m 3 p

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale
Sezione geotecnica (www.dicea.unifi.it/geotecnica)
“STATO CRITICO” Corso di Geotecnica
Ingegneria Edile, A.A. 2012/2013
Johann Facciorusso
[email protected]
http://www.dicea.unifi.it/~johannf/
Dr. Ing. Johann Facciorusso
Introduzione
Corso di Geotecnica per Ingegneria Edile
A.A. 2012/2013
Esercizio 1
Una prova triassiale consolidata isotropa drenata (TXCID) viene eseguita,
ad una pressione costante di cella di 120 kPa, su un provino di argilla
normalconsolidata (NC). Il deviatore a rottura, qf, vale 140 kPa. Disegnare
sul piano (p’,q) la linea di stato critico (CSL) e determinarne la pendenza M.
Nell’ipotesi che il provino venga portato a rottura per estensione assiale,
qf = 1 – 3
determinare il deviatore, qfe. a rottura.
Dati:
- Prova TXCID (standard, ovvero a compressione)
- Argilla NC (c’ = 0 kPa)
- c = 120 kPa
- qf = 140 kPa
c
c
Calcolare:
-M
-qfe (da prova non standard, ad estensione)
c
2 = 3 = c =cost.
’2 = ‘3 =  ‘c = cost.)
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Soluzione:
q
Quando non specificato sia assume la back
pressure (b.p.) uguale a zero:
M
F
qf
1
c = ’c = p’c = 120 kPa
3
1
A
p’c
p’f
p’
Il percorso tensionale che il provino segue durante la fase di
compressione, sia in tensioni totali che efficaci (TSP=ESP) sul piano p’-q
ha equazione: q = 3 (p-p’c)
La linea di stato critico (CSL) ha equazione: q=M p’
q = 3 (p-p’c)
F(p’f,qf)
q = M p’
qf = 3(p’f – p’c) =3(qf/M-p’c)
M = 3qf/(qf + 3p’c)= 3*140/(140+3*120)= 0.84
(qf + 3p’c)/3 =(qf/M)
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q
Quando la prova è condotta in modalità non
standard, in estensione, la tensione assiale
rimane costante mentre aumenta quella
radiale, che diventa quella maggiore:
M
F
qf
1
3
p’c
1
A p’f
a = 3 = cost. = p’c = 120 kPa
p’fe
p’
3
qfe
2
r = 1 = 2 = cresc.
q =  (1 – 3) = 1
FE
p’ =  (21 + 3)/3 = 21/3
Me
q/ p’ = 3/2
1
Il percorso tensionale che il provino segue durante la fase di estensione, sia in
tensioni totali che efficaci (TSP=ESP) sul piano p’-q ha equazione: q = 3/2 (p-p’c)
La linea di stato critico (CSL) ha equazione: q=Me p’
Essendo:
6  sencs'
M
3  sencs'
6  sencs'
Me 
3  sencs'
3Me/(6-Me) = 3M/(6+M) = 3*0.84*(6+0.84) = 17.24
Me = 3M/(6+M) = 3*0.84/(6+0.84) = 0.37
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q
M
F
qf
1
Fe(p’fe,qfe) =ESP CSL
q = Me p’
3
p’c
1
A p’f
p’fe
p’
3
qfe
q = 3/2 (p-p’c)
qfe = 3(p’fe – p’c)/2 = Me p’fe
(2Me-3) p’fe = 3p’c
2
FE
p’fe = 3p’c/ (3-2Me) = 3*120/(3-2*0.37) = 159.29 kPa
Me
1
qfe = Me p’fe = 0.37*159.29 = 58.93 kPa < qf
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Esercizio 2
Un provino di terreno saturo viene consolidato isotropicamente in una cella
triassiale. I valori delle pressione di cella applicate e dell’indice dei vuoti
finale raggiunto, sono riportati di seguito.
