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CALCOLO COMBINATORIO E CENNI DI PROBABILITÀ
LORENZO BRASCO
Dato un insieme S formato da n elementi, sia k ≤ n. Il numero di k−uple che si possono formare
con elementi di S, senza che ci siano ripetizioni e tenendo conto dell’ordine degli elementi, è dato
da
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1).
Esempio 1. Sia S = {a, b, c} l’insieme formato dai 3 elementi a, b e c. Prendendo k = 2, tutte
le coppie che possiamo formare con gli elementi di S, senza ripetizioni e tenendo conto dell’ordine
sono date da
ab ba ac ca bc cb,
ovvero sono appunto 3 · 2 = 6.
Il numero di possibili sottoinsiemi di S formati da k elementi tutti distinti è dato invece dal
coefficiente binomiale
n!
n
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
=
.
=
k!
k! (n − k)!
k
Esempio 2. Sia S come nell’esempio precedente e prendiamo sempre k = 2. I sottoinsiemi in
questione sono dati da
{a, b} {a, c} {b, c},
ovvero sono appunto
3
2
= 3.
Esercizio 1. Siamo alle Olimpiadi di Parigi del 1924. Alla vigilia delle semifinali del torneo di
calcio, gli organizzatori decidono di non farsi trovare impreparati e di coniare le medaglie per le
prime 3 squadre classificate, ognuna con il nome della squadra. Non potendo prevedere il futuro,
devono stampare tante medaglie quanti sono i possibili risultati finali. Ovvero?
Soluzione Stiamo chiaramente supponendo che le semifinali in questione siano 2 e quindi che le
nazionali ancora rimaste in gioco siano 4. Abbiamo quindi un insieme formato da 4 elementi (le
nazionali) e vogliamo sapere quante sono le possibili triple (cioè i possibili ordini di piazzamento),
tenendo conto dell’ordine (non vogliamo che all’Uruguay tocchi una medaglia d’oro con sopra scritto
Svizzera, per esempio), quindi il numero di medaglie da stampare è
4 · 3 · 2 = 24.
Esercizio 2. Siamo alle Olimpiadi di Città del Messico del 1968. Ad una semifinale degli 800 m
piani partecipano 8 concorrenti. Poichè solo i primi due accedono in finale, quante sono le possibili
coppie di finalisti?
1
2
LORENZO BRASCO
Soluzione Abbiamo un insieme di 8 elementi (i concorrenti) e ci interessa sapere tutte le possibili
coppie che possiamo formare con questi elementi, senza che ci siano ripetizioni (un concorrente non
può arrivare primo e secondo!) e senza tenere conto dell’ordine (basta arrivare tra i primi due per
qualificarsi), quindi siamo interessati al numero di sottoinsiemi contenenti 2 elementi e la risposta
è data da
8
7·8
= 28.
=
2
2
Esercizio 3. Siamo sempre a Città del Messico nel 1968. In un’altra semifinale degli 800 m piani,
sempre con 8 concorrenti, partecipano tra gli altri due italiani. Quante probabilità abbiamo di
portarli entrambi in finale?
Soluzione Grazie all’esercizio precedente, sappiamo che gli eventi possibili sono 28, mentre quello
favorevole è uno solo, per cui la probabilità che i nostri atleti vadano entrambi in finale è
1
.
P =
28
Esercizio 4. La massima divisione del Campionato di calcio svizzero si chiama Super League e
vi prendono parte 10 squadre. Il regolamento prevede che ogni squadra giochi contro tutte le altre,
disputando contro ognuna di esse 2 partite di andata e 2 partite di ritorno1. In quante giornate si
articola la Super League svizzera?
Soluzione Innanzitutto, calcoliamo il numero totale di partite. Abbiamo un insieme di 10 elementi
(le squadre) e siamo interessati a tutte le possibili coppie (che rappresentebbero le partite) che
possiamo formare con questi elementi, senza ripetizioni (una squadra non può giocare contro se
stessa) e tenendo conto dell’ordine (perchè vogliamo tenere conto dell’andata e del ritorno, ovvero
del fatto che la partita Lugano-Grasshoppers differisce da quella Grasshoppers-Lugano), quindi
usando la formula
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
con n = 10 e k = 2, si ha
10 · 9 = 90,
che rappresenta il numero totale di partite, facendo un solo turno di andata e uno solo di ritorno.
Il numero totale di partite sarà quindi 180 e considerando che ad ogni giornata di campionato
si giocheranno 5 partite, si potrà sapere chi ha vinto la Super League aspettando esattamente
180/5 = 36 giornate. 1Certo questo fa venire un po’ meno il concetto di andata e ritorno...