PID - Automazione@ingre

Controlli Digitali
Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica
CONTROLLORI PID
Cristian Secchi
Tel. 0522 522235
e-mail: [email protected]
Introduzione
•
•
regolatore Proporzionale, Integrale, Derivativo – PID
regolatori standard con tre azioni di controllo combinate:
•
•
•
•
•
standard industriale ed utilizzabile per moltissimi impianti
implementabile con molte tecnologie
•
•
•
•
•
azione proporzionale all'errore
azione proporzionale all'integrale dell'errore
azione proporzionale alla derivata dell'errore
elettriche (analogiche e digitali)
meccaniche
pneumatiche
oleodinamiche
disponibile a software sui sistemi di controllo industriale
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 2
Pag. 1
Motivazioni del successo del PID
•
Notevole efficacia nella regolazione di un’ampia gamma di
processi industriali
Tecniche di taratura semplici ed automatiche applicabili
anche q
quando il modello dell'impianto
p
èp
poco noto
Importanza e convenienza economica della
standardizzazione
Possono essere usati come elementi base di schemi di
controllo articolati (es.: controllo in cascata) portando
notevolissimi miglioramenti delle prestazioni
Consente di ottenere prestazioni accettabili anche con una
scarsa conoscenza del modello del sistema
•
•
•
•
I PID hanno successo perchè rappresentano una soluzione non facilmente
superabile, in generale, nel rapporto efficacia/costo
Cristian Secchi
PID-- 3
Il controllore PID
•
se e(t) è il segnale di errore avremo
t
⎡
⎤
1
u (t ) = K p ⎢e(t ) + Td e&(t ) + ∫ e(τ )dτ ⎥
Ti 0
⎣
⎦
•
con Kp costante proporzionale e con Ti e Td constanti di
tempo della parte integrale e derivativa
f.d.t. del controllore:
GPID ( s ) =
Cristian Secchi
Cristian Secchi
⎛
U ( s)
1 ⎞
⎟
= K p ⎜⎜1 + Td s +
E ( s)
Ti s ⎟⎠
⎝
PID-- 4
Pag. 2
Significato delle tre azioni di controllo
•
•
•
•
azione proporzionale:
• maggiore è l'errore, maggiore è l'azione di controllo
azione integrale:
• errore nullo a segnali di riferimento o disturbi costanti
azione derivativa:
• azione di controllo “preventiva”
• anticipo di fase
i termini derivativo e/o integrale possono essere assenti
• regolatori P
• regolatori PI
• regolatori PD
Cristian Secchi
PID-- 5
F.d.t. del controllore PID - Considerazioni
•
abbiamo che
•
la f.d.t. presenta
•
•
•
•
due zeri a parte reale negativa
un polo nell’origine
il controllore PID risulta essere un sistema improprio, ovvero
non fisicamente realizzabile
la forma reale prevede
con N = 5 ¥ 20 per posizionare il polo all'esterno della banda di
interesse. Il polo reale modifica un po' la posizione degli zeri. In
seguito si farà comunque riferimento alla forma ideale
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 6
Pag. 3
Regolatore P
•
regolatore P:
• Ti = 1 e Td = 0
• usato per processi asintoticamente o semplicemente
quando le p
prestazioni statiche non richiedano
stabili q
l’inserimento di un polo nell’origine nel guadagno
d’anello
R(s)
E(s)
P
G(s)
Y(s)
Cristian Secchi
PID-- 7
Regolatore P - Esempio
G (s) =
Specifica: Portare a regime il sistema nel minor
tempo possibile
1
1 + τs
L
Luogo
delle
d ll Radici
R di i
Il sistema chiuso in retroazione
è del primo ordine
Mediante un controllore
proporzionale posso rendere il
tempo di assestamento del
sistema piccolo quanto si vuole
τ =1
Attenzione al
valore a regime!
