Qui - Matdidattica

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Qui - Matdidattica

Sull’apprendimento..........................................................................................................................2
Sugli Assiomi...................................................................................................................................8
Sulla Definizione............................................................................................................................10
Sulla dimostrazione........................................................................................................................14
Sull’infinito ....................................................................................................................................21
Sulla letteratura ..............................................................................................................................26
Sulla Matematica............................................................................................................................40
Sui matematici................................................................................................................................50
Sulla mistica...................................................................................................................................53
Sulle Applicazioni matematiche alle Scienze ................................................................................56
Sull’apprendimento
Il fanciullo apprende solo ciò che impara attraverso la sua attività [...]
non apprende nulla da parole avulse da un significato reale [...]
l'istruzione impartita in ciascun particolare momento del processo
evolutivo deve rispondere ai bisogni del fanciullo
Irving Adler, Matematica e sviluppo mentale
Quando insegniamo ai nostri studenti a usare una formula, li rendiamo
dipendenti da quella formula. Se invece insegniamo senza usare formule,
sviluppiamo nei nostri studenti l'abilità a creare le cose da soli.
C. Adwards
La matematica non è una marcia lungo una strada spaziosa ed asfaltata,
ma un viaggio in un regno selvaggio, dove spesso gli esploratori si
perdono. Il rigore dovrebbe essere un segnale per gli storici che le
mappe sono state fatte, ma gli esploratori sono andati da tutt’altra parte.
W.S. Anglin
In due occasioni mi è stato chiesto [da membri del Parlamento] 'Scusi
Mr. Babbage, se mettiamo dentro la macchina dati errati, otterremo
risposte corrette?' Non sono in grado di spiegarvi la confusione di idee
che può provocare una tale domanda.
C. Babbage
Una cosa è matematicamente ovvia solo dopo che l’hai capita.
R.D. Carmichael
L’insegnamento di tale disciplina [la matematica] ha talvolta degenerato
in vuota esercitazione nella risoluzione di problemi, il che può sviluppare
un’abilità formale, ma non conduce ad una reale comprensione dei vari
argomenti né accresce l’indipendenza intellettuale.
R. Courant, H. Robbins, Che cos è la matematica?
Non esiste un rigore assoluto, esiste un progresso del concetto di rigore
ed esiste un rigore moderno cioè alla moda.
Modesto Dedò, 1986
Spero che i posteri mi giudichino non solo per le cose che ho spiegato,
ma anche per quelle che ho intenzionalmente omesso, così da lasciare
ad altri il piacere della loro scoperta.
R. Descartes, La geometrie, 1637
Io seguo le seguenti quattro regole [...] La prima è di non accettare nulla
per vero se non ho sufficiente conoscenza del fatto; [...] la seconda è di
dividere ogni problema che ho esaminato in tanta piccole parti quanto
risulta possibile per ottenere la migliore soluzione; La terza è di dirigere i
miei pensieri in modo ordinato, cominciando con gli oggetti più semplici,
quelli che si conoscono in modo più immediato, salendo poco a poco, per
raggiungere la conoscenza del fatto più complesso [...] l'ultima consiste
nell'enumerare in modo completo e generale in modo da essere sicuro di
non avere trascurato nulla.
R. Descartes, Discours de la Méthode, 1637
Tutti i grandi matematici che hanno parlato delle loro ricerche hanno
voluto insistere sulla funzione che vi ha quella che in generale chiamano
l' "intuizione". Il fatto può apparire strano ai non iniziati; se si apre un
libro di matematica di oggi, si vedono soltanto centinaia di lemmi,
formule, teoremi, corollari collegati tra loro in modo complicato secondo
regole logiche implacabili
J. Dieudonné, L'arte dei numeri
Io dico di avere capito un'equazione quando sono in grado di predire le
proprietà delle sue soluzioni senza effettivamente risolverla.
P. Dirac
Insanità è fare e rifare la stessa cosa aspettandosi che succeda
qualcosa di diverso.
A. Einstein
Se un difetto può trovarsi talvolta, nei riguardi didattici, è soltanto che
l'esposizione perfetta lascia meno allo sforzo dell'allievo, o che il rigore
logico nasconde in parte la genesi delle idee. Anche l'esatta
formulazione delle restrizioni che si richiedono nell'enunciato dei
teoremi, può togliere la veduta della genesi delle idee, e perfino
l'intelligenza del loro valore.
F. Enriques Le matematiche nella storia e nella cultura
Se si guarda al concetti di area da Euclide ad Archimede, da Newton a
Leibniz a Cauchy ed a Lebesgue, ci si accorge che l’evoluzione di tale
concetto è stata sempre condizionata dai metodi a disposizione del
matematico per «calcolare» un’area: metodi via via più nuovi ed efficaci
hanno modificato la definizione dell’area di una regione piana, in guisa
tale che il calcolo di essa fosse perseguibile con i procedimenti sempre
più potenti e generali escogitati dai matematici. Domani, quando per
calcolare un’area sarà molto più rapido e conveniente usare un «metodo
Montecarlo» anziché, ad esempio, calcolare un integrale, la definizione
di area sarà sempre quella di Peano – Jordan (o anche di Lebesgue) o no,
piuttosto,
quella
che
può
darsi
mediante
un’interpretazione
probabilistica del concetto di area?
G. Fichera, Il calcolo infinitesimale alle soglie del duemila, 1993
La matematica non è una scienza deduttiva, questo è un cliché. Quando
si dimostra un teorema non si scrivono le ipotesi e poi si comincia a
ragionare. Ciò che si fa è trial and error, esperimenti, andare a
indovinare.
Halmos I want to be a Mathematician,1985
Il reale pericolo non è che i computers comincino a pensare come gli
uomini, ma che gli uomini comincino a pensare come computers.
S. Harris
Uno dei più grandi errori che riguardano la matematica insegnata nelle
classi è che l’insegnante mostra di conoscere la risposta ad ogni
problema che viene trattato. Questo dà allo studente l’idea che esiste un
libro da qualche parte con tutte le risposte esatte per ogni domanda
interessante, e che tutti gli insegnanti conoscono queste risposte. Così
se uno potesse ottenere il libro, ogni cosa sarebbe bella e sistemata. Ciò
è del tutto contrario alla vera natura della matematica.
L. Henkin
La presentazione della matematica nelle scuole dovrebbe essere
psicologica e sistematica. l'insegnante dovrebbe essere diplomatico.
Dovrebbe tenere conto dei processi psichici del ragazzo per capirne gli
interessi, quindi dovrebbe presentare le cose in una forma
intuitivamente comprensibile. La presentazione astratta è possibile solo
nelle classi superiori.
F. Klein
Nulla è più importante che vedere le origini delle invenzioni il che, a mio
parere, è molto più interessante delle stesse invenzioni.
G. W. Leibniz
Il professore di matematica tradizionale ha la testa fra le nuvole. Di
solito si presenta in pubblico con un ombrello in ciascuna mano.
Preferisce rivolgersi alla lavagna, volgendo le spalle alla classe-. Scrive
a, dice b, intende c, ma dovrebbe essere d.
G. Polya, How to solve it
Perfino gli studenti più bravi una volta che hanno ottenuto la soluzione
del problema, la scrivono sul quaderno, chiudono il libro e fanno
qualcos'altro. Nel fare ciò tralasciano una fase importante e istruttiva
del lavoro... Un buon insegnante dovrebbe far capire ai suoi studenti che
nessun problema è mai completamente esaurito.
G. Polya, How to solve it
Uno dei primi doveri dell'insegnante è di non dare l'impressione, ai propri
allievi, che i problemi matematici abbiano scarse connessioni con il
resto e nessuna connessione con nient'altro. Abbiamo un'opportunità
naturale di investigare le connessioni di un problema guardando le sue
soluzioni.
G. Polya, La scoperta matematica
Una GRANDE scoperta risolve un grande problema, ma c'è un granello di
scoperta nella soluzione di ogni problema. Il nostro problema potrebbe
essere modesto, ma se sfida la nostra curiosità e mette in gioco le
nostre facoltà inventive, e se lo risolviamo da soli, possiamo
sperimentare la tensione, la gioia e il trionfo della scoperta.
La prima regola della scoperta è avere cervello e fortuna. La seconda
regola è sedersi e aspettare che arrivi una buona idea.
Sì, la soluzione sembra funzionare, sembra corretta, ma com'è possibile
inventare una tale soluzione? [...] come può la gente scoprire questi
fatti?
G. Polya How to solve it
Alcuni studenti non sono per niente disturbati dal trovare che una barca
è lunga 16130 piedi e l'età del capitano è 8 anni e 2 mesi, pur sapendo
che questi è un nonno. Tale trascuratezza dell'ovvio non significa
necessariamente stupidità, quanto piuttosto indifferenza verso i
problemi artificiosi.
G. Polya How to solve it
L'insegnamento ha ovviamente molto in comune con l'arte teatrale. Per
esempio, dovete presentare alla vostra classe una dimostrazione che
conoscete alla perfezione, avendo la già presentata una quantità di volte
negli anni precedenti nel medesimo corso. Certamente non potete
essere eccitato per questa dimostrazione ma, per favore, non fatelo
capire alla scolaresca; se avete l'aria annoiata, tutta la scolaresca sarà
annoiata. Fingete di essere eccitato per la dimostrazione quando la
incominciate, fingete di avere delle idee brillanti mentre la svolgete,
fingete di essere sorpreso e sollevato quando la dimostrazione ha
termine. Dovreste recitare un po' per il bene dei vostri studenti che, ogni
tanto, possono imparare di più dai vostri atteggiamenti che
dall'argomento presentato.
G. Polya La scoperta matematica
Se siete familiare col campo al quale appartiene il problema, ne
conoscete i "fatti chiave", i fatti che avete avuto maggiori opportunità di
usare. Teneteli pronti come fa un bravo operaio che tiene pronti i suoi
attrezzi preferiti, in modo da averli a portata di mano.
G. Polya La scoperta matematica
[il rigore] serve ad evitare ambiguità e fraintendimenti. Si pensi per es.
all'importanza di dare definizioni corrette ed esaurienti degli enti che si
considerano, per sapere con sicurezza e precisione di cosa si parla.
V. Villani, Perché la matematica è difficile
La precisione terminologica ed il rigore logico devono essere conquistati
dagli allievi a poco a poco, con estrema gradualità, non imposti
d'autorità quando ancora gli allievi non ne avvertono la necessità.
V. Villani, Perché la matematica è difficile
Due regole d'oro per ogni insegnante:
I. Non sopravvalutate la stupidità del vostro uditorio
II. Insistete su ciò che è ovvio e sorvolate su ciò che è essenziale
E. Zermelo
Sugli Assiomi
È ormai sicuramente provato che l'assiomatica di Euclide non risponde
più alle nostre esigenze logiche [...] si sa che Hilbert ha sfrondato e
completato l'assiomatica di Euclide per farne un sistema logicamente
soddisfacente. [...] L'assiomatica di Euclide-Hilbert è fondata sulle
nozioni di lunghezza, d'angolo, di triangolo. Essa nasconde a tal punto la
struttura vettoriale dello spazio che per molti secoli è rimasta ignorata
la nozione di vettore.
G. Choquet, L'insegnamento della geometria
Gli assiomi della geometria, presi per essi stessi al di fuori da tutte le
connessioni con le proposizioni meccaniche, non rappresenta alcuna
relazione delle cose reali.[...] Appena certi principi della meccanica sono
congiunti agli assiomi della geometria, otteniamo un sistema di
proposizioni che un reale peso, e che può essere verificato o
contraddetto dalle osservazioni empiriche, proprio come può essere
dedotto dall'esperienza. Se un tale sistema fosse preso come una forma
trascendente di intuizione e pensiero, dovrebbe assumersi una
prestabilita armonia fra forma e realtà.
H. von Helmholtz, Sull'origine e il significato degli assiomi geometrici
Invero il metodo assiomatico è e rimane l’unico sussidio indispensabile e
appropriato allo spirito di ogni ricerca esatta, non importa in quale
dominio; esso è inattaccabile dal punto di vista logico ed è al tempo
stesso fecondo; garantisce perciò una piena libertà di ricerca. In questo
senso procedere assiomaticamente significa nient’altro che pensare
sapendo ciò che si fa. Mentre prima, senza il metodo assiomatico, si
procedeva ingenuamente in quanto certi rapporti venivano considerati
dogmi, il metodo assiomatico rimuove questa ingenuità e tuttavia
permette i vantaggi della fede. (…) Non appena giunge a termine la
costruzione di una teoria, tutto ciò che è oggetto del pensiero
matematico ricade nel metodo assiomatico e perciò direttamente nella
matematica. Scendendo a livelli sempre più profondi di assiomi
possiamo penetrare sempre più profondamente nel pensiero scientifico e
apprendere l’unità del sapere. Soprattutto in virtù del metodo
assiomatico la matematica sembra chiamata a svolgere un ruolo
trainante per tutto il sapere.
