Progetto di strutture in cemento armato precompresso
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Progetto di strutture in cemento armato precompresso
Napoli, 02 marzo 2006 Napoli Nuova normativa sismica Progetto di strutture in cemento armato precompresso Ing. Gennaro Magliulo Dipartimento di Analisi e Progettazione Strutturale Università degli Studi di Napoli Federico II 1 PREMESSA La presente relazione si riferisce al calcolo degli elementi strutturali di un edificio monopiano prefabbricato. In particolare si farà riferimento al calcolo del tegolo. La struttura in oggetto sarà progettata oltre che per i carichi permanenti e variabili funzione della destinazione d’uso, anche per le azioni dovute al sisma, al vento e alla neve supponendo che ci si trovi in zona sismica 2, in zona 2 per le azioni dovute al vento e in zona 3 per le azioni dovute al carico da neve. Tegolo Trave a sezione variabile Pilastro Visione prospettica dell’edificio monopiano prefabbricato 2 NORMATIVE DI RIFERIMENTO Il suddetto progetto è stato redatto conformemente alle vigenti leggi e le verifiche seguono le prescrizioni delle norme: - Carichi e sovraccarichi: • Decreto Ministeriale LL.PP. 14 settembre 2005: “Norme tecniche per le costruzioni”; • Decreto Ministeriale LL.PP. 16 gennaio 1996: “Norme tecniche relative ai “Criteri per la verifica di sicurezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi”; • Circolare Ministeriale LL.PP. 4 luglio 1996 n. 156 AA.GG/STC: “Istruzioni per l’applicazione delle “Norme tecniche relative ai criteri generali per la verifica di sicurezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi” di cui al D.M. 16 gennaio 1996. - Cemento armato normale e precompresso: • Decreto Ministeriale LL.PP. 14 settembre 2005: “Norme tecniche per le costruzioni” • Decreto Ministeriale LL.PP. 9 gennaio 1996: “Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione ed il collaudo delle opere in cemento armato normale e precompresso e per le strutture metalliche”. - Costruzioni in zona sismica: • Ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri n. 3274 del 20 marzo 2003 e successive modifiche ed integrazioni: “Norme tecniche per il progetto, la valutazione e l’adeguamento sismico degli edifici”; • Circolare Ministeriale LL.PP. 10/04/1997, n. 65: “Istruzioni per l’applicazione delle “Norme tecniche per le costruzioni in zone sismiche” di cui al D.M. 16/01/1996; • CNR - UNI 10025/98 10 dicembre 1998: “Istruzioni per il progetto, l’esecuzione ed il collaudo delle strutture prefabbricate in calcestruzzo”. 3 Pianta e prospetto del capannone 4 PROGETTO DEL TEGOLO IN C.A.P. La copertura dell’edificio industriale sarà realizzata impiegando tegoli binervati precompressi (tipo TT) realizzati dalla PRE. MER s.r.l.. Al di sopra di essi verrà gettata in opera una soletta collaborante in calcestruzzo di 5 cm, opportunamente armata con rete elettrosaldata. I pannelli vengono posti in opera accostati tra loro in condizione vincolare di libero appoggio e rivestiti con manto impermeabile previa interposizione dello strato coibente . Visione prospettica della copertura Si osserva che i prefabbricatori tendono a non mettere il getto al di sopra dell’impalcato. La monolicità dell’impalcato è infatti garantita dalla presenza di piastrine ad L affondate in testa ed in coda a ciascun tegolo in corrispondenza dei piedi e poi attraverso la saldature di queste piastrine tra loro. Il collegamento orizzontale dei tegoli è invece assicurato dagli spinotti nei piedini dei tegoli che vincolano lo stesso alla trave a sezione variabile; poi visto che questo collegamento è realizzato per tutti i piedini si ha la monolicità orizzontale dell’impalcato (asserzione discutibile). Ciò è consentito anche dall’OPCM 3274 al paragrafo 5.7.1 salvo però controllare il livello di monoliticità in termini di resistenza, rigidezza e duttilità. 5 Definito il tipo di copertura bisogna determinare il numero di tegoli da disporre. L’edificio in esame è costituito da due campate di lunghezza L1=L2=18 m e con copertura a falde con pendenza circa pari al 10%. Le altre dimensioni sono: L3=14 m, L4=6 m, L5=3 m e K=5 Si considera per semplicità che lo spazio che dovrà essere coperto dai tegoli accostati sia proprio pari a 18 m e che quindi il solaio sia piano dato che l’inclinazione delle falde è ridotta. Si noti inoltre che i moduli precompressi copriranno una luce ridotta rispetto a L1, in quanto bisogna garantire un franco (f) per il posizionamento della trave di gronda e per l’appoggio trave pilastro alle estremità. Si disporranno pertanto per ciascuna campata, 8 tegoli della larghezza pari a 2,20 m. Pertanto: Pianta e prospetto del capannone ⎧L1 = 18 m ⎪ ⎨L tegolo = 2 ,20 m ⇒ ⎪ ⎩ntegoli = 8 f = L1 − n tegoli ⋅ L tegolo = 18 − 8 ⋅ 2 ,20 = 0 ,4 m e la distanza tegolo-asse pilastro sarà di 0,20 cm sia per il pilastro centrale che per quello laterale. 6 Caratteristiche dei materiali Per la realizzazione del tegolo si utilizza un calcestruzzo di classe Rck=55 N/mm2 che nelle definizioni del D.M. 14 settembre 2005 viene indicato come un calcestruzzo di classe di resistenza alta usato per strutture semplicemente armate e/o precompresse (punto 5.1 – Costruzioni di conglomerato cementizio –DM 14/09/05). La soletta superiore sarà costituita da un calcestruzzo Rck=25 N/mm2 e da un acciaio Feb44k. Analisi dei carichi Carico fisso: • • • • Peso proprio soletta (γcls=25 kN/mq; s=0,05 m): Peso isolante Peso massetto alleggerito (γmass=16 kN/mq; s=0,03 m ) Peso impermeabilizzante 1,25 kN/mq 0,01 kN/mq 0,48 kN/mq 0,1 kN/mq G=1,84 kN/mq OSS.: il massetto serve solo per creare una superficie liscia su cui poggiare la guaina (massetto di allettamento) 7 Carico accidentale: • Carico da neve (punto 3.5.2 – Carico da neve –NTC): q s = µ i ⋅ q sk ⋅ C E ⋅ C t dove: Eq. 1 qs è il carico neve sulla copertura; mi è il coefficiente di forma della copertura; qsk il valore caratteristico di riferimento del carico neve al suolo per un periodo di ritorno di 200 anni; CE è il coefficiente di esposizione; Ct è il coefficiente termico. Si ipotizza che il carico agisca in direzione verticale e lo si riferisce alla proiezione orizzontale della superficie della copertura. Il carico neve al suolo qsk dipende dalle condizioni locali di clima e di esposizione, considerata la variabilità delle precipitazioni nevose da zona a zona. Essendo nel nostro caso Zona 2, (provincia di Napoli) e la quota sul livello del mare ? 200 m, si ha qsk=0,75 kN/mq. Per le coperture a più falde si individua le seguenti due combinazioni di carico: caso 1 caso 2 µ1 (α) µ2 (α) µ1 (α) Nel caso in esame, essendo α = 10% ⋅ µ 2 = 0,8 + µ1 (α) µ2 (α) µ2 (α) µ1 (α) 180 = 5 ,7° π α + α2 0 ,8 ⋅ α = 0 ,95 con α = 1 = 5 ,7° 30 ° 2 q s = µ i ⋅ q sk ⋅ C E ⋅ C t = 0 ,95 ⋅ 0 ,75 ⋅1 ⋅1 = 0 ,71 kN / m 2 8 Carico accidentale: • Carico da vento: A vantaggio di sicurezza non si considera l’azione del vento che per tale inclinazione di copertura ( 0 ≤ α ≤ 20° ) è dal basso verso l’alto (punto 3.3.7.1 – Coefficienti di pressione interna ed esterna –NTC). • Sovraccarico accidentale: Per coperture non accessibili si considera un qk=1,00 kN/m2 (punto 6.1.4 – Sovraccarichi variabili -NTC) In definitiva si ha: Carico fisso 1,84 kN/mq Carico accidentale 1,00 kN/mq Carico da neve 0,71 kN/mq 3,55 kN/mq Per la portata di 3,55 kN/mq e per la luce di calcolo assegnata (14 m), dagli abachi forniti dal prefabbricatore della RDB (tegoli TT con soletta aggiuntiva di 5 cm e larghezza della nervatura pari a 15 cm) si deduce l’altezza del tegolo che deve essere pari a 50 cm (si è fatta una media tra i valori forniti per una larghezza pari a 2,50 m (carico utile ≅ 3,0 kN/m2 e trefoli non ricoperti) e per una larghezza pari a 2,0 m (carico utile ≅ 4,0 kN/m2 e trefoli non ricoperti). 