(A)
(B)
Scarico (C)
Carico
Pressione di cella
[kPa]
200
1000
500
Indice dei vuoti finale
[-]
1.72
1.20
1.25
Determinare i parametri ,  e  e disegnare le corrispondenti linee di
normalconsolidazione (NCL) e di scarico (URL) sul piano (v, ln p’)
Dati:
- Consolidazione isotropa (si assume b.p.=0, ovvero p’=p)
- pc(A) =200 kPa; pc(B) =1000 kPa; pc(C) =500 kPa
- e(A) =1.72; e(B) =1.20; e(C) =1.25
- v(A) = 1 + e(A)= 2.72; v(B) =2.20; v(C) =2.25
Calcolare:
- ,  ,
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Soluzione:
La linea NCL ha equazione, sul piano q=0:
v =    lnp’
e per poterla disegnare sul piano (p’,v) e determinarne i coefficienti  e 
occorre conoscere almeno due punti per i quali passa , ovvero
A(200,2.72) e B(1000,2.20)
q
v(A)=  – lnp’c(A)
A,BNCL
A
v(B)=  – lnp’c(B)
B
p’
v
2.72 =  – ln200
2.20 =  – ln1000
0.52= ln(1000/200)
A
 = 0.323
2.72 =  – ln200  = 4.43
B
p’
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La linea URL ha equazione, sul piano q=0:
v = v   lnp’
e per poterla disegnare sul piano (p’,v) e determinarne i coefficienti vk e 
occorre conoscere almeno due punti per i quali passa , ovvero
B(1000,2.20), C(500,2.25)
q
v(B)= vk – lnp’c(B)
B,CURL
A
C
v(C)= vk – lnp’c(C)
B
p’
v
2.20 = vk – ln1000
2.25 = vk – ln500
A
0.05= ln(1000/500)
B
C
p’
 = 0.0721
2.25 = vk – ln500 vk = 2.70
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Introduzione
Esercizio 3
Due provini, A e B, della stessa argilla vengono consolidati isotropicamente
nella cella triassiale ad una pressione di cella pc = 400 kPa e quindi
sottoposti ad uno scarico fino a raggiungere un valore di pressione di cella
p0 = 300 kPa (si assuma una back pressure di 100 kPa). Sul provino A viene
quindi condotta una prova TXCID, mentre sul provino B una prova TXCIU.
Noti i parametri del terreno:  = 0.3,  = 0.05, e0 = 1.10 e ’cs = 30°. Stimare:
a) i valori delle tensioni p’, q, ’1 e ’3 corrispondenti alla plasticizzazione e
alla rottura, per ciascun provino;
b) l’eccesso di pressione interstiziale u, corrispondente alla
plasticizzazione e alla rottura per il provino B
Dati:
- Consolidazione isotropa
pc = 400 kPa; p0 =300 kPa;
- b.p. = 100 kPa
p’c = pc – b.p. = 300 kPa; p’0 =p0 – b.p. = 200 kPa;
- Grado di sovraconsolidazione isotropo: R0 = p’c/p’0 =300/200= 1.5;
deb. sovracons.
- Provino A: prova TXCID; Provino B: prova TXCIU;
6  sencs'
- =0.3;  = 0.05; e0 =1.10; ’cs=30°
= 1.2
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M
'
3  sencs
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Calcolare:
- p’y, qy, ’1y ,’3y
- p’f, qf, ’1f ,’3f
- uy , uf
Soluzione:provino A
Con riferimento al modello di Cam-Clay
modificato,
lo
stato
di
plasticizzazione
corrisponde
all’intersezione
del
percorso
efficace (ESP) con l’ellisse di plasticizzazione
(EPL), di equazioni:
F
q
3
M
p’2+q2/M2-p’p’c=0
1
Y (p’y,qy) =ESP EPL
Y
B
A
p’0
p’c
p’
q = 3(p’-p’0)
p’2+9(p’-p’0)2/M2-p’p’c=0
p’2+9/M2p’ 2+9/M2p’02 -18/M2p’0p’-p’cp’=0
v
(1+9/M2)p’ 2-(18/M2p’0+p’c)p’ +9/M2p’02 =0
7.25p’ 2-2800p’ +250000 =0
URL
M
140.1 kPa
A
B
Y
p’y =
F
p’
246.1 kPa
-179.7 kPa
qy =
138.3 kPa
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Lo stato di rottura corrisponde all’intersezione
del percorso efficace (ESP) con la linea di stato
critico (CSL), di equazioni:
F
q
M
q = M p’
F (p’f,qf) =ESP CSL
Y
A
B
p’0
p’c
p’
v
q = 3(p’-p’0)
Mp’=3(p’-p’0)
(3-M)p’=3p’0
URL
A
B
M
p’f =3p’0/(3-M)= 3*200/(3-1.2)= 333.3 kPa
qf = Mp’f = 1.2*333.3 = 400 kPa
Y
F
p’
Essendo: q = ’1-’3; p’=(’1+2’3)/3
’1y = 338.3 kPa; ’1f 600 kPa
’3y = 200 kPa;
’3f = 200 kPa
’1= (2q+3p’)/3
’3= (3p’-q)/3
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Soluzione:provino B
q
F
M
Y
A
B
p’0
p’c
Con riferimento al modello di Cam-Clay
modificato,
lo
stato
di
plasticizzazione
corrisponde
all’intersezione
del
percorso
efficace (ESP) con l’ellisse di plasticizzazione
(EPL), di equazioni:
p’2+q2/M2-p’p’c=0
Y (p’y,qy) =ESP EPL
p’ = p’0
p’
p’02+q2/M2-p’ 0p’c=0
q2= (p’0p’c- p’02 )M2 = (200*300-2002)*1.22
qy = ± 169.7 kPa
v
URL
BY
M F
p’y = 200 kPa
A
Y
Nel modello di Cam-Clay modificato, imponendo:
p’
M =EPL CSL
M =URL CSL
A =URL NCL
 ln
v(A) = 1+e0 =  – lnp’c
N = 3.81
 = 3.81-(0.3-0.05)ln2 = 3.64
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Lo stato di rottura corrisponde all’intersezione
del percorso efficace (ESP) con la linea di stato
critico (CSL), di equazioni:
q
F
F1
M
Y
3
vf = v0 = 1+e0
F (p’f,qf) =ESP CSL
1
A
B
p’0
p’c
p’
q
v0 =  – lnp’f
vf =  – lnp’f
p’f =e  – v0)/ = 167.7 kPa
qf =Mp’f = 201.3 kPa
’1y = 313.1 kPa; ’1f = 301.9 kPa
’3y = 143.3 kPa; ’3f = 100.6 kPa
URL
BY
M F
A
Y
p’
Siccome il percorso TSP è rettilineo di
inclinazione 1:3, risulta che:
py = qy /3 + p0 = 356.6 kPa
qy = 3(py-p0)
pf = qf /3 + p0 = 367.1 kPa
qf = 3(pf-p0)
uy = py – p’y = 356.6 – 200 = 156.6 kPa
uf = pf – p’f = 345.5 – 113.7 = 199.4 kPa
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Esercizio 4
Determinare la resistenza al taglio non drenata cu da una prova TXCIU e
seguita su un terreno avente ’cs = 25° nell’ipotesi che venga consolidato
isotropicamente ad una pressione di cella di 350 KPa e successivamente
scaricato ad una pressione di 70 kPa.
