: svolgere osservazioni sull’evoluzione di bruchi e farfalle che hanno lo stesso di ciclo vitale descritto nella Scheda di lavoro
n. 6.1.
1. Il primo laboratorio riesce ad avere (in esclusiva) tutti i bruchi e le farfalle e svolge
un’osservazione a partire dai dati iniziali di 100 bruchi e 250 farfalle. Dopo un anno
di duro lavoro, pubblica i suoi risultati sulla rivista di fama internazionale Journal on
Butterflies and Unidentified Flying Object. Nel lavoro,vengono presentati i dati relativi
al numero di farfalle e bruchi dopo un mese,due mesi, tre mesi,. . .
Sapete ricostruire quali sono i dati?
Nel numero successivo della stessa rivista, appaiono altri due articoli, firmati dall’equipe del secondo laboratorio. Il primo è relativo al caso in cui inizialmente si abbiano
200 bruchi e 500 farfalle; il secondo, al caso in cui si abbiano inizialmente 50 bruchi e
125 farfalle. Ma il secondo laboratorio non ha mai avuto la possibilità di lavorare su
bruchi e farfalle!
Sapete dire quali dati ha pubblicato la seconda equipe e come ha fatto ad ottenerli?
2. L’episodio precedente non fa che incancrenire i rapporti tra le due equipe, che, dopo
accuse di spionaggio, smettono di dialogare. Nel frattempo bruchi e farfalle sono tutti
tristemente defunti ed occorre fare un nuovo rifornimento.
Questa volta l’equipe del primo laboratorio riesce ad accaparrarsi tutti gli x0 bruchi
disponibili, mentre l’equipe del secondo laboratorio ottiene tutte le y0 farfalle.
Quanti bruchi e quante farfalle saranno presenti dopo tre mesi nel primo laboratorio?
E nel secondo laboratorio? E dopo t mesi?
1
La Nuova Calzedonia, da non confondersi con la Nuova Caledonia, è l’unico produttore al mondo
di raffinate calze da donna ottenute dalla lavorazione di ali di farfalla.
Il direttore dell’Istituto di Ricerca non è granchè interessato alla rivalità dei due laboratori, ma ai risultati dell’Istituto nel suo complesso. Una volta ricevuti i dati dalle due
equipe, che cosa è in grado di dire sull’evoluzione di bruchi e farfalle a partire da x0
bruchi e y0 farfalle? Può quindi pubblicare un nuovo lavoro sul J. On B. & U.F.O.?
SCHEDA DI LAVORO N. 7.1
MOTI CASUALI
Il prototipo di moto casuale è il moto di una particella soggetta ad urti casuali.
Questa situazione può essere simulata con il lancio di una moneta (o dado), in cui
la particella si muove a destra o a sinistra a seconda che esca testa o croce (o pari o
dispari).
1. Problema in versione microscopica: cosa fa una singola particella.
Abbiamo una pila di mattoncini di lego che si muove lungo un’asse numerata da -19 a
20 (ad ogni numero corrisponde una casella) nel modo descritto di seguito.
Ad ogni istante di tempo t viene lanciato un dado:
- se esce un numero pari la pila si sposta di una casella verso destra;
- se esce un numero dispari si sposta di una casella verso sinistra.
Se all’istante t = 0 la pila si trova nell’origine dell’asse, dove si troverà all’istante
t = 20? (Lanciate 20 volte il dado per scoprirlo...)
2. Problema in versione macroscopica: cosa fanno complessivamente le particelle in
una casella.
Ora consideriamo la pila di mattoncini di lego non più come una particella sola, ma
come un insieme di particelle, i mattoncini stessi. Questi ultimi sono 30: ad ognuno è
assegnato un numero da 1 a 30.