9 Caratteristiche geometriche del tegolo I pannelli realizzati in calcestruzzo precompresso a fili aderenti, sono costituiti da due nervature verticali collegate in sommità da una soletta orizzontale spessa 5 cm e larga 220 cm. 5 cm 50 cm 220 cm 15 cm 15 cm i = 125 cm X Le schede tecniche di produzione della PRE.MER. s.r.l. o della RDB ci forniscono valori dettagliati della geometria. Tuttavia per rendere il calcolo delle aree e momenti di inerzia più agevoli si omettono questi raccordi e si considera una sezione più squadrata . L’area del tegolo è: A t = 2,20 ⋅ 0,05 + 2 ⋅ 0,15 ( 0,5-0,05 ) = 0,245 m 2 Il momento statico rispetto all’asse x vale: 0,45 0,05 ⎞ ⎛ S x = 2,20 ⋅ 0,05 ⋅ ⎜ 0,5 − = 0,0826 m 3 ⎟ + 2 ⋅ 0,45 ⋅ 0,15 ⋅ 2 ⎠ 2 ⎝ Il baricentro è: y G = S x 0,0826 = = 0,337 m At 0, 245 Il momento statico rispetto all’asse baricentrico è: Ix G = 2 2 ⎡ 0,45 ⎞ ⎤ 0,45 3 0,05 2,20 ⋅ 0,053 ⎛ ⎞ ⎛ −3 3 + 2,20 ⋅ 0,05 ⎜ 0,5 + 0,15 ⋅ 0,45 ⎜ 0,337 - 0,337 ⎟ + 2 ⎢0,15 ⎟ ⎥ = 6,09 ⋅ 10 m 2 12 2 12 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎦⎥ I moduli di resistenza rispetto al lembo superiore e inferiore del tegolo sono: Ws = I xG 6,09 ⋅ 10-3 = = 0,0374 m 3 h − y G 0,50 − 0,337 Wi = I xG 6,09 ⋅ 10 -3 = = 0,0181 m 3 yG 0,337 10 Caratteristiche geometriche del sistema tegolo-soletta I calcestruzzi per il confezionamento del tegolo e della soletta presentano diverso Rck, pertanto sono diversi i rispettivi moduli di elasticità. Secondo la normativa di riferimento il modulo elastico istantaneo, tangente l’origine, in mancanza di diretta sperimentazione, si assume in sede di progetto pari a (DM 16/1/1996): Ec = 5700 Rck OSS.: Nel DM 14/9/05 il calcolo si effettua come: Ec = 110000R 1/3 cm con Rcm resistenza media Per il calcolo delle caratteristiche del sistema composto bisogna introdurre, quindi, un coefficiente 5700 Rck, sol * di omogeneizzazione pari a: n = 5700 Rck, teg = 0,674 Il baricentro è: y *G = A teg y G + n * l teg s soletta ( h teg + s/2 ) * A teg + n s soletta l teg = 0,245 ⋅ 0,337 + 0,674 ⋅ 2,20 ⋅ 0,05 ( 0,50 + 0,05/2 ) = 0,381 m 0,245 + 0,674 ⋅ 0,05 ⋅ 2,20 Il momento di inerzia rispetto al nuovo baricentro è: I *xG = I xG + A teg ( = 6,09 ⋅ 10 −3 y *G 2 - yG ) + n * l teg s soletta + 0,245 ⋅ (0,381 − 0,337 ) 12 3 + n * l teg s soletta ( h teg - y *G + s solettas /2 ) 2 = 2 2 0,05 ⎞ 2,20 ⋅ 0,05 3 ⎛ + 0,674 + 0,674 ⋅ 2,20 ⋅ 0,05 ⎜ 0,5 − 0,381 + ⎟ = 8, 2 ⎠ 12 ⎝ Il modulo di resistenza della sezione tegolo+soletta sono: tegolo Wsup soletta Wsup = = I *xG h teg − y *G = I *xG h teg + s soletta − y *G 8,12 ⋅ 10 -3 = 0,0681 m 3 0,50 − 0,381 = 8,12 ⋅ 10 -3 = 0,0480 m 3 0,50 + 0,05 − 0,381 tegolo Winf = I *xG y *G = 8,12 ⋅ 10 -3 = 0,0213 m 3 0,381 11 Calcolo dei carichi a metro lineare e dei momenti flettenti Per il calcolo delle sollecitazioni si fa riferimento all’esercizio e alla condizione di carico rara, anche considerando quanto suggerito nel punto 4.3.4. del DM 09/01/1996: “il calcolo delle tensioni va effettuato considerando le combinazioni più sfavorevoli della precompressione, nei suoi diversi stadi, e delle diverse condizioni di carico corrispondenti alle successive fasi di costruzione e di esercizio per combinazioni rare”. Successivamente si dovrà naturalmente verificare il tegolo anche per l’altra condizione di esercizio di carico quasi permanente (OSS. Si dovrebbe anche verificare per la condizione di carico frequente ma il DM 14/09/2005 nelle tabelle 5.1-XI e XII non fornisce i valori dei coefficienti per permettere la determinazione delle tensioni limite nel cls a trazione a compressione) e allo stato limite ultimo. Pertanto in esercizio e per combinazioni di carico rara (punto 5.1.2.2.2 del DM 14/09/2005, considerato anche il punto 2.7.2 sempre del DM 14/09/2005): ( ) Fd = ∑ γGj ⋅ γEGj ⋅ Gkj + γQ1 ⋅ γEQ1 ⋅ Qk1 + ∑(ψ0i ⋅ γQi ⋅ γEQi ⋅ Qki ) + ∑(γPh ⋅ γEPh ⋅ Pkh ) m j=1 essendo: n l i=2 h=1 Gkj il valore caratteristico delle azioni permanenti (peso proprio, etc); Pkh il valore caratteristico della h-esima deformazione impressa (effetto della temperatura, viscosità ritiro etc); Qk1 il valore caratteristico dell’azione variabile di base di ogni combinazione; Qki il valore caratteristico della i-esima azione variabile; γG =1,0 (0,9 se il suo contributo aumenta la sicurezza); γ P =1,0 (0,9 se il suo contributo aumenta la sicurezza); γ Q =1,0 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza); γ EG , γ EQ e γ EP sono i coefficienti di modello delle azioni tutti pari a 1, a meno dei γ EQ che possono essere definiti nelle norme relative alle diverse azioni variabili Ψoi =coefficienti di combinazione pari a 0,6 per la neve; 12 Calcolo dei carichi a metro lineare e dei momenti flettenti Nel caso in esame la eq. diviene: Fd = G k + Pk + Ψ0 Q sovraccarico + Ψ0 Q neve in quanto i carichi accidentali sono il sovraccarico e la neve; infatti la normativa consente di trascurare l’azione verticale del sisma su elementi secondari quali i tegoli di copertura (punto 4.6 dell’OPCM 3274). Questa scelta è opinabile e va chiarita meglio. OSS: Dalla tabella 5.1-III del DM 14/9/2005 si ricava che Ψ0 è pari a 0,6 per la neve e 0,7 per il sovraccarico accidentale (carichi variabili nei fabbricati per abitazione ed uffici) Pertanto i carichi distribuiti per metro lineare di trave, risultano essere: fase di tiro q tegolo = γ cls ⋅ Ategolo = 25⋅ 0,245 = 6,13 kN/ m qsoletta = γ cls ⋅ Asoletta = 25⋅ 0,05⋅ 2,20 = 2,75 kN/ m qisolante = γisolante⋅ ltegolo = 0,01⋅ 2,20 = 0,022 kN/ m fase di esercizio qmassetto = γcls,magro⋅ Amassetto = 16⋅ 0,03⋅ 2,20 = 1,06 kN/ m q imperm. = γ imp. ⋅ l tegolo = 0,1⋅ 2,20 = 0,22 kN/ m q neve = Ψ0 ⋅ q s ⋅ l tegolo = 0,6 ⋅ 0,71⋅ 2,20 = 0,94 kN/ m q sovraccarico = Ψ0 ⋅ q s ⋅ l tegolo = 0,7 ⋅1,0 ⋅ 2,20 = 1,54 kN/ m q permanente = q isolante + q massetto + q imperm. = 1,30 kN/m q accidentale = q neve + q sovraccarico = 2,50 kN/m q totale = q tiro + q esercizio = 12,7 kN/m 13 Calcolo dei momenti flettenti Quindi si calcolano i momenti in mezzeria considerando il tegolo appoggiato-appoggiato: • Fase di tiro: M min = • 8 = 6,13 ⋅ 14 2 = 150 kNm 8 Fase di esercizio: M soletta = M permanente = q soletta ⋅ L23 2,75 ⋅ 14 2 = = 67,4 kNm 8 8 (q isolante + q massetto + q imperm ) ⋅ L23 8 M variabile = M max = q tegolo ⋅ L23 = (0,022 + 1,06 + 0, 22 ) ⋅ 14 2 = 31,9 kNm 8 q accident ⋅ L23 2,50 ⋅ 14 2 = = 61,3 kNm 8 8 q totale ⋅ L23 12,7 ⋅14 2 = = 310 kNm 8 8 14 Calcolo degli sforzi di precompressione (limiti tensionali) Il calcolo dello sforzo N viene fatto imponendo il rispetto dei limiti dello stato tensionale di trazione e di compressione all’interno della trave. Si valuterà sia la condizione di tiro che di esercizio. Lo sforzo normale di precompressione sarà il valore più restrittivo tra i due. In accordo al D.M. del 14/09/2005 (punto 5.1.8.1.8) “all’atto della precompressione (al tiro) le tensioni di compressione non debbono superare il valore: R ckj γ m ,c ⋅ γ Rd dove γmc=1,7 è il coefficiente parziale di sicurezza sul materiale, γRd=1,0 è il coefficiente di modello ed Rckj è la resistenza cilindrica caratteristica a compressione del conglomerato cementizio all’atto dell’applicazione della precompressione. Sono ammesse tensioni di trazione fino a 0,10·Rckj fermo restando l’obbligo di disporre armature metalliche che assorbono l’intera risultante delle trazioni. Nelle travi ad armature pretese sono ammesse tensioni di trazione iniziali pari a 0,05·Rckj, senza aggiunta di armatura sussidiaria, purché l’armatura pre-tesa sia ben diffusa nella zona soggetta a trazione. Per spessori minori di 50 mm le tensioni normali iniziali sono ridotte del coefficiente γRd=1,4”. La Rckj, come detto, è la resistenza cilindrica a j giorni di stagionatura. Siccome però il prefabbricatore opera in modo da raggiungere il valore pieno della Rck prima dei 28 gg (attraverso stagionature precoci a vapore, etc) possiamo considerare Rckj=Rck⋅0,83=46 N/mm2. 