Dati:
- Prova TXCIU
- ’cs= 25°
6  sencs'
M
3  sencs'
= 0.98
- p’c = pc (b.p.=0)=350 kPa; p’0 =p0 = 70 kPa;
R0 = pc/p0 =350/70= 5;
Calcolare:
- cu
Soluzione:
Il provino risulta fortemente sovraconsolidato (R0 >2) e lo stato a rottura (F)
non coincide con quello critico (C) e, con riferimento al primo, applicando il
criterio di Tresca:
cu = qf/2
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p’2+q2/M2-p’p’c=0
F (p’f,qf) =EPL ESP
q
F
M
p’ = p’0
p’02+q2/M2-p’ 0p’c=0
qf2= (p’0p’c- p’02 )M2
C
A
B
p’0
p’c
p’
q
cu = qf/2 = M/2 (p’0p’c- p’02 )1/2 = Mp’0/2(R0-1) 1/2
URL
BF
C
M F
cu = 0.98*70/2(5-1)1/2 = 68.6 kPa
A
p’
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Esercizio 5
Un provino di argilla satura è consolidato in cella triassiale con pressione
isotropa pc0 = 200 kPa. Al termine della consolidazione il volume del provino
è V0 = 86 cm3 e l'indice dei vuoti e0 = 1.6. La pressione isotropa di cella è
portata fino al valore pc1 = 400 kPa e, a fine consolidazione, il provino ha
espulso un volume d'acqua Vw1 = 5.956 cm3. La pressione isotropa di cella è
poi ridotta fino al valore pc2 = 300 kPa, e ciò determina l'assorbimento di un
volume d'acqua Vw2 = 0.476 cm3.
Determinare i valori dei parametri    e  applicando il modello Cam Clay.
Dati:
- Consolidazione isotropa
p’c0 = pc0 (b.p.=0) = 200 kPa
p’c1 = pc1 (b.p.=0) = 400 kPa
p’c3 = pc3 (b.p.=0) = 300 kPa
(A) V0 = 86 cm3; e0 = 1.6
(B) V1 = V0- Vw1 = 86-5.956 = 80.044 cm3
(C) V2 = V1+ Vw2 = 80.044+0.476 = 80.520 cm3
Calcolare:
- ,  , 
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A (p’c0,v0) = (200 kPa; 2.600)
Soluzione:
V/V0 = V1-V0)/V0 =e/(1+e0)=e1-e0)/(1+e0)
q
e1 = e0+(1+e0)V1-V0)/V0=e0-(1+e0)Vw1 /V0
e1 = 1.6-(1+1.6)*5.956/86 = 1.420
v1 = 1+e1 = 2.420
A
C
B
p’
v
B (p’c1,v1) = (400 kPa; 2.420)
e2 = e1+(1+e1)V2-V1)/V1=e1+(1+e1)Vw2 /V1
e2 = 1.420+(1+1.420)*0.476/80.044 = 1.434
v2 = 1+e2 = 2.434
A
B
C (p’c2,v2) = (300 kPa; 2.434)
v0 =  – lnp’c0
C
p’ A,BNCL
2.600 =  – ln200
2.420 =  – ln400
v1 =  – lnp’c1
0.18= ln(400/200)
 = 0.260
2.600 =  – ln200  = 3.98
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A (p’c0,v0) = (200 kPa; 2.600)
Soluzione:
v1 =  – lnp’c1
q
B,CURL
A
C
v2 =  – lnp’c2
2.420 = v – ln400
B
p’
2.434 = v – ln300
v
0.014 =  ln(400/300)
A
B
 = 0.0487
2.420 = v – ln200 vk = 2.68
C
p’
 ln
 = 3.98-(0.260-0.0487)ln2 = 3.83
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