ESERCIZI SULLE FRAZIONI CONTINUE Frazioni continue

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ESERCIZI SULLE FRAZIONI CONTINUE
UNIVERSITÀ DI TRENTO – TEORIA ALGEBRICA DEI NUMERI (2014/15)
Frazioni continue. Determinate la frazione continua di
quindi rigoroso) anziché numerico.
√
2,
√
3 e
√
7 in modo algebrico (e
[Suggerimento: Effettuate successive
“razionalizzazioni”, nel modo seguente:
√
√
7 = 2 + 7−2
= 2 + √7−4
= 2 + √17−1 = · · · .
1
7+2
1+
]
3
La frazione continua di log2 (10).
(1) Usando una calcolatrice tascabile calcolate la parte iniziale della frazione continua di
log2 (10) = 3.321928095 · · · (anche solo cinque o sei passi), e quindi calcolate i corrispondenti convergenti (cioè i numeri razionali ottenuti troncando la frazione continua dopo
ciascun passo). Per maggiore precisione, piuttosto che ricopiare a mano questo valore
approssimato per log2 (10), vi conviene farlo ottenere alla vostra calcolatrice (che normalmente ricaverà correttamente almeno una cifra in più di quelle mostrate sul display),
ma da lı̀ in poi bastano sottrazioni e divisioni, come imparato a lezione.
(2) Il primo convergente 3 + 31 = 10/3 corrisponde al fatto ben noto che 210 = 1024 è di
poco più grande di 103 . Questa è la ragione per cui parlando di computer i prefissi Kilo,
Mega, (e poi Giga, Tera, Peta) indicano i multipli di un fattore 1024, 1048576, ecc.,
piuttosto che mille, un milione, ecc. Senza usare una calcolatrice, trovate qual’è il più
piccolo intero positivo k tale che l’espansione decimale di 210k non inizia con le cifre 10.
(3) Sempre senza usare una calcolatrice, mostrate che l’espansione decimale di 2140 inizia
con le cifre 13, mentre quella di 2150 inizia con le cifre 14.
[Suggerimento: Applicate la formula della potenza di binomio a 1+0, 024. Potete limitarvi ad
usare i primi termini, ma dovete assicurarvi che quelli tralasciati non influiscano sulla risposta!]
(4) Osservate la tabella seguente, indovinate a cosa si riferisce, e e spiegate meglio che
potete il fenomeno che state osservando (qui ogni mezzo è lecito):
n
2n
10
10 · · ·
93
99 · · ·
196
100 · · ·
485
9989 · · ·
2136
1000 · · ·
13301
9999 · · ·
28738
10000 · · ·
42039
9999 · · ·
70777
100000 · · ·
(5) La prima cifra decimale di 2n , per n = 0, 1, 2, . . ., è 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, e poi questa
sequenza si ripete. Naturalmente solo per un pò di volte. Facendo solo conti a mano,
trovate il più piccolo intero n per cui 2n inizia con la cifra 7.
[Suggerimento: 70/64 = 1, 09 · · · .]