Aurelia ha formato un quadrato con i cinque pezzi del suo puzzle

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1. UN PEZZO IN PIÙ (Cat. 3, 4) ©ARMT.2002 - 10° - finale
Aurelia ha formato un quadrato con i cinque pezzi del suo puzzle.
Purtroppo il suo fratellino Théo ha mischiato alcuni pezzi e ne ha anche aggiunto un sesto pezzo
preso da un altro puzzle.
Ecco i cinque pezzi del puzzle e il pezzo aggiunto:
Indicate il pezzo che Théo ha aggiunto e ricostruite il puzzle quadrato di Aurelia con gli altri
cinque pezzi.
Come avete fatto per trovare il pezzo in più?
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
-
Geometria: riconoscimento di figure, traslazioni e rotazioni
-
Aritmetica
Analisi del compito
-
-
Osservare e manipolare i pezzi, dopo averli tagliati o riprodotti, per arrivare alla convinzione che le dimensioni del
puzzle non possono che essere 5 x 5
-
Cercare di ricostruire il puzzle per tentativi, a caso, e poi arrivare alla certezza che il pezzo in più è quello con 6
quadratini, praticamente o con il conteggio di tutti i quadratini contenuti nei sei pezzi: 31, che vale 6 di più di 5 x 5
= 25.
Ricostituire il puzzle lasciando da parte uno dei due pezzi da 6 quadratini e, in caso di insuccesso, ricominciare
cambiando il pezzo supplementare.
senza ribaltare pezzi;
con uno o due pezzi ribaltati:
pezzo supplementare
Soluzione
Il puzzle ricostruito (disegno o collage) con argomentazione (per esempio calcolo) relativa all’abbandono di un pezzo
da 6 quadratini
Livello: 3 - 4
Origine: Suisse romande, da un’idea di «Kangourou, écoliers»
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2. LE CINQUE CITTÀ (Cat. 3, 4) ©ARMT.2002 - 10° - finale
Sulla cartina di Setelandia, ecco la strada che collega le cinque città del paese: Coca, Cola, Lemon,
Pepsi e Soda:
Cola 125 km
Soda 53 km
Lemon 28 km Pepsi 47 km
Coca 53 km
Coca 125 km
Soda ..... km
Pepsi .... km
Coca
.........
.........
.........
.........
Sono stati anche riportati alcuni cartelli che indicano le distanze tra certe città.
(Per esempio, il cartello di sinistra, messo su Coca, indica che ci sono 125 km da Coca a Cola e 53
km da Coca a Soda)
Il nome Coca è già indicato al posto giusto.
Scrivete al posto giusto i nomi delle altre quattro città.
Scrivete le distanze che mancano in due dei cartelli.
Indicate come avete trovato le distanze cercate.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
-
Aritmetica: addizione e sottrazione
-
Geometria e misura: localizzazione e orientamento
Analisi del compito
-
Ritrovare la disposizione delle città secondo le indicazioni dei cartelli (l’invarianza delle distanze permette, secondo
il senso del percorso, di trovare le ubicazioni di Cola, a destra, e di Soda, in terza posizione. Lemon, in seconda
posizione e Pepsi in quarta posizione sono determinate dall’orientazione dei cartelli).
Questa disposizione si può anche ottenere per tentativi successivi.
-
Determinare la distanza di Cola da Soda (cartello di destra) a partire dalle informazioni pertinenti: 125 da Coca a
Cola e 53 da Coca a Soda , cioé 72 ( 53 + … = 125 o 125 – 53 = 72).
-
Determinare la distanza da Lemon a Pepsi (secondo cartello) a partire dalle informazioni: Soda-Pepsi 47 - SodaLemon 28 cioé 75 (47 + 28 = 75).
Soluzione
Risposta completa: le quattro città sistemate al posto giusto (Lemon, Soda, Pepsi e Cola) e le due distanze 75 e 72 con
le operazioni corrispondenti
Livello: 3 - 4
Origine: Suisse romande
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3. CARAMELLE ALLA FRUTTA (Cat. 3, 4) ©ARMT.2002 - 10° - finale
In un pacchetto la nonna ha tre tipi diversi di caramelle: all’arancia, al limone e alla fragola.
