Esercizi di preparazione al secondo esonero 1. Consideriamo la

Esercizi di preparazione al secondo esonero
1. Consideriamo la copia di S 1 immersa in R3 data da
S 1 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1; z = 0}
Determinare la coomologia di U = R3 \ S 1 utilizzando un ricoprimento
aperto di U costituito di aperti contraibili con intersezioni ed intersezioni
successive tutte contraibili (quando non vuote).
2. In R2 \ {(0, 0)} si considerino le 1-forme differenziali
ω=−
x2
x
y
dx + 2
dy
2
+y
x + y2
e
ω0 = −ydx + xdy
• mostrare che ω è chiusa;
• mostrare che ω ed ω0 coincidono quando vengono ristrette ad S 1 ;
utilizzare questo fatto ed il teorema di Stokes per calcolare
Z
ω
S1
• dedurne che ω non è esatta.
3. In R2 dotato di coordinate (x, y) si consideri l’aperto U definito da U =
R2 \{(1, 0)}. Calcolare la coomologia di U ed esibire una base esplicita per
1
HdR
(U ) (Suggerimento: utilizzare l’esercizio precedente e la traslazione
(x, y) 7→ (x + 1, y)).
4. In R2 dotato delle coordinate (x, y) si consideri la varietà differenziabile
M = {(x, y) | x4 + y 4 = 1}
Sia X il campo vettoriale
X = y3
∂
∂
− x3
∂x
∂y
• Dimostrare che X si restringe a un campo vettoriale su M (ovvero
che per ogni p ∈ M si ha Xp ∈ Tp M )
• Scrivere l’espressione del campo vettoriale X M in una delle carte di
M fornite dal teorema del Dini. Esplicitamente, detta φU : U → UR
la carta e detta ψU : UR → U la sua inversa, si tratta di trovare un
campo vettoriale XU su UR tale che
dψp (XU,p ) = Xψ(p)
per ogni punto p di UR . (Poiché U ⊆ R2 , si può vedere ψ come
un’applicazione differenziabile dall’aperto di R dato da UR in R2 , ed
a questo punto calcolare il differenziale dψp è immediato).
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• Scrivere l’espressione del campo vettoriale X M in due carte di M
fornite dal teorema del Dini aventi intrsezione non banale e verificare che le due espressioni cosı̀ trovate si trasformano l’una nell’altra
mediante la legge del cambio di coordinate per i campi vettoriali.
Sia ω la 1-forma su R2 \ {(0, 0)} data da
ω=−
x
y
dx + 2
dy
x2 + y 2
x + y2
e sia η la sua restrizione ad M .
• Scrivere l’espressione della 1-forma η = ω M in due carte di M fornite
dal teorema del Dini aventi intrsezione non banale e verificare che le
due espressioni cosı̀ trovate si trasformano l’una nell’altra mediante
la legge del cambio di coordinate per le 1-forme;
• calcolare l’integrale
Z
η
M
(Suggerimento: sfruttare il fatto che η è la restrizione a M della
1-forma ω ed utilizzare l’esercizio 2).
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