Kp
Gcl ( s ) =
1+ K p
1+
τ
1+ K p
Cristian Secchi
Cristian Secchi
s
PID-- 8
Pag. 4
Regolatore PI
•
regolatore PI:
• Td = 0
• Hanno un il polo nell'origine e lo zero in s = -1 / Ti
•
•
molto diffusi a livello industriale in quanto consentono il
soddisfacimento delle specifiche statiche (consentono
di inserire un polo nell’origine nella funzione di
trasferimento d’anello) e sono di facile taratura per
semplici processi
Grazie allo zero è possibile anche rendere agire sul
tempo di assestamento del sistema controllato
Cristian Secchi
PID-- 9
Regolatore PI - Esempio
G (s) =
Specifica: Portare a regime il sistema nel minor
tempo possibile e con errore di posizione nullo
1
1 + τs
R(s)
E(s)
PI
G(s)
Y(s)
Per soddisfare la specifica statica è necessario aggiungere un polo
nell’origine al guadagno d’anello mediante il controllore
Come scegliere Ti?
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 10
Pag. 5
Regolatore PI - Esempio
T < T1
T > T1
La presenza dello zero limita la
possibilità di spostare a sinistra il
polo nell
nell’origine
origine
Cristian Secchi
Per nessun valore di Kp>0 il
tempo di assestamento sarà
inferiore a T1
Kp
τ =1
PID-- 11
Regolatore PI - Esempio
T < T1
T > T1
Per nessun valore di Kp>0 il
tempo di assestamento sarà
inferiore a T1
La presenza dello zero limita la
possibilità di spostare a sinistra
uno dei due poli
Per guadagni bassi il sistema ha un alto tempo di assestamento.
Per evitare oscillazioni nel transitorio il guadagno deve essere scelto
sufficientemente alto
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 12
Pag. 6
Regolatore PI - Esempio
Se la conoscenza del modello è
sufficientemente accurata, si può
usare lo zero del PI per
cancellare il polo del plant
IIn ttall modo
d il sistema
i t
chiuso
hi
in
i
retroazione diventa un sistema
del primo ordine la cui dinamica
può essere resa veloce a
piacimento all’aumentare di Kp
All’aumentare di Kp,
diminuisce il tempo di
assestamento e la risposta
non ha oscillazioni
Cristian Secchi
τ =1
Kp
PID-- 13
Casi particolari (3)
•
regolatore PD:
• Ti = 1
• Hanno lo zero in s = - 1 / Td ed il polo reale fuori banda
(all'infinito
(all
infinito nel caso ideale)
• usato quando non vi siano problemi di instabilità o di
prestazioni statiche, ma sia necessario allargare la
banda passante
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 14
Pag. 7
Regolatore PD - Esempio
G(s) =
Specifica: Portare a regime il sistema nel minor
tempo possibile e con errore di posizione nullo
1
s (1 + τs )
La specifica statica è soddisfatta grazie al polo nell’origine
nell origine di G(s)
T < T1
T > T1
La struttura del plant è tale
per cui non è possibile,
mediante un regolatore
proporzionale, ottenere un
tempo di assestamento
inferiore a T1
Cristian Secchi
PID-- 15
Regolatore PD - Esempio
R(s)
E(s)
PD
Y(s)
G(s)
C
Come
scegliere
li
Td?
τ =1
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Scegliendo N abbastanza
grande è possibile portare il
punto di emergenza a sinistra
quanto si vuole e, di
conseguenza, il minimo
i i
tempo
t
di assestamento ottenibile
piccolo quanto si vuole
Kp
PID-- 16
Pag. 8
Regolatore PID
•
regolatore PID completo:
• 1 polo nell'origine e due zeri
• zeri reali se Ti ≥ 4Td
• zeri coincidenti (in s = -1/
1/ 2 Td ) se Ti = 4 Td
• nella realtà è necessario introdurre un secondo polo in
alta frequenza a pulsazione maggiore di quella degli
zeri per rendere il sistema fisicamente realizzabile
• E’ utilizzato quando è necessario cancellare più di un
polo e imporre un errore di posizione nullo
Cristian Secchi
PID-- 17
Regolatore PID - Esempio
G(s) =
0.9ω n2
s 2 + 2δωn s + ω n2
Specifica: Portare a regime il sistema nel minor
tempo possibile, con errore di posizione nullo e
senza sovraelongazioni
E’ necessario inserire un polo
nell’origine per soddisfare le
specifiche statiche
Per evitare che la risposta
g
,
abbia una sovraelongazione,
occorre che il sistema chiuso
in retroazione non abbia poli
complessi coniugati
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 18
Pag. 9
Regolatore PID - Esempio
Scegliendo Td e Ti in modo che gli zeri del
PID cancellino i poli del controllore e N
grande abbastanza è possibile soddisfare
le specifiche di controllo
Sistema non controllato
Sistema controllato con PID
δ = 0 .3
ωn = 10
Kp
Cristian Secchi
PID-- 19
Taratura automatica dei Parametri
•
Per la taratura “razionale” dei PID si fa riferimento al modello del
sistema da controllare e si usano, ad esempio, le tecniche basate sul
luogo delle radici viste finora.