- Nel pacchetto c’è un numero dispari di caramelle.
- Le caramelle alla fragola sono le più numerose.
- Il numero di caramelle all’arancia e di quelle al limone è lo stesso.
- Il prodotto dei tre numeri è 36.
Quante caramelle di ciascun tipo ci sono nel sacchetto della nonna?
Spiegate il vostro ragionamento.
___________________________________________________________________________
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
-
Aritmetica: addizione e moltiplicazione
-
Combinatoria: organizzazione dei dati
Analisi del compito
-
Comprendere che si tratta di cercare tre numeri dei quali due uguali e uno superiore.
-
Comprendere che il fatto che la somma sia un numero dispari dà poche informazioni (anche se se ne deduce che il
numero più grande è dispari, restano infinite possibilità).
-
Comprendere infine che la chiave risiede nella ricerca di tutti i prodotti di tre numeri dei quali due uguali, che
valgono 36 e scrivere questo inventario: 1 x 1 x 36, 2 x 2 x 9, 3 x 3 x 4 e 6 x 6 x 1
-
Eliminare i casi che non corrispondono alle informazioni dell’enunciato: 6, 6, 1 in quanto un numero deve essere più
grande degli altri due, 1, 1, 36 e 3, 3, 4 poiché le somme (38 e 10) non sono numeri dispari e conservare l’unica
soluzione accettabile: 2, 2, 9.
oppure lavorare a partire dalla lista dei divisori di 36
Soluzione
Soluzione corretta (2, 2, 9) con giustificazione e dettaglio dei calcoli (2 x 2 x 9 = 36 e 2 + 2 + 9 = 13)
Livello: 3 - 4
Origine: Parma
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4. SALTANDO, SALTANDO (Cat. 3, 4, 5) ©ARMT.2002 - 10° - finale
Una rana, un canguro e una lepre saltellano sulla «pista dei numeri»:
13
12
11
0
10
5
4
9
8
2
7
6
3
1
Partono tutti dalla casella 0.
La rana fa sempre salti da tre caselle (quindi con il primo salto arriva sulla casella 3), il canguro fa
sempre salti da sei caselle e la lepre fa sempre salti da quattro caselle.
Con l’ultimo salto ogni animale arriva sulla casella finale del percorso.
Ciascun animale lascia le proprie impronte sulla casella su cui poggia le zampe.
Terminato il gioco, ci sono 9 caselle contenenti ciascuna impronte di tutti e tre gli animali.
Indicate qual è il numero della casella finale della pista.
Spiegate come siete arrivati alla vostra risposta.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
-
Aritmetica: multipli, sequenze numeriche
Analisi del compito
-
Considerare che la rana, la lepre e il canguro dopo ogni salto arrivano in caselle contrassegnate, rispettivamente, con
numeri multipli di 3, di 4 e di 6
-
Indicare in una tabella o su un nastro le caselle su cui ogni animale lascia le proprie impronte (con colori o lettere) e
constatare che le caselle con le impronte dei tre animali sono quelle dei multipli di 12 (minimo comune multiplo tra
3, 4 e 6). Dedurre che, contando la casella di partenza contrassegnata con lo 0, l’ultima casella del percorso deve
avere il numero 96 (8 x 12 o 12 + 12 + 12 + ....)
-
Oppure disegnare un nastro dei numeri e indicare le tracce degli animali e per conteggio delle 9 caselle che hanno i
tre tipi di tracce, trovare che l'ultima casella è quella del numero 96
Soluzione
Risposta esatta, 96, ben giustificata (con tabella o disegno del percorso e colorazione o con calcoli o lista dei multipli di
12)
Livello: 3 - 4 - 5
Origine: Siena e incontro di Parma
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5. QUADRATI NASCOSTI (Cat. 3, 4, 5) ©ARMT.2002 - 10° - finale
Trovate tutti i quadrati i cui quattro vertici sono dei punti ben evidenziati di questa griglia:
In basso a sinistra sono già stati disegnati tre quadrati.
.
Quanti altri quadrati nascosti ci sono nella griglia?
