P = (1, 1, −1) - Matematica e Applicazioni

Esercizio. Calcolare la distanza tra ogni coppia dei seguenti punti.
(i): P = (1, 0) e Q = (0, 1).
(ii): P = (1, 1, −1) e Q = (2, −3, 1).
(iii): P = (1) e Q = (−4).
(iv): P = (1, 2, 3, 5) e Q = (1, 1, 1, 1).
n
Soluzione. Dati gli elementi P = (p
p1 , . . . , pn ) e Q = (q1 , . . . , qn ) di R , la distanza
2
2
dist(P, Q) di P da Qpè kP − Qk = (p1 − q1 ) + · · · + (pn − qn ) .
√
(i) : dist(P, Q) = p(1 − 0)2 + (0 − 1)2 = 2.
√
√
(ii) : dist(P, Q) = p(1 − 2)2 + (1 − (−3))2 + (−1 − 1)2 = 1 + 16 + 4 = 21.
√
(iii) : dist(P, Q) = p(1 − (−4))2 = 25 = 5.
√
2
2
2
2
√ (iv) : dist(P, Q) = (1 − 1) + (1 − 2) + (1 − 3) + (1 − 4) = 1 + 4 + 9 =
14.
Esercizio. Sia r la retta di equazioni parametriche

 x = 2t − 1
y =
−t
r:

z = t+2
e P i punto di coordinate (−1, 0, 0) di R3 .
(i): Trovare l’equazione del piano π contenente r e P .
(ii): Calcolare la distanza dist(r, P ) tra P e r.
Soluzione. (i): Risolviamo questa parte dell’esercizio in due modi diversi.
Primo Modo. Iniziamo con il notare che P ∈
/ r (verificarlo!). Per la scelta t = 0
e t = −2 troviamo i punti Q = (−1, 0, 2) e T = (−5, 2, 0) di r. Ora per P, Q e T
esiste un unico piano π : {ax + by + cz + d = 0: se un piano contiene due punti
di una retta allora contiene tutti i punti della retta. Imponendo P ∈ π, troviamo
−a + d = 0 e quindi d = a. Imponendo Q ∈ p, troviamo −a + 2c + d = 0 e quindi
c = 0. Infine, imponendo T ∈ π, troviamo −5a + 2b + d = 0 e quindi 2b = 4a e
b = 2a. Prendendo a = 1 (perché lo posso fare?) troviamo π : {x + 2y + 1 = 0.
Secondo Modo. Iniziamo a trovare l’equazione di tutti i piani contenenti la retta
r. Per fare questo passiamo alle equazioni cartesiane di r.
x+1
2
−y
z−2
= t
= t
= t
r :=
x + 2y + 1
x − 2z + 5
= 0
= 0
Quindi il piano cercato avrá equazioni
π : {a(x + 2y + 1) + b(x − 2z + 5) = 0
per qualche scelta di (a, b) ∈ R2 \ {(0, 0)}. Ora imponiamo che P ∈ π. Otteniamo
a(−1 + 1) + b(−1 + 5) = 0, ossia 5b = 0 e b = 0. Quindi il piano cercato è
π : {x + 2y + 1 = 0 (perché ho potuto scegliere a = 1?).
(ii) : Per definizione dist(r, P ) è la minima distanza tra un punto di r e P .
Risolviamo questa parte in due modi.
Primo Modo. Prendiamo un punto
p generico Qt = (2t − 1, −t, t + 2) di r. La dis(2t − 1 − (−1))2 + (−t − 0)2 + (t + 2 − 0)2 =
tanza
di Qt da P è dist(Q√
t, P ) =
√
2
2
2
2
4t + t + t + 4t + 4 = 6t + 4t + 4. La funzione definita da t 7→ 6t2 + 4t + 4
1
2
p
determina una parabola che p
ha minimo
10/3 assunto per t = −1/3 (verificarlo!). Quindi dist(r, P ) = 10/3 e il punto di minima distanza tra P e r è
(−5/3, 1/3, 5/3).
Secondo Modo. La distanza di r da P è determinato dal punto Q di r per cui
il vettore direttore di r é perpendicolare al vettore direttore della retta per P e
Q. Il vettore direttore di r è R = (2, −1, 1). Sia Qt = (2t − 1, −t, t + 2). Ora il
vettore direttore della retta tra P e Qt è Vt = Qt − P = (2t, −t, t + 2). Ora R è
perpendicolare a Vt se 0 = R · Vt = 4t + t + t + 2 = 6t + 2, ossia per t = −1/3.
Quindi il punto di minima distanza tra P e r è Q−1/3 = (−5/3, 1/3, 5/3). Ora
p
p
dist(r, P ) = dist(Q−1/3 , P ) = (−5/3 − (−1))2 + (1/3)2 + (5/3)2 = 10/3.
Esercizio. La distanza della retta r con equazioni parametriche X = P + tA dal
punto Q è
s
((P − Q) · A)2
.
kP − Qk2 −
kAk2
Soluzione. Troviamo il punto Y di r per cui Y − Q sia perpendicolare ad A: per
tale punto abbiamo dist(r, Q) = dist(Y, Q). Ora Y − Q = (P − Q) + tA. Inoltre,
Y − Q è perpendicolare ad A se 0 = (Y − Q) · A = (P − Q) · A + t(A · A). Visto
che A 6= 0, abbiamo A · A 6= 0 e quindi t = − (P −Q)·A
. Quindi il punto di minima
A·A
distanza di Q da r è
(P − Q) · A
A.
Y =P −
A·A
Infine dist(r, Q) = dist(Y, Q) = kY − Qk = k(P − Q) − (P −Q)·A
Ak. Abbiamo
A·A
(P − Q) · A
(P − Q) · A
(Y − Q) · (Y − Q) =
(P − Q) −
A · (P − Q) −
A
A·A
A·A
2
(P − Q) · A
(P − Q) · A
= (P − Q) · (P − Q) − 2
(A · (P − Q)) +
A·A
A·A
A·A
((P − Q) · A)2
((P − Q) · A)2
= kP − Qk2 − 2
+
A·A
A·A
((P − Q) · A)2
2
= kP − Qk −
.
kAk2
Esercizio. Sia r la retta di equazioni parametriche