•
La costruzione di un modello del plant a partire dalle leggi fisiche che
lo governano può richiedere un impegno sproporzionato rispetto alle
esigenze di progetto
•
In questi casi esistono delle strategie per tarare i parametri del PID a
partire da prove sul campo effettuate sul plant
•
Esistono svariati metodi, alcuni dei quali già implementati su alcuni
controllori industriali commercializzati su larga scala
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 20
Pag. 10
Taratura automatica dei Parametri
Considereremo metodi di taratura automatica ad anello aperto
Tali metodi valgono per i plant stabili la cui risposta al gradino non è
oscillante. Ciò può essere testato sul campo semplicemente eccitando il
plant con un gradino.
E’ poi necessario approssimare il plant come un sistema del primo ordine
con ritardo
Esistono tabelle che consentono di determinare i parametri del PID
utilizzando i parametri del sistema approssimato
Cristian Secchi
PID-- 21
Taratura automatica dei Parametri
Una volta testato che il plant risponde a un gradino in ingresso senza
oscillazioni, è necessario approssimarne il modello con un sistema del primo
ordine con ritardo del tipo
Ga ( s ) =
K −θs
e
1 + τs
Esistono svariati metodi per ottenere Ga(s) a partire dalla risposta al
gradino del plant. Verrà illustrato il metodo delle aree.
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 22
Pag. 11
Taratura automatica dei Parametri
Si considera la risposta del plant a un gradino di ampiezza A
K=
y
S1
y
A
τ +θ =
S2
θ +τ
Guadagno statico
S1
y
τ=
eS 2
y
θ=
( S1 − yτ )
y
Costante di tempo
Ritardo
Cristian Secchi
PID-- 23
Taratura automatica dei Parametri
L’algoritmo da seguire per trovare il modello approssimato è:
1. Eccitare il sistema con un gradino di ampiezza A e graficare la risposta
2. Ottenere il guadagno statico K mediante
K=
y
A
3. Trovare, anche in via approssimata, l’area S1
4. Ottenere l’ascissa τ+θ mediante
τ +θ =
S1
y
e tracciare una retta verticale passante per τ+θ
5. T
5
Trovare, anche
h in
i via
i approssimata,
i
l’area
l’
S2
6. Ottenere la costante di tempo τ e il ritardo θ mediante
eS 2
y
θ = ( S1 − yτ ) / y
τ=
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 24
Pag. 12
Taratura automatica dei Parametri
Una volta approssimato il plant come
Ga ( s ) =
K −θs
e
1 + τs
esistono due categorie principali di criteri per la taratura
automatica dei parametri:
a) quelli che utilizzano alcuni punti caratteristici della risposta y(t)
al gradino per imporre l’andamento transitorio desiderato. Si
impone ad esempio il rapporto di smorzamento r tra due picchi
successivi della risposta
p
y(t);
y(
);
Cristian Secchi
PID-- 25
Taratura automatica dei Parametri
b) criteri di tipo integrale che utilizzano come indice di costo funzioni
integrali della variabile errore e(t). Di particolare interesse sono i seguenti
indici:
∞
ISE = ∫ e 2 (t )dt
Integral Square Error
0
∞
IAE = ∫ e(t ) dt
Integral Absolute Error
0
∞
ITAE = ∫ t e(t ) dt
Integral Time Absolute Error
0
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 26
Pag. 13
Taratura automatica dei Parametri
Esistono alcune tabelle per il tuning dei parametri dei regolatori PID. Nella
seguente tabella sono riportate indicazioni per fare il tuning corrispondente
ad un rapporto di smorzamento r = 0.25 secondo i criteri della categoria (a).