Disegnateli usando colori differenti
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
-
Geometria: proprietà del quadrato
Analisi del compito
-
Cercare i quadrati che è possibile visualizzare immediatamente (per esempio quelli di piccole dimensioni i cui lati o
le cui diagonali sono su rette della griglia).
-
Rendersi conto che la ricerca esige dei metodi più precisi: conteggi o strumenti quali la riga e la squadretta e
intraprendere un esame sistematico, punto per punto o coppie di punti,
oppure lavorare per tentativi, a caso.
-
Disegnare i sette quadrati (si veda la pagina successiva).
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Soluzione
Da 4 a 7 quadrati disegnati senza errori (tutte le figure sono quadrati)
Livello: 3 - 4 - 5
Origine: Suisse romande
Le sette soluzioni:
Qualche quadrilatero che può essere confuso con dei quadrati:
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6. SPORT INVERNALI (Cat. 4, 5, 6) ©ARMT.2002 - 10° - finale
Ecco i punteggi occorrenti per i cinque Teleski del Lago
3 punti
impianti di risalita della stazione sciistica di Seggiovia delle Marmotte
5 punti
Transalpiski.
Teleferica delle Genziane
12 punti
Metrò delle Nevi
16 punti
Daniele ha acquistato un abbonamento da 60 Telecabina del Camoscio
7 punti
punti che ha interamente usato in una
giornata.
Si ricorda che ha utilizzato ogni impianto almeno una volta, ma non si ricorda esattamente quante
volte.
Trovate in che modo Daniele ha potuto utilizzare completamente i 60 punti del suo
abbonamento.
Per ogni soluzione indicate il numero di volte che Daniele ha preso ognuno degli impianti di
risalita e i dettagli dei calcoli.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
-
Aritmetica: addizione e moltiplicazione
-
Combinatoria
Analisi del compito
-
Comprendere che il problema riguarda la ricerca della scomposizione di 60 in somme di termini 3, 5, 7, 12, e 16,
preso, ognuno, almeno una volta.
-
Constatare che quando è stato preso una volta ciascuno dei 5 termini, si ottiene già 3 + 5 + 7 + 12 + 16 = 43 e che
restano allora solo 17 = 60 – 43 punti da ripartire.
-
Cercare le scomposizioni di 17 a caso, o in maniera sistematica:
non si può usare 16; si trovano 4 possibilità 12 + 5 ; (2 x 7) + 3 ; 7 + (2 x 5) ; 5 + (4 x 3)
Esprimere le 4 possibilità tenendo conto di tutte le risalite:
Lago (3)
Marmotte (5)
Genziane (12)
Metrò (16)
Camoscio (7)
1
2
2
1
1
2
1
1
1
3
1
3
1
1
2
5
2
1
1
1
Soluzione
Risposta completa (le quattro soluzioni dettagliate o tabella), con i calcoli corrispondenti
Livello: 4 – 5 - 6
Origine: Suisse romande
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7. FIGURE IN EVOLUZIONE (I) (Cat. 5, 6) ©ARMT.2002 - 10° - finale
......
1
2
3
4
5
...
Questa successione di figure è costruita secondo le regole seguenti:
- la prima figura è un quadrato grigio.
- nella seconda, il quadrato precedente diventa bianco ed è contornato da nuovi quadrati grigi.
- nella terza, i quadrati precedenti sono bianchi e sono contornati da nuovi quadrati grigi.
- e così di seguito, per ogni figura successiva, dei nuovi quadrati grigi devono contornare i
precedenti che diventano bianchi.
Quanti quadrati grigi e quanti bianchi ci saranno nella quindicesima figura?
Spiegate il vostro ragionamento.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
-
Aritmetica: addizione e moltiplicazione, successione
-
Geometria
Analisi del compito
-
Comprendere la regola della successione.
-
Disegnare le figure successive o trovare una regola che permette di passare da un termine al successivo:
per esempio 1 , 1 + 4 = 5, 5 + 8 = 13, 13 + 12 = 25, 25 + 16 = 41, 41 + 20 = 64 … osservando che i numeri di
quadrati grigi sono i multipli successivi di 4.
