spettroscopia Raman e IR - Università degli Studi Roma Tre

APPLICAZIONI DI
TECNICHE SPETTROSCOPICHE
AI BENI CULTURALI:
SPETTROSCOPIA RAMAN E
L’ASSORBIMENTO IR
Dr. Armida Sodo
[email protected]
Dipartimento di Fisica “E. Amaldi
Università degli Studi Roma Tre
Impiego di metodologie scientifiche
nel campo dei Beni Culturali
• conoscenza storica e tecnica
- analisi dei materiali e della tecnica di esecuzione
- datazione ed autenticazione
- studi di provenienza
• restauro
- studio dello stato di degradazione
- individuazione di precedenti interventi di restauro
- controllo e messa a punto di interventi conservativi
e di condizioni di conservazione (microclima)
• reprimere frodi
conoscenza storica e tecnica: analisi materiali
Tomba dell’Orco,
VI-IV secolo a.C.
Tarquinia
Collab. con ISCR
A. Sodo et al. Journal of Raman spectroscopy, 39, 1035, (2008)
Vinland Map
conoscenza storica e tecnica: autenticazione
K. L. Brown and R.J. H. Clark, Anal. Chem. 2002, 74, 3658-3661
restauro
Cripta Peccato Originale, o Grotta dei cento Santi
VIII sec d.C., Matera
restauro
13 doppi legami coniugati, catena di circa 50 atomi di C Æ Bacterioruberina
Analisi combinate Æ Rubrobacter radiotolerans
F. Imperi et al. Environmental Microbiology 9(11), 2894–2902 (2007)
Evangelario bizantino del XIII secolo
Bianco piombo Ö Galena
2PbCO3·Pb(OH)2 + H2S → PbS
Repressione frodi
L’analisi Raman è stata spesso utilizzata per identificare falsi documenti. Nel caso
qui descritto, sei papiri appartenenti ad una collezione privata sono stati portati a
Londra nel 1998 per essere messi all’asta. Essi erano attributi all’epoca di Ramsete
II (XIII secolo a.C.) e all’epoca di Cleopatra (I secolo a.C.)
L’autenticazione è legata all’identificazione di
pigmenti compatibili con l’epoca egiziana. L’analisi è
stata effettuata da R.J. Clark dell’UCL di Londra
Per essere realmente utilizzabili nel campo dei
Beni Culturali, le tecniche analitiche devono:
• essere non distruttive o al massimo micro-distruttive
• avere un’alta risoluzione spaziale
• possedere un’alta sensibilità
• offrire la possibilità di condurre misure in situ
Principali metodiche di indagine per i
Beni Culturali
• Tecniche di datazione
Carbonio 14, Spettrometria di massa ad alta risoluzione,
dendrocronologia, termoluminescenza…….
• Tecniche tomografiche
Radiografia, ultrasuoni, IR riflesso, UV riflesso,
termografia…….
•Tecniche spettroscopiche
Diffrazione X e neutroni, assorbimento IR, Spettroscopia
Raman, risonanza Mossbauer, NMR, Fluorescenza (XRF, aPIXE, p-PIXE, LIBS),
Spettroscopia
SPETTROSCOPIA:
Studia le interazioni fra le radiazioni elettromagnetiche e la
materia
Nella minima configurazione possibile sono necessarie:
sonda
campione
rivelatore
Radiazione e materia
stati nucleari
stati elettronici molecolari
λ
E
stati elettronici
atomici
vibrazioni dei legami
molecolari
Spettroscopie vibrazionali
Per investigare la composizione molecolare dei
materiali impiegati nei Beni Culturali vengono
impiegate due tecniche di spettroscopia vibrazionale
spettroscopia di assorbimento IR
spettroscopia di diffusione Raman
Spettroscopie vibrazionali
Ma cosa sono le spettroscopie vibrazionali?
Le spettroscopie vibrazionali fanno parte delle spettroscopie
ottiche.
Le principali spettroscopie ottiche sono
Æ la spettroscopia rotazionale: si basa su transizioni fra livelli
energetici rotazionali Æ regione dell’infrarosso lontano o microonde (sotto i 400 cm-1)
Æ la spettroscopia vibrazionale: gli spettri sono dovuti a
transizioni fra livelli energetici roto-vibrazionali che si
presentano nella regione dell’infrarosso (4000 - 400 cm -1)
Æ la spettroscopia elettronica: transizioni fra livelli energetici
elettronici molecolari Æ regione dell’ultravioletto.