D. Hilbert, Nuova fondazione della matematica
La matematica è capace di assiomi, perché essa può riunire a priori e
immediatamente i predicati dell’oggetto mediante la costruzione dei
concetti nell’intuizione dell’oggetto stesso, per es. che tre punti
giacciono sempre in un piano.
Kant, Critica della Ragion Pura
Il problema della coerenza per un sistema assiomatico può in generale
essere affrontato in due modi essenzialmente diversi fra loro:
1.
si può cercare di dimostrare la coerenza assoluta di un sistema,
ossia si può tentare di dimostrare che è impossibile in assoluto
ottenere una proposizione contraddittoria fra i teoremi del sistema
considerato; oppure
2.
si può cercare di ottenere una dimostrazione relativa di coerenza,
riconducendo questa proprietà del sistema considerato alla analoga
proprietà di un altro sistema che coi è noto essere coerente (o che
comunque si suppone tale).
C. Mangione, S. Bozzi, Storia della logica da Boole ai giorni nostri
Supponiamo che si trovi una contraddizione negli assiomi della teoria
degli insiemi. Credete seriamente che qualche ponte cadrà?
F. Ramsey
Sulla Definizione
Dal nulla ho creato un nuovo e strano universo. [Riferimento alla
creazione di una geometria non euclidea]
J. Bolyai
Per aggregato (menge) intendiamo ogni collezione in un tutto
(Zusammenfassung zu zeinem Ganzen) M di oggetti definiti e separati m
della nostra intuizione o del nostro pensiero.
G. Cantor, Contributo al fondamento della teoria dei numeri transfiniti
(1895-7)
Chiameremo con il nome "potenza" o "numero cardinale" di M il concetto
generale che, mediante la nostra attiva facoltà di pensiero, sorge
dall'aggregato M quando facciamo astrazione delle natura dei suoi vari
elementi m e dell'ordine in cui sono dati.
G. Cantor, Contributo al fondamento della teoria dei numeri transfiniti
(1895-7)
… non rimangono altri concetti che si prestino a definizione, fuorché
quelli, che contengono una sintesi arbitraria, che possa essere costruita
a priori; e però soltanto la matematica ha definizione. L’oggetto infatti
che essa concepisce, essa anche lo rappresenta a priori nell’intuizione,
e questo può certamente contenere né più né meno del concetto, poiché
fu dato originariamente dalla spiegazione del concetto, poiché fu dato
originariamente dalla spiegazione del concetto dell’oggetto, cioè senza
ricavare la spiegazione da qualche altra cosa.
… le definizioni filosofiche non sono se non esposizioni di concetti dati,
le
definizioni
matematiche,
invece
costruzioni
di
concetti
originariamente foggiati; e quelle sono fatte soltanto analiticamente per
scomposizione (la cui compiutezza non è apoditticamente certa), queste
sinteticamente, e fanno quindi il concetto stesso laddove le prime
soltanto lo spiegano.
Le definizioni matematiche non possono mai sbagliare. […] quantunque
pel contenuto niente possa esservi di falso, può tuttavia talvolta, benché
soltanto raramente, esservi difetto nella forma, ossia rispetto alla
precisione. Così la comune definizione della circonferenza, come linea
curva di cui tutti i punti sono equidistanti da uno stesso punto, ha il
difetto che vi è inclusa, senza necessità, la determinazione di curva
Chiameremo definizione possibile di un simbolo ogni eguaglianza fra
codesto simbolo e una scrittura priva di variabili effettive, in cui quel
simbolo non sia adoperato.[...] Chiameremo invece definizione possibile
di una scrittura composta di un simbolo e di qualche variabile effettiva
ogni eguaglianza fra codesta scrittura e una scrittura in cui si trovino le
medesime variabili effettive e in cui quel simbolo non sia adoperato o sia
usato diversamente. [...] Se una proposizione di un trattato è una
definizione possibile, l'autore può assumerla come definizione attuale,
purché se la scrittura definita è un simbolo (isolato), esso non si trovi in
alcuna proposizione precedente del trattato stesso; Se la scrittura
definita è composta di un simbolo e di qualche variabile effettiva, quel
simbolo non si trovi in alcuna proposizione precedente del trattato
stesso o ci si trovi usato diversamente.
A. Padoa, Articolo Logica in Enciclopedia delle matematiche elementari,
Hoepli
Ogni definizione ha la forma: definito = definiente, ove il definito è un
nuovo segno, o parola o frase o proposizione, ed il definiente è
un'espressione composta con segni noti. La definizione esprime la
convenzione di usare il definito invece del definiente più lungo.
G. Peano, Le definizioni in matematica
In matematica tutte le definizioni sono nominali
Alcuni logici affermano che si deve solo definire cose esistenti. fra essi
lo Stuart Mill, che partendo dalla definizione di cosa non esistente, e
supponendola esistente, arriva a risultato assurdo. Ma l'assurdo deriva
dal supporre esistente ciò che si è definito, non già dall'aver definito
cosa non esistente.
Le definizioni sono utili, ma non necessarie, poiché al posto del definito
si può sempre sostituire il definiente, e perciò eliminare da tutta la
teoria il definito. Questa eliminazione è cosa molto importante. Se
eliminando il simbolo definito, la nuova esposizione non è più lunga e più
complicata della precedente, ciò significa che quella definizione era
poco utile. Se si trovano difficoltà nell'eliminazione, ciò prova che la
definizione non fu ben data; anzi questo metodo della sostituzione è
ottimo per riconoscere l'esattezza d'una definizione.
Il rigore matematico è molto semplice. Esso sta nell'affermare tutte cose
vere, e nel non affermare cose che sappiamo non vere. Non sta
nell'affermare tutte le verità possibili. [...] Quindi per essere rigorosi, non
è necessario di definire tutti gli enti che consideriamo. In primo luogo
non si può tutto definire. [..] E anche dove si può definire, non è sempre
utile il farlo.
G. Peano, Sui fondamenti dell'Analisi
... la definizione in matematica, non significa, come in filosofia, un'analisi
dell'idea da definirsi nelle idee costituenti. Questa nozione, in ogni caso,
si può applicare solo a concetti, mentre in matematica è possibile
definire termini che non sono concetti. [...] Una definizione matematica
consiste nell'indicare una certa relazione per un certo termine, valida
solo per quel termine: questo termine allora si definisce con la relazione
stabilita ed il termine stabilito.
B. Russell, I principi della matematica
Perché una definizione soddisfi pienamente al suo compito, nella sua
formulazione si devono osservare certe misure precauzionali. A questo
scopo vengono date speciali regole, le cosiddette REGOLE DI
DEFINIZIONE, che specificano come debbano correttamente essere
costruite le definizioni. Poiché noi qui non esamineremo un’esatta
formulazione di queste regole, può essere sufficiente notare che, in base
ad esse, ogni definizione può assumere la forma di un’equivalenza; il lato
sinistro di questa, il DEFINIENDUM, può essere una breve funzione
enunciativa, grammaticalmente semplice, contenente la costante che
deve essere definita; il lato destro, il DEFINIENS, può essere una
funzione enunciativa di una struttura arbitraria, contenente comunque,
solo costanti il cui significato sia immediatamente ovvio, o sia stato
spiegato precedentemente. In particolare, la costante da definirsi o
qualsiasi espressione precedentemente definita col suo aiuto, non deve
occorrere nel definiens; altrimenti la definizione non è corretta, contiene
un errore noto come un CIRCOLO VIZIOSO NELLA DEFINIZIONE.
A. Tarski, Introduzione alla logica
Sulla dimostrazione
Se trascuriamo i casi più semplici in tutta la matematica non c'è una
sola serie infinita di cui abbiamo determinato rigorosamente la somma.
In altre parole la parte più importante della matematica è senza
fondazione.
N. Abel
Le serie divergenti sono un’invenzione del diavolo ed è una vergogna
basarsi su di esse per una qualsiasi dimostrazione. Usandole si possono
trarre conclusioni qualsiasi ed è per questo che esse hanno prodotto
così tanti errori e paradossi. ... In altre parole le cose più importanti in
matematica sono anche quelle che hanno le più deboli fondamenta. che
poi la maggior parte di queste cose risultino ugualmente corrette è
straordinariamente sorprendente. sto cercando di farmene una ragione;
è una questione estremamente interessante.
N. Abel
Si può arrivare addirittura a seguire un argomento deduttivo passo passo
[finendo] per non riconoscere che cosa è stato dimostrato"
I. Adler Matematica e sviluppo mentale
Non tutta la matematica è formale e deduttiva e, in primo luogo, la
scoperta matematica non è deduttiva.
I. Adler, Matematica e sviluppo mentale
Anzitutto è da dire il soggetto e lo scopo di questo studio: il soggetto è
la dimostrazione e lo scopo è la scienza dimostrativa. […] Ogni
conoscenza razionale, sia insegnata, sia acquistata, deriva sempre da
conoscenze anteriori. L’osservazione mostra che ciò è vero di tutte le
scienze: infatti questo è il procedimento delle matematiche e, senza
eccezione, di tutte le altre arti. […] segue necessariamente che la
scienza dimostrativa procede da principi veri, da principi immediati, più
noti che la conclusione, di cui sono la causa ed a cui precedono»
Aristotele, Analytica Priora
Non importa quanto appaia corretto un teorema, non si dovrebbe mai
essere soddisfatti finché non si ha l'impressione che esso sia bello.
G. Boole
Il fatto che non sia sopravvissuta nessuna regola non significa che la
generalità di regole o principi fosse assente dal pensiero antico. […] Il
termine “dimostrazione” o “prova” significa cose diverse a livelli diversi;
pertanto è azzardato affermare categoricamente che le popolazioni preelleniche non avessero alcun concetto di dimostrazione, né avvertissero
minimamente a necessità di una dimostrazione.
C. Boyer, Storia della matematica
Questa geometria pratica [degli Egizi] difficilmente può chiamarsi
scienza. Invano cerchiamo teoremi e dimostrazioni, o un sistema logico
basato su assiomi e postulati. [...] La mente speculativa dei Greci subito
trascendeva questioni riguardanti semplicemente i bisogni pratici della
vita quotidiana; essi si interessavano alle relazioni ideali delle cose, e si
dedicavano allo studio della scienza come scienza. Per questo motivo la
geometria Greca sarà sempre ammirata, al di là dei suoi limiti e difetti.
F. Cajori, A history of elementary mathematics
Ogni problema che ho risolto è diventata una regola che mi è servita in
seguito per risolvere altri problemi.
R. Descartes, Discorso sul metodo, 1637
In matematica tutti i risultati sono "veri" nel senso che sono stati
dimostrati seguendo le regole logiche che si sono ammesse [...]
un'affermazione non dimostrata non fa parte della matematica
Questo risultato è troppo bello per esser falso; è più importante che vi
sia bellezza in un'equazione che non che essa sia in accordo con gli
esperimenti.
P. Dirac
La dimostrazione è l'idolo dinanzi al quale il matematico tortura se
stesso.
S.A. Eddington
Nella geometria elementare generalmente pensiamo allo spazio come
consistente di infiniti unti. Ci avviciniamo molto al significato fisico di
spazio se pensiamo a esso come una rete di distanze. Ma questo non ci
porta molto in là, perché abbiamo visto che è solo il rapporto di distanze
che entra nell'esperienza fisica. Perché uno spazio possa corrispondere
ad una realtà fisica deve essere capace di essere costituito da rapporti
di distanze. La geometria pura non è limitata da tali considerazioni, e
liberamente inventa spazi consistenti solo di punti senza distanze, o
spazi formati di distanze assolute.
A. S. Eddington, Le costanti della natura
Per la geometria, [...] in quanto essa è fondata sull'intuizione, non ci
domanderemo se i postulati sono compatibili, purché essi siano
intuitivamente evidenti.
F. Enriques, L'evoluzione delle idee geometriche nel pensiero greco
La logica dei Greci suppone un ingenuo realismo per cui il pensiero
appare come la copia o la visione di una natura esterna. Così il "numero"
dei pitagorici e lo "spazio continuo" degli eleati, sono pensati in
concreto, a imitazione di quella sostanza cosmica che viene figurata
costituire il sostrato naturale di tutte le cose.