-
Contare i quadrati della quindicesima figura o determinare il loro numero con la regola determinata in precedenza,
fino a 313 + (13 x 4) = 365 per la 14esima figura e 365 + (14 x 4) = 365 + 56 per la 15esima figura (56 grigi e 365
bianchi)
-
Oppure capire che il contorno dell’n –esima figura è formato da 2n+2(n-2) quadrati grigi ed il suo interno da (n-1)2+
(n-2)2 quadrati bianchi
Soluzione
Soluzione corretta (56 grigi e 365 bianchi) e una spiegazione della regola (per esempio con i disegni o la successione
dei numeri)
Livello: 5 - 6
Origine: Suisse romande
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8. LASCIA O RADDOPPIA (Cat 5, 6, 7) ©ARMT.2002 - 10° - finale
Camilla partecipa ad un concorso a premi che prevede sei domande.
Per ogni domanda, la risposta giusta vale un certo numero di punti:
- la risposta giusta alla domanda n° 2 dà il doppio dei punti attribuiti per la domanda n° 1,
- la risposta giusta alla domanda n° 3 dà il doppio dei punti attribuiti per la domanda n° 2 e così di
seguito.
Se non si risponde correttamente ad una domanda, si viene eliminati e non si vince.
Ogni candidato ha però un jolly che gli dà il diritto di non rispondere ad una domanda (ovviamente
non guadagna i punti relativi a tale domanda).
Camilla ha usato il suo jolly e ha risposto correttamente a cinque domande. Ha ottenuto 177 punti.
Trovate i punti attribuiti ad ogni domanda del concorso e trovate per quale domanda Camilla
ha usato il suo jolly.
Spiegate il vostro ragionamento.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
-
Aritmetica
-
Logica e ragionamento: gestione di tentativi
Analisi del compito
-
Comprendere che ogni domanda apporta il doppio di punti della precedente e che non si conosce il numero di punti
relativi alla prima domanda.
-
Fare dei tentativi facendo un’ipotesi sul numero di punti relativi alla prima domanda e dedurre che il valore 3 va
bene. (Con 2 si ottiene una somma inferiore a 177: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126; oppure sempre con 2 capire che
è impossibile ottenere un numero dispari. E così con 4. Con 5, la somma dovrebbe essere un numero che termina
con 5 oppure 0. Con 7, la somma dei punti attribuiti alle prime cinque domande è maggiore di 177: 7 + 14 + 28 + 56
+ 112 = 217)
-
Cercare di ottenere il numero 177 addizionando cinque numeri della successione: 3, 6, 12, 24, 48, 96 oppure
177 = 96 + 48 + 24 + 6 + 3
-
dedurne il numero di punti apportati da ciascuna domanda e il fatto che Camilla ha utilizzato il jolly per la domanda
n° 3.
-
Oppure lavorare algebricamente attribuendo x punti alla prima domanda, 2x alla seconda e così via, per ottenere un
totale di 63 x:
Per x=1 si ha < 177 per x=2 si ha < 177, per x=3 la somma=189 (se avesse risposto esattamente a tutto)> 177,
inoltre 189 –177=12 (che corrisponde alla terza domanda), e così di seguito
Soluzione
Risposta corretta sia alla prima parte della questione (3, 6, 12, 24, 48, 96 – eventualmente il 12 non viene menzionato
perché «inglobato» nella questione jolly) che alla seconda parte (uso del jolly alla terza domanda), con spiegazione
esauriente
Livello: 5 – 6 - 7
Origine: Bourg-en-Bresse
o
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9. ETICHETTE (Cat. 5, 6, 7) ©ARMT.2002 - 10° - finale
Anna, Bernardo, Carlotta, Daniele, Elisa dispongono ognuno di un foglio rettangolare di dimensioni
19 cm e 24 cm. Devono ritagliare il maggior numero possibile di etichette rettangolari o quadrate
aventi le stesse dimensioni.
Anna dice che riuscirà a ritagliare dal suo foglio al massimo 21 etichette di dimensioni 7 cm e 3 cm.
Bernardo dice che riuscirà a ritagliarne 13 di dimensioni 7 cm e 5 cm.
Carlotta dichiara che è riuscita a ritagliarne 19 di 8 cm e 3 cm.
Daniele dice che potrà ritagliarne anche lui 19, ma da 6 cm e 4 cm.
