Probabilità e Statistica Matematica (6 CFU)

Probabilità e Statistica Matematica (6 CFU)
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Lingua di insegnamento
Italiano
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Contenuti
Catene di Markov. Processi stocastici. Inferenza statistica.
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Testi di riferimento
[1] Karlin S., Taylor H. (1975) A first course in stochastic processes, Academic
Press.
[2] Di Crescenzo A., Ricciardi L. (2000) Elementi di Statistica. Liguori editore.
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Obiettivi formativi
Il corso presenta i fondamenti ed i risultati principali della teoria delle catene di
Markov e dei processi stocastici a tempo continuo, secondo l’impostazione che si è
diffusa negli ultimi anni, prestando particolare attenzione agli aspetti di
formalizzazione della teoria. Oltre alle definizioni fondamentali e ai teoremi principali
vengono presentati problemi di natura applicativa, anche in ambito statistico assieme
alle relative soluzioni
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Prerequisiti
Elementi di calcolo: serie numeriche, limiti, derivate ed integrali. Teoria della misura.
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Metodi didattici
Lezioni frontali con l’ausilio di strumenti informatici.
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Modalità di verifica dell’apprendimento
Prova orale.
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Programma
Catene di Markov: matrice di transizione di una catena di Markov; passeggiate
aleatorie e successioni di eventi; funzionali definiti a partire dalle passeggiate
aleatorie. Processi di diramazione e funzioni generatrici. Matrice di transizione di una
catena di Markov regolare. La classificazione degli stati. Catene di Markov riducibili.
Metodi di Monte Carlo per le catene di Markov.
Processi di Poisson: la legge degli eventi rari, distribuzioni associate al processo di
Poisson. La distribuzione uniforme. Processi di Poisson spaziali. Processi di Poisson
composti. Processi di rinnovo.
Catene di Markov a tempo continuo: processi di pura nascita, processi di pura
morte, processi di nascita-morte. Applicazioni in dinamica delle popolazioni.
Comportamento asintotico. Stati assorbenti.
Processi stocastici: spazio degli stati. Processi di Markov. Densità di transizione.
Processi temporalmente omogenei. Densità stazionarie. Equazioni differenziali in
avanti e all’indietro. Equazione di Chapmann-Kolmogorov. Momenti infinitesimali.
Processi di Wiener e moto browniano. Connessioni con le passeggiate aleatorie.
Processi di Gauss-Markov. Cenni all’integrazione stocastica e alle equazioni
differenziali stocastiche. Ponte browniano. Processo di Ornstein-Uhlenbeck.
Statistica Matematica: campioni casuali con e senza ripetizione; stimatori di massima
verosimiglianza. Intervalli di confidenza, test di ipotesi: a una coda e a due code. Test
sulla media e sulla varianza della popolazione. Distribuzioni normali multivariate.
Come confrontare due campioni casuali indipendenti. Test del chi-quadrato. Fitting di
una distribuzione: test di Kolmogorov-Smirnov.
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Note
Scopo primario del corso è quello di consentire agli studenti una capacità di
formalizzazione di problemi applicativi sia di modellizzazione stocastica che di sintesi
ed analisi dei dati, provenienti da varie discipline, in modo da formulare proposte e
soluzioni per la loro comprensione.