F. Enriques, Per la storia della logica
[nella logica dei greci si trova] il criterio che la deduzione logica debba
tener presenti, non soltanto le premesse esplicitamente enunciate come
assiomi o postulati, bensì anche il significato dei termini su cui si
ragiona, vedendo, attraverso di essi, quella realtà (geometrica ecc.) che
è oggetto del pensiero. Ma ciò significa autorizzare nel ragionamento
inconfessati appelli all'intuizione, che, se dichiarati, si tradurrebbero in
nuovi assiomi. Ora se l'intuizione (o visione del significato) rimane
sempre presupposta nel ragionamento, quando mai potremo assicurarci
che gli assiomi formino un sistema completo?
F. Enriques, Per la storia della logica
Io uso la parola dimostrazione non nel senso dell'avvocato che pone due
mezze dimostrazioni uguali a una, ma nel senso del matematico per il
quale mezza dimostrazione vale zero, nelle dimostrazioni non devono
esistere dubbi.
K. F. Gauss
L'idea di basare tutti gli sviluppi possibili di una teoria su un insieme ben
delimitato di nozioni e di principi è senza dubbio essenziale ad ogni
pensiero speculativo; ma è proprio la matematica che ha dato e dà
ancora oggi a tale idea il suo senso più compiuto.
G. G. Granger, voce Matematiche in Enciclopedia Einaudi
La "serietà" di un teorema matematico non dipende dalle sue
applicazioni pratiche, che di solito sono irrilevanti, ma dalla
significatività delle idee matematiche che esso mette in relazione. In
termini approssimativi si può dire che un'idea matematica è
"significativa" se la si può collegare in modo naturale e illuminante a una
vasta rete di altre idee matematiche. Perciò un teorema matematico
serio, un teorema che collega idee significative, porterà molto
probabilmente grandi progressi in matematica e anche nelle altre
scienze.
G.H.Hardy, Apologia di un matematico
La reductio ad absurdum, che Euclide amava alla follia, è una delle armi
migliori a disposizione di un matematico. Essa lo rende più azzardoso di
un giocatore di scacchi: uno scacchista può offrire il sacrificio di un
pedone o di un pezzo, ma un matematico offre l’intera partita.
G. H. Hardy, Apologia di un matematico
Quali sono gli argomenti che stabiliscono l'accettazione in matematica?
[...] Una delle diverse risposte che sono state date al nostro problema
asserisce che le verità matematiche, in contraddizione alle ipotesi di
scienza empirica, non richiede né evidenza effettiva né altra
giustificazione poiché sono auto-evidenti. Questo punto di vista,
comunque, [...] incontra varie difficoltà. [...] E se l'autoevidenza fosse
attribuita solo ai postulati base della matematica, da cui tutte le altre
proposizioni matematiche possono essere dedotte, dovrebbe essere
pertinente osservare che i giudizi così come ciò che possa essere
considerato auto evidente sono soggettivi.
C. G. Hempel, On the nature of mathematical truth
Una formula è detta dimostrabile se o è un assioma […] oppure è la
forma finale di una dimostrazione […]. Così il concetto “dimostrabile” va
inteso relativamente al sistema di assiomi su cui ci si basa. Questo
relativismo è naturale e necessario; non ne scaturiscono danni, poiché il
sistema di assiomi viene continuamente esteso e la costruzione formale,
in conformità alla nostra tendenza costruttiva, diviene sempre più
completa
D. Hilbert, Nuova fondazione della matematica
Il primo dovere di un’ipotesi è essere comprensibile.
H. T. Huxley
Il pensiero rigoroso può essere di ostacolo alla creatività.
M. Kline
Alcuni matematici, fra cui Cartesio, proclamarono essere l’evidenza
l’unico criterio per riconoscere l’esattezza di un ragionamento. Ma
questo principio lascia a sua volta a desiderare. Una dimostrazione può
essere più o meno evidente; essere evidente per una persona, dubbia per
un’altra; e ad ognuno sarà successo di trovare insufficienti delle
dimostrazioni già ritenute esatte
G. Peano, I principi di geometria logicamente esposti
Se Newton e Leibniz avessero saputo che le funzioni continue non sono
necessariamente derivabili, il calcolo differenziale non sarebbe nato.
Picard
Se la matematica invoca solo le regole della logica, quelle che sono
accettate da tutte le menti normali; se la sua evidenza è basata su
principi comuni a tutti gli uomini, e che nessuno potrebbe negare senza
essere considerato pazzo, com'è possibile che così tante persone siano
refrattarie alla matematica?[...] E inoltre: com'è possibile l'errore in
matematica? Una mente sana non dovrebbe essere colpevole di alcuna
fallacia logica, eppure vi sono molte ottime menti che non incespicano
nei brevi ragionamenti che ordinariamente si trovano negli ordinari fatti
della vita, e che sono incapaci di seguire o ripetere senza errore le
dimostrazioni matematiche che sono più lunghe, ma che dopo tutto sono
solo un accumulazione di brevi ragionamenti interamente analoghi a
quelli che riescono a fare facilmente. è necessario aggiungere che le
matematiche stesse non sono infallibili? La risposta mi sembra evidente.
Immaginiamo una lunga serie di sillogismi [...] siamo capaci di seguire
ciascuno di questi sillogismi [....] ma fra il momento in cui incontriamo
per prima una proposizione come conclusione di un sillogismo, e quello
in cui lo rincontriamo come premessa di un altro sillogismo, un po' di
tempo è passato, diverse maglie della catena sono state svolte; così può
accadere che abbiamo dimenticato o peggio ne abbiamo scordato il
significato. Così accade che sostituiamo una leggermente diversa
proposizione o che, mentre manteniamo la stessa enunciazione, le
attribuiamo un significato leggermente diverso, e così siamo esposti
all'errore.
H. Poincaré, La creazione matematica
Cosa ci da in effetti il sentimento di eleganza in una soluzione, in una
dimostrazione? L'armonia delle diverse parti, la loro simmetria, il loro
felice bilancio; in una parola tutto ciò che introduce ordine, tutto ciò che
fornisce unità; che ci permette di vedere chiaramente e di comprendere
subito l'insieme e i suoi dettagli.
H. Poincarè
La matematica è considerata una scienza dimostrativa. In effetti questo
è solo uno dei suoi aspetti. La matematica compiuta, presentata in una
forma definitiva appare puramente dimostrativa, consistente solo di
dimostrazioni. eppure la matematica in creazione assomiglia ad ogni
altra conoscenza umana. Devi indovinare un teorema matematico, prima
di dimostrarlo; devi intuire l'idea della dimostrazione prima di eseguirla
nei dettagli. Devi combinare osservazioni e seguire analogie; devi
tentare e tentare.
G. Polya, Induction and analogy
L'eleganza di un teorema matematico è direttamente proporzionale al
numero di idee indipendenti che si riescono a vedere nel teorema e
inversamente proporzionale agli sforzi fatti per vederli.
G. Polya
Ci sono tre livelli di comprensione di una dimostrazione. Il più basso è la
piacevole sensazione di aver compreso l’argomento; il secondo è l’abilità
di ripeterla; il terzo livello, quello superiore consiste nell’essere capaci
di rifiutarla.
K. Popper
Sull’infinito
Non vi è il più piccolo fra i piccoli né il più grande fra i grandi. Vi è
piuttosto qualcosa di ancora più piccolo e qualcosa di ancora più
grande.
Anassagora
La natura rifugge dall'infinito, perché l'infinito è senza fine o imperfetto,
e la Natura sempre ricerca una fine
Aristotele, Genesi degli Animali
Il continuo consiste nel dividere in indivisibili che sono infinitamente
divisibili.
Aristotele, Fisica
Il termine stesso dimostra che noi contrapponiamo l'infinito al semplice
finito. Inoltre. la circostanza che noi deriviamo il primo nome dal
secondo tradisce il fatto addizionale che noi riteniamo che il concetto
dell'infinito sorga da quello del finito mediante, e solo mediante,
l'aggiunta di un nuovo elemento (tale è infatti il concetto astratto di
negazione.
B. Bolzano, I paradossi dell'infinito (1842-48)
Chiamerò moltitudine infinita una moltitudine che è più grande di tutte
quelle finite, cioè una moltitudine costituita in modo tale che ogni
insieme finito rappresenti soltanto una parte di essa.
non tutti gli insiemi infiniti debbono considerarsi uguali l'un l'altro
rispetto alla loro molteplicità, bensì che molti di essi sono più grandi (o
più piccoli) di qualche altro, cioè includono in sé l'altro come una parte
(oppure al contrario si trovano essi stessi nell'altro come una semplice
parte). [...] certamente quelli che definiscono l'infinito come un qualche
cosa che non è capace di ulteriore accrescimento devono trovare l'idea
che un infinito sia più grande di un altro, non soltanto paradossale, ma
addirittura contraddittoria.
Il vuoto infinito della matematica, impensabile, eppure necessario al
pensiero.
G.K. Chesterton, L'uomo che fu Giovedì (1908)
Se una quantità non negativa è più piccola di una qualsiasi altra
quantità, allora certamente essa è zero. A quelli che chiedono cos'è una
quantità infinitamente piccola in matematica, rispondiamo che è
effettivamente zero. Quindi non vi sono misteri nascosti in questo
concetto, come di solito si crede. Questi supposti misteri hanno reso il
calcolo dell'infinitamente piccolo abbastanza sospetto a molte persone.
L. Eulero
Simplicio. Qui nasce il dubbio, che mi pare insolubile ed è, che sendo noi
sicuri trovarsi linee una maggior del’altra, tutta volta che amendue
contenghino punti infiniti, bisogna confessare trovarsi nel medesimo
genere una cosa maggior dell’infinito, perché la infinità de i punti della
linea maggiore eccederà l’infinità de i punti della minore. Ora questo
darsi un infinito maggior dell’infinito mi par concetto da non poter esser
capito in verun modo.
Salviati. Queste sono di quelle difficoltà che derivano dal discorrer che
noi facciamo col nostro intelletto finito intorno a gl’infiniti, dandogli
quelli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso
che sia inconveniente, perché stimo che questi attributi di maggioranza,
minorità ed egualità non convenghino a gl’infiniti, de i quali non si può
dire, uno esser maggiore o minore o eguale all’altro
[…]
Salviati Onde se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non
quadrati, essere più che i quadrati soli, dirò proposizione verissima, non
è così?
Simplicio Non si può dir altrimenti.
Salviati Interrogando io di poi, quanti siano i numeri quadrati, si può con
verità rispondere, loro esser tanti quante sono le proprie radici, avvenga
che ogni quadrato ha la sua radice, ogni radice il suo quadrato, né
quadrato alcuno ha più d’una sola radice, né radice alcuna più d’un
quadrato solo.
Simplicio Così sia.
Salviati Ma se io domanderò, quante siano le radici, non si può negare
che elle non siano quante tutti i numeri, poiché non vi è numero alcuno
che non sia radice di qualche quadrato; e stante questo, converrà dire
che i numeri quadrati siano quanti tutti i numeri, poiché tanti sono
quante le lor radici, e radici sono tutti i numeri: e pur da principio
dicemmo, tutti i numeri esser assai più che tutti i quadrati, essendo la
maggior parte non quadrati.
[..]
Salviati Io non veggo che ad altra decisione si possa venire, che a dire,
infiniti essere tutti i numeri, infiniti i quadrati, infinite le loro radici, né la
moltitudine de’ quadrati esser minore di quella di tutti i numeri, né
questa maggior di quella, e in ultima conclusione, gli attributi di eguale
maggiore e minore non aver luogo ne gl’infiniti, ma solo nelle quantità
terminate.
[…]
Salviati [...] ma né anco che è [l’infinito] essere maggiore d’un finito,
perché se ’l numero infinito fusse maggiore, v.g. del millione, ne
seguirebbe, che passando dal millione ad altri e ad altri continuamente
maggiori si camminasse verso l’infinito; il che non è: anzi, per l’opposito
a quanto maggiori numeri facciamo passaggio, tanto più ci discostiamo
dal numero infinito; perché ne i numeri, quanto più si pigliano grandi
sempre più e più rari sono i numeri quadrati in esso contenuti; ma nel
numero infinito i quadrati non possono esser manco che tutti i numeri,
come pur ora si è concluso; adunque l’andar verso numeri sempre
maggiori e maggiori è un discostarsi dal numero infinito
G. Galilei, Discorsi intorno a due nuove scienze
Ci soffermiamo [...] sui requisiti generali che legittimamente vanno posti
alla soluzione di un problema matematico. Penso innanzitutto a questo:
si deve riuscire a far vedere la correttezza della risposta mediante un
numero finito di inferenze e precisamente in base ad un numero finito di
ipotesi che si trovano nelle nella presentazione del problema e che ogni
volta vanno formulate con esattezza. Questo requisito della deduzione
logica mediante un numero finito di inferenze è nient'altro che il
requisito del rigore nella conduzione della dimostrazione.