 x = t+1
y = −t
r:

z = t+2
e Q il punto di coordinate (1, 0, 0) di R3 . Calcolare dist(r, Q).
Proof. Applichiamo la formula vista nell’esercizio precedente. Abbiamo Q =
(1, 0, 0), A = (1, −1, 1), P = (1, 0, 2), P − Q = (0, 0, 2), kP − Qk2 = 4, kAk2 = 3
(P − Q) · A = 2 e
r
4 p
dist(r, Q) = 4 − = 8/3.
3
3
Esercizio. Siano date le rette r, s e il punto


 x = 2t − 1
 x
y =
−t
y
r :=
s :=


z = t+1
z
P seguenti:
=
=
=
1
t
t+2
P = (1, 0, 0).
(i): Verificare se il punto P appartiene alla retta r.
(ii): Trovare il piano π contenente s e parallelo a r.
(iii): Trovare la distanza da P a π.
Soluzione. (i) : Chiaramente P ∈
/ r visto che dalla seconda coordinata abbiamo
che t = 0 ma per t = 0 troviamo il punto (−1, 0, 1) di r.
(ii) : Troviamo i piani contenenti s. Passando alle equazioni cartesiane per s
troviamo
x−1
= 0
s :=
y − z + 2 = 0.
Per cui i piani contenenti s sono π(a,b) : {a(x − 1) + b(y − z + 2) = 0, al variare di
(a, b) ∈ R2 \ {(0, 0)}. Ossia π(a,b) : {ax + by − bz − a + 2b = 0. Ora bisogna imporre
che π(a,b) sia parallelo a r. La retta r ha vettore direttore (2, −1, 1). Quindi bisogna
imporre che (2, −1, 1) sia ortogonale a (a, b, −b). Per cui 2a − b − b = 0 e a = b.
Quindi il piano cercato è π := {x + y − z + 1 = 0.
(iii) : Per trovare la distanza di P da π possiamo trovare il punto Q di π per
cui P − Q sia ortogonale a π: per tale punto Q abbiamo dist(P, π) = dist(P, Q).
L’equazione parametrica della retta m passante per P ed ortogonale a π è

 x = 1+t
y =
t
m :=

z = −t.
Abbiamo che Q è il punto di intersezione di m con π. Il punto (1 + t, t, −t) è
contenuto in π se 1 + t + t + t + 1 =p0: ossia t = −2/3.p Il punto cercato è
Q = (1/3, −2/3, 2/3). Ora dist(P, Q) = 4/9 + 4/9 + 4/9 = 4/3.
Esercizio. La distanza del piano π : {ax + by + cz + d = 0 da P = (x0 , y0 , z0 ) è
|d + ax0 + by0 + cz0 |
√
.
a2 + b2 + c2
Soluzione. Scrivi V = (a, b, c). L’equazione parametrica della retta r passante
per P e perpendicolare a π è

 x = x0 + ta
y = y0 + tb
r :=

z = z0 + tc.
Ora il punto di intersezione Q di r con π è ottenuto dalla scelta di t con a(x0 + ta) +
b(y0 + bt) + c(z0 + tc) + d = 0. Ossia V · P + tV · V + d = 0 e t = (−d − V · P )/(V · V ).
·P
Quindi Q = P + −d−V
V . Infine calcoliamo dist(P, Q)
V ·V
s
r
−d − V · P
−d − V · P
(d + V · P )2
|d + ax0 + by0 + cz0 |
√
kP − Qk =
V ·
V =
=
.
V ·V
V ·V
V ·V
a2 + b2 + c2
Esercizio. Calcolare la distanza di π : {x + y − z + 1 = 0 da P = (1, 0, 0).
4
Soluzione. Usando la formula precedente abbiamo dist(P, π) =
√
2/ 3.
Esercizio. Siano date le rette r e s seguenti:


 x = 2t − 3
 x
y = −t + 1
y
r:
s:


z =
t
z
√
|1+1|
12 +12 +12
=
=
1
= t−1
= t + 1.
Calcolare la distanza di r da s.
Soluzione. Inziamo osservando che, la distanza di r da s coincide con la distanza
del punto P di r dal punto Q di s con P − Q perpendicolare sia a r che a s. Il
vettore direttore di r è Ar = (2, −1, 1), il vettore direttore di s è As = (0, 1, 1).
Prendiamo ora un punto generico Pt = (2t − 3, −t + 1, t) di r ed un punto generico
Qv = (1, v − 1, v + 1) di s. Imponiamo che Pt − Qv = (2t − 4, −t − v + 2, t − v − 1)
sia perpendicolare sia a Ar che a As . Quindi 0 = Ar · (Pt − Qv ) = 2(2t − 4) − (−t −
v + 2) + (t − v − 1) e 0 = As · (Pt − Qv ) = (−t − v + 2) + (t − v − 1) = 0. Dalla
prima equazione troviamo t = 11/6, e dalla sencoda equazione troviamo v = 1/2.
Quindi il punto di r cercato è P = (2/3, −5/6, 11/6), e il punto di s cercato è
Ps = (1, −1/2, 3/2).
p
√
Infine dist(r, s) = dist(P, Q) = 1/9 + 1/9 + 1/9 = 1/ 3.