Se ogni singolo mattoncino si muove come la pila nel problema 1., all’istante t = 1
dove finiscono i 30 pezzi di lego? Quanti vanno a destra e quanti a sinistra? E all’istante
t = 10? (Scegliete un mattoncino da 1 a 30, lanciate 10 volte il dado e riempite la tabella nella
pagina seguente)
PARTICELLA n. .....
t = 10
t=9
t=8
t=7
t=6
t=5
t=4
t=3
t=2
t=1
X
t=0
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
SCHEDA DI LAVORO N. 7.2
DIFFUSIONE E LAPLACIANO DISCRETO
1. Ad ogni istante di tempo le particelle si muovono lungo un’asse numerata (ad ogni
numero corrisponde una casella) con la seguente regola (regola 0):
la metà delle particelle in una casella si sposta a destra di un passo,
l’altra metà a sinistra di un passo.
Indichiamo con
mt (−1) il numero di particelle al tempo t nella casella −1
mt (0)
il numero di particelle al tempo t nella casella 0
mt (1)
il numero di particelle al tempo t nella casella 1
mt (2)
il numero di particelle al tempo t nella casella 2
···
mt (−1)
mt (0)
mt (1)
mt (2)
···
Supponiamo che al tempo t = 0 si abbiano i seguenti valori:
m0 (−1) = 50, m0 (0) = 100, m0 (1) = 200, m0 (2) = 100.
- Calcolate m1 (0) =
e m1 (1) =
- Determinate la legge per questo sistema, cioè:
determinate mt+1 (0) in funzione dei valori di m al tempo t: mt+1 (0) =
- Determinate anche mt+1 (1) in funzione di m al tempo t: mt+1 (1) =
2. Le particelle si muovono ora singolarmente con la seguente regola (regola 1):
viene lanciato un dado e
se esce 1 o 2
la particella va a destra di una casella,
se esce 3 o 4
la particella resta dov’è
se esce 5 o 6
la particella va a sinistra di una casella.
- Riformulate il problema in versione macroscopica.
- Scrivete la legge che definisce l’evoluzione nel tempo per il sistema macroscopico.
Ripetete tutta la procedura a partire dalla seguente regola microscopica con un dado a
quattro facce (regola 2):
se esce 1
la particella va a destra di una casella,
se esce 2 o 3
la particella resta dov’è,
se esce 4
la particella va a sinistra di una casella.
3. Scrivete qui di seguito le espressioni che avete ottenuto nei tre casi precedenti per
mt+1 (0) e per gli incrementi:
regola 0: mt+1 (0) =
mt+1 (0) − mt (0) =
regola 1: mt+1 (0) =
mt+1 (0) − mt (0) =
regola 2: mt+1 (0) =
mt+1 (0) − mt (0) =
- Notate delle somiglianze nelle ultime espressioni?
- Riuscite a scrivere gli incrementi in modo “simile” per i tre casi?
4. Sapendo ora che il sistema dinamico che modellizza la diffusione è
mt+1 (k) = mt (k) + ε[mt (k + 1) + mt (k − 1) − 2mt (k)],
dove ε è un opportuno parametro,
scrivete i valori di ε nei tre casi:
- regola 0:
ε=
- regola 1:
ε=
- regola 2:
ε=
Le relazioni che avete determinato:
a. definiscono un sistema dinamico a quante variabili?
b. il sistema è lineare?
c. è affine?
SCHEDA DI LAVORO N. 8.1
CONDIZIONI AL BORDO PER I FENOMENI DIFFUSIVI
Una colonia di pulci vive in cattività dentro una fila di contenitori uguali.
Ogni istante, ciascuna pulce salta nel contenitore a destra o a sinistra con uguale probabilità 1/2 (caso microscopico).
Ogni istante, metà della colonia si sposta a destra e metà a sinistra (caso macroscopico).
Situazione A. Il numero di contenitori è infinito.
mt (k − 1) + mt (k + 1)
2
Quanto vale l’incremento mt+1 (k) − mt (k)?
La legge del s.d.d. di A è: mt+1 (k) =
(A)
Situazione B. Ci sono solamente 3 contenitori senza aperture verso l’esterno (la pulce
rimane dov’è, se è impossibilitata dalla parete ad effettuare lo spostamento).
mt (−1) + mt (1)
2
Scrivete la legge del s.d.d. di B in -1 e in 1:
La legge del s.d.d. di B in 0 è: mt+1 (0) =
(B in 0)
mt+1 (1) =
(B in 1)
mt+1 (−1) =
(B in -1)
Calcolate gli incrementi:
mt+1 (0) − mt (0) =
mt+1 (−1) − mt (−1) =
mt+1 (1) − mt (1) =
Scrivete la legge (A) per k = −1, imponendo mt (−2) = mt (−1).
