Il Sasso Verso l`alto

Il Sasso Lanciato Verso l’Alto
Quello del sasso verso l’alto
è un problema difficilissimo
che bisogna assolutamente imparare
per evitare di entrare nel tunnel dell’insufficienza
dal quale, ahimè, è difficilissimo uscire…
(anonimo)
Quello del sasso lanciato verso l’alto è un problema classico della cinematica: infatti in un unico
problema riusciremo ad inserire un sacco di questioni riguardanti il sistema di riferimento, il segno della
velocità e dell’accelerazione, il significato fisico di tali segni... In pratica è un problema utilissimo perché
con esso si impara a gestire le equazioni del moto uniformemente accelerato.
Cominciamo da alcune premesse che, se non si fanno e/o non si capiscono, è inutile andare avanti.
• Consideriamo, come sistema di riferimento, un asse verticale con lo zero a livello del suolo, e un
cronometro che partirà da zero al momento del lancio del sasso.
• Nella trattazione del problema non consideriamo la spinta che il braccio da al sasso. Per noi il
“tempo zero” è quello in cui il sasso lascia la mano.
• Da quel momento non c’è nessuna forza muscolare che agisce sul sasso che quindi si trova
sottoposto alla sola forza di gravità.
• Immaginiamo anche che chi lancia il sasso sia in una buca, in modo che al momento del lancio
(il “tempo zero”) il sasso sia esattamente al punto zero dell’asse verticale che abbiamo scelto
come asse di riferimento.
Il moto del sasso, attrito a parte, è un moto uniformemente accelerato. In un primo tempo, durante la
salita, l’accelerazione di gravità frena il sasso fino a farlo fermare nel punto di massima altezza, e poi lo
fa accelerare fino all’impatto col suolo.
Con le regole della cinematica siamo in grado di calcolare:
• la massima altezza raggiunta e il tempo necessario per raggiungerla
• il tempo di volo del sasso
• la velocità del sasso all’impatto col suolo.
Il moto uniformemente accelerato va trattato con due equazioni, che possiamo considerare “a sistema”:
1

s = at ² + v 0 t + s0
2

v = at + v 0
La prima equazione dà la posizione s sull’asse di riferimento dopo un tempo t, data una determinata
velocità iniziale (v0) e una posizione al tempo zero (s0).
La seconda dà la velocità raggiunta dopo un tempo t data una velocità, al tempo zero, pari a v0.
Adattiamo le due equazioni al nostro problema.
• invece che s usiamo h, visto che stiamo parlando di un’altezza.
• s0 =0 perché abbiamo detto che al momento del lancio il sasso si trova esattamente all’altezza
del suolo.
• v0 è la velocità che ha il sasso all’uscita dalla mano, cioè al tempo zero. Giusto per cultura
personale… un sasso di un paio di etti lanciato da un uomo vero direi che potrebbe avere una
velocità iniziale di un 12 – 13 metri al secondo. Per noi è un numero positivo perché al
momento del lancio è diretta, come lasse di riferimento, verso l’alto.
• L’accelerazione è quella di gravità g = 9,8 m/s², che noi indicheremo col segno negativo
perché è diretta in senso contrario rispetto all’asse di riferimento.
Le due equazioni quindi si scrivono così:
1

 h = − gt ² + v 0 t
2

 v = − gt + v 0
Calcolo dell’altezza massima:
Ciò che caratterizza il raggiungimento dell’altezza massima è il fatto che in quel momento il sasso è
fermo. Ha finito di salire ma non ha ancora incominciato a scendere. Con la seconda equazione quindi,
mettiamo zero al posto della velocità: in questo modo possiamo calcolare il tempo necessario a fare in
modo che v = 0.
0 = −gt + v 0 → gt = v 0 → t =
v0
g
Quindi, dopo un tempo pari a v0 /g secondi il sasso è fermo, e quindi nel suo punto più alto.
Basta prendere questo valore e inserirlo nella prima equazione. Se vi sembra tutto molto strano,
ricordate che, se stessimo facendo un calcolo con dei valori numerici, noi conosceremmo v0 e quindi
non dovremmo sostituire v0 /g ma il valore numerico che verrebbe fuori dalla divisione. (Tipo, se v0 =
13 m/s, il tempo necessario a raggiungere la massima altezza sarebbe di v0 /g = 13 / 9,8 = 1,32
secondi). Non turbatevi dunque nel vedere queste sostituzioni: v0 /g alla fine è solo un numero.
Comunque, sostituendo, si ottiene:
2
v 
1 v 
1 v ² v ²
1 v0 ² v0 ² 1 v0 ²
h = − g 0  + v 0  0  = − g 0 + 0 = −
+
=
2  g
g
2
g
²
g
2
g
g
2 g
 