D. Hilbert, Problemi matematici
Del fatto che al di là di una porzione di spazio ci sia sempre ancora
spazio segue soltanto l'illimitatezza dello spazio e in nessun modo la sua
infinità. Illimitatezza e finitezza, però, non sono incompatibili. Nella
cosiddetta geometria ellittica, la ricerca matematica fornisce il modello
naturale di un universo finito.
D. Hilbert, Sull'infinito
La divisibilità all’infinito di un continuo è un’operazione che esiste
soltanto nel pensiero, è soltanto un’idea che è rifiutata dalla nostra
osservazione della natura e dagli esperimenti della fisica e della chimica
Dal paradiso che Cantor ha creato per noi, nessuno deve poterci mai
scacciare
Io penso che sia la stessa cosa, non solamente che la differenza sia
nulla, ma che la loro differenza sia incomparabilmente piccola; e
comunque che quella non debba essere detta niente, dato che non ci
sono delle quantità comparabili con le stesse quantità di cui è composta
la differenza. Come se aggiungendo a una retta il punto di un'altra retta,
o una retta a una superficie, non si aumenta la quantità..
G.W.Leibniz, Risposte ad alcune difficoltà
bisogna supporre che le grandezze siano qualcosa, che siano diverse tra
di loro, e che siano marcate in modi diversi nella nuova analisi; poiché
allora saranno confuse se saranno considerate degli zeri. Io le considero
quindi non come nulla, né come degli infinitamente piccoli, a rigore, ma
per delle quantità incomparabilmente o indefinitamente piccole, e più
che di una grandezza data o assegnabile, inferiori ad altre di cui esse
fanno la differenza, il che rende l'errore minore di ogni errore
assegnabile, o dato, e per conseguenza esso è nullo.
G.W.Leibniz, Lettera a R.P.Tournemine
Arrivando a zero diviso per infinito e cose simili, dico che per tali cose
non può che aversi un'interpretazione di comodo, prendendo zero per un
numero di grande piccolezza, e l'infinito per un numero molto grande. O
più voi diminuite il numeratore e più aumenterete in proporzione il
denominatore della frazione, più vi avvicinerete a zero
G.W.Leibniz, Lettera a Dangicourt
Certamente io so anche che, qualunque numero mi verrà dato, io sarò in
grado di indicare, subito e con sicurezza, il numero successivo- Escluso,
naturalmente, il caso che io muoia prima di arrivarci, e molti altri casi
ancora. Ma naturalmente è molto importante che io sia così sicuro di
potere continuare.
L. Wittgenstein, Osservazioni sopra i fondamenti della matematica
"Si deve evitare la parola 'infinito' in matematica?" Sì, dove sembra
conferire un significato al Calcolo, invece di riceverlo da esso.
L. Wittgenstein, Osservazioni sopra i fondamenti della matematica
Sulla letteratura
La tecnica matematica è qui applicabile: il denso romanzo di Bahadur è
una progressione ascendente, il cui termine finale è il presentito «uomo
che si chiama Almotasim.
J.L. Borges, Accostamento ad Almotasim
Gli ignoranti suppongono che infiniti sorteggi richiedano un tempo
infinito; basta in realtà che il tempo sia infinitamente divisibile, come
insegna la famosa parabola della Gara con la Tartaruga.
J.L. Borges, Lotteria a Babilonia
Nel corridoio è uno specchio, che fedelmente duplica le apparenze. Gli
uomini sogliono inferire da questo specchio che la Biblioteca non è
infinita (se realmente fosse tale, perché questa duplicazione illusoria?);
io preferisco sognare che queste superfici argentate figurino e
promettano l’infinito...
J.L. Borges, La Biblioteca di Babele
... Cercai la prima pagina […] tutto fu inutile, tra il frontespizio e la mano
si interponevano sempre nuovi fogli. Era come se sorgessero dal libro.
[…] Il numero di pagine di questo libro è esattamente infinito. Nessuna è
la prima, nessuna è l’ultima.
J.L. Borges, Il libro di sabbia
Un atomo il cui sistema solare comprende un pianeta abitato da esseri
identici a noi. anche il pianeta su cui vive il professore Splitteri potrebbe
appartenere a un sistema solare costituente un atomo della zampa di
una mosca in un universo di grado superiore. A sua volta, il pianeta dove
vive questa seconda ipotetica mosca
grande evidentemente come
miliardi di galassie potrebbe far parte di un sistema solare costituente
una tomo della zampa di una terza mosca di ulteriore universo. […] Di
mosca in mosca, per così dire, ci si può smarrire nell’immaginazione di
universi sempre più giganteschi, la dimensione dei quali è tanto grande
da non poter essere espressa non dico da cifre ma neppure da formule
umane.
D. Buzzati, Che accadrà il 12 ottobre?
Per ogni matematico
c'è un senso d'infinito
nel dar la caccia ai numeri
già sfuggenti di per sé
c'è un sogno pitagorico
che a me non è servito
adesso che
nel due per tre
so cosa sei per me
Per ogni matematico
che non si è mai pentito
d'aver sbagliato un calcolo
ch'è già grave di per sé
rimane un senso logico
adesso che
nel tre più tre
so cosa sei per me.
Per ogni matematico
finisce l'infinito
se a confermar la regola
è l'eccezione di per sé
ma resta un caso unico
adesso che
nell'io più te
so cosa sei per me.
Per ogni matematico, Angelo Branduardi
Dimmi, triangoluzzo mio squadrato,
Che al mondo se' de gli animali rari,
Furono prima i ciuchi o i somari?
E quel tuo capo è un circolo o un quadrato?
Anco: il cervel, se fior te n'è restato,
È isoscelo o scaleno o lati pari?
Se' tu l'ambasciador de' calendari,
O un parallelogrammo battezzato?
Buona gente, i' vi prego che pigliate
Questo bambolon mio c'ha di molt'anni
E che 'l mettete a nanna e lo cullate.
Tenetel chiuso, ch'egli è un barbagianni,
E non fa che sciupar vie lastricate,
Mangiar del pane e consumar de' panni.
E quando fuor d'affanni
Averà messo il dente del giudizio,
Fate sonare a la ragion l'uffizio.
O bello sposalizio
Che vogliam fare come più non s'usa,
Accoppiandolo a monna Ipotenusa!
E' mi dice la Musa
Che di questi rettangoli appaiati
Nasceran di be' circoli quadrati.
A un geometra, Giosuè Carducci
“Sai sommare?” chiese la Regina Bianca. “Quanto fa uno più uno più uno
più uno più uno più uno più uno più uno più uno più uno più uno?” “non
so”, disse Alice, “ho perso il conto”.
L. Carrol, Attraverso lo specchio
Alice sorrise: “Non ha senso tentare”, disse, “non si possono credere
cose impossibili” “Direi piuttosto che non hai molta pratica”, disse la
Regina, “quando ero più giovane, lo facevo sempre per mezzora al
giorno. Alcune volte ho creduto fino a sei cose impossibili prima di
colazione”.
L. Carrol, Alice nel paese delle meraviglie
“Dovresti dire ciò che pensi”, continuò la lepre marzolina. “Lo faccio”,
replicò Alice seccata; “o almeno penso ciò che dico, che è la stessa
cosa” “Niente affatto! “, disse il Cappellaio, “Perché allora potresti dire
che «Vedo ciò che mangio» è lo stesso di «Mangio ciò che vedo!»”
L. Carrol, Alice nel paese delle meraviglie
Ciò che dico tre volte è vero.
L. Carroll, The Hunting of the Snark
"Spero che hai avuto una buona notte, ragazzo." Bruno guardò sorpreso.
"E' stata la stessa notte che avete avuto voi", replicò. "C'è stata una
sola notte da ieri!"
L. Carroll, Bruno e Sylvie
"C'è così tanta Scienza scritta che nessun essere vivente ha mai letto; e
c'è così tanta Scienza pensata che non è ancora stata scritta. [...] io
penso che [...] ogni cosa scritta nei libri, deve essere stata almeno una
volta in qualche mente" "Quindi è come quella regola dell'Algebra? [...]
Voglio dire, se consideriamo i pensieri come fattori, possiamo dire che il
minimo comune multiplo di tutte le menti contiene quello di tutti i libri,
ma non il viceversa?"
"... questo portentoso movimento ha già raggiunto le dimensioni di una
Rivoluzione!" " E quali sono le dimensioni di una Rivoluzione?" [...] "Le
dimensioni, vostra Eccellenza" Non capisco!" "Bene, la lunghezza
larghezza e spessore, se preferite!"
"Dovresti prendere esempio da Sylvie. Ella è sempre indaffarata per
quanto è lungo il giorno!" "Ma anch'io lo sono!" disse Bruno. "No, no!",
Sylvie lo corresse. "Tu sei indaffarato per quanto è corto il giorno!" "Non
vedo la differenza." disse Bruno. "Signore, il giorno non è lungo quanto è
corto? Voglio dire non è la stessa lunghezza?"
"L'Imperatore voleva che ognuno a Outland fosse due volte più ricco di
prima, proprio per rendere il nuovo Governo popolare. Purtroppo non
c'era abbastanza denaro in Tesoro per fare ciò. Così io suggerii che
bastava raddoppiare il valore di ogni moneta di Outland. È la cosa più
semplice del mondo. Non capisco perché nessuno ci abbia mai pensato
prima!"
"Sapete Signore", Bruno osservò pensosamente, "che Sylvie non sa
contare' Quando dice «devo dirti una cosa», sono sicuro che mi dirà
almeno due cose! E fa sempre così"
L. Carroll, Sylvie and Bruno concluded
"Non ha testa per l'Aritmetica" "Neanch'io naturalmente ne ho", disse
Bruno, "La mia testa è per i capelli, non ne ho molte di teste!"
"... ci sono due errori nella tua affermazione [...] uno è quello che chiamo
fallacia di ambiguità – l'assunzione che far del bene (cioè beneficare
qualcuno) è necessariamente una cosa buona da fare (cioè una
cosa giusta). L'altra è l'assunzione che se uno di due atti è meglio di un
altro, è necessariamente un atto buono in sé. Mi piace chiamare questa
come la fallacia del confronto, intendendo con ciò che si suppone
che comparativamente buono significhi positivamente buono."
"... dimmi tutto". "Non posso", disse Bruno. "Non c'è abbastanza tempo.
Inoltre io non so tutto."
"L'ignoranza degli Assiomi è un grave problema nella vita. Fa perdere un
sacco di tempo a ripetere cose ovvie. Pere esempio prendiamo
l'Assioma: Niente è maggiore di se stesso: cioè niente può contenere sé
stesso. Spesso si sente la gente dire 'Era così eccitato che non riusciva
a contenersi' Naturalmente che non era capace. L'eccitazione non ha
niente a che fare con ciò."
Non è che non vediamo la soluzione. Il fatto è che non vediamo il
problema.
G. K. Chesterston, Lo scandalo di Padre Brown
Quando avete eliminato l’impossibile, ciò che rimane, comunque
improbabile deve essere la verità.
A. Conan Doyle, Il segno dei quattro
È un errore capitale teorizzare prima di avere i dati.
A. Conan Doyle, Scandalo in Bohemia
Il Professore: "Sa contare? Fino a quanto sa contare?"
L’allieva "Posso contare fino ... all’infinito!”
P: "Impossibile, Signorina "
A: "Allora, facciamo fino a sedici”
P: "Basta così. Bisogna sapersi limitare."
E. Ionesco, La lezione
P: ... qual è il più grande? Tre o quattro?
A: ... tre o quattro? Qual è il più grande? Il più grande fra tre e quattro?
In che senso il più grande?
P: Esistono dei numeri più piccoli e degli altri più grandi. Nei numeri più
grandi ci sono più unità che non nei piccoli...
A: ... che non nei piccoli numeri?
P: A meno che i piccoli abbiano delle unità più piccole. Se esse sono
piccolissime, allora può darsi il caso che vi siano più unità nei numeri
piccoli che non in quelli grandi... Si tratta però di altre unità.
A: In questi casi i numeri piccoli possono essere più grandi di quelli
grandi?
P: Sorvoliamo [...] quale dei due sarà il più grande? Il numero più grande
o il numero più piccolo?
P : Riconosco che non è facile, è molto, molto astratto ....,
evidentemente ... ma come potrete arrivare, senza avere bene
approfondito gli elementi, a calcolare mentalmente quanto fa, ed è il
minimo che possa richiedersi a un ingegnere medio –quanto fa, per
esempio, tre miliardi settecentocinquantacinque milioni
novecentonovantotto mila duecentocinquantuno moltiplicato per cinque
miliardi centosessantadue milioni trecentotrentamila cinquecentootto?