Cristian Secchi
PID-- 27
Taratura automatica dei Parametri
Al fine di tarare un PID con i metodi della categoria (a), basta scegliere il tipo
di controllore da implementare e dedurre i parametri dalle relazioni in tabella
G (s) =
1
(0.5s + 1)(1 + s ) 2 (2 s + 1)
Ga ( s ) =
e −1.46 s
1 + 3.34s
Si desideri implementare un PID mediante le regole di Ziegler- Nichols
corrispondenti a un rapporto di smorzamento r=0.25
Dalle tabelle si ricava
KK p = 2.74 Ti / τ = 0.87 Td / τ = 0.22
K p = 2.74 Ti = 1.27 Td = 0.1
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 28
Pag. 14
Taratura automatica dei Parametri
Risposta al gradino del sistema
descritto da G(s) controllato con
un PID tarato mediante il metodo
di Ziegler-Nichols usando il
modello approssimato
Cristian Secchi
PID-- 29
Taratura automatica dei Parametri
Nelle seguenti tabelle sono riportate indicazioni per fare il tuning secondo i
criteri di ottimizzazione dell’errore della categoria (b).
Nell caso di utilizzo
N
tili
di criteri
it i integrali
i t
li per il tuning,
t i
la
l prima
i
tabella
t b ll fornisce
f i
dei parametri che ottimizzano le prestazioni nel caso di variazioni nel plant
da controllare mentre la seconda tabella fornisce dei parametri che
ottimizzano le prestazioni nel caso di variazioni del setpoint di riferimento.
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 30
Pag. 15
Taratura automatica dei Parametri
Variazioni di Carico
Criterio
Controllore
Azione
A
B
IAE
P
P
0.902
-0.985
ISE
P
P
1.141
-0.917
ITAE
P
P
0.490
-1.084
IAE
PI
P
0.984
-0.986
0.986
I
0.608
-0.707
P
1.305
-0.959
I
0.492
-0.739
ITAE
P
0.859
-0.977
I
0.674
-0.680
IAE
P
1.435
-0.921
-0.749
ISE
ISE
ITAE
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I
0.878
D
0.482
1.137
P
1.495
-0.945
-0.771
I
1.101
D
0.560
1.006
P
1.357
-0.947
I
0.842
-0.738
D
0.381
0.995
PID-- 31
Taratura automatica dei Parametri
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 32
Pag. 16
Taratura automatica dei Parametri
Nel caso di criteri integrali, una volta che si siano scelti il criterio
(IAE,ISE o ITAE), il tipo di controllore (P, PI o PID) e l’azione di
controllo (P, I o D), dalla tabella si individuano due parametri A e
B che sostituiti nella relazione
⎛θ ⎞
Y = A⎜ ⎟
⎝τ ⎠
B
⎛θ ⎞
⎟)
⎝τ ⎠
(oppure Y = A + B⎜
forniscono un valore Y che deve essere interpretato come Y = KKp nel
caso di azione proporzionale (P), come Y = τ/Ti nel caso di azione
integrale
g
(I),
( ), e come Y = Td//τ nel caso di azione derivativa ((D).
)
Cristian Secchi
PID-- 33
Taratura automatica dei Parametri
Si consideri il sistema dell’esempio precedente che può essere
approssimato con
Ga ( s ) =
e −1.46 s
1 + 3.34s
si desidera progettare un controllore PI per variazioni di setpoint utilizzando
il criterio integrale ITAE
Dalla tabella si ricava che
⎛θ ⎞
KK p = 0.586⎜ ⎟
⎝τ ⎠
−0.916
= 1.24
τ
⎛θ ⎞
= 1.03 − 0.165 ⎜ ⎟ = 0.96
Ti
⎝τ ⎠
K p = 1.24 Ti = 3.48
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 34
Pag. 17
Taratura automatica dei Parametri
Risposta al gradino del
sistema descritto da G(s)
controllato con un PID
tarato mediante il
metodo di ottimizzazione
dell’errore usando il
modello approssimato
Cristian Secchi
PID-- 35
Realizzazioni dei Regolatori PID
P
R(s)
E(s)
+
-
I
+ +
+
U(s)
G(s)
Y(s)
Schema “classico”
del PID
D
In presenza di un gradino sul segnale di riferimento R(s), l’uscita del
derivatore, di conseguenza, la variabile di controllo U(s) è di tipo impulsivo
Brusche variazioni del controllo possono essere indesiderate in quanto
possono portare a una saturazione o a un deterioramento degli attuatori.