15 Calcolo degli sforzi di precompressione La condizione peggiore per il tegolo al tiro è sugli appoggi dove non sussiste l’alleggerimento del momento dovuto al peso proprio, il progetto consiste nella determinazione dell’area di trefoli capace di sviluppare uno sforzo di precompressione tale da soddisfare le seguenti relazioni: e β⋅N β⋅N⋅ o = − ≥ c ,sup A sup σ o W σ N (σ ) ≤ ⎛ β⋅ ⎜ e ⎜ ⎝W o σ o c , min o c , min c ,sup o − sup σ o c , inf e β⋅N β⋅N⋅ o = + ≤ A inf W σ N (σ ) ≤ ⎛ β⋅ ⎜ e ⎜ ⎝W 2280 = 1662 kN ⎛ 1,3 ⋅ 0,192 1,3 ⎞ − ⎟ ⎜⎜ 0,245 ⎟⎠ ⎝ 0,0374 o σ o c , max o c , min c ,sup o sup dove: β ⎞⎟ A⎟ ⎠ = − β ⎞⎟ A⎟ ⎠ = 2280 = 1662 kN 1,3 ⎞ ⎛ 1,3 ⋅ 0,192 − ⎜⎜ ⎟ 0,245 ⎟⎠ ⎝ 0,0374 σ = 0,05 ⋅ R ckj = 0,05 ⋅ 55 ⋅ 0,83 = 2, 28 N / mm 2 = 2280 kN / m 2 ; (limite di trazione) σ = o c , min o c , max R ckj γ m ,c ⋅ γ Rd = 55 ⋅ 0,83 = 26,9 N / mm 2 = 26900 kN / m 2 ; (limite di compressione) 1,7 ⋅ 1,0 β=1,30 (suggerito dall’esperienza) è un coefficiente che tiene conto della caduta di tensione elastica all’atto del tiro; e0 è la distanza tra il baricentro geometrico della sezione tegolo e il baricentro dei cavi di precompressione. e0=yg-0,145=0,337-0,145=0,192 m; A è l’area della sezione del tegolo; Wsup è il modulo di resistenza della sezione del solo tegolo riferito alla fibra superiore; Winf è il modulo di resistenza della sezione del solo tegolo riferito alla fibra inferiore. Tra i due risultati ottenuti scegliamo il più limitativo, cioè il minore valore di N, fornito dalla prima ( ) relazione: N σc ,sup ≤ 1402 kN o 16 Limiti tensionali in esercizio Le massime tensioni normali, σc, di compressione nel conglomerato, nelle condizioni di esercizio a cadute avvenute, devono rispettare la seguente limitazione: σ c ≤ R ck γ m ,c ⋅ γ Ec dove: γmc è il coefficiente parziale di sicurezza sul materiale, da assumersi in accordo a quanto riportato nella Tabella 5.1-XI e γEc è il coefficiente di modello, da assumersi in accordo a quanto riportato nella stessa tabella. Per condizioni ambientali ordinarie e combinazione di carico rara γmc=1,5 e γEc=1,4. Le massime tensioni normali, σc, di trazione nel conglomerato, nelle condizioni di esercizio, devono rispettare la seguente limitazione: σ c ≤ f ctk γ m ,c con γmc=3,2 per condizione ambientali ordinarie e condizioni di carico rara per travi ad armatura pre-tesa, senza aggiunta di armatura sussidiaria, purché l’armatura pre–tesa sia ben diffusa nelle zone soggette a trazione. 17 Verifiche in esercizio In esercizio, la sezione più sollecitata è quella di mezzeria, σ c ,sup = σ c , inf = N A tegolo N A tegolo − + N⋅e W sup N⋅e W + inf − M W min M W + sup min − inf M W soletta M W + M W sup soletta − carichi perm .+ var iabili T M inf sup carichi perm .+ var iabili T W ≤ σ c , max ≥ σ c ,min inf dove: 3 2 ⎞⎞ f ctk , flessione = 1,2 ⋅ (0,7 ⋅ f ctm ) = 1,2 ⋅ ⎛⎜ 0,7⎛⎜ 0,27 ⋅ 3 R ck ⎟ ⎟ = 1,2 ⋅ 0,7⎛⎜ 0,27 ⋅ 552 ⎞⎟ = 3,28 N / mm 2 (D.M. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 09/01/1996 punto 2.1.2) ( ( f ctk ,flessione = 1,2 ⋅ (0,7 ⋅ f ctm ) = 1,2 ⋅ 0,7 0,48 ⋅ R ck Con: )) (D.M. 14/09/2005 punto 11.1.10.2) σ c ,min = f ctk 3, 28 = = 1,024 N / mm 2 = 1020 kN / m 2 ; γ m ,c 3, 2 σ c ,max = R ck 55 = = 26, 2 N / mm 2 = 26200 kN / m 2 γ m ,c ⋅ γ Ec 1,5 ⋅ 1,4 W W T sup T inf è il modulo di resistenza della sezione teg+sol riferito alla fibra superiore del tegolo; è il modulo di resistenza della sezione teg+sol riferito alla fibra inferiore del tegolo; Mmin è il momento dovuto al solo peso proprio del tegolo; Msoletta è il momento dovuto al solo peso della soletta; Mcarichi perm.+ variabili è il momento dovuto ai carichi permanenti+i carichi variabili; e=eo=yg-0,145=0,337-0,145=0,192 m in quanto i cavi sono rettilinei e quindi la stessa eccentricità che si ha agli appoggi la si ha anche in mezzeria; 18 Verifiche in esercizio (risultati) N N (σ ) c ,sup (σ ) c ,inf ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ≥⎝ ⎛ ⎜ ⎜⎜ ≥⎝ M W + min sup M W soletta ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ M W min + inf sup e W M W sup + inf e W M W perm .+ var . − soletta ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ + + inf T ⎞ ⎟ 67,4 92,6 ⎛ 150 ⎞ c , max ⎟ ⎟ ⎜⎜ 0,0374 + 0,0374 + 0,0681 − 26200 ⎟⎟ ⎠ = −17998 kN ⎠=⎝ 1 ⎞ ⎛ 0,192 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0,0374 0,245 ⎠ σ sup 1 A soletta M W − ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ c.p.+ var T inf 1 A soletta ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − σ c , min ⎞ ⎟ ⎛ 150 67,4 92,6 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ + + − 1020 ⎟⎟ ⎠ = 1043 kN ⎠ = ⎝ 0,0181 0,0181 0,0213 0 , 192 1 ⎛ ⎞ + ⎜⎜ ⎟⎟ 0 , 0181 0 , 245 ⎝ ⎠ Tra i due risultati ottenuti scegliamo il più limitativo, cioè il maggiore valore di N, fornito dalla seconda relazione: N(σ c ,inf ) ≥ 1043 kN Ricordando anche l’altro limite ritrovato per la fase di tiro, si ha: 1043 kN ≤ N ≤ 1402 kN Naturalmente per venire incontro a necessità di tipo economico, conviene considerare N=1043 kN. 19 Scelta dei trefoli Secondo il D.M. 14/09/2005 le tensioni nei trefoli devono essere limitate ai seguenti (punto 5.1.8.1.10): σ spi ≤ f p( 1)k con γ m , s = 1,12 (al tiro) (a seconda della tipologia di armatura da precompressione γ m, s – fili, trecce e trefoli, barre – diverso è il valore assunto per la tensione di snervamento) σsp ≤ f γ ptk m, s con γ m , s = 1,65 (in esercizio) σspi la massima tensione possibile nell’acciaio all’atto della precompressione e σsp essendo: la massima tensione ammissibile nell’acciaio in esercizio f p( 1)k la tensione caratteristica all’1% di deformazione sotto carico e fptk la tensione caratteristica di rottura. Dai cataloghi forniteci, per trefoli a 7fili f p (1) k ≥ 1670 N / mm 2 = 167 ⋅ 10 4 kN / m 2 f ptk ≥ 1860 N / mm 2 = 186 ⋅ 10 4 kN / m 2 con un rapporto di rendimento pari a f p( 1 ) k f ptk = 167 ⋅ 10 4 = 0,898 186 ⋅ 10 4 Imponendo le limitazioni dettate dalla normativa si ha: σspi ≤ f p(1)k 167 ⋅ 10 4 = = 149 ⋅ 10 4 kN / m 2 1,12 γ m, s σ sp ≤ f γ ptk m, s = 186 ⋅ 10 4 = 113 ⋅ 10 4 kN / m 2 1,65 L’area di trefoli necessaria per conferire uno sforzo di precompressione N0 è: A spi ,min = βN 0 1,3 ⋅ 1043 = = 9,10 cm 2 4 σ spi 149 ⋅ 10 Considerando 10 trefoli da 1/2 pollice con diametro nominale di 93 mm2 si ha: Asp =930 mm2 20 Verifica in combinazioni di carico quasi permanenti Si passa ora a verificare il tegolo anche per l’ altra condizione di carico quasi permanente. Pertanto: Fd = m ∑(γ ) Gj ⋅ γ EGj ⋅ Gkj + ψ21 ⋅ γ Q1 ⋅ γ EQ1 ⋅ Qk1 + j=1 n l i =2 h=1 ∑(ψ2i ⋅ γQi ⋅ γ EQi ⋅ Qki )+ ∑(γ Ph ⋅ γ EPh ⋅ Pkh ) Eq. 1 essendo: Gkj il valore caratteristico delle azioni permanenti della j-esima azione permanente (peso proprio, precompressione, etc); Pkh il valore caratteristico della h-esima deformazione impressa (effetto della temperatura, viscosità ritiro etc); Qk1 il valore caratteristico dell’azione variabile di base di ogni combinazione; Qki il valore caratteristico della i-esima azione variabile; γG =1,0 (0,9 se il suo contributo aumenta la sicurezza); γ P =1,0 (0,9 se il suo contributo aumenta la sicurezza); γ Q =1,0 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza); γ EG , γ EQ e γ EP sono i coefficienti di modello delle azioni tutti pari a 1, a meno dei γ EQ che possono essere definiti nelle norme relative alle diverse azioni variabili Ψ2i =coefficienti di combinazione pari a 0,1 per la neve e 0,3 per i carichi variabili nel caso di abitazioni ed uffici; Nel caso in esame la eq.8 diviene: Fd = G k + Pk + 0,3Q acc + 0,1Q neve 21 Momenti in combinazioni di carico quasi permanenti Pertanto i carichi distribuiti per metro lineare di trave, risultano essere: qtegolo = γ cls ⋅ Ategolo = 25⋅ 0,245 = 6,13 kN/ m fase di tiro qsoletta = γ cls ⋅ Asoletta = 25⋅ 0,05⋅ 2,20 = 2,75 kN/ m qisolante = γisolante⋅ ltegolo = 0,01⋅ 2,20 = 0,022kN/ m qmassetto = γcls,magro⋅ Amassetto= 16⋅ 0,03⋅ 2,20 = 1,06 kN/ m fase di esercizio q imperm. = γ imp. ⋅ l tegolo = 0,1⋅ 2,20 = 0,22 kN/ m q neve = Ψ0 ⋅ q s ⋅ l tegolo = 0,1⋅ 0,71⋅ 2,20 = 0,16 kN/ m qsovraccarico = Ψ0 ⋅ qs ⋅ l tegolo = 0,3⋅1,0 ⋅ 2,20 = 0,66 kN/ m q totale = q tiro + q esercizio = 11,0 kN/m Quindi si calcolano i momenti in mezzeria considerando il tegolo appoggiato-appoggiato: • • q tegolo ⋅ L23 6,13 ⋅ 14 2 = 150 kNm 8 8 ⋅ L2 2,75 ⋅ 14 2 q Fase di esercizio: M soletta = soletta 3 = = 67,4 kNm 8 8 (q isolante + q massetto + q imperm ) ⋅ L23 (0,022 + 1,06 + 0, 22 ) ⋅ 14 2 M permanente = = = 31,9 kNm 8 8 Fase di tiro: M min = M variabile = M max = = (q neve + q acc ) ⋅ L23 q totale ⋅ L23 11 ⋅ 14 2 = = 269,5 kNm 8 8 8 = 0,16 ⋅ 14 2 = 20,1 kNm 8 22 Verifiche in combinazioni di carico quasi permanenti In accordo al D.M. del 14/09/2005 (punto 5.1.8.1.8) al tiro per condizioni di carico quasi permanente valgono le stesse limitazioni viste per la condizione di carico rara. Pertanto è inutile verificare. Le massime tensioni normali, σc, di compressione nel conglomerato, nelle condizioni di esercizio a cadute avvenute (D.M. del 14/09/2005 -punto 5.1.8.1.7), devono rispettare la seguente limitazione: σ c ≤ R ck γ m ,c ⋅ γ Ec dove γmc è il coefficiente parziale di sicurezza sul materiale, da assumersi in accordo a quanto riportato nella Tabella 5.1-XI e γEc è il coefficiente di modello, da assumersi in accordo a quanto riportato nella stessa tabella. Per condizioni ambientali ordinarie e combinazione di carico rara γmc=1,5 e γEc=1,8. Le massime tensioni normali, σc, di trazione nel conglomerato, nelle condizioni di esercizio, devono rispettare la seguente limitazione: σ c ≤ f ctk con γmc che non è dato per condizioni di carico γ m ,c quasi permanente. Quindi si verifica solo il cls in compressione. Pertanto: σ c ,sup = N N⋅e − + A tegolo sup W M W min + sup M W soletta sup + M carichi perm .+ var iabili T W ≤ σ c , max sup Si ricava: N (σ ) c ,sup ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ≥⎝ M W min sup +M W soletta ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ sup e W M + W c.p .+ var − sup T sup 1 A soletta ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − ⎞ ⎟ 67,4 52 ⎛ 150 ⎞ c , max ⎟ ⎟ ⎜⎜ 0,0374 + 0,0374 + 0,0681 − 20400 ⎟⎟ ⎠ = −13057 kN / m ⎠=⎝ 1 ⎞ ⎛ 0,192 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0,0374 0,245 ⎠ σ Questa è una condizione che non incide nella verifica essendo N venuto negativo. 23 Disposizione dei trefoli Secondo il D.M. del 5/9/05 (punto 5.1.8.3.1), nel caso di armatura pre-tesa, nella testata i trefoli devono essere protetti da un ricoprimento di almeno 35 mm. Inoltre facendo rientrare il tegolo nella comune tipologia di travi, al punto 5.1.6.1.3 del DM 5/9/2005 si dice che la superficie della armatura resistente principale deve distare almeno 20 mm dalle facce esterne del conglomerato d' G X Y =14,5 cm cementizio. 15 cm Supponendo di mettere i trefoli ad una distanza intermedia costante e ricordando che il baricentro degli stessi è a 14.5 cm dal bordo inferiore, è possibile scrivere: d'+2 x = 14.5 cm ⇒ x = 14.5 − d ' 14.5 − 4.5 = = 5 cm (d’=4.5 cm in modo da rientrare nei limiti di 2 2 norma) Si osservi che sovente il sistema di ancoraggio dei trefoli è caratterizzato da una griglia con distanza fissa, generalmente 5 cm. 24 Disposizione dei trefoli CALCOLO DELLA ECCENTRICITA' cavo Noi No Yi Moi Mo Yor ---1 2 3 4 5 kN 271 271 271 271 271 kN m 0.045 0.095 0.145 0.195 0.245 kNm 12 26 39 53 66 kNm m 197 0.145 dove: N 0i = 1356 Asi N 0 lo sforzo di precompressione che compete a ciascun livello con A si = 2A tref Asp area dei trefoli in corrispondenza di ciascun livello; Yi la quota di ciascun livello di trefoli; Moi = Noi yi momenti flettenti valutati rispetto il lembo inferiore; Il baricentro delle armature è fornito dalla seguente espressione: y 0R = ∑M ∑N 0i = 0,145 m 0i Esso rappresenta il punto di applicazione della risultante degli sforzi di precompressione. La tensione nei trefoli per singolo livello è: σ spi = N 0i 271 = = 145 ⋅10 4 kN / m 2 < σ spi ,max = 149 ⋅10 4 kN / m 2 A si 0,000186 25 Verifica dei trefoli in fase di tiro Adotteremo un coefficiente di omogeneizzazione pari a: n = Ef Ec = 6 in realtà n = Ef Ec ≅5 Considerando n=6 sovrastimiamo le cadute di tensione; Ac m 2 0.245 n Asi 6 2 m Aci m2 0.00093 0.251 dove: Aci = Ac + n∑i Asi Sx, teg Yi YGi. Ixo YG di Ixoomogg, Yor eoomogg. m3 m 0.045 0.095 0.145 0.195 0.245 m m4 m m4 m m 0.330 6.09E-03 0.337 m 0.285 0.235 0.185 0.135 0.085 6.32E-03 0.145 0.185 0.083 dove: y Gi = Sx + n ∑A i si Yi A ci , con Yi distanza dello i-esimo trefolo dal bordo inferiore ed Sx momento statico del tegolo rispetto all’asse X passante per il bordo inferiore della sezione; Ixo momento di inerzia del solo tegolo; YG posizione del baricentro della sola sezione del tegolo rispetto al lembo inferiore; di distanza del trefolo rispetto al baricentro della sezione omogeneizzata YGi; I x 0,omog = I x 0 + A c (y G − y Gi )2 + n ∑A i 2 si d i momento di inerzia della sezione omogeneizzata rispetto all’asse passante per il proprio baricentro; e 0,omog = y Gi − y 0 R eccentricità dello sforzo di precompressione rispetto al baricentro della sezione omogeneizzata. Verifichiamo quindi la sezione al tiro in corrispondenza dell’appoggio: N 0 N 0e 0 (h − y Gi ) = 1356 − 1356 ⋅ 0,185 (0,50 − 0,330) = −1345 kN / m 2 ≥ σ 0c,min = −2280 − A ci I ci 0,251 6,32 ⋅ 10 −3 N N e 1356 1356 ⋅ 0,185 (0,50 − 0,330) = 12150 kN/m 2 ≤ σ 0c,max = 26900 kN / m σ 0ci = 0 + 0 0 y Gi = + 0,251 6,32 ⋅ 10 −3 A ci I ci σ 0cs = 26 CADUTE DI TENSIONE Un’aliquota della tensione impressa alle armature viene persa a causa delle deformazioni lente del conglomerato e degli stessi acciai utilizzati. Le cadute di tensione sono di due tipi: quelle legate al sistema e alle modalità di precompressione; quelle dipendenti dalle caratteristiche visco-elastiche dei materiali. Più precisamente: a) Perdite di tensione dovute a fenomeni istantanei che tendono a diminuire l’allungamento impresso ai fili; b) Perdite di tensione dovute a fenomeni differiti nel tempo. Le prime sono dovute al fatto che le armature sono tesate prima del getto e la precompressione viene impressa, a maturazione avvenuta, mediante l’aderenza tra acciaio e conglomerato. Ciò comporta che l’accorciamento del calcestruzzo corrisponde un identico accorciamento dell’acciaio e quindi una riduzione della tensione iniziale fornita all’armatura. In realtà tale caduta nell’acciaio consente la sollecitazione del calcestruzzo. Le seconde sono di gran lunga più importanti e insidiose. Esse sono le cadute di tensione per deformazioni lente o fluage nel calcestruzzo e nell’acciaio, dovute ad effetti viscosi (scorrimenti tra i grani del materiale sotto carico) che dipendono dallo stato di sollecitazione nella struttura; le cadute corrispondenti al fenomeno del ritiro (variazioni di volume del calcestruzzo dovute alla presa e all’indurimento), che invece sono pressoché indipendenti dallo stato di sollecitazione. La conseguenza diretta dei fenomeni della viscosità e del ritiro del calcestruzzo sul comportamento nel tempo degli acciai pretesi è quella di ridurre in essi lo stato di deformazione impresso all’atto della messa in tensione e quindi provocare una caduta di tensione. 