A : (molto rapidamente) Fa diciannove quintilioni trecentonovanta
quadrilioni due trilioni ottocentoquarantaquattro miliardi
duecentodiciannove milioni centossessantaquattromila cinquecentootto.
P : (stupito) No, non mi pare. Deve fare diciannove quintilioni
trecentonovanta quadrilioni due trilioni ottocentoquarantaquattro
miliardi duecentodiciannove milioni centossessantaquattromila
cinquecentonove.
A : No .. cinquecentootto..
P : sempre più stupito, calcola mentalmente) Sì ... ha ragione ... il
prodotto è giusto .... (Borbotta in modo inintelligibile) Quintilioni,
quadrilioni, trilioni, miliardi, milioni .... (Distintamente)
Centosessantaquattromilacinquecentootto .... (Stupito) Ma come lo sa
lei, se non conosce i principi del ragionamento aritmetico?
A: Semplice. Non potendo fidarmi del mio ragionamento ho imparato a
memoria tutti i risultati possibili di tutte le moltiplicazioni possibili.
Mrs Smith Discutevamo perché mio marito sosteneva che quando si
sente suonare alla porta c'è sempre qualcuno.
Mr Martin La cosa è plausibile.
Mrs S. E io invece sostenevo che quando il campanello suona è segno
che non c'è nessuno.
Mrs Martin La cosa può sembrare strana.
Mrs S. Strana, ma convalidata non da dimostrazioni astrattamente
teoriche, bensì da fatti.
Mr Smith E' falso, dal momento che il Pompiere è qua. Ha suonato, ho
aperto e lui era lì.
Mrs M. Quando?
Mr M. Subito, no?
Mrs S. D'accordo, ma soltanto dopo aver udito suonare per la quarta
volta si è trovato qualcuno. E la quarta volta non conta.
Mrs M. E' una regola generale. Solo le prime tre volte contano.
Mr S. Signor capitano , permetta anche a me di farle alcune domande.
Pompiere Dica pure.
Mr S. Quando ho aperto la porta e l'ho vista, era lei che aveva suonato?
P. Si.
Mr M. Lei era alla porta? Suonava per farsi aprire?
P. Non potrei negarlo.
Mr S. (alla moglie, con aria vittoriosa) Vedi? Avevo ragione. Quando si
sente suonare, è segno che qualcuno che suona. Non puoi negare che il
capitano sia qualcuno.
Mrs S. No no e no. Ti ripeto che parlo unicamente delle tre prime volte,
giacché la quarta non conta.
Mrs M. Quando suonò la prima volta, era lei?
P. No, non ero io.
Mrs M. Vedete? Suonava e non c'era nessuno.
Mr M. Forse c'era qualcun'altro.
Mr S. Era alla porta da molto tempo?
P. Tre quarti d'ora.
Mr S. E non ha visto nessuno?
P. Nessuno. Ne sono certo.
Mrs M. E la seconda volta ha sentito suonare?
P. , ma neppure quella volta ero io. E continuava a non esserci nessuno.
Mrs S. Vittoria! Avevo ragione io.
Mr S. (alla moglie) Piano, piano. (Al Pompiere) E che faceva lei alla
porta?
P. Niente. Ero lì. Pensavo a tante cose.
Mrs M. Ma la terza volta... non è stato lei a suonare?
P. Sì, sono stato io.
Mrs S. Ma quando ho aperto, non l'ho vista.
P. Mi ero nascosto... per scherzo.
Mrs S. Non scherzi, non scherzi, signor capitano. Questa storia è troppo
triste.
Mr M. Insomma, però, resta da risolvere il problema che ci interessa:
quando suonano alla porta, c'è qualcuno o no?
Mrs S. Mai nessuno.
Mr S. Sempre qualcuno.
P. Vi metterò d'accordo io. Avete un po' di ragione tutti e due. Quando
suonano alla porta, talvolta qualcuno, talaltra non c'è nessuno.
Mr M. Questo mi sembra logico.
Mrs M. Pare anche a me.
E. Ionesco, La cantatrice calva
O matematica severa, io non vi ho dimenticata, da quando le vostre
dotte lezioni, più dolci del miele, filtrarono nel mio cuore, come onda
rinfrescante. Aspiravo istintivamente, fin dalla culla, a bere dalla vostra
fonte, più antica del sole, e ancora continuo a calcare il sacro vestibolo
del vostro tempio solenne, io, il vostro più fedele iniziato. C’era del vago
nella mia mente, un non so che di denso come il fumo; ma seppi salire
religiosamente i gradini che portano al vostro altare, e voi avete
cacciato quel velo oscuro, come il vento caccia la procellaria. Avete
messo, al suo posto, una freddezza eccessiva, una profonda prudenza e
una logica spietata. Con l’aiuto del vostro latte fortificante, la mia
intelligenza si è rapidamente sviluppata, e ha preso proporzioni
immense, nell’estasiante chiarezza che voi donate con prodigalità a
coloro che vi amano di sincero amore. Aritmetica! Algebra! Geometria!
trinità grandiosa! triangolo luminoso! Colui che non vi ha conosciuto è un
insensato! Meriterebbe di provare i massimi supplizi; c’è infatti un cieco
disprezzo nella sua ignorante noncuranza; ma colui che vi apprezza e vi
conosce non vuole più alcun bene della terra; si accontenta dei vostri
magici godimenti, e, portato sulle vostre cupe ali, desidera solo
innalzarsi, con volo leggero, tracciando una spirale ascendente, verso la
sferica volta dei cieli. La terra gli mostra soltanto illusioni e
fantasmagorie morali; ma voi, matematica concisa, grazie alla
concatenazione rigorosa delle vostre tenaci proposizioni e alla costanza
delle vostre ferree leggi, fate rifulgere, agli occhi abbagliati, un riflesso
di quella suprema verità la cui impronta si nota nell’ordine dell’universo.
Ma l’ordine che vi circonda, soprattutto rappresentato dalla perfetta
regolarità del quadrato, l’amico di Pitagora, è ancora più grande;
l’Onnipotente infatti si è rivelato completamente, lui e i suoi attributi, nel
memorabile lavoro che consistette nel fare uscire, dalle viscere del
caos, i vostri tesori di teoremi e i vostri magnifici splendori. Nelle
epoche antiche e nei tempi moderni, più di una grande immaginazione
vide il proprio genio, atterrito, nella contemplazione delle simboliche
figure tracciate sulla carta bruciante, come altrettanti segni misteriosi,
vivi di un soffio latente, che il volgo profano non comprende e che non
erano che la splendente rivelazione di assiomi e geroglifici eterni,
esistiti prima dell’universo e che sopravvivranno dopo di lui. Essa si
domanda, china sul precipizio di un punto interrogativo, come mai la
matematica contenga tanta imponente grandezza e tanta incontestabile
verità, mentre, se le paragona all’uomo, non trova in quest’ultimo che
falso orgoglio e menzogna. Allora, quello spirito superiore, rattristato, al
quale la nobile familiarità dei vostri consigli fa sentire ancor più la
piccolezza dell’umanità e la sua impareggiabile follia, affonda la testa
canuta, in una mano scarna e resta assorto nelle sovrannaturali
meditazioni. Piega le ginocchia dinanzi a voi, e la sua venerazione rende
omaggio al vostro volto divino, come alla vera immagine
dell’Onnipotente. [...] Ma voi, rimanete sempre le stesse. Nessun
cambiamento, nessun’aria ammorbata sfiora i macigni scoscesi e le
immense vallate della vostra identità. Le vostre modeste piramidi
dureranno più delle piramidi d’Egitto, formicai eretti dalla stupidità e
dalla schiavitù. La fine dei secoli vedrà ancora erette sulle rovine dei
tempi le vostre cifre cabalistiche, le vostre laconiche equazioni e le
vostre linee scultoree sedere alla destra vendicatrice dell’Onnipotente
[... ] Voi mi deste la logica, che è come l’anima stessa dei vostri
insegnamenti pieni di saggezza; con i suoi sillogismi, il cui complicato
labirinto è tale quanto più è comprensibile [...] O santa
matematica, possiate, con il perpetuo commercio, consolare il resto dei
miei giorni dalla malvagità dell’uomo e dell’ingiustizia del Gran Tutto.
Lautreamont, I canti di Maldoror
La matematica è la nuova logica in quanto tale, lo spirito stesso, in essa
si trovano le sorgenti del tempo e le origini di una portentosa
trasformazione. [...] la ricerca odierna non è soltanto scienza, ma è
anche magia, un rito della più grande forza sentimentale e intellettuale
che induce Dio a sollevare una dopo l'altra le pieghe del suo mantello,
una religione la cui dogmatica è retta e penetrata dalla dura, agile,
coraggiosa logica matematica, fredda e tagliente come una lama di
coltello.
Robert Musil, L'uomo senza qualità
Cos'è un'anima? In negativo è semplice da definire: è proprio ciò che
velocemente arretra quando sente parlare di serie algebriche
Robert Musil, L'uomo senza qualità
La matematica è un’ostentazione di audacia della pura ratio; uno dei
pochi lussi oggi ancora possibili. Anche i filologi si dedicano spesso ad
attività nelle quali essi per primi non intravedono il minimo utile, e i
collezionisti di francobolli e di cravatte ancora peggio. Ma questi sono
passatempi inoffensivi, ben lontani dalle cose serie della vita. La
matematica, invece, proprio in esse abbraccia alcune delle avventure
più appassionanti e incisive dell’esistenza umana.”
Robert Musil, L’uomo matematico, in Der lose Vogel, 1911
Bisogna evitare, disse Triuscaillon, che, in questa semplice ellisse si
utilizzi iperbolicamente il circolo vizioso della parabola.
R. Queneau, Zazie dans le métro
I tempi sono tristi,
Il vecchio mondo s’usa
a trascinarsi il fianco nel giro dei pianeti
le balene si fan sempre più rare,
i feti voglion dar fuoco all’alcol
ove la vita han chiuso.
Per consolarti, o povera anima mia, ripeti:
“il quadrato costrutto sovra l’ipotenusa
è la somma di quelli fatti sui due cateti”
Anima mia, rammenti,
dall’ombre d’oggi illusa,
questo non ti riporta al raggio dei dì lieti?
O che, non ci fiorivano nel cuor tutti i roseti,
al tempo in cui, a zuffa con l’algebra confusa,
sui banchi imparavamo, monelli irrequieti, che
è la somma di quelli fatti sui due cateti”.
Ora i tempi a mal volgono
l’un polo l’altro accusa di accaparrarsi il ghiaccio
e sono ambo inquieti,
l’oche pretendon essere, ahimè, cigni,
i poeti annegano in troppa acqua il vino della musa,
le questioni scottanti bruciano tutti i tappeti, ma
Il cannone, tamagno delle battaglie, abusa della sua voce e fulmina.
O dunque, dai roveti ardenti più non parlano i geova e i profeti
Non tentenna la terra un guardo di Medusa
Un mane o te che il fares è a tutte le pareti, ma
La vita è una prigione, finché l’anima è chiusa,
uomo, ed invan brancoli, cercando alle pareti,
sono di là da quelle, i bei fonti segreti
ove tu aneli e dove la pura gloria è fusa,
Qui solo hai qualche gocciola di vel per le tue seti.
“Il quadrato costrutto sovra l’ipotenusa
E. Ragazzoni, Il Teorema di Pitagora
C’era una volta un tale
che voleva trovare
il numero più grande del mondo.
Comincia a contare e mai si stanca:
gli viene la barba grigia,
gli viene la barba bianca,
ma lui conta, conta sempre
milioni di milioni
di miliardi di miliardi
di strabilioni
di meraviglioni
di meravigliardi...
In punto di morte scrisse un numero lungo
dalla Terra a Nettuno.
Ma un bimbo gridò - Più uno!
E il grande calcolatore
ammise, un poco triste,
che il numero più grande del mondo non esiste.
G. Rodari
“Lei è certamente di quelli […] che si vantano di non capire niente di
matematica, che sono fieri di non poter superare il ponte degli asini”
“Per quel mi riguarda”, disse Saxel. “E non la rattrista?” “Dovrei?”
“Certamente. Che soddisfazione si può provare a non capire qualcosa?