Verificate che così si ottiene (B in -1).
Scrivete la legge (A) per k = 1 con mt (2) = mt (1) e verificate che si ottiene (B in 1).
SCHEDA DI LAVORO N. 8.2
EQUILIBRI PER I FENOMENI DIFFUSIVI
Il s.d.d. per la diffusione è governato dalla legge seguente:
mt+1 (k) = mt (k) + ε(mt (k − 1) + mt (k + 1) − 2mt (k))
Scrivete la condizione di equilibrio:
m̄(k) =
Riconoscete che essa implica che m̄(k) deve essere la media aritmetica dei due valori
adiacenti m(k − 1) e m(k + 1).
1. (caso Dirichlet) Consideriamo una sbarra di metallo, con un estremo alla temperatura di 180 gradi, e l’altro a temperatura 20. Discretizziamo il problema pensando alla
sbarra divisa in tre parti uguali (denominate -1, 0, 1) e supponiamo che in ogni tratto
la temperatura sia costante, ma che vari tra un tratto e l’altro. Supponiamo inoltre che
1
l’evoluzione temporale avvenga con il s.d.d. della diffusione con ε = .
2
Inizialmente la sbarra è alla temperatura ambiente:
m0 (1) = m0 (0) = m0 (−1) = 20.
– Determinate il profilo di equilibrio e rappresentatelo graficamente.
– Se si cambia ε, il profilo di equilibrio cambia?
– Se si cambia il dato iniziale, il profilo cambia?
2. (caso Neumann) Consideriamo la colonia di pulci della scheda di lavoro n. 8.1 situazione B, e supponiamo che inizialmente:
m0 (−1) = 0, m0 (0) = 800, m0 (1) = 100.
– Determinate il profilo di equilibrio e rappresentatelo graficamente.
– Se si cambia ε, il profilo di equilibrio cambia?
– Se si cambia il dato iniziale, il profilo cambia?
1. Mamma, ho perso l’aereo!
L’ANAS sta progettando di rendere a pagamento il tratto urbano della Roma–Fiumicino
in direzione aeroporto. Un pool di matematici viene incaricato di sviluppare un modello che tenga conto degli effetti sul traffico della presenza di un casello. Il tratto viene
diviso in due parti: la prima va da chilometro zero al chilometro 3 e la seconda dal chilometro 3 al chilometro 10. Il casello viene posto al chilometro 3. Le macchina possono
entrare in autostrada solamente al chilometro zero ed uscirne al chilometro dieci.
Modello 1. Viene fatta una prova e si scopre che, in media, 5 minuti sono sufficienti per
percorrere il primo tratto e pagare il pedaggio; inoltre in altri 5 minuti si percorrono i
restanti chilometri. Infine viene ipotizzato un flusso di ingresso costante: ogni cinque
minuti entrano nel primo tratto 200 vetture.
Considerando intervalli di 5 minuti e utilizzando come variabili:
– il numero di macchine presente nel primo tratto (casello incluso)
– il numero di macchine presente nel secondo tratto
qual è il sistema dinamico discreto corrispondente? A regime, quante macchine sono
presenti nel primo tratto di strada e quante nel secondo?
Modello 2. Messo alla prova, il modello risulta poco affidabile e si apre il dibattito tra i
matematici per capire come correggerlo. Il più esperto del gruppo interviene dicendo:
”Il problema è che quando le macchine sono molte non è più ragionevole aspettarsi
che tutte passino il casello in 5 minuti. Modifichiamo il modello con un termine logistico.” Gli altri si guardano con aria interrogativa. ”Logi...che?” Il matematico esperto
replica Ma si, supponiamo che in ogni intervallo di tempo βx2t macchine restino nel
primo tratto, così simuliamo l’ingorgo al casello.” Dopo varie misure sperimentali, i
matematici stabiliscono che un valore realistico per β è β = 1/1200.