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 36
Pag. 18
Realizzazioni dei Regolatori PID
R(s)
P
+ E(s)
-
+
+
I
U(s)
+
+
G(s)
Y(s)
PID con
derivazione
dell’uscita
D
Y(s) è l’uscita di un sistema che solitamente ha le caratteristiche di un filtro
passa basso e le sue variazioni istantanee (e quindi la sua derivata) sono
contenute. Pertanto l’uscita del termine derivativo non ha andamenti impulsivi
Inoltre, quando R(s) è costante lo schema PID con derivazione sull’uscita si
comporta come lo schema PID classico.
Cristian Secchi
PID-- 37
Realizzazioni dei Regolatori PID
u(t) PID classico
G (s) =
r(t)
1
( s + 1) 2
y(t) PID
classico
K p = 2 Td = 0.25 Ti = 2
y(t) PID con
derivata
sull’uscita
Calo di
prestazioni
ma azione di
controllo
senza picchi
Cristian Secchi
Cristian Secchi
u(t) PID con derivata
sull’uscita
PID-- 38
Pag. 19
Gestione dei ritardi
G p (s )
R(s) +
E(s)
PID
-
U(s)
G(s)
Yp(s)
Y(s) −θs
e
y p (t ) = y (t − θ )
Un altro punto importante da considerare nell’uso dei regolatori PID è la
presenza di ritardi significativi nel processo da controllare. Si noti che nella
sintesi di controllori a struttura libera si può tener conto di tali ritardi
comprendendoli intrinsecamente nella legge di controllo, mentre ciò non è
possibile nel caso dei controllori a struttura fissa come il PID.
Il ritardo nell’anello di retroazione deteriora notevolmente le prestazioni
e può addirittura rendere instabile il sistema
Cristian Secchi
PID-- 39
Gestione dei ritardi
Se fosse possibile retroazionare y(t) anzichè yp(t), tramite il PID sarebbe
possibile controllare l’andamento di y(t) controllanda G(s). Dopodichè
l’uscita yp(t) avrebbe lo stesso andamento di y(t), soltanto ritardato di θ s.
Schema Desiderato
G p (s )
R(s) +
E(s)
-
PID
U(s)
G(s)
Y(s) −θs
e
Yp(s)
Non è possibile accedere fisicamente alla variabile y(t) perchè l’uscita del
plant è yp(t) ma se si conosce il modello del plant (cioè G(s) e θ) è possibile
utilizzare lo schema basato sul Predittore di Smith per risolvere i problemi
legati al ritardo
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 40
Pag. 20
Gestione dei ritardi
R(s) +
E(s)
-
U(s)
PID
G(s)
Y(s)
Yp(s)
e −θs
Schema a
predittore
di Smith
+
P(s)
+
Z(s)
P( s ) = (1 − e −θs )G ( s )
Z ( s ) = G ( s )e −θsU ( s ) + (1 − e −θs )G ( s )U ( s ) = G ( s )U ( s ) = Y ( s )
Cristian Secchi
PID-- 41
Gestione dei ritardi
Utilizzando il predittore di Smith lo schema di controllo diventa equivalente a
R(s) +
E(s)
-
PID
U(s)
G(s)
Y(s) −θs
e
Yp(s)
Il ritardo non entra più nel loop di controllo ed è possibile disegnare un PID in
modo che y(t) (e, di conseguenza, yp(t)) abbia le caratteristiche desiderate
Si annulla la retroazione dall
dall’uscita
uscita ritardata inserendo un anello interno in
cui compare un modello del processo comprensivo del ritardo supposto
noto. Si preleva la variabile non ritardata, resa disponibile dal modello, per
chiudere la retroazione. In tal modo si cancella il ritardo nel loop di
retroazione ed è come se retroazionassimo l’uscita non ritardata.