[…] Non esiste un solo mondo, quello che lei vede o che crede di vedere,
o che immagina di vedere o che vuole vedere, quel mondo che toccano i
ciechi, sentono i mutilati e annusano i sordi, quel mondo di cose e di
forze, di solidità o di illusioni, di vita e di morte, di nascita e di
distruzioni, il mondo in cui viviamo, in mezzo al quale siamo soliti
addormentarci. Per quel che ne so io, ne esiste almeno un altro: quello
dei numeri e delle figure, delle identità e delle funzioni, delle operazioni e
dei gruppi, degli insiemi e degli spazi. C'è gente, come sa, che pretende
si tratti solo di astrazioni, costruzioni, combinazioni. Vogliono far
credere a una specie di architettura; si prendono degli elementi nella
natura, si affinano, si puliscono, si prosciugano e lo spirito umano
costruisce con questi mattoni, una casa splendida, magistrale
testimonianza della potenza della sua ragione. Dovete certamente
conoscere questa teoria, il vostro professore di filosofia l'avrà sostenuta:
è la più volgare che ci sia. Un fabbricato, considerano la scienza
matematica un fabbricato! Ci si assicura della solidità delle fondamenta
prima di costruire il pianterreno si passa al primo piano poi al secondo e
così di seguito senza che ci sia motivo di interruzione. Ma in realtà le
cose non vanno così; non all'architettura, all'edilizia bisogna paragonare
la geometria o l'analisi, ma alla botanica, alla geografia, alle scienze
fisiche. Si tratta di descrivere un mondo, di scoprirlo e non di costruirlo o
inventarlo, perché esiste al di fuori dello spirito umano e indipendente da
esso. Dobbiamo esplorare quest'universo e dire poi agli uomini quel che
ci abbiamo visto. Ma per esprimerlo, occorre un linguaggio: quello dei
segni e delle formule, quello che si considera comunemente l'essenza
stessa della scienza e non ne è che il modo d'espressione. Questo
linguaggio si rivela ancor più impotente a descrivere le ricchezze del
mondo matematico che non la lingua francese a formulare la
molteplicità delle cose, poiché esse non si situano allo stesso livello
d'esistenza.
R. Queneau, Odile
Exercices de style di Raimond Queneau Consiste nel raccontare
99 volte in 99 diversi stili letterari e non solo, lo stesso banale fatto di un
giovane dal lungo collo che litiga sull'autobus e che successivamente
incontra un amico. Almeno due di questi racconti sono narrati da un
punto di vista matematico.
Visione insiemistica
Nell'autobus S consideriamo l'insieme A dei viaggiatori seduti e l'insieme
D dei viaggiatori in piedi. Ad una certa fermata vi è l'insieme P delle
persone che aspettano. Sia C l'insieme dei viaggiatori che salgono;
questo è un sottoinsieme di P ed è anche l'unione di C', insieme dei
viaggiatori che restano sulla piattaforma, con C" , insieme di quelli che
vanno a sedersi. Dimostrare che C" è vuoto.
Sia Z l'insieme dei giovinastri e {z} l'intersezione di Z con C', ridotto a un
solo elemento. In seguito alla suriezione dei piedi di z su quelli di y
(elemento qualunque di C' diverso da z), si crea un insieme M di parole
pronunciate da z. Essendo adesso l'insieme C" non vuoto, dimostrare
che è formato dal solo z.
Sia adesso P l'insieme dei pedoni che si trovano dinanzi la Gare Saint
Lazare, {z, z'}, l'intersezione di Z con P, B l'insieme dei bottoni del
soprabito di z, B' l'insieme dei possibili spostamenti dei sopradetti
bottoni secondo z', dimostrare che l'iniezione di B in B' non è una
biiezione.
Visione geometrica
In un parallelepipedo rettangolo si tracci la retta di equazione 84x + S
= y; un omoide A che, al di sopra di una parte cilindrica di
lunghezza l > n, porta una calotta sferica circondata da due
sinusoidi, presenta un punto di contatto con un omoide banale B.
Dimostrare che questo punto di contatto è un punto di arruffamento.
Se l'omoide A incontra un omoide omologo C, allora il punto di contatto è
un disco di raggio r < l. Determinare l'altezza h di questo punto di
contatto in rapporto all'asse verticale dell'omoide A.
E' degno di ammirazione il Pi greco
tre virgola uno quattro uno.
anche tutte le sue cifre successive sono iniziali,
cinque nove due, poiché non finisce mai.
non si lascia abbracciare sei cinque tre cinque dallo sguardo
otto nove dal calcolo,
sette nove dall'immaginazione,
e nemmeno tre due tre otto dallo scherzo, ossia dal paragone
quattro sei con qualsiasi cosa
due sei quattro tre al mondo.
Il serpente più lungo della terra dopo vari metri s'interrompe.
Lo stesso, anche se un po' dopo, fanno i serpenti delle fiabe.
Il corteo di cifre che compongono il Pi greco
non si ferma sul bordo del foglio,
è capace di srotolarsi sul tavolo, nell'aria,
attraverso il muro, la foglia, il n ido, le nuvole, diritto fino al cielo,
per quanto è gonfio e smisurato il cielo.
Quanto è corta la treccia della cometa, proprio un codino!
Com'è tenue il raggio della stella, che si curva a ogni spazio!
E invece qui due tre quindici trecentodiciannove
il mio numero di telefono il tuo numero di collo
l'anno millenovecentossettantatre sesto piano
il numero degli inquilini sessantacinque centesimi
la misura dei fianchi due dita sciarada e cifra
in cui vola e canta usignolo mio
oppure si prega di mantenere la calma,
e anche la terra e il cielo passeranno,
ma non il Pi greco, oh no, niente da fare,
esso sta lì con il suo cinque ancora passabile,
un otto niente male,
un sette non ultimo,
incitando, ah, incitando l'oziosa eternità
a durare.
W. Szymborska, Pi greco
“Non ho difficoltà a immaginare un’antologia dei più bei frammenti della
poesia mondiale in cui trovasse
posto anche il teorema di Pitagora. Perché no? Lì c’è quella folgorazione
che è connaturata alla grande
poesia, e una forma sapientemente ridotta ai termini più indispensabili, e
una grazia che non a tutti i poeti è stata concessa”.
W. Szymborska, Letture facoltative
Sulla Matematica
Le scienze matematiche esibiscono in particolare ordine, simmetria e
limitazioni e queste sono le forme massime della bellezza.
Aristotele Metaphysica
Se consideriamo la matematica come un gioco di segni, privo di senso,
dove risiede l'importanza del gioco? Per quale motivo la matematica
merita di essere giocata? Alcuni formalisti risponderebbero che detto
gioco merita di essere giocato e studiato in quanto tale, come il gioco
degli scacchi. Ma questa non può essere una risposta esauriente, perché
non spiega l'enorme utilità della matematica per le scienze.
S. F. Barker, Filosofia della matematica
Matematica la solida Fondazione delle Scienze, e la florida Fontana del
Vantaggio degli affari umani.
Isaac Barrow
E' la sua stessa giovinezza che fa spiccare la matematica dalle altre
scienza con una sconcertante immortalità.
E.T.Bell
Matematica, la cameriera delle Scienze.
E.T.Bell
“Ovvio” è la parola più pericolosa in matematica.
E. T. Bell
Mi piace guardare alla matematica più come un'arte che come una
scienza, perché l'attività dei matematici, che creano costantemente, è
guidata ma non controllata dal mondo esterno dei sensi; quindi
assomiglia, io credo, in realtà all'attività di un artista, di un pittore.
Proprio come non si può essere pittore senza una certa tecnica, così non
si può essere un matematico senza il potere della ragione
accuratamente giunto a un certo punto Tuttavia queste qualità,
fondamentali, non fanno un pittore o un matematico degno di questo
nome, né in verità sono i fattori più importanti. Altre qualità di una
specie più sottile, alla cui vetta vi è in entrambi i casi l'immaginazione,
creano un buon artista o un buon matematico.
Bocher, Bulletin of the American Mathematical Society 11 1904
La matematica è una forma di poesia che trascende la poesia nel
momento in cui proclama una verità; una forma di ragionamento che
trascende il ragionamento nel momento in cui vuole estrarre la verità
che ha proclamato; una forma di azione, di comportamento rituale, che
non trova pienezza nell'atto ma deve proclamare ed elaborare una forma
poetica di verità.
Bochner The Role of Mathematics in the Rise of Science
Le scoperte matematiche, come le violette primaverili nei boschi, hanno
la loro stagione, nessuno può anticiparle o ritardarle.
J. Bolyai
La matematica è la scienza che tratta delle leggi generali alle quali le
cose si devono uniformare nella loro essenza.
B. Bolzano
La matematica altri non è che il lato esatto del nostro pensiero.
L. Brouwer
La tecnologia non ha l'effetto di cambiare la matematica, bensì di
cambiare il modo di fare matematica.
R. Brown
Può darsi che l'interesse dell'uomo preistorico per concezioni e relazioni
spaziali sia stato originato dal suo senso estetico e dal piacere provato
per la bellezza della forma, motivi che spesso stimolano anche i
matematici del nostro tempo.
C. Boyer, Storia della matematica
Come per ogni cosa, ciò vale anche per una teoria matematica: la
bellezza può essere percepita ma non spiegata.
A. Cayley
La matematica [...] è una scienza oscura e astrusa, complicata ed esatta
[…] tuttavia coloro che vi hanno raggiunto la perfezione sono tanto
numerosi che è possibile dedurne che più o meno chiunque vi si applichi
con serietà potrebbe avervi successo.
Cicerone, De Oratore (citata da Stahl, La scienza dei Romani
Mathemata mathematicis scribuntur (La matematica è scritta per i
matematici)
Copernico, De Revolutionibus
Come espressione della mente umana, la matematica riflette la volontà
attiva, la ragione contemplativa e il desiderio di perfezione estetica. I
suoi elementi sono la logica e l’intuizione, l’analisi e la costruzione, la
generalità e l’individualità.
R. Courant, H, Robbins, Che cos è la matematica?
Così la metafisica e la matematica, fra tutte le scienze che
appartengono alla ragione, sono quelle in cui l'immaginazione ha il ruolo
maggiore... Chiedo perdono a quegli spiriti delicati che mettono in
ridicolo la matematica dicendo questo... L'immaginazione in un
matematico che crea non differisce da quella di un poeta che inventa....
Di tutti i grandi uomini dell'Antichità, Archimede è quello che più degli
altri merita di essere posto accanto ad Omero.
D'Alembert, Discours Preliminaire de L'Encyclopedie, Tome 1
Il motore dell'invenzione
l'immaginazione.
matematica
non
è
la
ragione
ma
A. De Morgan
Si fa fatica d'altronde a capire l'astio che esplode nei pamphlet che, di
tanto in tanto, attaccano ancora la matematica "pura". Esistono tante
altre discipline [...] che non hanno certamente alcuna "utilità" e contro le
quali nessuno si solleva.
Matematica, o matematiche (dal greco insegnamento) significa
originariamente "disciplina" o "scienza razionale". Questo significato
conferirono alla parola i filosofi della scuola italica, fondata da Pitagora
(prima del 500 a. C.), che pose la scienza dei numeri a base di ogni
conoscenza della natura.
F. Enriques, Enciclopedia Italiana
A quelli che non conoscono la matematica è difficile percepire come una
sensazione reale la bellezza, la profonda bellezza della natura ... Se
volete conoscere la natura, apprezzarla, è necessario comprendere il
linguaggio che essa parla.
R. Feynman, The Character of Physical Law
La matematica è un lavoro della mente umana, perciò è destinata a
studiare piuttosto che a conoscere, a cercare la verità piuttosto che a
trovarla.
Evariste Galois
La matematica è la regina delle Scienze e la teoria dei numeri la regina
delle matematiche
K. F. Gauss
La matematica è un linguaggio
W. Gibbs
La matematica incomincia solamente quando il misuratore ed il
calcolatore si interessano al funzionamento della loro tecnica e la
istituzionalizzano come una specie di gioco le cui due idee direttrici
sono l'invenzione e la dimostrazione
G. G. Granger, voce Matematiche in Enciclopedia Einaudi, 1979
La ricerca dell'esattezza è una delle componenti che si sono anzitutto
riconosciute nello spirito matematico
Le matematiche testimoniano la stupefacente potenza creatrice del
pensiero formale. Eppure, nel momento stesso in cui se ne ammira il
potere, si tocca con mano l'insufficienza di tale forma di pensiero non
appena si tratta di regolare, collettivamente o individualmente, il corso
della vita
La storia dell'idea di matematica potrebbe riassumersi nella presa di
coscienza sempre più netta delle nozioni di rigore e di precisione.
Nozioni in sé certamente banali, il cui senso è peraltro costantemente
rinnovato e approfondito dal pensiero matematico.
La Matematica Greca è “permanente”, molto più permanente perfino
della letteratura greca. Archimede sarà ricordato quando Eschilo sarà
ormai dimenticato, perché le lingue muoiono ma le idee matematiche no.
G. H. Hardy, Apologia di un matematico
Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal
poeta, devono essere "belle"; le idee, come i colori o le parole, devono
legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale: al
mondo non c'è un posto perenne per la matematica brutta.