Come viene modificato il sistema dinamico discreto corrispondente? A regime, quante
macchine sono presenti nel primo tratto di strada e quante nel secondo? Indichiamo
con α il numero di macchine che entra nel primo tratto. Abbiamo considerato α = 200.
Che accade se questo numero cambia?
2. Jurassic Park
Isla Nublar è una piccola isola di forma stretta e lunga e che può essere schematicamente divisa in due parti: la zona nord e la zona sud. Nublar è localizzata nell’Oceano
Pacifico di fronte alla Costa Rica e, non molti anni fa, l’isola è stata sede degli scellerati esperimenti di John Hammond, il miliardario americano che si era messo in testa
la folle idea di creare un bioparco con dinosauri veri. La vicenda è ben nota a chi ha
seguito i documentari che sono stati trasmessi al cinema e in televisione sotto il titolo
di Jurassic Park.
Nel primo tentativo di sviluppare il Parco, i progettisti, non riuscendo a fare in modo
che i dinosauri si riproducessero autonomamente, hanno proceduto in questa maniera.
Ogni mese venivano lasciati nella parte sud di Isla Nublar, 8 esemplari di Compsognathus, un dinosauro di piccole dimensioni. I Compsognathus cominciavano quindi a
spargersi in maniera del tutto casuale tra le due parti dell’isola, con coefficiente di
diffusione ε = 21 , andando a popolare tutta l’isola.
Il matematico Ian Malcolm fu incaricato di modellizzare la situazione per prevedere
quello che sarebbe successo nei mesi successivi.
– Qual è il s.d.d. discreto che ha scritto Ian Malcolm?
– Dando fiducia al modello, quanti Composognathus si presume che siano presenti
nella parte sud e quanti nella parte nord dell’isola dopo 3 mesi? e dopo 6 mesi?
Dopo 6 mesi, dall’inizio dell’operazione, vennero portati nella parte nord dell’isola
un certo numero di velociraptor che, per scelta di habitat, rimasero nella parte nord
dell’isola e cominciarono a mangiare ogni mese un terzo dei Compsognathus presenti
nella zona.
– Quale modifica al s.d.d. ha dovuto apportare Ian Malcolm?
– Dopo 10 anni dall’inizio del progetto, il numero di Compsognathus presenti nella
parte sud e nella parte nord dell’isola cominciò a diventare sostanzialmente costante.
Sapete dire quanti erano e come erano suddivisi tra le due parti dell’isola?
3. Il ristorante cinese
Traduzione di un quesito inviato per mail all’Ufficio Comunale di Metodi Matematici per
la Piccola Imprenditoria di Pechino
Ho fatto a lungo il cuoco a Canton, ma ora ho deciso di fare fortuna nella bassa Maremma, una regione ex–paludosa del centro Italia. Qui piacciono molto le nostre rane
raganella padellensis fritte, che non vivono in queste terre.
Sto progettando di aprire un allevamento con annesso ristorante. Ho fatto alcuni esperimenti che vi sottopongo, in modo che voi possiate dirmi quale sarà a regime il mio
guadagno mensile (se ci sarà).
Importare da Pechino girini vivi mi costa un euro ogni 400 girini. Nelle paludi accanto
al mio terreno, dove sorgerà il mio ristorante, in un mese riesce a diventare rana un
girino su 100, gli altri muoiono o vengono mangiati dai terribili tritoni maremmani;
sempre in un mese per ogni rana nascono 10 girini. Purtroppo le condizioni ambientali
qui non sono le migliori per la nostra pregiatissima rana: 1/5 al mese muore per cause
naturali. Ho valutato di poter vendere nel mio ristorante 1000 rane al mese ad un
euro l’una. Pensavo di reinvestire parte del ricavo per acquistare girini. Quanto posso
riuscire a guadagnare?
Ringraziandovi anticipatamente, vi porgo i miei più cordiali saluti,
Ding Dong Dang
I matematici di Pechino hanno risposto considerando un modello a due fasce girino/adulo, a intervalli temporali di un mese.