Spettroscopie vibrazionali
• La materia si presenta, in prima approssimazione,
come un modello “palle e molle”.
• Il legame chimico è la molla e i due atomi sono le
masse.
• Ogni atomo ha una massa diversa e un singolo,
doppio, triplo legame hanno differenti gradi di
rigidità. Ogni gruppo di atomi vibrerà a frequenze
ed energie caratteristiche, riconoscibili e
identificabili.
Spettroscopie vibrazionali
• Il sistema così descritto può essere assimilato ad un
oscillatore armonico. Una volta messo in moto, la sfera
oscillerà, o vibrerà avanti e indietro sulla molla, ad una
certa frequenza, a seconda delle masse delle sfere e della
rigidità della molla.
f = - k x (legge di Hooke)
f: la forza di richiamo
x: spostamento dalla posizione di equilibrio
k : costante di forza. L’energia potenziale sarà data da:
1 2
V = −∫ fdx = kx
2
Spettroscopia IR
Inserendo nell’equazione di Schroedinger la funzione dell’energia
potenziale relativa al moto di due atomi di massa m1 ed m2 si
ottengono gli autovalori dell’energia e da questi la frequenza di
vibrazione
1
ν=
2π
k
µ
1
1
~
, ν =
2πc
1
1
=
+
µ m1 m2
k
µ
Spettroscopie vibrazionali
1
ν=
2π
k
µ
k J/Å2
k ≈ 10 10-18 J/Å2
µ ≈ 10-22 g
~
ν = 531 cm-1
Cl2
3.2 10-18
O2
11.41 10-18
CO
18.55 10-18
N2
22.41 10-18
Spettroscopia IR
LA FREQUENZA CRESCE
1) al crescere della forza del legame
2) al diminuire della massa
C-H ≈ 3000 cm-1
C-D ≈ 2100 cm-1
C-C ≈ 1000 cm-1
C-Cl ≈ 700 cm-1
Spettroscopie vibrazionali
L’interazione con la radiazione elettromagnetica provoca
transizioni vibrazionali: cambia l’energia della vibrazione
di due o più atomi legati.
Spettroscopie vibrazionali
L’interazione con la radiazione elettromagnetica provoca
transizioni vibrazionali: cambia l’energia della vibrazione
di due o più atomi legati.
Spettroscopia IR
Le vibrazioni possono essere suddivise in due categorie fondamentali:
•
STIRAMENTO (stretching): variazione continua della distanza
interatomica lungo l’asse di legame
•
DEFORMAZIONE (bending): variazione dell’angolo tra 2 legami
gradi di libertà vibrazionali (molecole non lineari) = [3n – (3 +3)]
gradi di libertà vibrazionali (molecole lineari) = [3n – (3 + 2)]
Spettroscopia IR
symmetrical stretching
asymmetrical stretching
scissoring
rocking
wagging
twisting
Frequenze di gruppo
I principali gruppi funzionali sono illustrati nella figura sottostante in
relazione alle frequenze di assorbimento. La regione 1450-600 cm-1 è
normalmente difficile da interpretare e viene spesso chiamata regione del
fingerprint, essendo molto caratteristica da molecola a molecola
Spettroscopia IR
Condizione necessaria affinché ci sia assorbimento di frequenze
caratteristiche è che ci sia una variazione del momento di dipolo
della molecola durante la vibrazione molecolare in esame Æ questo
vibrando produca un campo elettrico oscillante che interagisca con
quello della radiazione.
Solo le vibrazioni che provocano una variazione di momento di dipolo
del legame provocano assorbimento della radiazione infrarossa (IR
attive):
H—H
IR inattivo
H—Cl IR attivo
O=C=O IR inattivo
O=C=O IR attivo
simmetrico
asimmetrico
Spettroscopia IR
RICONOSCIMENTO
SPECIFICO DEL MATERIALE
La zona di identificazione
o “fingerprint region”
1800-500cm-1
permette di identificare il
singolo materiale.
Spettroscopia IR
Raramente in uno spettro IR si osserva esattamente il numero di bande
previsto in teoria.
