Traccia 8 - Dipartimento di Fisica

Induzione elettromagnetica:
Insieme apparentemente eterogeneo di fenomeni diversi
Tutti riconducibili a un’unica legge fisica: Legge di Faraday
Origine in una proprieta’ fondamentale del campo elettromagnetico:
Un campo magnetico variabile nel tempo
e’ sempre accompagnato da un campo elettrico
Fenomenologia diversa:
Moto di conduttori in un c. magnetico costante-> fem (mozionale)
Moto di circuiti in un c. magnetico costante e uniforme-> fem = 0
Moto di circuiti in un c. magnetico costante e non uniforme-> fem
Spiegazione:
Forza di Lorentz -> Azione su cariche in movimento -> fem
-> Separazione cariche -> C. elettrostatico
Spiegazione equivalente:
Regola del flusso (tagliato)
Circuiti fermi in un c. magnetico variabile -> fem
Spiegazione:
C.elettrico non conservativo->fem
Spiegazione equivalente:
Regola del flusso (concatenato)
F.di Lorentz su cariche libere:
Equivalente a c. elettrico indotto nella sbarretta, che spinge
le cariche agli estremi (v.disegno), contro l' azione del c.elettrostatico
che si viene a formare per separazione delle cariche
FL = −qEi
Complessivamente, nella sbarretta all'equilibrio (ossia, quando e'
in movimento con velocita' costante) ci sono due campi:
quello indotto, che e' diretto come FL
quello elettrostatico, uguale e opposto a quello indotto
Il c. elettrico totale e' zero :
situazione simile a quella all'interno di una pila
Legge di Faraday e circuiti
Per conduttore che 'taglia' le linee di campo di B:
dΦ ( B)
dt
f. di Lorentz sui portatori ↔ separazione delle cariche ↔ fem indotta
E =−
∫
E =
v × B ⋅ ds
conduttore
Nel riferimento di quiete della sbarretta:
vel. portatori ∼ 0 → nessuna f. di Lorentz
Separazione delle cariche?
C. elettrico indotto, originato dalla trasformazione di Lorentz del c. magnetico
Ei = v × B
Considerando un circuito chiuso:
Corrente indotta
i=−
E
R
=−
1 dΦ ( B)
1
=−
∫ E ⋅ ds
R dt
R circuito
Flusso variabile → fem → C. elettrico non conservativo
Flusso variabile - 3
Allontanamento/Avvicinamento della sorgente di B alla spira:
Corrente indotta ↔ fem indotta ↔ C. elettrico indotto
Avvicinamento/Allontanamento della spira dalla sorgente di B:
Idem
Anche in questi casi:
E =−
dΦ ( B)
dt
Valida anche se la sorgente di B e’ un altro circuito percorso da
corrente
Considerazioni energetiche
Esempio 1
E = −vBb
−vBb
, r res. sbarretta
r+R
Ei = v × B
→i=
E = Eel + Ei = 0 sbarretta (equilibrio)
E = Eel resto del circuito
N
∫
circuito
E ⋅ ds =
∫
Ei ⋅ ds = ∫ Ei ⋅ ds = vBb
circuito
M
vB 2b 2
−vBb
bB = −
r+R
r+R
→ Per mantenere la sbarretta in moto con vel. v :
Fm = il × B → Fm =
vB 2b 2
Fext = −Fm → Fext =
r+R
2 2 2
v Bb
Pext = Fext ⋅ v =
= ( r + R ) i2 = E i
r+R
→ Pot. meccanica trasformata in pot. elettrica nel carico
Esempio 2
Ei = v × B = ω rBuˆ r
P
P
1
2
E = ∫ Ei ⋅ ds = ∫ ω rBdr = ω Ba 2
O
i=
E
O
=
ω Ba
2
2R
R
dFm = idr × B f. sull'elemento di corrente radiale
Mom. meccanico elementare della forza magnetica:
dM m = r × dFm = −
ω B2a2
2R
a
→ M m = ∫ r × dFm = − ∫
rdruˆ r
ω B2a2
0
2R
rdruˆ r = −
Per mantenere il disco in rotazione:
Mom. meccanico esterno
M ext = −M m
Pot. meccanica esterna:
Pext = M ext ⋅ ω = −M m ⋅ ω =
ω 2 B2a4
4R
=Ei
ω B2a4
4R
ω
Esempio 3
Usando il flusso tagliato:
Lati spira: MN = s, NP = s '
E =
v=
∫ v × B ⋅ ds = vB sin θ s + 0 + vB sin θ s + 0 = 2vB sin θ s
ωs '
2
→ E = 2 B sin θ s
ωs '
2
= ω BA sin θ
θ = ωt
→ E = ω BA sin ωt
Usando la legge di Faraday:
Φ ( B ) = B ⋅ A = BA cos θ = BA cos ωt
→E = −
dΦ
= ω BA sin ωt
dt
Fem sinusoidale
→i=
E
=
ω BA sin ωt
, R resistenza
R
ω 2 B 2 A2 sin 2 ωt
→ Pel = Ri 2 =
R
dissipata nel carico
Come al solito:
R
Pmecc = M meccω = − M mag ω = iAB sin θω =
ω 2 B 2 A2 sin 2 ωt
necessaria per mantenere in rotazione la spira
R
Si osservi:
∂B
∂t
B = ∇× A
∇×E = −
→ ∇×E = −
∂ (∇ × A )
∂A
= −∇ ×
∂t
∂t
∂A
∂t
In presenza di cariche e c. magnetici variabili:
→E=−
E = −∇V −
∂A
∂t