Prefazione

Prefazione
Nell’antichità i contabili disponevano i ciottoli in colonna su un vassoio ricoperto di
sabbia per aiutarsi nel fare le somme. Si ritiene che l’impronta lasciata sulla sabbia
quando un ciottolo è spostato in un’altra posizione sia stata all’origine del nostro
attuale simbolo dello zero.
La parola inglese calculus ha la stessa origine, dato che coincide con la parola
della lingua latina che significa ‘ciottolo’. Oggigiorno la parola calculus (o calcolo,
in italiano) significa qualunque metodo sistematico che si usa per eseguire procedimenti di natura matematica. Parliamo ancora di calcolatore quando ci riferiamo a
un equivalente elettronico moderno di un antico vassoio ricoperto di sabbia e con dei
ciottoli. Però, dopo che Isaac Newton ha inventato il calcolo differenziale e integrale,
la parola calculus, anche senza specificazioni, è usata spesso per indicare questo
determinato ramo della matematica. Per questa ragione i ciottoli che compaiono
sulla copertina di questo libro alludono al suo argomento principale che è proprio il
calcolo differenziale e integrale.
Gli studenti che non conoscono ancora le derivate e gli integrali farebbero bene
a iniziare con un altro libro. Il nostro scopo è infatti di andare oltre i primi passi per
discutere come funziona il calcolo differenziale quando è necessario tenere conto di
più variabili contemporaneamente.
Siamo consapevoli del fatto che alcuni lettori avranno le conoscenze di base un
po’ arrugginite, mentre altri saranno dubbiosi di avere mai capito realmente ciò che
riescono a ricordare. Ripasseremo pertanto le nozioni del calcolo differenziale di una
variabile in un modo che speriamo possa offrire qualche chiarimento nuovo persino
ai pochi che si sentono sicuri delle proprie capacità matematiche. Sconsigliamo
comunque vivamente di utilizzare questo materiale al posto di un primo corso di
calcolo differenziale. Il testo procede troppo velocemente e presenta troppi dettagli
per essere utile a questo scopo.
Bisogna sottolineare che questo libro non è un ricettario contenente un menù
di formule che gli studenti dovrebbero imparare a memoria per mostrare la loro
erudizione durante l’esame. Non vediamo alcuna utilità nel formare studenti che
possono scrivere la derivazione formale delle equazioni di Slutsky, ma che non hanno
alcuna idea del significato effettivo delle manipolazioni matematiche che hanno
imparato a ripetere. Quando si insegna come fare le cose senza spiegare il perché, si
fa un errore più grave del riempire la testa degli studenti più deboli con una sfilza
di paroloni: si insegna agli studenti più bravi qualcosa di sbagliato, cioè che la
matematica è una lista di teoremi e dimostrazioni che non hanno alcuna rilevanza
pratica per qualcosa di reale.
L’atteggiamento che la matematica sia un menù di formule che i comuni
mortali possono solo ammirare da lontano è molto diffuso tra le persone che non
hanno alcuna conoscenza di questa disciplina. I ricercatori in campo matematico
incontrano spesso incredulità quando raccontano qual è il loro lavoro. La gente
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Prefazione
ISBN-88-408-1295-4
pensa che inventare un nuovo frammento di matematica sia come inventare un nuovo
comandamento da aggiungere ai dieci che Mosè ha portato giù dalla montagna.
Questa riverenza nei confronti della matematica crea una forma di paralisi isterica
che deve essere superata prima che uno studente possa entrare a fare parte della
comunità di quelli che, come noi, considerano la matematica come una cassetta
degli attrezzi in continua evoluzione, cui le persone istruite possono ricorrere per
comprendere il mondo circostante.
All’interno di questa comunità, un modello non è espresso in forma matematica
per provocare l’applauso di chi si impressiona facilmente, o per rendere oscuri gli
argomenti in modo da proteggere il modello dalle critiche provenienti da estranei
non competenti. Al contrario, la comunità che noi rappresentiamo è sempre ansiosa
di trovare il modello più semplice possibile in grado di cogliere come funziona un
aspetto particolare di un determinato processo fisico o sociale.
Per noi la sofisticatezza matematica è inutile, a meno che non serva per demistificare aspetti che altrimenti non saremmo in grado di comprendere. Non intendiamo
la modellazione matematica come un’attività grandiosa che può essere svolta solo
da professori che scrivono sulla lavagna. La modellazione matematica è quella
che ognuno dovrebbe fare per tentare di comprendere un problema. Ovviamente
i principianti saranno solo in grado di costruire modelli molto semplici e quindi un
bravo insegnante chiederà loro di risolvere solo problemi molto semplici.