Il numero delle bande può essere più elevato rispetto a quello teorico a
causa di bande di overtones e vibrazioni di combinazione, derivanti
dall’accoppiamento di vibrazioni fondamentali.
Il numero delle bande può invece essere ridotto dai seguenti fattori:
• Fattori strumentali: - Vibrazioni che cadono al di fuori dell’intervallo
spettrale coperto dallo strumento
- Frequenze troppo deboli per essere osservate
- Bande tanto ravvicinate da confondersi (coalescenza)
• Bande degeneri in molecole simmetriche
Vibrazioni che non provocano variazione del momento dipolare Le
vibrazioni che implicano un cambiamento del momento di dipolo
generano, infatti, uncampo magnetico oscillante (µ) in grado di
interagire con una radiazioneelettromagnetica che ha la stessa
frequenza, determinandone l’assorbimento.
Spettroscopia FT-IR
La radiazione contenente tutte le lunghezze d'onda IR proveniente dalla
sorgente colpisce uno specchio semitrasparente (cristallo di KBr rivestito
di germanio) in modo che una metà della radiazione incida su uno specchio
fisso e l’altra metà incida su uno specchio mobile, che scorre avanti e
indietro a velocità costante. I raggi provenienti dai due specchi
intercettano di nuovo lo specchio semitrasparente e si ricombinano,
interferendo fra loro. Si ottiene così un interferogramma che, mediante
la trasformata di Fourier, viene convertito da grafico nel dominio del
tempo a grafico nel dominio della frequenza.
Spettroscopia in Riflettanza totale attenuata
(ATR)
Nella modalità ATR i raggi infrarossi sono diretti all’interno di un cristallo ad alto
indice di rifrazione (AgCl, ZnSe o bromoioduro di silicio, germanio e tallio ). I
raggi, riflettendosi sulla superficie interna del cristallo, creano un’onda
evanescente che si proietta ortogonalmente sul campione posto in stretto
contatto con il cristallo
Parte dell’energia dell’onda è
assorbita dal campione e la
radiazione riflessa è restituita
al rivelatore, originando uno
spettro di riflettanza
Per ottenere lo spettro, è
quindi necessario porre il
cristallo ATR a contatto con la
superficie del campione. La
risposta analitica proviene da
uno strato di 2-3 µm del
campione
Gli spettri IR in modalità ATR sono simili a quelli registrati in trasmittanza
Vantaggi della Spettroscopia IR
♦ la spettroscopia di assorbimento IR permette di avere
informazioni sulle vibrazioni dei legami chimici presenti nel
campione investigato.
♦Lo spettro IR è per ciascuna sostanza un’impronta digitale
da cui è possibile riconoscere il materiale.
♦è estremamente sensibile per i composti organici
♦in alcuni casi è possibile ottenere informazioni quantitative
(la tecnica in questo caso è distruttiva)
♦ le misure richiedono pochi minuti
♦nella configurazione ATR è una tecnica non distruttiva
Limiti della Spettroscopia IR
♦Può dar vita a spettri molto complessi di difficile
interpretazione
♦È molto sensibile all’acqua legata che maschera la banda dei
carbonili
♦L’analisi quantitativa può essere effettuata
condizioni distruttive per il campione (pasticche)
solo
in
♦non è sempre possibile lavorare in ATR, e risulta pertanto
necessario preparare le pasticche (tecnica distruttiva)
Spettroscopia Raman
La spettroscopia Raman si basa su
un fenomeno fisico scoperto nel
1928 dal fisico Indiano C.V. Raman
(da cui prese il nome) e che valse
allo studioso il premio Nobel per
la Fisica nel 1930. Raman osservò
che una piccola frazione della
radiazione diffusa aveva energia
diversa da quella della radiazione
incidente, e che la differenza di
energia era legata alla struttura
chimica
delle
molecole
responsabili della diffusione.