G.H.Hardy, Apologia di un matematico
Molte persone riconoscono dei meriti alla Matematica, proprio come
altrettante persone possono trarre piacere da un piacevole motivo
musicale; eppure ci sono probabilmente più persone realmente
interessate alla matematica che non alla musica.
G. H. Hardy
La matematica è una scienza Greca, non importa quanti nuovi sviluppi
ha prodotto o possa produrre l’analisi moderna.
T. Heath, A history of Greek mathematics
Il carattere più distintivo che differenzia la matematica dalle varie
branche delle scienze empiriche. e che le assegna la fama di regina
delle scienze, è senza dubbio la peculiare certezza e necessità del
risultato. Nessuna proposizione, neanche nella più avanzata parte della
scienza empirica può meritare questo status; un'ipotesi riguardante
"argomento di fatto empirico" può al meglio acquisire ciò che è
liberamente chiamata un'alta probabilità o un alto grado di conferma
sulla base della rilevante evidenza ammissibile; ma comunque bene
possa essere stata confermata da test rigorosi, la possibilità che sarà
scaricata più tardi alla luce di una nuova evidenza non può mai essere
preclusa. Così tutte le teorie e le ipotesi della scienza empirica
condividono questo carattere provvisorio di essere stato stabilito e
accettato "fino a prova contraria", mentre un teorema matematico, una
volta provato, è stabilito una volta per sempre; vale con quella
particolare certezza che nessuna successiva scoperta empirica,
comunque inattesa e straordinaria, possa mai avere la minima
ripercussione su di esso.
C. G. Hempel, Geometry and empirical science
La matematica è un gioco che segue semplici regole che riguardano
segni privi di senso tracciati sulla carta.
D. Hilbert
Ci sono solo due classi di scienze – quelle che sono semplicemente
logiche, e quelle che, oltre a essere logiche, sono anche matematiche.
Se ci fosse una qualche scienza che determina puramente se una cosa è
o non è, se un evento accadrà o no, deve essere una scienza puramente
logica; ma se ci si chiede se la cosa può essere più grande o più piccola,
o l'evento possa accadere prima o dopo, più vicino o più lontano, allora
entrano in gioco nozioni quantitative, e la scienza deve essere
matematica in natura, quale che sia il nome che le diamo.
W. S. Jevons, Theory of political economy
La matematica è la scienza di ciò che è chiaro di per sé.
K. Jacobi
La matematica fornisce l’esempio più luminoso di una ragione che si
estende felicemente da sé senza aiuto dell’esperienza
La restrizione alla linea retta e al cerchio, autoimposta e arbitraria, era
motivata dal desiderio di mantenere la geometria semplice, armoniosa e
perciò esteticamente attraente.
M. Kline, La matematica nella cultura occidentale
(Sulla facilità della matematica) Quale altra scienza si occupa di verità
più elementari, poiché essa non ne presuppone alcun altra, mentre ogni
altra presuppone la matematica? In quale altra scienza le
argomentazioni sono altrettanto convincenti ed esaurienti? Quale altra
scienza conduce a risultati più sicuri e più agevolmente controllabili? E'
appunto la facilità e l'immediatezza della verifica che, dando autorità
critica decisiva anche ai più ignari, rende impossibile ogni frode. Invero,
mentre un matematico ciarlatano può essere messo con le spalle al
muro da uno anche non molto esperto, soltanto un dotto può riuscire a
confondere, se pur vi riesce, un presuntuoso che si vanti competente in
questioni politiche od economiche, filosofiche o artistiche essa riguarda
i concetti base del pensiero.
A. Padoa, Elogio della matematica, pubblico discorso, Pinerolo
28/03/1908
La Matematica è la scienza che traccia le conclusioni necessarie.
B. Peirce
La matematica è puramente ipotetica, non produce nulla tranne che
proposizioni condizionali.
C. Peirce
Mi rendo conto di quanto l’aritmetica sia bella e utile per molti aspetti al
raggiungimento del nostro scopo, purché la si coltivi per la conoscenza e
non per lucro.
Platone, La Repubblica
La matematica è come il gioco della dama, adatta ai giovani, non troppo
difficile, divertente e senza alcun pericolo per lo stato.
Platone
La matematica è l'arte di dare lo stesso nome ad oggetti diversi.
H. Poincarè
Strettamente parlando, tutte le nostre conoscenze al di fuori della
matematica e della logica dimostrativa (che è un ramo della
matematica), consiste di congetture.
G. Polya, Induction and analogy
La geometria è la scienza dei ragionamenti corretti sulle figure
sbagliate.
G. Polya
La matematica consiste nel provare le cose più ovvie nel modo meno
ovvio.
G. Polya
Il pensare matematico non è puramente" formale"; non è interessato
soltanto agli assiomi, alle definizioni, o alle dimostrazioni rigorose, ma
gli appartengono molte altre cose: generalizzazioni da casi osservati,
argomenti induttivi, argomenti tratti dall'analogia, riconoscimento di un
concetto matematico in una situazione concreta, o estrazione di un tale
concetto da essa.
La matematica pura è la classe di tutte le proposizioni della forma "p
implica q", dove p e q sono proposizioni contenenti una o più variabili, le
stesse nelle due proposizioni, e né p né q contengono alcuna costante
eccetto costanti logiche. [...] Oltre a queste, la matematica adopera poi
una nozione che non entra come costituente nelle proposizioni da essa
considerate, e precisamente la nozione di verità.
B. Russell, I principi della matematica, 1903
Cos'è esattamente la matematica? Molti hanno tentato, ma pochi sono
riusciti a definirla; è sempre qualcos'altro. In poche parole la gente sa
che riguarda numeri, figure, relazioni, operazioni, le sue procedure
formali hanno a che fare con assiomi, dimostrazioni, lemmi, teoremi che
non sono cambiati dai tempi di Archimede.
S. Ulam
Certa matematica diviene più importante perché la tecnologia lo
richiede
Certa matematica diviene meno importante perché la tecnologia la
sostituisce.
Certa matematica diviene possibile perché la tecnologia lo consente.
B. Waits (fondatore di T3)
Dio esiste perché la matematica è consistente, il Diavolo esiste perché
non riusciamo a provare che essa è consistente.
A. Weil
La simmetria, indipendentemente dalla importanza che ciascuno può
affidare al suo significato, è un’idea mediante la quale l’uomo attraverso
i secoli ha cercato di comprendere e creare l’ordine, la bellezza e la
perfezione.
H. Weyl
La matematica come scienza è iniziata quando qualcuno, probabilmente
un greco, provò dei fatti su qualche cosa senza specificare cosa fosse in
particolare.
A.N. Whitehead
La matematica, nel suo significato più ampio, è lo sviluppo di tutti i tipi
di ragionamenti, formali e deduttivi.
A. N. Whitehead, A treatise on universal algebra, 1960
La scienza della matematica pura, può aspirare ad essere chiamata la
più originale creazione dello spirito umano. [...] L'originalità della
matematica consiste nel fatto che nella scienza matematica le
connessioni fra le cose con le quali sono mostrate, a parte dall'agenzia
della ragione umana, sono estremamente poco ovvie. Così le idee,
adesso nelle menti della matematica contemporanea, sono molto
lontane da ogni nozione che può essere immediatamente derivata dalla
percezione attraverso i sensi; tranne che tale percezione sia stimolata e
guidata da un'antecedente conoscenza matematica.
A.N. Whitehead, Mathematics as an element
La matematica è un metodo logico. Le proposizioni matematiche non
esprimono pensieri. Nella vita non avremo mai bisogno di una
proposizione matematica; usiamo le proposizioni matematiche solo per
dedurre da proposizioni che non appartengono alla matematica altre che
ugualmente non vi appartengono.
L. Wittgenstein, Tractatus Logico Philosophicus, 1922
Se la matematica è un giuoco, allora giocare un giuoco è matematica; e
allora, perché non lo è anche il danzare?
L. Wittgenstein, Osservazioni sopra I fondamenti della matematica
Tutta la matematica è tautologica
L. Wittgenstein
Sui matematici
Ogni generazione ha i suoi, pochi, grandi matematici e la matematica
nemmeno nota l’assenza degli altri. Essi sono utili come insegnanti, e la
loro ricerca non infastidisce nessuno, ma è di nessuna importanza. Un
matematico o è grande o è nessuno.
A. Adler
Per Talete la domanda fondamentale non
conoscere", ma "Come dobbiamo conoscere?"
era
"Cosa
dobbiamo
Aristotele
Un matematico è una persona che riesce a trovare analogie tra teoremi;
un matematico migliore è uno che riesce a vedere analogie fra
dimostrazioni e il matematico migliore coglie analogie fra le teorie. Si
può perciò immaginare che il massimo fra i matematici è quello che
riesce a cogliere analogie fra le analogie.
S. Banach
Guidati solo dal loro sentimento per la simmetria, la semplicità, la
generalità e un indefinibile senso di perfezione per le cose, i matematici
creativi, ora come nel passato, sono ispirati dall'arte della matematica,
piuttosto che da qualsiasi prospettiva di utilità pratica.
E. T. Bell
... non vi è filosofia che non sia fondata sulla conoscenza dei fenomeni,
ma per ottenere qualche profitto da questa conoscenza è assolutamente
necessario essere un matematico.
D. Bernoulli
Chi conosce distintamente la somma e il resto delle venti operazioni e
gli otto processi inclusa la misurazione con le ombre è un matematico.
Brahmagupta (598 d. C.)
Una persona che riesce, nel tempo di un anno, a risolvere l'equazione
x2 - y2 = 1 è un matematico.
Brahmagupta (900 d. C.)
Un matematico è un cieco in una stanza buia alla ricerca di un gatto
nero che non è lì.
C. R. Darwin
Dato che tutti sono entrati in contatto con la matematica attraverso i
calcoli della scuola elementare, l'idea più diffusa è che un matematico
sia una persona particolarmente versata in questi calcoli. Oggi, con
l'avvento dei calcolatori e dei loro linguaggi si tenderà a credere che il
matematico sia un individuo molto abile a "programmarli" e che dedichi
a questa attività tutto il suo tempo. Gli ingegneri, sempre alla ricerca di
valori ottimali per le loro grandezze, vedono nei matematici i depositari
di un tesoro di formule, da fornire loro a richiesta. Ma di tutte le opinioni
correnti la più fallace è quella secondo la quale la maggior parte dei
nostri contemporanei, sommersi dai progressi relativi a tutte le altre
scienze che i mass media descrivono fino alla nausea è convinta che
nella matematica non vi sia più nulla di nuovo da scoprire, e che il
matematico si limiti a insegnare quanto ha ereditato dai secoli passati.
Un matematico è una macchina che tramuta caffè in teoremi
P. Erdos
Un matematico, come un pittore o un poeta, è un creatore di schemi. Se
i suoi schemi durano più dei loro, è perché sono fatti di idee.
G. Hardy, Apologia di un matematico
E' impossibile essere un matematico senza essere un poeta nell'animo
S. Kovalevskaya
La matematica è una professione
proporzione di noi diventa matto.
pericolosa,
una
ragguardevole
J. Littlewood
Matematici si nasce, non si diventa.
H. Poincarè
I matematici non studiano gli oggetti, ma le relazioni fra oggetti. Così
sono liberi di sostituire questi oggetti con altri purché le relazioni non
varino. Il contenuto è. per essi, irrilevante, ciò che conta è la forma.
H. Poincarè
Un matematico che sa solo generalizzare è come una scimmia che sa
solo salire sugli alberi, un matematico che sa solo specializzare è come
una scimmia che sa solo scendere dagli alberi. Nessuna delle due
scimmie è una creatura vitale. Una vera scimmia deve trovare cibo e
scappare dai nemici, perciò deve incessantemente salire e scendere
alberi. Un vero matematico deve essere capace di generalizzare e
specializzare.
G. Polya
(Sull’interesse dei matematici verso la politica) In verità ho osservato le
stesse disposizioni tra la maggior parte dei matematici che ho
conosciuto in Europa, sebbene non sia mai riuscito a scoprire la minima
analogia tra le due scienze; a meno che questa gente non pensi che,
come il cerchio più piccolo ha tanti gradi quanti ne ha il più grande, così
la direzione e il governo del mondo non richiedano maggiore abilità di
quella necessaria per maneggiare e far rotolare una pallina, ma credo
piuttosto che questo derivi dalla solita debolezza umana, la quale ci
induce sempre a occuparci presuntuosamente di tutto ciò che non ci
riguarda e a cui siamo meno adatti per indole e per studio
Swift, I viaggi di Gulliver
C'era più immaginazione nella testa di Archimede che in quella di Omero.