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 42
Pag. 21
Gestione dei ritardi
Nel caso in cui il modello del sistema non sia preciso e la conoscenza
del ritardo sia approssimativa, non si ottiene una cancellazione perfetta
dell’uscita ritardata. Tuttavia, l’azione del predittore di Smith è ancora
utile
ut
e in quanto
qua to mitiga
t ga l’effetto
e etto de
del ritardo
ta do nel
e loop
oop d
di retroazione.
et oa o e
Per poter utilizzare il predittore di Smith è NECESSARIO che il ritardo sia
costante.
Cristian Secchi
PID-- 43
Gestione dei ritardi - Esempio
G p (s) =
e −1.2 s
( s + 1) 2
Uscita
PID
K p = 2 Td = 0.25 Ti = 2
Uscita con
uno schema
a predittore
di Smith
Uscita con uno
schema a predittore
di Smith con una
conoscenza
imprecisa del ritardo
(θ=1)
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 44
Pag. 22
Dispositivi anti
anti-saturazioni (anti
(anti-windup)
L’uscita del regolatore è applicata a dispositivi di attuazione che nella realtà
presentano saturazioni.
È opportuno evitare che, nel caso in cui la variabile di controllo saturi, il
regolatore continui ad integrare l’errore, fenomeno detto windup.
In tal caso infatti l’integratore può assumere valori molto elevati e
richiedere molto tempo per tornare a valori normali.
Un intervento può essere quello di bloccare la sommatoria dell’azione
integrale allorché l’uscita raggiunge il valore limite, oppure quello di attivare
ll’azione
azione integrale solo quando ll’errore
errore è piccolo
piccolo.
Nel caso in cui sia disponibile un modello (anche algebrico)
dell’attuatore, si possono utilizzare vari schemi di anti-windup. Verrà
illustrato il metodo dell’integrazione condizionata.
Cristian Secchi
PID-- 45
Dispositivi anti
anti-saturazioni (anti
(anti-windup)
Nel caso in cui sia disponibile un modello (anche algebrico)
dell’attuatore, si possono utilizzare vari schemi di anti-windup. Verrà
illustrato il metodo dell’integrazione condizionata.
In questa tecnica l’ingresso del termine integrale viene azzerato nel caso in
cui es(t) = v(t) − u(t) non sia nullo
Se chiamiamo ei(t) l’ingresso
del termine integrale, allora
l’integrazione condizionata si
esprime matematicamente
come
Cristian Secchi
Cristian Secchi
⎧e(t ) se v(t ) = u (t )
ei (t ) = ⎨
⎩ 0 se v(t ) ≠ u (t )
PID-- 46
Pag. 23
Dispositivi anti
anti-saturazioni (anti
(anti-windup)
Lo schema di antisaturazione con integrazione condizionata è il seguente:
Quando il valore imposto dall’attuatore è diverso da quello richiesto dal
controllore l’ingresso del termine integrale viene posto a zero.
Cristian Secchi
PID-- 47
Dispositivi anti
anti-saturazioni (anti
(anti-windup)
Nel caso in cui non sia possibile misurare l’uscita dell’attuatore si costruisce
un modello statico che tenga conto della saturazione dell’attuatore e si
utilizza l’uscita del modello statico per decidere se imporre a zero l’ingresso
del termine integrale.
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 48
Pag. 24
Esempio
PID
G p ( s) =
1
s ( s + 1)
R(s)
E(s)
+
-
Attuatore
⎧ − 0.5 se v(t ) ≤ −0.5
K p = 2 Td = 0.25 Ti = 2 u (t ) = ⎪⎨v(t ) se − 0.5 ≤ v(t ) ≤ 0.5
⎪
⎩
PID
V(s)
U(s)
0.5 se v(t ) ≥ 0.5
G(s)
Y(s)
Cristian Secchi
PID-- 49
Esempio
PID senza integrazione condizionata
Uscita
Azione integrale
Quando l’integratore è in saturazione, il sistema evolve come se non
fosse in retroazione. Cio peggiora le prestazioni. Inoltre l’integratore
impiega del tempo a tornare in un campo di valori utili per il controllo.
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 50
Pag. 25
Esempio
PID con integrazione condizionata
Uscita
Azione integrale
L’integrazione condizionata mantiene l’azione integrale sempre in un
campo di valori utile per il controllo migliorando le prestazioni.