Spettroscopia Raman
Il principio su cui si basa la tecnica Raman è la diffusione di una
radiazione monocromatica incidente sul campione. Le informazioni
ottenibili derivano dal modo con cui questo fenomeno avviene
Quando una radiazione monocromatica
incide sulla superficie di un oggetto, la
radiazione può essere:
• assorbita se ha energia pari ad una
possibile transizione ad un livello
energetico superiore (es. Uv-vis, IR);
• riflessa se
materia;
non
interagisce
con
la
• diffusa se interagisce senza causare
transizioni energetiche
Spettroscopia Raman
Diffusione della luce
Considerando l’interazione luce-materia in termini di particelle, possiamo
immaginarla come una collisione tra i fotoni e le particelle che formano il
campione irraggiato. I fotoni che interagiscono con le particelle del
campione e vengono retrodiffusi possono essere di due tipi:
• se la diffusione avviene per interazione elastica, cioè senza
trasferimento netto di energia, i fotoni (ovvero la radiazione diffusa)
hanno la stessa energia di quelli incidenti: questo fenomeno è noto come
diffusione Rayleigh e costituisce l’evento più frequente
• se la diffusione è conseguenza di una interazione anelastica, cioè con
trasferimento di energia dal fotone ad una particella o viceversa, il
fotone diffuso ha energia rispettivamente minore o maggiore di quello
incidente: questo è la diffusione Raman o effetto Raman, che avviene su
un numero assai limitato di eventi, circa 1 su 106
Spettroscopia Raman
Sia nelle interazioni elastiche, che generano la diffusione Rayleigh (a), sia in quelle
anelastiche (b, c), possiamo immaginare che le molecole colpite passino ad uno stato
energetico virtuale hν0, non quantizzato, da cui decadono emettendo fotoni.
L’interazione anelastica ha due possibilità:
• la molecola decade ad uno stato
vibrazionale eccitato hν0-hν1,
emettendo un fotone ad energia
minore di quello incidente (b)
• la molecola già presente in uno
stato vibrazionale eccitato hν1
decade dallo stato virtuale allo
stato fondamentale emettendo
un fotone ad energia hν0+hν1,
maggiore di quella incidente (c)
Spettroscopia Raman
Lo spettro Raman di una molecola irraggiata da luce monocromatica è
caratterizzato da tre tipi di segnali:
• la radiazione Rayleigh, nettamente la più intensa dello spettro, avente la
stessa lunghezza d’onda della radiazione incidente ed energia hν0
• i segnali corrispondenti alle interazioni anelastiche in cui sono emessi
fotoni ad energia minore di quelli incidenti: le cosiddette linee Stokes,
con energia hν0-hν1
• i segnali corrispondenti alle interazioni anelastiche in cui sono emessi
fotoni ad energia maggiore di quelli incidenti: le cosiddette linee
antiStokes , con energia hν0+hν1
A temperatura ambiente, il livello vibrazionale fondamentale è più
popolato, quindi le linee Stokes sono più intense delle anti-Stokes.
Inoltre, le linee Stokes e quelle anti-Stokes sono simmetriche rispetto
alla linea Rayleigh (differiscono entrambe di hν1 rispetto alla Rayleigh)
Spettroscopia Raman
Spettroscopia Raman
Le informazioni che lo spettro Raman di una molecola può dare
discendono quasi esclusivamente dalle righe Stokes.
La radiazione Rayleigh non fornisce alcuna informazione in quanto ha la
stessa energia in ogni campione; le righe anti-Stokes sono generalmente
di intensità troppo bassa per essere rivelate e possono essere
sfruttate soltanto per indicare la temperatura del campione in base al
rapporto con l’intensità delle righe Stokes
Le righe Stokes, invece, sono legate ai gruppi funzionali della molecole
del campione e ai loro modi di vibrazione, in maniera analoga alla
spettroscopia infrarossa (pur con meccanismi diversi), e sono quindi
sfruttate a scopo diagnostico per identificare qualitativamente i
composti presenti nel campione; anche nella spettroscopia Raman
l’aspetto quantitativo è scarsamente preso in considerazione in quanto
la disomogeneità della superficie analizzata può inficiare la
riproducibilità di una misura
Spettroscopia Raman
Nello spettro Raman si ha in ordinata l’intensità di emissione luminosa e in ascissa
la frequenza assoluta in cm-1 oppure, più comunemente, lo spostamento Raman o
Raman shift, cioè la differenza in numeri d’onda tra la radiazione osservata e la
radiazione incidente:
∆σ = (σoss - σinc) cm-1
Esempio: eccitazione con l =
488 nm (equivalente a s =
20492 cm-1), segnale Raman
a 60 cm-1
20450
20500
20550
20600
1.E+07
1.E+06
Intensità
Normalmente la parte dello
spettro
con
i
segnali
Stokes,
quella
più
informativa, è indicata per
semplicità in cm-1 positivi,
benchè si tratti in realtà di
differenze negative
Numeri d'onda (cm-1)
1.E+05
1.E+04
1.E+03
1.E+02
1.E+01
1.E+00
-20
0
20
40
60
Raman shift (cm-1)
N.B. l’energia associata alla vibrazione è soltanto il ∆σ, non la σ o la λ assoluta!