27 CALCOLO DELLE CADUTE DI TENSIONE ELASTICHE. Il calcolo delle cadute di tensione elastiche nei trefoli si esegue riferendosi alla sezione di mezzeria, poiché ivi si massimizzano. Ci si trova inoltre ancora nella fase di tiro, quando cioè, al disarmo della trave, per effetto del peso proprio del tegolo si produce una deformata elastica ed una relativa curvatura che abbassa il valore della tensione nel trefolo da quello di tesatura iniziale. trefolo Wci σci ∆σfi σspi σ'spi N'oi M'oi Y'0r e'oomogg. n° m3 0.0222 0.0269 0.0342 0.0469 0.0746 kN/m2 9940 9145 8350 7555 6760 kN/m2 59639 54869 50099 45330 40560 kN/m2 1458441 1458441 1458441 1458441 1458441 kN/m2 1398802 1403572 1408342 1413111 1417881 kN 260 261 262 263 264 kNm 11.71 24.80 37.98 51.25 64.61 m m 0.1453 0.1844 1 2 3 4 5 dove: Wci = σci = I ci ; ( yGi − yi ) N0 Ne M + 0 0 − min ; A ci ( Wci ) i ( Wci ) i ∆σ fi = nσ ci ipotizzando una perfetta aderenza tra calcestruzzo e trefoli, ossia che sia soddisfatta la relazione εf = εc σ' spi = σ spi − nσ ci ; N 0i = σ' spi Asi Moi =Noi yi ; y' 0 R = ∑ M0i ∑ N0 i = 0 ,1453 m e' 0 = y Gi − y ' 0 R = 0,1844 m 28 CADUTE DI TENSIONE DA RITIRO (D.M. 14/09/05 – punto 11.1.10.6) La deformazione totale da ritiro si può esprimere come: ε cs = ε cd + ε ca dove: ε cd è la deformazione per ritiro da essiccamento ε ca è la deformazione per ritiro autogeno. Il valore medio a tempo infinito della deformazione per ritiro da essiccamento è: ε cd ,∞ = k h ⋅ ε c 0 dove: ε c 0 è valutato mediante i valori della Tabella 11.1.Va del punto 11.1.10.6 in funzione di f ck = R ck ⋅ 0,83 = 55 ⋅ 0,83 = 45,7 N / mm 2 e dell’umidità relativa pari al 80% (valore medio rilevato a Napoli nel mese di Febbraio) ed è pari a -0,276 (valore interpolato tra fck=40 e fck=60); k h è valutato mediante i valori della Tabella 11.1.Vb del punto 11.1.10.6 in funzione di h0 che è la dimensione fittizia (in mm) pari a: 2A c 2 x (Area della sezione in conglomera to ) 2 ⋅ 245000 = = = 123 m u perimetro della sezione in coglomerat o esposto all' aria 4000 ed è pari a 0,97 (valore interpolato tra h0=100 mm e h0=200 mm). h0 = Pertanto: ε cd ,∞ = k h ⋅ ε c 0 = 0,97 ⋅ (− 0,276 ) = −0,0268 % Il valore medio a tempo infinito della deformazione per ritiro autogeno −6 −6 è: ε ca∞ = −2,5(f ck − 10 ) ⋅ 10 = −2,5(45,7 − 10 ) ⋅ 10 = −0,0089 % In conclusione ε cs = ε cd + ε ca = −0,0268 − 0,0089 = −0,0357 % . La perdita di tensione è valutata nel seguente modo: ∆σ f ,rit = ε cs E f = 3,57 ⋅ 10 −4 ⋅ 201 ⋅ 10 6 = 71757 kN / m 2 29 CADUTE DI TENSIONE PER FLUAGE ( Eurocode 2 punto 3.1.4 ) Il coefficiente di viscosità ϕ (t, t0) è in relazione con il modulo tangente, Ec, che si può assumere pari a 1,05 Ecm. Se non è richiesta una grande accuratezza, il valore che si può ricavare dalla Figura 6 può essere considerato il coefficiente di viscosità, a condizione che il calcestruzzo sia soggetto a una tensione di compressione non superiore a 0,45 fck al tempo t0, età del calcestruzzo al momento dell’applicazione del carico. Nello specifico, siccome la tensione limite di compressione in esercizio (cioè nel momento di messa in carico) è σ c,max f ck R ck 0,83 = = = 0,44 ⋅ f ck , risulta possibile γ m ,c ⋅ γ Ec 1,5 ⋅ 1,8 determinare il valore del coefficiente di viscosità dal grafico sottostante. Il tempo di messa in carico t0 può variare da 10 gg ad 1 anno a seconda delle necessità. Si suppone che t0>100 giorni e quindi si considera la tangente nell’origine del diagramma di sinistra. Pertanto φ(∞, t0)=1,2. A vantaggio di sicurezza si assume φ(∞, t0)=2,0Æ ε cc (∞, t 0 ) = ϕ(∞, t 0 ) σc Ec 0 30 CADUTE DI TENSIONE PER RILASSAMENTO ( D.M. 14/9/05 –punto 11.2.3.4 ) In assenza di dati sperimentali relativi agli acciai considerati, la caduta di tensione per rilassamento a tempo infinito ad una temperatura di 20°C per una tensione iniziale σspi = 0,75 f ptk può assumersi pari a: ∆σ r∞ = 0 ,18σ spi (valore valido per i trefoli e riportato in tabella 11.2.VII), ossia può essere valutata in funzione della tensione iniziale. In tal caso bisogna ammettere che al variare di questa, la caduta vari con legge parabolica. Accettando che per tensioni iniziali inferiori al 50% della tensione caratteristica di rottura fptk, gli effetti dovuti al rilassamento non producono perdite di tensione, si può assumere come legge di variazione la seguente: ∆σr,∞/σspi 0,18 0,50 0,75 ∆σspi/f ptk Dalla legge si evince che ∆σ r∞ può essere valutata a partire da σ spi una volta noto il rapporto ∆σ r∞ K = ovvero σ spi 0,25 2 σ spi f ptk , 2 ⎛ σ spi ⎞ ⎜ − 0,5 ⎟ con k = 0,18; ⎜ f ptk ⎟ ⎝ ⎠ Il valore di k, in realtà, è molto cautelativo in quanto sovrastima le cadute di tensione anche tenuto conto che i trefoli usati sono a basso rilassamento. 31 CADUTE DI TENSIONE PER RILASSAMENTO ( D.M. 14/9/05 –punto 11.2.3.4 ) Avendo a disposizione anche prove a lunga durata possiamo utilizzare la seguente espressione fornita dalle norme: ∆σ r∞ = ∆σ rt + C(∆σ rt − ∆σ r1000 ) (12) essendo: ∆σ r1000 la caduta per rilassamento da catalogo per t = 1000 ore ⇒ 2,0 % ; ∆σ rt la caduta per rilassamento da catalogo per t ≥ 2000 ore ⇒ 2,6 % ( t = 5000 ore) ; C coefficiente tabellato dipendente da t e pari a 3 per t=5000 ore; per cui la (12) fornisce: ∆σ r∞ ∆σ rt + C(∆σ rt − ∆σ r1000 ) = = 0,026 + 3 ⋅ (0,026 − 0,020) = 0,044 = k σ spi σ spi Pertanto è lecito assumere a vantaggio di sicurezza k = 0,05 ed in definitiva si ha: ∆σ r∞ = σspi K 0,25 2 2 ⎛ σspi ⎞ 0,05 ⎜ (0,75 − 0,5)2 = 69750 kN / m 2 − 0,5 ⎟ = 1,395 ⋅ 10 6 2 ⎜ f ptk ⎟ 0,25 ⎝ ⎠ dove σspi = 0,75f ptk in quanto σ spi , tiro f ptk = 0,78 > 0,75 ; 32 Stato tensionale dei trefoli a cadute di tensione avvenute Per tenere conto dell’influenza reciproca tra le cadute di tensione per ritiro e viscosità del conglomerato cementizio, indicate globalmente con la notazione ∆σ ssf e la caduta per rilassamento dell’acciaio ∆σr∞ , si può adottare la seguente espressione (punto 5.1.8.1.5 del DM 14/09/2005): ⎛ ∆σ ∆σ' r∞ = ∆σ r∞ ⎜1 − 2,5 ssf ⎜ σ spi ⎝ dove ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ∆σ' r∞ rappresenta la minore caduta per il rilassamento dell’acciaio. σ spi è la tensione di esercizio nei trefoli; Le tensioni di esercizio nei trefoli sono infine: σ spi = σ' spi − ∆σ rit − ∆σ fl − ∆σ' r∞ ∆σfiEL kN/m 2 59639 54869 50099 45330 40560 ∆σrit kN/m 2 71757 ∆σfiFL kN/m 2 51696 53061 54425 55790 57155 ∆’σril(∞) kN/m 2 54990 54826 54663 54500 54337 ∆σTOT kN/m 2 238081 234513 230945 227377 223809 σsp kN/m2 1220360 1223928 1227496 1231064 1234632 La verifica dello stato tensionale nel trefolo richiede che sia σ sp ≤ f ptk 1,65 = 113 ⋅10 4 kN / m 2 OSS.: la verifica tensionale non risulta essere soddisfatta. Tuttavia tenendo presente che al punto 4.3.4.10 del DM 9/1/96 è detto che negli acciai da pretensione possono ammettersi, per effetto dei sovraccarichi, incrementi dei limiti massimi di tensione pari a 0,06 fptk, possiamo concludere che: σ sp ≤ f ptk 1,65 + 0,06 ⋅ f ptk = 124 ⋅10 4 kN / m 2 33 VERIFICHE IN FASE DI ESERCIZIO La posizione del centro degli sforzi di precompressione è determinata allo stesso modo di come fatto in precedenza, portando però questa volta in conto anche le cadute di tensione. I risultati sono illustrati sinteticamente nella tabella che segue: σsp Ni Mi N M Yr eomog. No/N kN/m2 kN kNm kN kNm m m % 1220360 1223928 1227496 1231064 1234632 227.0 227.7 228.3 229.0 229.6 10.21 21.63 33.11 44.65 56.26 1142 166 0.145 0.184 1.19 Dove: ; M i = N i Yi con Yi distanza della i-esima linea dei trefoli dal bordo inferiore; N i = A si σ spi M = Σ i M i e N = Σ i N i ; Yr = M e = y Gi − YR N omog OSS.: il rapporto N/N0=1,19 ci dice che le cadute di tensione ipotizzate (β=1,3) risultano minori di quelle effettive. Per le verifiche in esercizio distinguiamo tra le due condizioni di carico rara e condizione di carico quasi permanente. In ogni caso le tensioni normali di esercizio, al lembo superiore e inferiore sono calcolate come: M perm + M var M sol M min N Ne omog σ cs = − omog + omog + omog + A ci Ws, teg Ws, teg Ws, teg Wsomog , teg +sol σ ci = M perm + M var M sol M min N Ne omog + omog − omog − omog − A ci Wi, teg Wi , teg Wi, teg Wiomog , teg +sol dove: N è lo sforzo normale in esercizio (cioè considerate anche le cadute di tensione); Aci è l’area della sezione omogeneizzata costituita dal tegolo e dai trefoli; eomog è l’eccentricità dello sforzo di precompressione rispetto al baricentro della sezione tegolo + trefoli omogeneizzata e considerando anche le cadute di tensione; omog Wsomog , teg e Wi , teg è il modulo di resistenza della sezione omogeneizzata tegolo+trefoli rispetto al lembo superiore ed inferiore del tegolo; Wsomog , teg +sol e Wiomog , teg +sol è il modulo di resistenza della sezione tegolo+trefoli+soletta rispetto al bordo superiore ed inferiore del tegolo; omogeneizzata 34 VERIFICHE IN FASE DI ESERCIZIO • condizioni di carico rara N kN 1142 Aci m 2 0.251 omog . . Wiomog , teg eomog. Ws,teg m 0.184 m 3 0.0371 m 3 0.0192 Wsomog , teg +sol 3 m 0.0678 . Wiomog , teg +sol 3 m 0.0228 σcs σci 2 kN/m 6108 kN/m2 126 I limiti tensionali sono (condizioni ambientali ordinarie): σ cs ≤ • R ck f = 26190 kN / m 2 σ ci ≤ ctk = 1030 kN / m 2 1,5 ⋅ 1,4 1,6 condizioni di carico quasi permanente omog omog eomog. Ws,teg . Wi ,teg . N Aci kN m2 m m3 1142 0.251 0.184 0.0371 Wsomog , teg +sol . Wiomog , teg +sol σcs σci m3 m3 m3 kN/m2 kN/m2 0.0192 0.0678 0.0228 5506 1920 I limiti tensionali sono (condizioni ambientali ordinarie): σ cs ≤ R ck = 20370 kN / m 2 1,5 ⋅ 1,8 Evidentemente quello che cambia tra le due condizioni di carico è il momento Mperm+Mvar che vengono calcolati con coefficienti di combinazione ψ differenti. Le verifiche risultano entrambe soddisfatte! 