ESERCIZI SULLE FRAZIONI CONTINUE Frazioni continue
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ESERCIZI SULLE FRAZIONI CONTINUE UNIVERSITÀ DI TRENTO – TEORIA ALGEBRICA DEI NUMERI (2014/15) Frazioni continue. Determinate la frazione continua di quindi rigoroso) anziché numerico. √ 2, √ 3 e √ 7 in modo algebrico (e [Suggerimento: Effettuate successive “razionalizzazioni”, nel modo seguente: √ √ 7 = 2 + 7−2 = 2 + √7−4 = 2 + √17−1 = · · · . 1 7+2 1+ ] 3 La frazione continua di log2 (10). (1) Usando una calcolatrice tascabile calcolate la parte iniziale della frazione continua di log2 (10) = 3.321928095 · · · (anche solo cinque o sei passi), e quindi calcolate i corrispondenti convergenti (cioè i numeri razionali ottenuti troncando la frazione continua dopo ciascun passo). Per maggiore precisione, piuttosto che ricopiare a mano questo valore approssimato per log2 (10), vi conviene farlo ottenere alla vostra calcolatrice (che normalmente ricaverà correttamente almeno una cifra in più di quelle mostrate sul display), ma da lı̀ in poi bastano sottrazioni e divisioni, come imparato a lezione. (2) Il primo convergente 3 + 31 = 10/3 corrisponde al fatto ben noto che 210 = 1024 è di poco più grande di 103 . Questa è la ragione per cui parlando di computer i prefissi Kilo, Mega, (e poi Giga, Tera, Peta) indicano i multipli di un fattore 1024, 1048576, ecc., piuttosto che mille, un milione, ecc. Senza usare una calcolatrice, trovate qual’è il più piccolo intero positivo k tale che l’espansione decimale di 210k non inizia con le cifre 10. (3) Sempre senza usare una calcolatrice, mostrate che l’espansione decimale di 2140 inizia con le cifre 13, mentre quella di 2150 inizia con le cifre 14. [Suggerimento: Applicate la formula della potenza di binomio a 1+0, 024. Potete limitarvi ad usare i primi termini, ma dovete assicurarvi che quelli tralasciati non influiscano sulla risposta!] (4) Osservate la tabella seguente, indovinate a cosa si riferisce, e e spiegate meglio che potete il fenomeno che state osservando (qui ogni mezzo è lecito): n 2n 10 10 · · · 93 99 · · · 196 100 · · · 485 9989 · · · 2136 1000 · · · 13301 9999 · · · 28738 10000 · · · 42039 9999 · · · 70777 100000 · · · (5) La prima cifra decimale di 2n , per n = 0, 1, 2, . . ., è 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, e poi questa sequenza si ripete. Naturalmente solo per un pò di volte. Facendo solo conti a mano, trovate il più piccolo intero n per cui 2n inizia con la cifra 7. [Suggerimento: 70/64 = 1, 09 · · · .]