80
Spettroscopia Raman
un po’ di teoria
Si consideri un sistema di molecole che venga investito da radiazione
elettromagnetica monocromatica. La nube elettronica di ciascuna molecola
verrà deformata e spostata rispetto al nucleo, di modo che tale spostamento
causerà la nascita di un momento di dipolo elettrico indotto.
µ =α E
Dove α è la polarizabilità della molecola
ed E il campo elettrico che possiamo
scrivere come
E = E0 cos ω 0 t
E dunque
µ = α E = α E0 cos ω 0 t
Il momento di dipolo oscillante
emetterà radiazione della
stessa frequenza del campo
incidente dando luogo alla
diffusione Rayleigh
Spettroscopia Raman
Se la molecola è soggetta a dei moti interni, vibrazionali o rotazionali, che
modificano periodicamente la polarizzabilità rispetto ai modi normali, allora
accanto all’oscillazione del dipolo si avrà una sovrapposizione di oscillazioni
vibrazionali o rotazionali
Dove ων è la frequenza (Æ pulsazione)
della
vibrazione
molecolare,
q
la
0
v
coordinata nucleare e q0 l’ampiezza
q = q cos ω t
Per piccole ampiezze di vibrazione ci si potrà limitare a considerare solo il
termine lineare della sviluppo di α rispetto a q.
⎛∂α ⎞
α ( t ) = α 0 + ⎜⎜
⎟⎟ q = α 0 + α 1 cos ω v t
⎝ ∂ q ⎠0
µ (t) = ( α 0 + α 1 cos ω v t
= α 0 E 0 cos ω v t +
α1 E0
2
)(E 0 cos ω 0 t ) =
[ cos ( ω o - ω v ) t + cos ( ω o + ω v ) t ]
Spettroscopia Raman
I segnali Raman corrispondenti ai vari legami chimici sono
ovviamente collocati nelle stesse regioni spettrali descritte per
la spettroscopia infrarossa, fatte salve le differenze dovute
alle regole di selezione
Per quanto riguarda la determinazione di sostanze inorganiche, i
segnali Raman relativi ai legami metallo-legante sono generalmente
nel range 100-700 cm-1, una regione spettrale di difficile utilizzo
nell’IR
Spettroscopia Raman
Tuttavia, le due tecniche sono più complementari che competitive.
Innanzitutto, i fenomeni che stanno alla base delle tecniche sono
diversi (assorbimento selettivo di radiazioni che provocano transizioni
energetiche nell’IR, diffusione anelastica della luce nel Raman).
Inoltre le cosiddette regole di selezione, che determinano quali modi di
vibrazione sono attivi e quali no, sono diverse: nell’IR sono assorbite
energie che provocano cambiamenti nel momento di dipolo di una
molecola, mentre nel Raman è richiesto un cambiamento della sua
polarizzabilità, proprietà legata alla possibilità di distorsione della
nuvola elettronica. In conseguenza di ciò, alcuni modi di vibrazione sono
attivi nell’IR e non nel Raman e viceversa
A vantaggio della tecnica Raman sono il fatto che l’acqua e il vetro non
causano interferenze, diversamente dall’IR, e che le linee dello spettro
Raman sono generalmente più strette e quindi più semplici da identificare.