Elisa afferma che potrà ritagliarne 18 di forma quadrata con lato di 5 cm.
Che cosa pensate di ciascuna di queste affermazioni (sono tutte accettabili)?
Spiegate le vostre risposte.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale:
- Geometria: rettangolo, pavimentazioni
- Misure: calcolo dell'area di rettangoli
Analisi del compito:
-
Considerare il problema come una ricerca ottimale di pavimentazione, da risolvere per tentativi a partire dal calcolo
di aree e da divisioni
-
Questo approccio permette di constatare che, solamente dal punto di vista numerico, tutte le affermazioni sono
accettabili. In effetti il foglio misura, in cm2 , 19 x 24 = 456 e questo numero è maggiore o uguale al prodotto delle
misure delle diverse proposte:
A : 21 x (3 x 7) = 441
B : 13 x (5 x 7) = 455
D : 19 x (4 x 6) = 456
E: 18 x (5 x 5) = 450.
Bernardo: no
3x7
3 x5
5x7
5x7
Carlotta: s ì
3x7
Verificare se i ritagli
proposti sono
realizzabili e ottimali,
tenuto conto delle
dimensioni del foglio e
delle etichette.
3 x8
Anna: sì
-
4x9
C : 19 (3 x 8) = 456
3x8
Elis a no
4 x6
Da niele : no
5x5
1x24
Soluzione
Le 5 risposte giuste, con spiegazioni (disegni e/o calcoli)
Livello: 5 - 6 - 7
Origine: Suisse romande
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10. PRODOTTI IN RIGA (Cat. 5, 6, 7, 8) ©ARMT.2002 - 10° - finale
Disponete i dieci numeri da 1 a 10 nei cerchi
di questa figura in modo tale che il prodotto di
tre numeri allineati sia il numero indicato alla
fine della riga.
...
Calcolate i due prodotti mancanti.
Quanti sono i modi di disporre questi dieci
numeri?
72
40
...
120
Indicate come avete proceduto.
54
200
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
-
Aritmetica: divisibilità
-
Combinatoria
Analisi del compito
-
Verificare che ci siano effettivamente dieci cerchi e che ogni prodotto indicato o mancante corrisponda ad un
allineamento di tre cerchi, constatare che ogni prodotto dato può essere quello di tre numeri da 1 a 10 e che, in
generale c’è più di una possibilità.
-
-
Cominciare a sistemare tre numeri di un allineamento e
verificare se la scelta e le posizioni dei tre numeri sono
compatibili con gli altri allineamenti, poi continuare
così con gli altri allineamenti con tentativi successivi
fino alla disposizione completa (cosa che non permette
di determinare il numero di soluzioni).
Lavorare per scomposizione dei numeri in fattori e per
deduzioni successive sui posizionamenti di alcuni di
essi. Per esempio, poiché nessuno dei prodotti dati
contiene 7 come fattore, questo numero è per forza nel
cerchio al centro della riga superiore, il 9 deve essere
nella riga del prodotto 54 che contiene tre fattori « 3 »
(3 e 6 non sarebbero sufficienti) e, non potendo essere
nella riga « 120 », né nella riga « 40 », è per forza nel
cerchio in basso a sinistra, …
8
7
3
1
4
6
5
2
72
168
40
9
10
54
200
120
90
Soluzione
La disposizione completa corretta e i prodotti mancanti con presentazione di tentativi infruttuosi che conducono alla
conclusione che la soluzione è solo una
Livello: 5 - 6 – 7 - 8
Origine: Suisse romande
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11. QUADRATI NASCOSTI (Cat. 6, 7, 8) ©ARMT.2002 - 10° - finale
Trovate tutti i quadrati i cui quattro vertici sono dei punti ben evidenziati di questa griglia:
In basso a sinistra sono già stati disegnati tre quadrati.
.
Quanti altri quadrati nascosti ci sono nella griglia?
Disegnateli usando colori differenti.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
-
Geometria: proprietà del quadrato
Analisi del compito
-
Cercare i quadrati che è possibile visualizzare immediatamente (per esempio quelli di piccole dimensioni i cui lati o
le cui diagonali sono su rette della griglia).
