Compito no. 1

Prova di recupero di Probabilità e Statistica - A
28 Giugno 2005
1. Una moneta regolare viene lanciata 2 volte. Antonio vince se al primo lancio esce testa,
Benedetto vince se al secondo lancio esce croce.
(a) Descrivere lo spazio campione.
(b) Descrivere i seguenti sottoinsiemi dello spazio campione:
1. Antonio vince.
2. Benedetto vince.
3. Nessuno dei due vince.
(c) Calcolare le probabilità associate agli eventi di cui al punto (b).
2. Siano date due urne A e B. Nell’urna A ci sono 2 biglie bianche e una biglia nera;
nell’urna B ci sono due biglie nere e una bianca. Si lancia un dado onesto. Se esce un
numero minore o uguale a 4 si prende una pallina a caso da A, altrimenti si prende
a caso una pallina da B. Calcolare la probabilità che sul dado sia uscito un numero
minore o uguale a 4, sapendo che è stata estratta una biglia nera.
3. Il prezzo del barile sul mercato di Londra è
giorno
9
11
15
19
25
28
prezzo 38.6 39.3 38.9 37.99 36.77 38.5
a) Calcolare il coefficiente di determinazione e commentare il risultato.
b) Determinare e disegnare sul diagramma di dispersione la retta di regressione.
4. Su un campione di 100 famiglie è stata rilevata la seguente distribuzione della spesa
mensile familiare per spettacoli (in migliaia di lire):
classi di spesa 0 ÷ 20 20 ÷ 40 40 ÷ 60 60 ÷ 80 80 ÷ 100
frequenza
10
25
40
20
5
a) Rappresentare graficamente la distribuzione mediante istogramma.
b) Determinare se è possibile ritenere le classi di spesa distribuite secondo una gaussiana di media 50 e varianza 400.
Soluzioni - A - 28 Giugno 2005
1. (a) Indicato con Av l’esito che corrisponde alla vincita di Antonio e con Ap quello
corrispondente alla sua perdita, indicato con Bv l’esito che corrisponde alla vincita
di Benedetto e con Bp quello corrispondente alla sua perdita, lo spazio campione
risulta S = {{Av, Bv}, {Av, Bp}, {Ap, Bv}, {Ap, Bp}}.
(b)
1. Indicato con A l’evento ”Antonio vince” si ha A = {{Av, Bv}, {Av, Bp}}.
2. Indicato con B l’evento ”Benedetto vince” si ha B = {{Av, Bv}, {Ap, Bv}}.
3. L’evento ”Nessuno dei due vince” risulta essere AC ∩ B C = {{Ap, Bp}}.
(c) Poichè le monete sono regolari, ogni esito dello spazio campione S ha probabilità
di occorrenza 1/4 pertanto P (A) = P (B) = 0.5 e P (AC ∩ B C ) = 0.25 poichè gli
eventi A e B sono indipendenti.
2. Indicato con I l’evento ”estrazione dall’urna A” e con II l’evento ”estrazione dall’urna
B” si ha P (I) = 4/6 e P (II) = 2/6. Indicato con N l’evento ”estrazione della pallina
nera” e con B l’evento ”estrazione della pallina bianca” si ha P (N |I) = 1/3, P (N |II) =
2/3 da cui applicando il teorema di Bayes segue:
P (I|N ) =
3.
P (N |I)P (I)
= 0.5
P (N |II)P (II) + P (N |I)P (I)
a) Il coefficiente di determinazione, pari al quadrato del coefficiente di correlazione
di Pearson, vale 0.37. Pertanto il 37% per cento della variabilità di Y è spiegato
dalla variabilità di X.
b) La retta di regressione è y = −0.07089x + 38.6
4. Le classi in cui ripartire il campione sono:
classi di spesa
< 20 20 ÷ 40 40 ÷ 60 60 ÷ 80 > 80
frequenza osservata
10
25
40
20
5
frequenza attesa
6.68
24.17
38.29
24.17
6.68
dove i valori delle frequenze attese sono stati calcolati usando l’ipotesi che la popolazione sia rappresentata da una variabile aleatoria X gaussiana di media 50 e varianza
400. Ad esempio in corrispondenza della classe 20 ÷ 40 si ha
E2 = 100P (20 < X < 40) = 100P
40 − 50
20 − 50
= 100[F (−1, 5)−F (0.5)]
<Z<
20
20
dove Z è la gaussiana standard e F rappresenta la sua funzione di ripartizione (per il
suo valore consultare le tavole). Il valore della statistica test è 2.89 che confrontato
con il quantile corrispondente a 4 gradi di libertà (il numero di parametri stimati è 0)
non consente di rigettare l’ipotesi effettuata.