Un tale atteggiamento verso la risoluzione dei problemi non è possibile con
studenti i cui processi mentali si bloccano quando si nomina un’equazione. Il rimedio
contro questo tipo di paralisi matematica risiede nell’insegnare che la matematica
è qualcosa che si fa, non qualcosa da apprezzare e basta. Al posto di offrire agli
studenti un ricettario, bisogna insegnare loro come mettere insieme piccole ricette
da soli. Dobbiamo accrescere la loro fiducia nella propria abilità di pensare da soli a
concetti matematici coerenti.
Questo tipo di fiducia deriva dal coinvolgere gli studenti nella matematica durante
il suo sviluppo, utilizzando il metodo tradizionale di chiedere ogni settimana le
soluzioni di un insieme di problemi scelti con cura. I problemi non devono essere
troppo difficili, ma non devono neanche essere troppo facili. Nessuno migliora la
fiducia in sé stesso se gli viene proposta una sfida troppo banale. Al contrario, se
chiediamo agli studenti di risolvere problemi che considerano banali, confermiamo
solamente che la loro scarsa opinione della propria abilità matematica è condivisa
dal loro insegnante. Alcune sfide devono essere di un livello tale che gli studenti,
superandole, sentono di avere raggiunto qualcosa.
Questa ultima questione ci sta particolarmente a cuore. Infatti, negli ultimi anni
il metodo di insegnamento a ‘ricetta’ ha guadagnato terreno nelle nostre scuole, in
base alla pretesa che il vecchio apprendimento a memoria deve essere sostituito da
metodi progressisti che sottolineano i concetti, ma ciò ha provocato una graduale
diminuizione di fiducia dei nostri studenti.
Come dimostra questo libro successivo alla prima versione di Calculus, i
matematici non hanno difficoltà ad adattare il contenuto dei loro corsi all’evoluzione
dei progammi di studio. Siamo persino disposti ad accettare che nella scuola venga
insegnata meno matematica se questo significa che più bambini sapranno contare.
Ma il tipo di insegnamento a ‘ricetta’, che rende gli studenti incapaci se il problema
non appartiene a una fra poche categorie ristrette, a noi sembra imperdonabile.
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La nostra ostilità verso l’insegnamento a ‘ricetta’ non deve essere considerata avere
come conseguenza che questo libro sia un lavoro rigoroso di analisi matematica.
Questo è un libro di come fare, che non contiene alcun teorema formale. Ma
spieghiamo sempre come mai i metodi funzionano, dato che è impossibile a chiunque
sapere come utilizzare un metodo per affrontare un nuovo tipo di problema senza
sapere perché il metodo funziona.
Il nostro approccio per spiegare come mai un metodo funziona è per lo più
geometrico. A questo fine il libro contiene un numero insolitamente grande di figure,
persino maggiore della prima versione. La disponibilità del colore e di programmi
per PC come Mathematica significa che le figure sono anche migliori.
Inoltre, il numero già elevato di esempi ed esercizi è stato aumentato, nell’ottica
di migliorare la comprensione illustrando alcune delle cose che possono andare storte
in casi sui quali di solito si sorvola senza commenti.
Infine, includiamo esempi di come la matematica da noi insegnata viene utilizzata nella pratica. La matematica è la stessa ovunque sia applicata, ma le applicazioni
nell’ambito dell’economia su cui ci concentriamo sono spesso particolarmente istruttive data la necessità di prestare grande attenzione a quale quantità viene mantenuta
costante durante la differenziazione. Gli studenti il cui interesse principale sono
le materie scientifiche potranno scoprire che queste applicazioni sono molto più
divertenti che non gli esempi di fisica che avranno già visto in qualche forma.
Con il nostro punto di vista sull’insegnamento della matematica non sorprenderà
che consideriamo gli esercizi una parte integrante del testo. Non ha senso cercare
di leggere questo testo o qualsiasi altro libro di matematica senza impegnarsi
seriamente ad affrontare il maggior numero di esercizi che il tempo permetta.
Infatti, essere in grado di svolgere un buon numero di esercizi senza aiuto è il test
fondamentale per vedere se il materiale è stato compreso. Puoi pensare di avere
capito i concetti, ma se non riesci a fare alcun esercizio, allora non hai capito. Puoi
pensare di non avere capito i concetti, ma se sei in grado di fare la maggior parte degli
esercizi, allora hai capito. In ogni caso devi provare a fare gli esercizi per renderti
conto di come stai andando.
Abbiamo lavorato molto per adattare questa nuova versione di Calculus alle esigenze degli studenti di oggi. I nostri lettori dovranno lavorare altrettanto duramente
per godere dei suoi benefici. Speriamo che anche loro condivideranno la nostra
sensazione di avere fatto qualcosa di effettivamente valido.
Ken Binmore
Joan Davies
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