-
Rendersi conto che la ricerca esige dei metodi più precisi: conteggi o strumenti quali la riga e la squadretta e
intraprendere un esame sistematico, punto per punto o coppie di punti,
oppure lavorare per tentativi, a caso.
-
Disegnare i sette quadrati (si veda la pagina successiva).
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Soluzione
I 7 quadrati disegnati, senza errori (tutte le figure sono quadrati)
Livello: 6 - 7 - 8
Origine: Suisse romande
Le sette soluzioni:
Qualche quadrilatero che può essere confuso con dei quadrati :
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12. RALLY MATEMATICO TRANSALPINO 2001 (Cat. 6,7,8) ©ARMT.2002 - 10° - finale
Le classi italiane e svizzere che hanno partecipato alla finale delle finali del nono rally matematico
transalpino provenivano da: Aosta, Belluno, Cagliari, Genova, Foggia, Lodi, Milano, Parma, Riva
del Garda, Siena, Svizzera Romanda, Ticino. (Per questa finale delle finali, ogni regione inviava i
fogli risposta dei vincitori della propria finale regionale, una classe per categoria, salvo in un caso).
Ecco una tabella, ancora incompleta, della classifica dei primi quattro piazzamenti:
Categoria
3
4
5
6
I classificato
II classificato
III classificato
IV classificato
Siena
Svizzera Rom.
Svizzera Rom.
Belluno
7
8
Indicazioni per completare la tabella:
Belluno
Siena

Le classi di Riva, Lodi, Ticino, Cagliari e Genova compaiono una volta sola.

La classe di Lodi si piazza al secondo posto come quella di Riva, e precede una classe di
Aosta.

La classe di Genova vince in una categoria davanti a Belluno.

Le classi di Aosta si piazzano 2 volte nelle categorie da 6 a 8, una al terzo posto e l’altra al
quarto, dietro una classe di Parma.

Le due classi di Milano che figurano in questa tabella sono le sole di una stessa regione ad
essere nella stessa categoria, una di esse ha vinto e l’altra è arrivata dietro la classe di
Cagliari.

Siena è rappresentata da 3 classi nella tabella; una risulta vincitrice davanti ad una classe di
Parma.

Belluno vince una volta e figura altre 3 volte nella tabella, di cui 2 nelle categorie da 3 a 5,
una davanti e l’altra dietro la Svizzera Romanda.

La Svizzera Romanda vince in 2 categorie da 6 a 8 e figura nella tabella anche in tutte le
altre, arrivando quarta una volta sola.
Analizzate le informazioni ricevute e completate la tabella.
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ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
-
Logica
Analisi del compito
-
Capire che le classi che compaiono con maggior frequenza offrono un comodo punto di partenza per impostare il
lavoro
-
Analizzare quindi le varie possibili combinazioni ed eliminare man mano quelle che non rispettano le informazioni
avute. Per esempio, ecco una maniera di completare la tabella in diverse tappe da (1) a (6)
Categoria
3
4
1er
classificato
2e
classificato
3e
classificato
4e
classificato
Gênes (4)
Belluno (3)
SR (3)
Sienne
Belluno (5)
Sienne (2)
Parme (2)
S R.
5
Milan (5)
SR
Cagliari (5)
Milan (5)
6
Belluno
Lodi (4)
Aoste (2)
SR (1)
7
SR (1)
Belluno
Parme (2)
Aoste (2)
8
SR (1)
Riva (4)
Sienne
Tessin (6)
Soluzione
Risposta completa e corretta (le 18 caselle completate correttamente)
Livello: 6 - 7 - 8
Origine: Riva del Garda
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13. FIGURE IN EVOLUZIONE (II) (Cat. 7, 8) ©ARMT.2002 - 10° - finale
......
1
2
3
4
5
...
Questa successione di figure è costruita secondo le regole seguenti:
- la prima figura è un quadrato grigio.
- nella seconda, il quadrato precedente diventa bianco ed è contornato da nuovi quadrati grigi.
- nella terza, i quadrati precedenti sono bianchi e sono contornati da nuovi quadrati grigi.
- e così di seguito, per ogni figura successiva, dei nuovi quadrati grigi devono contornare i
precedenti che diventano bianchi.