Cristian Secchi
PID-- 51
PID Digitale
Per implementare un PID su un sistema di elaborazione digitale è
necessario ottenerne un equivalente discreto
Esistono svariati metodi per discretizzare un controllore tempo continuo.
Verrà illustrata una delle discretizzazioni più utilizzate per i PID
P
I
D
⎛
⎞
⎟
⎜
K
K
T
s
Ts
1
⎟ E ( s) = K p E ( s) + p E ( s) + p d E ( s)
U ( s ) = K p ⎜1 + d
+
T
Ti s
⎜ 1 + Td s Ti s ⎟
1+ d s
⎟
⎜
N
N
⎝
⎠
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 52
Pag. 26
PID Digitale
Azione Proporzionale
u p (t ) = K p e(t )
u p (kT ) = K p e(kT )
Azione Integrale
ui (t ) =
Kp
Ti
ui (kT ) − ui ((k − 1)T ) K p
=
e(kT )
T
Ti
t
∫ e(τ )dτ
0
ui (kT ) = ui ((k − 1)T ) +
dui (t ) K p
=
e(t )
dt
Ti
K pT
Ti
e(kT )
Cristian Secchi
PID-- 53
PID Digitale
Azione Derivativa
ud (t ) +
Td dud (t )
de(t )
= K pTd
N dt
dt
ud (kT ) +
u d (kT ) =
Td
NTd e(kT ) − e((k − 1)T )
u d ((k − 1)T ) + K p
NT + Td
NT + Td
T
PID
Digitale
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Td ud (kT ) − ud ((k − 1)T )
e(kT ) − e((k − 1)T )
= K pTd
N
T
T
u (kT ) = u p (kT ) + ui (kT ) + ud (kT )
PID-- 54
Pag. 27
PID Digitale – Pseudocodice
Codice di Controllo
Inizializzazione
Eseguita una sola volta all’accensione
del regolatore
Codice di
Calcolo Ricorsivo
Eseguita ad ogni periodo di
campionamento
Cristian Secchi
PID-- 55
PID Digitale – Pseudocodice
Inizializzazione %Assegnamento e calcolo dei coefficienti costanti
a1=KpT/Ti
b1=Td/(NT+Td)
b2=KNb1
%inizializzazione dello stato
%si suppone che ysp sia in una memoria interna al regolatore
Lettura di ysp e acquisizione e conversione A/D di y
eold=ysp-y
ui=u0+Kceold
ud=0
%u0 corrisponde al valore attuale della variabile di controllo
%supposto disponibile
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 56
Pag. 28
PID Digitale
- Pseudocodice
Pseudocodice ricorsivo
1.
2.
3
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Attesa attivazione del clock (clock interrupt)
Acquisizione e conversione A/D di ysp e y
e=ysp-y
y
ui=ui+a1e
ud=b1ud+b2(e-eold)
u=Kpe+ui+ud
Emissione di u e conversione D/A
eold=e
Ritorno a 1
Cristian Secchi
PID-- 57
PID Digitale - Osservazioni
•
•
Il progetto di un PID digitale è tipicamente un progetto per
discretizzazione. E’ quindi fondamentale:
• Scegliere il periodo di campionamento in base alle specifiche ad
anello chiuso
• Aggiungere la dinamica (eventualmente approssimata) del
ricostruttore alla dinamica del plant da controllare prima di fare il
tuning dei parametri
Per la taratura automatica dei parametri si procede come segue
• Si Sceglie il periodo di campionamento in base alle specifiche ad
anello chiuso
• Si approssima il plant con un sistema del primo ordine con ritardo.
Si θ tale
Sia
t l ritardo
it d
• Si aggiunge un ritardo T/2 a θ in modo da considerare la dinamica
del ricostruttore di ordine 0.
• Si procede a fare il tuning considerando il sistema approssimata
con il ritardo modificato
Cristian Secchi
Cristian Secchi
PID-- 58
Pag. 29
Controlli Digitali
Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica
CONTROLLORI PID
FINE
Cristian Secchi
Tel. 0522 522235
e-mail: [email protected]
Cristian Secchi
Pag. 30