Voltaire
La logica è l’igiene con cui il matematico mantiene le sue idee in salute
e robuste.
Hermann Weyl
Sulla mistica
(Sul numero 3) I tre doni dei magi, il triplice rifiuto di San Pietro, i tre
giorni fra la crocifissione e la resurrezione e le tre apparizioni di Cristo
risorto ai discepoli
Bell, The magic of numbers
(relativamente ai pitagorici e al misticismo dei loro numeri) Siamo in un
mondo di sogno in cui ogni cosa che vogliamo provare può essere
provata, per la semplice ragione che ogni ostacolo alla stretta deduzione
può essere abolito introducendo come un nuovo postulato la non
esistenza dell’ostacolo.
Contrariamente al senso comune, i matematici non furono i primi, bensì
gli ultimi a prendere i numeri sul serio, forse troppo sul serio. Dietro ogni
matematico nell’alba del pensiero numerico c’era uno scienziato e dietro
ogni scienziato un prete. Lo scienziato poteva essere solo un astrologo
primitivo che leggeva nel movimento dei pianeti più di ciò che un
astronomo avrebbe visto. Tuttavia era uno scienziato poiché cercava di
ridurre le sue crude osservazioni della natura a un sistema razionale. Al
prete che guardava sopra le spalle dello scienziato, l’irreprensibile
prolificità dei numeri ripeteva una storia familiare. Egli e il suo genere
sapevano da secoli che la più potente delle magie risiedeva nei numeri
Il numero uno si riferisce al Dio, unico, il due ai Testamenti, il tre alla
Trinità, il quattro ai Vangeli, il cinque al Pentateuco, il sei al giorno in cui
Dio creò l’uomo a propria immagine e somiglianza, il sette al settemplice
Spirito Santo.
Aurelio Cassiodoro Institutiones divinarum et saecularium lectionum,
citato in Stahl, La scienza dei Romani
«In effetti è vero, come dice Gomperz, che i primi passi sulla via
dell’indagine scientifica […] non furono mai compiuti in mancanza di una
casta organizzata di sacerdoti e discepoli che ne assicurassero la
necessaria industria, con l’ugualmente indispensabile continuità della
tradizione. Solo che in tal modo i primi passi furono anche gli ultimi,
poiché le dottrine scientifiche così trattate, tendono, identificandosi con
le prescrizioni religiose, a diventare troppo facilmente dei puri dogmi
privi di vita.»
T. Heath, The history of Greek mathematics
[Nell’antico Egitto] I sacerdoti monopolizzavano l’intero insegnamento,
inclusa la matematica, per asservirlo ai loro fini. La conoscenza dava
loro il potere e, limitando la conoscenza, essi riducevano la probabilità
che qualcuno potesse sfidare la loro posizione
M. Klein, La matematica nella cultura occidentale
(Sui numeri amici) Persone che si occupano di magia assicurano che
questi numeri hanno una particolare influenza nello stabilire unione ed
amicizia fra due individui. [...] Essi stabiliscano un legame così forte fra
due persone che esse non possono essere più separate. L’autore di
Ghaïa e di altri capolavori in quest’arte [la magia] dichiarano che ciò è
stato confermato dalla loro esperienza personale.
Ore, The theory of numbers and its history
Per la prole divina il periodo fecondo è racchiuso da un numero perfetto,
per quella umana dal primo numero in cui le elevazioni al quadrato e al
cubo, comprendenti tre intervalli e quattro termini costituiti da fattori
uguali e disuguali, crescenti e decrescenti, rendono tutte le cose tra loro
commensurabili e razionali. La loro base epitrita, accoppiata al numero
cinque ed elevata al cubo, genera due armonie, l'una rappresentata da
un numero moltiplicato per se stesso, cento volte cento, l'altra
composta di fattori in parte usuali e in parte disuguali, ossia da cento
diagonali razionali di cinque diminuite ciascuna di una unità, o
altrettante irrazionali diminuite di due unità, e da cento cubi di tre.
Platone, La Repubblica
Pitagora diceva che la natura del numero è la decade; infatti tutti, greci
e barbari, contano fino a dieci, e qui giunti, di nuovo tornano all' uno. Del
dieci a sua volta, egli afferma, la potenza sta nel quattro e nella tetrade;
e la ragione è questa: se, cominciando dall'unità, si sommano i numeri
sino al quattro, si ottiene il numero dieci; se si sorpassa il quattro, si
sorpasserà anche il dieci. In altri termini, uno, più due, più tre, più
quattro, fa dieci. Pertanto, l'essenza del numero secondo unità, sta nel
dieci; secondo potenza, nel quattro. Per questa ragione i Pitagorici
anche
giuravano
nella
tetrade,
ritenendolo
il
più
solenne
giuramento. "No, per colui che alla nostra testa affidò la tetractis, fonte
e radice della sempre fluente natura“ E la nostra anima, dice, è formata
dalla tetrade, cioè: mente, conoscenza, opinione, senso; donde proviene
ogni arte e scienza, e per la quale essi stessi sono forniti di ragione.
Plutarco
Tutti gli esegeti medioevali della Bibbia sottolineano che, nella Genesi,
la frase “e vide che ciò era buono” manca nel secondo giorno. Così
credettero che gli spiriti maligni e gli spiriti che molestano i viaggiatori
fossero sotto il regno del 2.
A. Schimmel, The mistery of numbers
Si vede adonque che il ponto ha similitudine con tutte le cose: isso ha
gran similitudine con Iddio: & per questa causa li Sapienti hanno
attribuito questo nome ponto a esso Iddio, come nelli suoi settanta duoi
nomi manifestamente appare
N. Tartaglia, Euclide megarense philosopho solo introduttore delle
scientie mathematice
Sulle Applicazioni matematiche alle Scienze
È logico che, essendo state scoperte numerose arti, le une dirette alle
necessità della vita e le altre al benessere, si siano sempre giudicati più
sapienti gli scopritori di queste che non gli scopritori di quelle, per la
ragione che le loro conoscenze non erano rivolte all’utile. Di qui, quando
già si erano costituite tutte le arti di questo tipo, si passò alla scoperta
di quelle scienze che non sono dirette né al piacere né alle necessità
della vita, e ciò avvenne dapprima in quei luoghi in cui gli uomini
dapprima furono liberi da occupazioni pratiche. Per questo le arti
matematiche si costituirono per la prima volta in Egitto: infatti là era
concessa questa libertà alla casta dei sacerdoti.
Aristotele, Metafisica
Gli errori ottenuti usando dati inadeguati sono inferiori a quelli ottenuti
senza dati.
C. Babbage
Et harum scientarum porta et clavis est Mathematica.
La matematica è la porta e la chiave delle scienze
R. Bacone, Opus Majus
Trascurare la matematica è un'offesa al sapere, poiché chi la ignora non
può conoscere le altre scienze o le cose del mondo.
... la matematica è assolutamente necessaria e utile alle altre scienze.
Le cose del mondo non possono essere conosciute senza la matematica
R. Bacone
La probabilità deve essere considerata analogamente alla misurazione
delle grandezze fisiche, cioè, non possiamo mai conoscerle esattamente
ma solo con una certa approssimazione.
E. Borel, Probabilità e nascite
La probabilità è fondata su un sapere parziale. Una perfetta conoscenza
delle circostanze che riguardano l'accadere di un evento cambierebbe
l'attesa in certezza e non lascerebbe spazio alla teoria della probabilità.
G. Boole, An Investigation of the Law of Thought
Se Dio ha creato il mondo come un meccanismo perfetto, ha almeno
concesso al nostro imperfetto intelletto di poterne predire piccole parti,
senza dover risolvere innumerevoli equazioni differenziali, ma lanciando
dadi regolari.
M. Born
È dunque attraverso lo studio delle matematiche, e solo mediante esse,
che ci si può fare un’idea giusta ed approfondita di ciò che è una
scienza.
A. Comte
Al geometra puro il raggio di curvatura è una caratteristica incidentale –
come il ghigno del gatto del Cheshire. Per il fisico è invece una
caratteristica indispensabile. Potremmo anche dire che per il fisico è il
gatto a essere puramente incidentale per il ghigno. La fisica riguarda le
interrelazioni, come quelle fra gatti e ghigni. In questo caso il "gatto
senza ghigno" e il "ghigno senza gatto" sono ugualmente considerate
delle fantasie matematiche.
S. A. Eddington, The Expanding Universe
Finché le leggi della matematica si riferiscono alla realtà non sono certe
e finché sono certe non si riferiscono alla realtà.
A. Einstein
Da quando i matematici hanno invaso la teoria della relatività, non ho più
capito me stesso.
A. Einstein
C'è un altro motivo per l'alta reputazione della matematica; è la
matematica che offre alle scienze naturali un certo grado di sicurezza
che, senza la matematica, non potrebbero avere.
A.Einstein
Com’è possibile che la matematica, essendo dopotutto un prodotto del
pensiero umano indipendente dall’esperienza, si adatti in modo così
ammirevole agli oggetti della realtà?
A. Einstein
La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci
sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere
se prima non s'impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri, ne'
quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son
triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è
impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi
vanamente per un oscuro laberinto.
Galileo, Il Saggiatore
Sto arrivando alla conclusione che la necessità della nostra geometria
non può dimostrarsi ... la geometria dovrebbe essere trattata non con
l'aritmetica, che è puramente aprioristica, ma con la meccanica.
K.F. Gauss, 1817
Anche gli astronomi non dovranno esercitare più a lungo la pazienza
richiesta dal calcolo. Ciò li ha sempre distratti [...] dal lavoro sulle
ipotesi, e dalle discussioni sulle osservazioni fra di loro. Non è del resto
degno di uomini eccellenti perdere ore come schiavi in calcoli, che
potrebbero essere risparmiate usando le macchine.
G.W. Leibniz, Sulla sua macchina calcolatrice
Nessuna humana investigazione si puo dimandare vera scienzia s'essa
non passa per le matematiche dimostrazioni.
Leonardo, Trattato di pittura
Non vi è alcun ramo della matematica, per quanto astratto sia, che non
possa, qualche giorno, essere applicato ai fenomeni reali del mondo.
N. Lobacevskij
Tutte le scienze matematiche sono fondate su relazioni fra leggi fisiche
e leggi dei numeri, così che lo scopo della scienza esatta è di ridurre i
problemi della natura alla determinazione di quantità mediante
operazioni con numeri.
Maxwell, On Faraday's Lines of Force (1856)
La descrizione delle rette e dei cerchi, su cui si fonda la geometria,
appartiene alla meccanica. La geometria non insegna a tracciare queste
linee, ma richiede che lo siano.
I. Newton, 1687
Questa macchina facilita il lavoro ed elimina tutto ciò che non è
necessario. Il più ignorante trova tanti vantaggi quanto il più capace. [...]
Allo stesso modo si sa che operando con la penna si è obbligati a
mantenere o a prendere in prestito i numeri necessari, e che gli errori
sfuggono, in queste conservazioni e prese in prestito, nonostante la
lunga pratica, e a dispetto di una profonda attenzione che spesso
affatica la mente. Questa macchina libera l'operatore da questa
vessazione; basta che egli abbia giudizio; è sollevato dalla caduta di
memoria; e senza alcun mantenimento o presa in prestito, fa da sé ciò
che vuole, senza alcun pensiero da parte sua.
B. Pascal, Sulla sua macchina calcolatrice
Una nuova verità scientifica non trionfa perché riesce a convincere i
suoi oppositori facendo vedere loro la luce, ma piuttosto perché gli
oppositori alla fine muoiono e una nuova generazione cresce essendo
familiare con essa.
Max Planck
Cos'è il caso? Gli antichi distinguevano fra fenomeni che sembravano
obbedire a leggi armoniche, stabilite una volta per tutte, e quelle che
attribuivano al caso; queste erano quelle impredicibili perché ribelli a
ogni legge. In ogni dominio le leggi precise non decidono ogni cosa, solo
forniscono limiti all'interno dei quali il caso può agire. In questa
concezione la parola caso ha un significato preciso e oggettivo; ciò che
è caso per uno lo è anche per un altro e perfino per gli dei.
H. Poincaré, Chance
Maggiori sono i progressi della fisica, più tendiamo a entrare nel dominio
della matematica, che è una specie di centro verso cui tutto converge.
Possiamo perfino giudicare il grado di perfezioni a cui è giunta una
scienza dalla facilità con cui essa può essere sottoposta a calcoli.
Quetelet
Non vi è errore più comune di credere che, poiché abbiamo effettuato
prolungati e accurati calcoli matematici, l'applicazione dei risultati
ottenuti a qualche fatto naturale sia assolutamente certa.
A. N. Whitehead

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