35 VERIFICA ALLO STATO LIMITE ULTIMO PER SOLLECITAZIONE TAGLIANTE La consuetudine progettuale suggerisce di verificare la trave in calcestruzzo armato precompresso come una trave in cemento armato normale per una distanza pari a 70Φ dall’appoggio. Tale prescrizione discende dal ritenere inefficace la precompressione all’interno della suddetta distanza. La combinazione di carico da considerare è la seguente: ( ) Fd = ∑ γGj ⋅ γEGj ⋅ Gkj + γQ1 ⋅ γEQ1 ⋅ Qk1 + ∑(ψ0i ⋅ γQi ⋅ γEQi ⋅ Qki ) + ∑(γPh ⋅ γEPh ⋅ Pkh ) m j=1 n l i=2 h=1 (10) essendo: Gk il valore caratteristico delle azioni permanenti; Pk il valore caratteristico della eventuale forza di precompressione; Q1k il valore caratteristico dell’azione di base di ogni combinazione; Qik i valori caratteristici delle altre azioni variabili tra loro indipendenti; γ G =1,4 (0,9 se il suo contributo aumenta la sicurezza); γ Q =1,5 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza); γ P =1,2 (0,9 se il suo contributo aumenta la sicurezza); γ EG = γ EP = γ EQ = 1 (tabella 5.1-II del DM 14/09/2005) Ψ0,neve = 0,6 Ψ0,sovraccarichi = 0,7 Nel caso in esame la (10) diviene: Fd = 1,4 G k + 1,5Q k,sovraccarico + 0,9Pk + 1,5 ⋅ 0,6 ⋅ Q k , neve 36 VERIFICA ALLO STATO LIMITE ULTIMO PER SOLLECITAZIONE TAGLIANTE Il massimo valore del taglio si ha ovviamente sull’appoggio laddove come detto non si considera l’azione della precompressione. Si ha quindi: peso l γq γg Ψ0 q m ---- ---- ---- kN/m 2.200 ---------------1.5 1.5 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 ------- ---------------0.7 0.6 8.58 3.85 0.03 1.48 0.31 3.30 1.41 totale 19.0 tegolo ---- kN/m proprio soletta isolante massetto s=2 cm imperm. sovraccarico neve 2.78 1.25 0.01 0.48 0.10 1.00 0.71 2 Il taglio sollecitante di calcolo è: Vsdu = q ult L3 19 ⋅ 14 = = 133 kN 2 2 Tale valore deve essere confrontato con il taglio resistente di calcolo allo stato limite ultimo VRdu . La resistenza a taglio VRdu di elementi strutturali dotati di specifica armatura a taglio deve essere valutata sulla base di una adeguata schematizzazione a traliccio (DM 14/9/2005-punto 5.1.2.1.6.2). Gli elementi resistenti dell’ideale traliccio sono: le armature trasversali, le armature longitudinali, le bielle di conglomerato cementizio. Secondo il D.M. 9/1/96 (p. 4.2.2.3.1) per valutare la resistenza a compressione delle bielle inclinate di conglomerato si può usare la seguente espressione: VRdu = 0,30 ⋅ f cd ⋅ b w ⋅ d = 1027kN << Vsdu = 133 kN in cui bw=2b=30 cm f cd resistenza di calcolo a compressione; d altezza utile; 37 CALCOLO DELLE ARMATURE TRASVERSALI D’ANIMA Il calcolo viene eseguito imponendo il soddisfacimento della seguente espressione fornita dalle norme ( D.M. 9/1/96 par. 4.2.2.3.2): Vsdu ≤ Vcd + Vwd in cui: Vcd è la resistenza a taglio offerto dal calcestruzzo dovuti ai vari meccanismi resistenti che si sviluppano in esso: Vcd = 0,6 f ctd bw dδ dove: fctd = resistenza a trazione di calcolo del calcestruzzo; d = l’altezza utile; δ=un coefficiente che tiene conto della presenza di un eventuale sforzo normale; Vwd è la Vwd = A sw f ywd resistenza a taglio offerta dall’armatura trasversale d’anima: 0,90d (senα + cos α ) s dove: Asw = area dell’armatura trasversale; fywd =resistenza a trazione di calcolo dell’armatura; s= passo delle staffe; α= inclinazione dell’armatura trasversale rispetto all’asse della trave; 38 • CALCOLO DI Vcd Considerando che f ctd = f ctk f = ctk (DM 14/9/05 – punto 5.1.2.1.4.2) e che γ m ,c ⋅ γ r 1,6 ⋅ 0,9 ( ) ) = 1,73 N / mm f ctk = 0,7f ctm = 0,7 ⋅ 0,48 ⋅ R bk (DM 14/9/05 – punto 11.1.10.2), si ricava: f ctd = ( 0,7 ⋅ 0,48 ⋅ R bk f ctk = γ m ,c ⋅ γ r 1,6 ⋅ 0,9 2 La resistenza di calcolo aumenta se è presente flessione, cioè f cfm = 1,2 ⋅ f ctm ed infine: f ctd = 1,2 ⋅1,73 = 2,08 N / mm 2 e risulta dunque: Vcd = 0,6f ctd b w dδ = 0,6 ⋅ 2080 ⋅ 0,3 ⋅ 0,355 ⋅ 1 = 133 kN • CALCOLO DI Vwd IL DM 9/1/96 al punto 4.2.2.3.2, chiarisce che l’aliquota di resistenza tagliante Vwd non può min1 essere inferiore alla metà del taglio di calcolo. Pertanto: Vwd = Vsdu = 66,3 kN 2 Quindi dall’espressione di normativa, una volta fissato il tipo di staffa, si può calcolare il passo minimo dell’ armatura trasversale d’anima. Si ha infatti s≤ Asw f ywd 0 ,90d V wd Se utilizziamo staffe Φ10 FeB44k A Φ10 = 5,03 ⋅ 10 −5 m A sw = 4A Φ10 = 2,01 ⋅ 10 −4 m 2 (staffe a 4 braccia) f ywd = f yk γs = 430000 = 374 ⋅10 3 kN / m 2 1,15 quindi: s min = 0,36 m 39 Minimi di normativa per le staffe Le verifiche a taglio risultano soddisfatte se adottiamo staffe Φ8 con un passo di 35cm. La normativa fornisce alcune limitazioni sul passo delle staffe (par. 5.1.8.2.2 del D.M. 14/9/05): 1) A sw per metro ≥ 1,5 ⋅ b [mm2], essendo b=30 cmÆ A sw ≥ 450 mm 2 ml Se poniamo una staffa ogni 35 cm, per metro lineare si avranno: A sw = 2A Φ 8 = 287 mm ovvero è un’area insufficiente; 0,35 Ponendo s=20 cmÆ A sw = 2A Φ 8 = 502 mm > 450 mm ⇒ OK! 0,20 2) almeno3 staffe al metro lineare 3) s ≤ 0,8d che nel nostro caso con d = 0,355 m Æ s ≤ 0,8 ⋅ 35,5 = 28,4 cm In prossimità degli appoggi (per una lunghezza pari all’altezza utile della sezione) devono essere applicate le prescrizioni contenute nel par. 5.1.6.1.2 del DM 14/9/2005 (OSS. Queste regole valgono in realtà per il c.a. ordinario, ma abbiamo già osservato che nei primi 70 diametri siamo in questa condizione): s ≤ 12Φ long con Φ long diametro minimo dell’armatura longitudinale (nel nostro caso dei s ≤ 12 ⋅1,25 = 15 cm . trefoli) Æ Pertanto: Æ in appoggio adotteremo per l=d=40 cm staffe Φ8 con un passo s=15 cm; Æ per il resto della trave staffe Φ8 con un passo s=20 cm; OSS.1: in zona sismica esistono prescrizioni più restrittive di quelle sopra considerate. Tuttavia si ritiene il tegolo un elemento secondario per cui queste considerazioni non valgono. A riprova di questo al punto 5.1.6.1.2 del DM 14/9/2005 si parla di nodo strutturale che è quindi un nodo continuo e non certamente l’appoggio di un tegolo sulla trave a sezione variabile. OSS.2: è ovvio che la verifica a taglio nella zona in cui agisce la precompressione è sicuramente soddisfatta. Si ricordi, infatti, che nell’espressione di Vcd compare il termine δ che assume valori compresi tra 1 e 2. Del resto è ben noto che l’effetto della precompressione è benefico per il taglio. 