A vantaggio della tecnica IR è invece il fatto che gli spettri siano
solitamente più ricchi di segnali e quindi la tecnica risulta di più generale
applicazione
Spettroscopia Raman
LASER
Fibra ottica
Testa di
misura con
filtro notch
Segnale TV
ra
b
Fi
Monocromatore
a reticolo
CCD
tic
t
o
a
Monitor
TV
Computer per
controllo
monocromatore
-CCD ed
elaborazione
dati
Spettroscopia Raman
LASER: Light Amplification by Stimulated Emission Radiation
• Laser UV, 244 o 325 nm
• Laser ad Argon, 488.0 nm o 514.5 nm
• Laser a He-Ne, 632.8 nm
• Laser a rubino, 694.3 nm
• Laser Nd-YAG (ittrio–alluminio–granato drogato con neodimio),
1064 nm
Spettroscopia Raman
Spettroscopia Raman
Utilizzo di laser diversi
È importante sottolineare che lo spostamento Raman, per un dato legame
ed un determinato modo di vibrazione, è indipendente dalla λ di
eccitazione, cioè dalla lunghezza d’onda del laser, ma dipende
esclusivamente dalla differenza tra due stati vibrazionali per un dato
legame. Gli spettri Raman espressi in unità di Raman shifts sono in teoria
identici con qualunque laser vengano prodotti e sono confrontabili anche
se prodotti con strumenti Raman diversi
Tuttavia, per motivi non semplici da spiegare, è possibile che l’utilizzo di
laser diversi su uno stesso campione generi segnali Raman nelle stesse
posizioni ma con intensità diverse: ad esempio, nella caratterizzazione di
pigmenti, si verifica sperimentalmente che il laser verde (514.5 nm) è più
adatto nell’ottenere spettri di pigmenti blu e verdi, mentre il laser rosso
(632.8 nm) è più adatto per pigmenti rossi e gialli. In certi casi questa
differenza è talmente marcata che alcuni pigmenti non forniscono alcun
spettro se non sono irraggiati con il laser più opportuno
Spettroscopia Raman
La frequenza del laser impiegato, e quindi l’energia irraggiata sul
campione, influenzano in maniera decisiva lo spettro Raman che si può
ottenere. È necessario tenere conto dei seguenti aspetti:
• l’intensità di emissione Raman è proporzionale alla quarta potenza della
frequenza della sorgente: in altre parole, l’emissione ottenibile con un
laser UV a 244 nm (40984 cm-1) in teoria è enormemente più intensa di
quella ottenibile con un laser NIR a 1064 nm (9399 cm-1)
• l’energia in gioco con laser a più alta frequenza (UV, visibile) è in grado
di attivare nel campione transizioni elettroniche non desiderate che
possono generare fenomeni di fluorescenza e produrre spettri di
difficile lettura; questi fenomeni sono meno evidenti con laser meno
energetici come il NIR
• un altro inconveniente dei laser ad alta frequenza è il danno che possono
causare
ai
campioni
durante
l’irraggiamento,
causando
fotodecomposizione e quindi emissione di spettri Raman anomali
Spettroscopia Raman
NIR-Raman
VIS-Raman
La fluorescenza cresce
La diffusione Raman decresce
Fluorescenza
Spettroscopia Raman
Profondità di campionamento
Dal punto di vista della profondità di campionamento, l'analisi
effettuata con uno spettrometro Raman è di tipo superficiale: le
informazioni provengono da uno strato spesso alcuni µm posto sulla
superficie. Da ciò è facile capire che le applicazioni più utili della
spettrometria Raman sono quelle in cui si è interessati a
caratterizzare le proprietà superficiali di un campione, es. i
prodotti di degradazione, i pigmenti su un dipinto o su un
manoscritto, ecc.
Alcuni strumenti hanno la possibilità di variare la profondità di
campionamento mediante un dispositivo noto come confocalità, che
permette di ricevere l’informazione da pacchetti a spessore
variabile dal campione, a patto che questo sia trasparente alla
radiazione laser
Vantaggi della Spettroscopia Raman
♦ è molto sensibile per l’analisi e l’identificazione dei composti,
perché ciascuna specie presenta un proprio caratteristico
spettro Raman vibrazionale che può essere utilizzato per
l’identificazione qualitativa
♦I tempi di misura sono estremamente brevi, la misura infatti
richiede al massimo alcuni minuti
♦La tecnica è non-distruttiva e può essere condotta anche in
situ
♦è definita spazialmente entro pochi micron, risulta inoltre
poco sensibile alla presenza di acqua legata
Limiti della Spettroscopia Raman
♦Non tutti i composti danno uno spettro Raman (in generale i
metalli non danno spettro Raman)
♦Le bande di fluorescenza possono coprire il debole segnale
Raman
♦Alcuni composti possono subire una termo degradazione
dovuta all’irraggiamento laser: diventa necessario controllare
attentamente la potenza sul campione