Quale sarà la prima figura della successione composta da più di mille quadrati in tutto?
Spiegate il vostro ragionamento.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
-
Aritmetica: addizione e moltiplicazione, successione
-
Algebra: idea di funzione
-
Geometria
Analisi del compito
-
Comprendere la regola della successione.
-
Disegnare qualche figura della successione e trovare una regola che permetta di passare da un termine al successivo:
per esempio 1 , 1 + 4 = 5, 5 + 8 = 13, 13 + 12 = 25, 25 + 16 = 41, 41 + 20 = 64 … osservando che i numeri di
quadrati grigi sono i multipli successivi di 4.
-
Determinare il numero dei quadretti di una figura con la regola trovata in precedenza, scrivendo la successione fino
alla 23esima figura: … 20a : 685 + (19 x 4) = 761 ; 21a :761 + (20 x 4) = 841 ; 22a : 841 + (21 x 4) = 925 ; 23a : 925
+ (22 x 4) = 1013
oppure determinare la corrispondenza diretta tra il numero d’ordine della figura e il numero totale dei suoi quadrati
(funzione definita sull’insieme dei numeri naturali non nulli: n –––> n2 + (n-1)2 = 2n2 - 2n + 1 ) e risoluzione tramite
una tabella di corrispondenza. (La 23a figura ha 1013 quadrati, 925 bianchi e 88 grigi)
Soluzione
Soluzione corretta (23esima figura) con una spiegazione dettagliata (successione, o tabella di corrispondenza, o disegno
delle ultime figure e indicazione del conteggio dei quadrati)
Livello: 7 - 8
Origine: Suisse romande
o
10 RALLY MATEMATICO TRANSALPINO – FINALE
maggio 2002
©ARMT2002
p. 17
14. LA FOTO RICORDO (Cat. 7, 8) ©ARMT.2002 - 10° - finale
L’ultimo giorno di scuola la professoressa di matematica decide di scattare una foto-ricordo ai suoi
alunni. Li dispone pertanto in file parallele contenenti tutte lo stesso numero di studenti. Tale
sistemazione risulta però troppo larga per l’obiettivo della macchina fotografica.
La professoressa si accorge che per ovviare all’inconveniente basta diminuire di uno il numero
degli studenti per ciascuna fila ed aumentare di uno il numero delle file. Ma la nuova sistemazione
non la soddisfa ancora perché l’ulteriore fila che si viene a formare ha 4 studenti in meno delle
altre.
Decide allora di diminuire ancora di uno il numero degli studenti per ciascuna fila e finalmente
ottiene una disposizione con una fila in più e con tutte le file dello stesso numero di studenti.
La foto può essere scattata!
Quanti sono gli studenti di quella classe?
Spiegate il vostro ragionamento
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
-
Algebra: equazioni di primo grado
-
Aritmetica: scomposizione in fattori
Analisi del compito
-
Notare che essendo gli studenti disposti in file il loro numero s non può essere un numero primo e che il numero
iniziale di studenti per fila deve essere maggiore di 2
-
Procedere per tentativi sul possibile numero degli studenti a partire da 4, utilizzando le scomposizioni in fattori di
ciascun numero e via via scartando quelle incompatibili con le due indicazioni del testo e con le considerazioni fatte
in precedenza; oppure procedere per tentativi sul numero delle file, partendo da 2 ed aumentando poi il numero degli
studenti per ciascuna fila, scartando di volta in volta le situazioni incompatibili con il testo.
-
Trovare così 24 studenti su 3 file di 8 all’inizio
Oppure, algebricamente, ipotizzare che n sia il numero delle file nella disposizione originale. Osservare che, poiché
togliendo due studenti per ogni fila si forma esattamente una nuova fila, le nuove file risultano composte da 2n
studenti e quindi le vecchie file da 2n+2 studenti.
Dedurre che il numero s degli studenti è allora nx(2n+2). Esempio: n=2 s=12; n=3 s=24, n=4 s=40, n=5 s=60 etc.