40 VERIFICA A FESSURAZIONE La formazione delle fessure, in un’opera realizzata in cemento armato, è da ritenersi una ovvia conseguenza delle condizioni di lavoro dei due materiali (acciaio e calcestruzzo) che coesistono nella struttura. D’altra parte, quadri fessurativi eccessivi e diffusi sono certamente da evitarsi, in quanto favoriscono l’aggressione di agenti esterni nei confronti delle armature, la cui ossidazione risulta tanto più rapida ed intensa quanto più l’ambiente è chimicamente acido. Nasce così il problema, attesa la impossibilità di eliminarle, di limitare le ampiezze delle lesioni in funzione delle condizioni di esercizio della struttura, condizioni di carico, nonché della sensibilità degli acciai alla corrosione. Secondo il D.M. 14/9/05 (punto 5.1.2.2.6.1) per assicurare la funzionalità strutturale bisogna considerare i seguenti tre stati limite diversi: 1. stato limite di decompressione,nel quale, per la combinazione di carico scelta, la tensione normale nella fibra è ovunque di compressione ed al più uguale a 0; 2. stato limite di formazione delle fessure nel quale, per la combinazione di carico scelta si accettano sollecitazioni di trazione nel conglomerato purché inferiori a: σt ≤ f ctk γm 3. stato limite di apertura controllata delle fessure, con il quale, per la combinazione di azioni prescelta, il valore caratteristico di apertura della fessura calcolato al livello considerato è pari a un valore nominale prefissato: w1= 0,1 mm w2= 0,3 mm w3= 0,4 mm 41 VERIFICA A FESSURAZIONE Nelle verifiche bisogna considerare le seguenti combinazioni di azioni: - azioni quasi permanenti; - azioni frequenti; - azioni rare; Dal prospetto 5.1-X della norma si desumono i criteri di scelta dello stato limite considerato in relazione alla nostra condizioni ambientali ordinarie ed armatura sensibile (i trefoli sono considerati sensibili alla corrosione). Stato limite wk apertura delle fessure ≤ w2 apertura delle fessure ≤ w1 Condizioni Combinazioni delle ambiente azioni frequente Ordinarie quasi permanente La verifica per combinazione di carico quasi permanente è già soddisfatta per lo stato limite di decompressione, poiché si è considerata trazione nulla al lembo inferiore Bisogna verificare che, per condizioni di carico frequente, risulti: w d ≤ w 2 = 0,3 mm essendo wd il valore caratteristico di calcolo di apertura delle fessure nella zona di efficacia delle armature ed è fornito dalla seguente espressione (punto 5.1.2.2.6.6 del DM 14/09/2005): w d = 1,7 w m dove wm è l’ampiezza media delle fessure, calcolata come prodotto della deformazione media delle barre d’armatura ε sm per ∆sm che rappresenta la distanza media tra le fessure ( w m = ε sm ⋅ ∆ sm ) 42 CALCOLO DELLE FESSURE Il calcolo della distanza media delle fessure può essere effettuato utilizzando formule semiempiriche come quella suggerita dall’EC2 ( parte I-1 par. 4.4.2.4): ∆ sm = 50 + 0,25K 1 K 2 Φ ρr in cui: K1 = coefficiente che tiene conto delle proprietà d’aderenza delle barre pari a 0,8 per barre ad aderenza migliorata; K2 = coefficiente che tiene conto della forma del diagramma delle deformazioni pari a 0,5 per la flessione; Φ =diametro delle barre espresso in millimetri (nel caso siano presenti più diametri si considera il valore medio); ρr = rapporto di armatura efficace pari a ρ r = As ove As è l’area dell’armatura contenuta Ac ,eff nell’area tesa efficace Ac,eff.. L’area efficace Ac,eff è l’area di calcestruzzo che circonda le armature tese; in genere si assume: A c,eff = b w ⋅ 2,5 ⋅ Yr = 0,60 ⋅ 2,5 ⋅ 0,145 = 0,217 Æ ρ r = ∆ sm = 50 + 0,25K 1 K 2 As 0.00093 = = 0,0043 A c,eff 0,217 Φ 12,5 = 50 + 0,25 ⋅ 0,8 ⋅ 0,5 = 342 mm ≅ 35 cm ρr 0,0043 Per calcolare la deformazione media l’EC2 propone la seguente relazione (che tiene conto dell’effetto del tension stiffening): ε sm = essendo: ⎛σ σs ⎡ ⎢1 − β1β 2 ⎜ cr ⎜σ Es ⎢ ⎝ s ⎣ ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ σs la tensione calcolata nell’armatura nella sezione fessurata; σcr la tensione nell’armatura tesa calcolata nella sezione fessurata nella condizione di carico che induce la prima fessura (momento di prima fessurazione); β1 il coefficiente che tiene conto dell’aderenza delle barre pari a 1,0 per barre ad aderenza migliorata; β2 il coefficiente che tiene conto del carico (β2 = 0,5 per carichi di breve durata e pari a 1,0 per carichi di lunga durata o ciclici; (con i primi si considerano gli effetti del fluage con i secondi la perdita di aderenza); 43 VERIFICA A FESSURAZIONE Stato limite wk apertura delle fessure ≤ w2 ≤ w1 apertura delle fessure Condizioni Combinazioni delle ambiente azioni frequente Ordinarie quasi permanente La combinazione di carico frequente è la seguente: Fd = m ∑(γ )+ ψ Gj ⋅ γ EGj ⋅ Gkj 11 ⋅ γ Q1 ⋅ γ EQ1 ⋅ Qk1 + j=1 n ∑(ψ i=2 2i ⋅ γ Qi ⋅ γ EQi ⋅ Qki ) + l ∑(γ Ph ⋅ γ EPh ⋅ Pkh ) h=1 che nel caso specifico si particolarizza nelle: Fd = Gk + 0,9Pk + 0,3⋅1,0⋅1,0⋅ Qsovrac + 0,3⋅1,0⋅1,0⋅ Qneve Fd = Gk + 0,9Pk + 0,5⋅1,0⋅1,0⋅ Qsovrac + 0,1⋅1,0⋅1,0⋅ Qneve Le due combinazioni differiscono solo per gli ultimi due termini,perciò confrontiamo questi ultimi: 0,3⋅ Qsovrac + 0,3⋅ Qneve = 0,3 ⋅1,54 + 0,3 ⋅ 0,94 = 0,744 kN/ m 0,5⋅ Qsovrac + 0,1⋅ Qneve = 0,5 ⋅1,54 + 0,1⋅ 0,94 = 0,864 kN/ m In definitiva la combinazione da usare per la verifica è: Fd = Gk + 0,9Pk + 0,5⋅1,0⋅1,0⋅ Qsovrac + 0,1⋅1,0⋅1,0⋅ Qneve A questo punto è importante osservare che la verifica in esercizio eseguita al lembo inferiore per 2 combinazione di carico rara conduce ad avere σ ci = 126 kN / m > −σ c,min e quindi la trazione ipotizzata risulta inferiore a quella sopportabile del calcestruzzo, cioè non si creano lesioni. Ciò ci assicura l’assenza della fessurazione anche per combinazione di carico frequente che risulta meno severa di quella rara. Per questo motivo risulta inutile procedere al controllo delle aperture delle fessure. 44 VERIFICA ALLO STATO LIMITE ULTIMO PER FLESSIONE Gli stati limite sono delle situazioni a partire dalle quali la costruzione o una delle sue parti cessa di assolvere la funzione alla quale era destinata, e per la quale era stata progettata e costruita. La verifica consiste nel valutare le resistenze di progetto e constatare che esse siano maggiori delle sollecitazioni di progetto derivanti dall’applicazione delle azioni esterne di progetto. La verifica è condotta tenendo conto delle seguenti ipotesi (D.M. 14/9/2005 -punto 5.1.2.1.5.1): a) conservazione delle sezioni piane; b) deformazione massima del calcestruzzo compresso pari a –0,0035 nel caso di flessione semplice o composta con asse neutro reale, e variabile dal valore predetto a –0,002, quando l’asse neutro, esterno alla sezione, tende all’infinito; c) deformazione massima dell’armatura tesa (contata a partire dalla decompressione del calcestruzzo se si tratta di armature di precompressione) +0,01. I diagrammi di calcolo tensione-deformazione del calcestruzzo sono, di norma del tipo parabola rettangolo. L’arco di parabola, di grado secondo, è passante per l’origine con l’asse parallelo a quello delle tensioni; all’ascissa 0,002 si ha il vertice della parabola; l’ordinata massima fcd. Dall’ascissa 0,002 a 0,0035 il diagramma è costituito da una retta parallela alle ascisse tangente nel punto di massimo alla parabola. In virtù delle limitazioni indicate per le deformazioni del calcestruzzo e dell’acciaio si possono individuare sei diverse regioni nelle quali potrà trovarsi la retta di deformazione. Il calcolo del momento ultimo sarà condotto considerando la sezione di mezzeria nella condizione di esercizio. 45 Deformazioni iniziali e decompressione nei trefoli I trefoli ed il cls sono sollecitati in fase di esercizio di conseguenza si configurano già deformati. Tale deformazione deve essere considerata nel calcolo del momento ultimo in quanto rappresenta una risorsa del materiale già sfruttata che può anticipare la crisi. La deformazione dell’acciaio per decompressione del cls, alle varie quote di livello laddove ci sono i trefoli è data da: σ cj = N Ne omog + A ci Wjomog , teg dove: N è lo sforzo normale in esercizio (cioè considerate anche le cadute di tensione); Aci è l’area della sezione omogeneizzata costituita dal tegolo e dai trefoli; eomog è l’eccentricità dello sforzo di precompressione rispetto al baricentro della sezione tegolo + trefoli omogeneizzata e considerando anche le cadute di tensione; Wjomog è il modulo di resistenza della sezione omogeneizzata tegolo+trefoli rispetto alla , teg quota del trefolo jesimo; trefolo Wjomog , teg 3 n° m 1 2 3 4 5 0.0222 0.0269 0.0342 0.0469 0.0746 σcj kN/m εcj Ec 2 14040 12374 10709 9043 7378 kN/m 2 42272331 ---0.0332% 0.0292% 0.0253% 0.0213% 0.0174% Invece le tensioni iniziali nei trefoli valgono (considerato anche le cadute di tensione): σsp 2 kN/m 1220360 1223928 1227496 1231064 1234632 Es εspj kN/m2 ---- 210000000 0.6071% 0.6089% 0.6107% 0.6125% 0.6142% per cui i valori di εspj e di εcj andranno sommati alla deformazione relativa alla condizione di rottura, che, come indicato dalla norma, è contata a partire dalla decompressione del calcestruzzo. 