L’ultima operazione è tra due monomi con la stessa parte letterale: “una pera meno mezza pera uguale
mezza pera”.
Calcolo del tempo di volo
Siamo riusciti a calcolare l’altezza massima partendo da un concetto che la caratterizzava: il fatto che in
quel punto la velocità è pari a zero.
Anche per calcolare il tempo di volo, ovvero il tempo necessario al sasso per salire e scendere fino al
momento dell’impatto, dobbiamo partire da un fatto caratterizzante: al momento dell’impatto il sasso è
a terra, quindi h = 0. Se sostituiamo nella prima equazione otteniamo:
1
1
 1

0 = − gt ² + v 0 t → 0 = t  − gt + v 0  → t 1 = 0 €
oppure − gt + v 0 = 0
2
2
 2

La stiamo risolvendo come un’equazione spuria, raccogliendo la t. La prima soluzione, t=0, rappresenta
il momento della partenza: anche in quel momento h era uguale a zzero.
La seconda soluzione:
1
1
2v
− gt + v 0 = 0 → gt = v 0 → gt = 2v 0 → t = 0
2
2
g
E’ quella che ci serve e che rappresenta il tempo di volo.
Calcolo della velocità all’impatto
Visto che conosco il tempo di volo, è palese che se lo sostituisco nell’equazione della velocità ottengo la
velocità dopo quel tempo lì, cioè la velocità al momento dell’impatto:
 2v 
v = −gt + v 0 = −g 0  + v 0 = −2v 0 + v 0 = − v 0
 g 
Riassumiamo nella seguente agile tabella:
tempo necessario per raggiungere l’altezza massima
Altezza massima raggiunta
Tempo di volo
Velocità di impatto
v0
secondi
g
1 v0 ²
metri
2 g
2v0
secondi
g
− v0
m/s
E adesso, dopo i conti, un po’ di fisica:
•
•
•
•
Tutte e quattro le cose dipendono da v0 : se la velocità iniziale aumenta, aumenta il tempo
necessario a raggiungere l’altezza massima, aumenta l’altezza massima, aumenta il tempo di
volo e aumenta (in valore assoluto) la velocità d’impatto.
L’altezza massima varia col quadrato di v0 , mentre i due tempi variano in proporzione a v0 :
questo significa che se la velocità iniziale raddoppia il tempo di volo raddoppia, ma l’altezza
massima raggiunta “quadrupla” (voce del verbo quadruplare), se la velocità iniziale triplica
anche il tempo di volo triplica, ma l’altezza massima diventa nove volte tanto (“nonupla”) Ecc…
Il tempo di volo è il doppio del tempo di salita: significa che il tempo che ci mette a scendere è
uguale al tempo che ci mette a salire. In modo bozzo e rozzo si può dire che in salita parte
veloce ma rallenta, e in discesa parte da fermo ma accelera e che i due effetti, combinati,
portano allo stesso risultato temporale. In modo più fine significa che se si vedesse il filmino
all’incontrario non si capirebbe la differenza.
La velocità di impatto è - v0 . Il segno meno non deve impaurirvi. Dal momento in cui comincia a
scendere la velocità del sasso è negativa, cioè diretta verso il basso, in senso contrario all’asse di
riferimento. Al momento dell’impatto la velocità è la stessa di quella che il sasso aveva al
momento del lancio. Un’altra dimostrazione del fatto che se vedessimo il filmino al contrario non
potremmo accorgerci della differenza.