Cosa hanno risposto all’intraprendente ristoratore?
4. Teoria matematica del panettone
Giuseppe P., neolaureato in matematica, viene contattato dalla Farlocco s.p.a., nota
marca di dolci natalizi, con lo scopo di attivare, nell’ambito dell’azienda, un settore di
ricerca e sviluppo tecnologico, al fine di migliorare il rendimento della società. Dopo
un primo giro conoscitivo sull’attività dell’impresa, Giuseppe si rende conto che molte risorse vengono inutilmente sprecate nell’operazione di mescolare, all’interno di un
grande calderone, la pasta (ancora fluida) con le uvette. Attualmente il procedimento
avviene in questo modo: dopo aver versato in un lato del calderone dell’impasto l’intero contenuto di uvette, questo viene scosso per un certo numero di volte in modo da
far redistribuire le uvette in maniera il più possibile uniforme. Gli scossoni avvengono
ogni dieci minuti per una durata totale di circa due ore. Giuseppe ha la sensazione che
basterebbero molte meno scosse (con conseguente risparmio di tempo ed energia).
Il nostro amico torna in laboratorio e comincia a meditare sul seguente modello:
– il calderone è diviso in due settori, che Giuseppe indica con X ed Y , xt indica le
uvette in X al tempo t e yt indica le uvette in Y al tempo t;
– all’istante iniziale vengono versate nel calderone, contenente solo l’impasto, 1000 tra
canditi ed uvette, tutti quanti nel settore X;
– ogni 10 minuti, il calderone viene scosso, per mescolare impasto e canditi/uvette;
– il miscuglio pasta + uvette si ritiene ben mescolato se la differenza tra uvette nel
settore X e nel settore Y è minore del 10% del totale.
Inoltre, Giuseppe ha constatato che, dopo il primo scossone, nel settore X sono rimaste
800 uvette, mentre tutte le altre si sono spostate in Y .
Giuseppe ipotizza che, con ogni scossone, una percentuale fissata di uvette si sposti
nell’altro settore, e la restante percentuale resti dove si trova.
Qual è il sistema dinamico discreto per scritto da Giuseppe? Qual è il sistema dinamico
discreto per la differenza tra i valori x ed y? E quello per la somma? Qual è la soluzione
del s.d.d.? Quante scosse sono sufficienti perché il miscuglio sia ben mescolato?
Rispondere a queste domande è indispensabile per Giuseppe, altrimenti... addio, lavoro!
L’anno successivo, l’azienda decide di inserire nel panettone anche delle goccie di cioccolato. Giuseppe torna in fabbrica ed osserva che ora, oltre ai 1000 uvette, vengono
versate nell’impasto anche 1000 goccie di cioccolato e che, dopo la prima scossa, nel
settore X sono rimasti 800 uvette e 700 goccie di cioccolato.
Come si adatta il s.d.d. trovato in precedenza? Quanti scossoni servono per mescolare
bene (nel senso visto poco più su) sia le uvette che il cioccolato?
Con una previsione corretta, Giuseppe riceverà un aumento... aiutatelo!
5. L’Efficienza Proporzionale nella gestione aziendale
Nel 2005, sul Journal of Mathematical Antropology and its Applications, è uscito un interessante articolo che studia gli effetti di alcune innovative idee nel campo dell’organizzazione del lavoro degli uffici. Questa ricerca è nata perché alcune grandi aziende
stanno pensando di proporre ai loro dipendenti un nuovo tipo di contratto, secondo il
principio dell’Efficienza Proporzionale: invece di fissare il numero di ore lavorative, il
contratto fissa la percentuale di pratiche da evadere. Prima di sperimentare sul campo,
le aziende hanno chiesto a dei matematici di modellare il funzionamento dell’ufficio
in caso di adozione di questi contratti. Preliminarmente, aziende e matematici si sono
interessate ai due seguenti scenari.
Scenario 1. Nel suo contratto di servizio un impegato è vincolato ad evadere in giornata l’80% delle pratiche che gli arrivano. Ogni giorno arrivano 144 pratiche. Davanti
a questo possibile contratto, l’impiegato minaccia le dimissioni, obiettando all’azienda
che sulla sua scrivania si accumulerebbero infinite pratiche, visto che il 20% al giorno
non verrebbe evaso.