Verificare che solo una delle precedenti coppie (n, s) è accettabile. Infatti la prima condizione richiede che
(n+1)x(2n+1)-4 = nx(2n+2), e quindi si ha n=3 e s=24
-
Oppure usare una schematizzazione
Soluzione
La risposta corretta s=24, con un ragionamento tipo quello dell’analisi a priori o con tentativi esplicitati e/o ben
organizzati
Livello: 7 - 8
Origine: Siena
o
10 RALLY MATEMATICO TRANSALPINO – FINALE
maggio 2002
©ARMT2002
p. 18
15. IL NUMERO DI ROGER (Cat. 8) ©ARMT.2002 - 10° - finale
Roger ha davanti a sé una grande quantità di cartoncini «cifra» e un cartoncino «virgola».
Utilizza cinque di questi cartoncini: il cartoncino «virgola» e quattro cartoncini «cifra» per scrivere
un numero che occupa le cinque caselle a, b, c, d, e.
Il numero che si legge nelle prime tre caselle (abc) è un ventesimo del numero che appare
nell’ultima casella (e).
Il numero che si legge sulle ultime due caselle (de) è un multiplo del numero che si legge sulla terza e quarta casella
(cd).
Qual è il numero scritto da Roger?
Scrivete tutte le possibilità che avete trovato e indicate la vostra procedura e i vostri calcoli.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Aritmetica: addizione di numeri decimali e compensazioni
Analisi del compito
-
Immaginare il numero e capire che è decimale
-
Fare delle ipotesi sulla posizione della virgola e constatare che la virgola non può che essere in seconda posizione
e che la prima cifra è 0.
-
Scoprire che ci sono solo quattro scelte possibili per il numero relativo all’ultima casella: 2, 4, 6 e 8 corrispondenti
rispettivamente, per le prime tre caselle, a 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4
Infine rendersi conto che ci sono tre soluzioni quando si cerca di trovare la cifra della quarta casella che porta ai
numeri 0,142 (42 è multiplo di 14), 0,284 e 0,498
Soluzione
Le tre soluzioni (0,142 - 0,284 - 0,498) con procedura e calcoli esplicitati
Livello: 8
Origine: Suisse romande e Parma
o
10 RALLY MATEMATICO TRANSALPINO – FINALE
maggio 2002
©ARMT2002
p. 19
16. POVERO OTTAEDRO (Cat. 8) ©ARMT.2002 - 10° - finale
Licia ha un bell’ottaedro regolare di legno sul suo caminetto.
Le sembra però che occupi troppo posto e decide di segarne una parte intorno a ciascun vertice.
ottaedro (le facce sono triangoli equilateri
e i vertici sono all’intersezione di 4 facce)
primo ritaglio
Licia indica con precisione il punto medio di ogni spigolo.
Sceglie poi un vertice (V sul disegno) e sega secondo il piano che passa per i punti medi (A, B, C,
D) dei quattro spigoli che si intersecano in questo vertice.
Esegue la stessa operazione con gli altri vertici dell’ottaedro.
Alla fine Licia si ritrova con delle piramidi staccate e la parte centrale che è un nuovo poliedro
molto interessante.
Quante facce ha il nuovo poliedro di Licia ? E di quale forma ?
Quanti vertici e quanti spigoli ha il poliedro?
Fate un disegno del nuovo poliedro.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
Geometria: poliedri
Analisi del compito
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Immaginare il taglio e la forma delle piramidi staccate (a base quadrata) o costruire un ottaedro e disegnare i tratti
della sega sulle facce.
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Immaginare o disegnare la forma delle facce del nuovo poliedro che rimangono sulle facce dell’ottaedro (triangoli
equilateri)
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Dedurne che ci sono 14 facce (6 quadrati e 8 triangoli equilateri), 12 vertici (ciascuno comune a 2 quadrati e a 2
triangoli, cioé ((8 x 3) + (6 x 4)) / 4) e 24 spigoli (somma dei lati delle facce, diviso 2)
-
O contare facce e vertici
Attribuzione dei punteggi
Risposta giusta alle 5 richieste (12 vertici, 24 spigoli, 14 facce, 6 quadrati e 8
triangoli, disegno, anche approssimativo, che permetta di riconoscere il poliedro:
«cubottaedro»)
Livello: 8
Origine: Suisse Romande e Parma