Prova di recupero di Probabilità e Statistica - B
28 Giugno 2005
1. Una moneta regolare viene lanciata 2 volte. Antonio vince se al primo lancio esce testa,
Benedetto vince se al secondo lancio esce croce.
(a) Descrivere lo spazio campione.
(b) Descrivere i seguenti sottoinsiemi dello spazio campione:
1. Antonio non vince.
2. Benedetto non vince.
3. Vincono entrambi.
(c) Calcolare le probabilità associate agli eventi di cui al punto (b).
2. Siano date due urne A e B. Nell’urna A ci sono 2 biglie bianche e una biglia nera;
nell’urna B ci sono due biglie nere e una bianca. Si lancia un dado onesto. Se esce
un numero minore o uguale a 4 si prende una pallina a caso da A altrimenti si prende
a caso una pallina da B. Calcolare la probabilità che sul dado sia uscito un numero
maggiore di 4, sapendo che è stata estratta una biglia bianca.
3. Il prezzo del barile sul mercato di Londra è
giorno
5
7
8
12
15
18
prezzo 19.6 19.3 18.9 18.99 17.77 17.5
a) Calcolare il coefficiente di determinazione e commentare il risultato.
b) Determinare e disegnare sul diagramma di dispersione la retta di regressione.
4. La casa produttrice della Nutella svolge un’indagine sulla distribuzione per età dei
consumatori. Intervista 200 persone e trova i seguenti risultati:
classi di età
5 ÷ 10 10 ÷ 20 20 ÷ 30 30 ÷ 40 40 ÷ 60 60 ÷ 80
num. consumatori
28
52
50
30
34
6
a) Rappresentare graficamente la distribuzione mediante istogramma.
b) Determinare se è possibile ritenere l’età media dei consumatori una gaussiana di
media 27 e varianza 245.
Soluzioni - B - 28 Giugno 2005
1. (a) Indicato con Av l’esito che corrisponde alla vincita di Antonio e con Ap quello
corrispondente alla sua perdita, indicato con Bv l’esito che corrisponde alla vincita
di Benedetto e con Bp quello corrispondente alla sua perdita, lo spazio campione
risulta S = {{Av, Bv}, {Av, Bp}, {Ap, Bv}, {Ap, Bp}}.
(b)
1. Indicato con A l’evento ”Antonio non vince” si ha A = {{Ap, Bv}, {Ap, Bp}}.
2. Indicato con B l’evento ”Benedetto non vince” si ha B = {{Av, Bp}, {Ap, Bp}}.
3. L’evento ”Vincono entrambi” risulta essere AC ∩ B C = {{Av, Bv}}.
(c) Poichè le monete sono regolari, ogni esito dello spazio campione S ha probabilità
di occorrenza 1/4 pertanto P (A) = P (B) = 0.5 e P (AC ∩ B C ) = 0.25 poichè gli
eventi A e B sono indipendenti.
2. Indicato con I l’evento ”estrazione dall’urna A” e con II l’evento ”estrazione dall’urna
B” si ha P (I) = 4/6 e P (II) = 2/6. Indicato con N l’evento ”estrazione della pallina
nera” e con B l’evento ”estrazione della pallina bianca” si ha P (B|I) = 2/3, P (N |II) =
1/3 da cui applicando il teorema di Bayes segue:
P (II|B) =
3.
P (B|II)P (II)
= 0.2
P (B|II)P (II) + P (B|I)P (I)
a) Il coefficiente di determinazione, pari al quadrato del coefficiente di correlazione
di Pearson, vale 0.89. Pertanto l’89% per cento della variabilità di Y è spiegato
dalla variabilità di X e quindi il modello lineare sembra sufficiente a spiegare la
relazione tra X e Y.
b) La retta di regressione è y = −0.15x + 20.4.
4. Le classi in cui ripartire il campione sono:
classi di spesa
< 10 20 ÷ 30 30 ÷ 40 40 ÷ 60 > 50
frequenza osservata
28
52
50
30
40
frequenza attesa
27.7
37.7
49.72
44.17 42.62
dove i valori delle frequenze attese sono stati calcolati usando l’ipotesi che la popolazione sia rappresentata da una variabile aleatoria X gaussiana di media 27 e varianza
245. Ad esempio in corrispondenza della classe 40 ÷ 60 si ha
E4 = 200P (40 < X < 60) = 100P
40 − 27
60 − 27
= 200[F (0.83)−F (2.10)]
<Z<
15.65
15.65
dove Z è la gaussiana standard e F rappresenta la sua funzione di ripartizione (per il
suo valore consultare le tavole). Il valore della statistica test è 13.6 che confrontato
con il quantile corrispondente a 4 gradi di libertà (il numero di parametri stimati è 0)
consente di rigettare l’ipotesi effettuata.