Il matematico schematizza questa situazione costruendo un s.d.d. ad una variabile,
che chiama pt , con cui indica il numero di pratiche presenti sulla scrivania il giorno
t all’apertura dell’ufficio. Per semplicità suppone che le nuove 144 pratiche vengano
consegnate la sera, alla chiusura dell’ufficio. Durante il giorno l’impiegato evade l’80%
delle pratiche che erano presenti all’apertura dell’ufficio. Suppone anche che il primo
giorno di lavoro non ci siano pratiche (p0 = 0).
Cosa può dire il matematico all’azienda? In particolare, ha ragione l’impiegato?
Scenario 2. Le pratiche evase dal primo impiegato finiscono sul tavolo di un secondo
impiegato che ne evade il 90% al giorno. Questo secondo impiegato obietta all’azienda
che probabilmente non avrebbe nulla da fare perché essendo egli più efficiente del primo, la sua scrivania rimarrebbe vuota. L’azienda invece teme che a regime il numero
di pratiche che completa il percorso attraverso i due uffici sarebbe troppo basso; per la
precisione ritiene che dal secondo ufficio uscirebbero solo 0.8 · 0.9 · 144 ' 104 pratiche
al giorno.
Il matematico schematizza questa seconda situazione nel seguente modo:
– pt è il numero di pratiche presenti sulla scrivania all’inizio del giorno t per il primo
impiegato
– qt è l’analoga quantità per il secondo impiegato
– le 144 pratiche nuove vengano consegnate la sera al primo impiegato
– le pratiche evase dal primo impiegato vengano consegnate al secondo in chiusura
dell’ufficio
– il primo giorno di lavoro entrambi gli impiegati non hanno pratiche da evadere (p0 =
q0 = 0).
Cosa può dire il matematico all’azienda? In particolare, esiste una situazione “a regime”, cioè esiste una soluzione stazionaria del s.d.d.? Sono giustificati i timori del
secondo impiegato e dell’azienda?
6. Il contadino del basso Lazio
Lettera ricevuta dal Laboratorio di Matematica Agraria del C.N.R., sede di Latina.
Egregia equipe di scienziati,
sono un contadino del basso Lazio, proprietario di un appezzamento di terreno, ed ho
deciso di lanciarmi nella coltivazione intensiva del bambù. Ho già provveduto a liberare completamente il terreno e ad acquistare una scorta di semi di bambù talmente
grande da potersi considerare illimitata.
Immagino che sappiate che solo l’80% dei semi genera in effetti una pianta che diventa adulta, e che la maturazione avviene in un anno. Perciò ho deciso di seminare
annualmente 100 semi di bambù. La piantagione aumenterà poi anche grazie alla riproduzione autonoma dei bambù adulti (fonti certe mi assicurano che, grosso modo,
ogni due bambù presenti si ottiene un seme nuovo ogni anno). Ho anche deciso di
tagliare annualmente tre quarti delle piante adulte presenti, per rivenderle e fare del
ricavato (che è il motivo reale per cui mi lancio nell’impresa).
Mi sapete dire quante piante di bambù avrò dopo un anno? E dopo due anni? E dopo
quattro anni? Vorrei poi sapere se ritenete che, sul lungo termine, la mia strategia sia
accorta o se porterà al fallimento dell’impresa.
Infine, vi sarò estremamente grato se vorrete suggerirmi una percentuale diversa di
piante da tagliare annualmente per massimizzare il mio ricavo (che è naturalmente
proporzionale al numero di piante tagliate). Tenete comunque presente che per la
necessità di diradamento delle piante, devo comunque tagliarne almeno il 50%.
Ringraziandovi anticipatamente, vi porgo i miei più cordiali saluti,
Ermenegildo Campagnardi
I matematici di Latina hanno risposto considerando un modello a due fasce: xt è il
numero di semi piantati, yt è il numero di piante adulte, al passo t corrisponde un
anno.
Come avranno risposto al contadino?