46 CALCOLO DEL MOMENTO ULTIMO Il calcolo del momento ultimo sarà condotto, come consentito dalla norma, attraverso l’ipotesi semplificativa di “stress block” (DM 14/9/05 –punto 5.1.2.1.5.2), ossia assumendo le tensioni di compressione nella sezione pari al valore massimo di schiacciamento per il cls (fcd) agenti fino ad una profondità di 0.8 xc (essendo xc la profondità dell’ asse neutro dal lembo superiore). Detto ciò attraverso un procedimento per tentativi (ipotizzando una condizione di rottura), determiniamo la posizione dell’asse neutro: I. Rottura bilanciata (sia il cls che il ferro hanno raggiunto la deformazione massima consentita). Si pone εs1 = 0.01 (deformazione ultima dell’ acciaio del trefolo più in basso) ed εc = 0.0035 (deformazione ultima del calcestruzzo) e per l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane il diagramma delle deformazioni è lineare; è dunque noto il valore della profondità dell’asse neutro: xc = con: (s + h − y 1 ) ⋅ 3.5 0 00 (0,05 + 0,5 − 0,045) ⋅ 3.5 0 00 = = 0.131 m 10 0 00 + 3.5 0 00 10 0 00 + 3.5 0 00 s = spessore della soletta; h = altezza del tegolo; y1 = altezza della prima fila di trefoli dal bordo inferiore 47 I. Rottura bilanciata Nota la profondità dell’ asse neutro possiamo calcolarci le deformazioni ultime subite dalle file di trefoli superiore alla prima.Detta yi la quota dal lembo inferiore della generica coppia di trefoli risulta: ε * si = ( s + h − x c − y i ) ⋅ 10 0 00 avendo indicato con ε*si la deformazione della generica fila di trefoli. ( s + h − x c − y1 ) trefolo xc n° 1 2 3 4 5 ε*si Yi htot m m m ---- 0.1309 0.045 0.095 0.145 0.195 0.245 0.55 0.0100 0.0087 0.0073 0.0060 0.0047 Sommando quella appena calcolata al valore di esercizio della deformazione da pretensione ed a quella di decompressione del cls (εsi=ε*s+εsp+εci); Si ottiene: trefolo εspi εci ε*si εsi n° ---- ---- ---- ---- 1 2 3 4 5 0.0061 0.0061 0.0061 0.0061 0.0061 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 0.0002 0.0100 0.0087 0.0073 0.0060 0.0047 0.0164 0.0150 0.0137 0.0123 0.0110 Nota la deformazione finale possiamo ricavarci la tensione di lavoro di ogni trefolo, dal legame costitutivo dell’acciaio. Per tale fine calcoliamo la deformazione di snervamento dei trefoli: ε ys = è evidente che saràÆ σ si f ptd Es = f pt (1 )k γs ⎧f ptd ⎪ =⎨ ⎪E ⋅ ε ⎩ s si ⋅ 1 1670 ⋅ 10 3 1 = ⋅ = 7 ,22 0 00 Es 1.15 2100 ⋅ 10 5 per ε si ≥ ε ys per ε si < ε ys Nota la tensione di ogni singolo trefolo, detta Asi =0.000186 mq l’ area della singola coppia di trefoli, è 4 noto lo sforzo di trazione che sollecita la sezione, essendo T = ∑ A si ⋅ σ si = 1351 kN i =1 Resta dunque da calcolare lo sforzo di compressione agente, che stante l’ipotesi di STRESS-BLOCK fornisce: C = 5031 kN , da cui si vede chiaramente che la condizione di rottura ipotizzata non soddisfa l’equilibrio alla traslazione della sezione in quanto:C/T=3.72 48 I. tentativo A questo punto conservando le stesse ipotesi di rottura e cioè che il trefolo a livello 1 abbia una deformazione pari all’1%, ma procedendo per tentativi nel fissare il valore di xc, si arriva a determinare il valore che soddisfa l’ equilibrio alla traslazione della sezione. La soluzione è xc = 0.0583 m con C=T=1351 kN Rispettato l’equilibrio, si può procedere al calcolo del momento ultimo. A tal proposito occorre determinare il braccio della coppia interna h*, che può semplicemente calcolarsi con la seguente : h*=(s+h)-y’–yc,sup=0,50+0,05-0,145-0,0292=0,376 m essendo: yc,sup=0.4 xc=0,0292 m la distanza dal lembo superiore della risultante delle compressioni; y’=0,145 m è la distanza del baricentro delle trazioni dal lembo inferiore (evidentemente poiché in tutti i trefoli la tensione è la stessa, la distanza dal centro degli sforzi dal lembo inferiore della sezione è proprio pari alla distanza del baricentro geometrico dei trefoli dal lembo inferiore) Pertanto il momento ultimo è: M Rdu = T ⋅ h* = 1351 ⋅ 0,376 = 510 kNm Il valore del momento ultimo sollecitante si calcola invece a partire dal valore del carico ultimo già valutato nella verifica a taglio: M Sdu q u ⋅ L23 19 ⋅ 14 2 = = = 466 kNm 8 8 Si può concludere che la verifica allo SLU è soddisfatta. 49 CALCOLO DEL MOMENTO ULTIMO NEI 70φ Come gia chiarito in precedenza, in un tratto di lunghezza pari a 70φ=70x0.0125 =0.875 m dall’ appoggio, la trave in precompresso va calcolata e verificata come una trave in cemento armato normale. Risulta, quindi, necessaria un’armatura inferiore aggiuntiva che sia idonea ad assorbire la massima sollecitazione flessionale che in questo tratto si manifesta. La sezione più sollecitata è proprio quella distante 70φ dall’ appoggio. Msud,(70φ) =Vsdux70φ - qult (70φ)2/8 =109 kNm La sezione non cambia dal punto di vista geometrico rispetto a quella di mezzeria, la sollecitazione però subisce una diminuzione , ciò vuol dire che l’ asse neutro sarà meno profondo rispetto alla mezzeria e quindi sicuramente compreso all’ interno dello spessore della soletta. Può porsi: Mult = Cxd* = B 0,8 xc fcd (s+h-c-0.4xc) Essendo d* il braccio della coppia interna e c il copriferro dell’ armatura longitudinale aggiuntiva che verrà introdotta nel tratto iniziale di trave. Ipotizzando un valore di xc e reiterando fino a quando tale valore non consente di avere un M ult ≅ M Sdu (70φ ) si ottiene (per un copriferro c=4 cm): xc=0,009 m Si può quindi calcolare l’armatura dolce occorrente ad assorbire lo sforzo di T=C=215 kN T=C fsyd Afcal. ferri Afeff. kN kN/m2 cm2 ---- cm2 215 373913 5.8 4Φ14 6.16 Come mostrato dalla tabella occorrono 4 barre φ14. 50 LUNGHEZZA DI ANCORAGGIO. La tensione di aderenza di calcolo vale (D.M. 14/9/2005 –punto 5.1.2.1.4.4): f bd = f bk f = bk γ m ,c 1,6 Il valore di fbk non è specificato nel D.M. 14/09/2005, tuttavia al punto 5.1.2.1.10 è detto che la lunghezza di ancoraggio deve essere in ogni caso non inferiore a 20 diametri con un minimo di 150 mm. Nel caso specifico: l anc = 20 ⋅ φ14 = 20 ⋅ 1,4 = 28 cm ⇒ si assume 30 cm Oss.: se si fosse usato i limiti della tensione di aderenza del DM 9/1/96 punto 5.3.3 e cioè f bd = 2,25 l anc = Tsin gola barra f bd ⋅ π ⋅ φ f ctk f = 2,25 ctk = 3738 kN / m 2 si sarebbe avuta la seguente lunghezza di ancoraggio: 1,5 γm = 0,33 cm 51 CALCOLO DEL MOMENTO ULTIMO NEI 70φ (traslazione) Bisogna osservare, invero, che il DM 9/1/96 al punto 4.2.2.3.3 considera la traslazione del diagramma del momento. Questo significa che al verifica svolta sempre nella sezione a 70φ dall’appoggio, si esegue traslando il diagramma del momento flettente.Lo schema resistente ipotizzato è il seguente: C 45° 1 T 2 Come si vede, l’ armatura nella sezione 1 deve equilibrare un momento presente nella sezione 2, per tale motivo si trasla il diagramma dei momenti. Il del momento traslato si calcola come da normativa: M(V)sdu,(70φ) =Msdu,70φ + Vsdu,70φ a1 essendo: a1= 0.9d (1-cotgα) = 0.9d (α=90° = inclinazione delle staffe) d = altezza utile della sezione Vsdu,70φ = Vsdu,appoggio – qultx70φ =132,7– 19*0.875=116,1 kN Si ripete dunque il progetto dell’ armatura longitudinale pedissequamente a come svolto nel capitolo precedente. Se ne riportano sinteticamente i risultati: Calcolo armatura lenta fsyd Afcal. ferri T=C γc fctk 2 kN kN/m 2 cm 321 373913 8.6 fbd Afeff. ---- cm2 4Φ16 8.05 2 Calcolo lunghezza di ancoraggio n° barre Tsing. barra Φbarre 2 kN/m ---- kN/m 2492 1.5 3738 l1 lanc. ---- kN mm m m 4 80.28 16 0.43 0.45 52