Problema n°1 Un condensatore 1 di capacità C1 =0.7 mF è

Problema n°1
Un condensatore 1 di capacità C1 =0.7 mF è collegato in serie con un condensatore 2 di capacità C2=0.3mF.
Questa combinazione è collegata in parallelo con un condensatore 3 di capacità C3=0.4m F . Ai capi di tale
sistema viene applicata una tensione V0=24 V. Si calcoli
a) La capacità risultante C del sistema;
b) Le tensioni V1, V2, V3 ai capi di ciascun condensatore.
Supponendo che ai capi dell’intero sistema sia mantenuta la tensione V0 , il condensatore 2 viene, poi,
riempito con un dielettrico di costante dielettrica relativa r = 2
In tali condizioni, si calcolino:
c) Le cariche q’1, q’2, q’3 presenti sulle armature di ciascun condensatore
C1 = 0,7 mF = 710-7 F
capacità numero 1
C2 = 0,3 mF = 310-7 F
capacità numero 2
C3 = 0,4 mF = 410-7 F
capacità numero 3
V0 = 24 V
tensione ai capi del circuito
Ceq = ?
capacità del sistema (capacità equivalente)
V1 = ? - V2 = ? - V3 = ?
tensioni ai capi dei condensatori
La capacità equivalente si determina risolvendo prima la serie tra C1 e C2
1
1
1
𝐶1 ∙ 𝐶2
=
+
𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑖 𝐶12 =
𝐶12
𝐶1 𝐶2
𝐶1 + 𝐶2
Questa è in parallelo con C3 quindi:
𝐶1 ∙ 𝐶2
21 ∙ 10−14
𝐶𝑒𝑞 = 𝐶3 + 𝐶12 = 𝐶3 +
= 4 ∙ 10−7 +
= 6,1 ∙ 10−7 𝐹
𝐶1 + 𝐶2
10 ∙ 10−7
La tensione ai capi del tratto in cui vi è solo C3 e del tratto in cui vi sono C1 e C2 è uguale a quella fornita dal
generatore, quindi:
𝑉3 = 𝑉0 = 24 𝑉
𝑉12 = 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑉0 = 24 𝑉 (1)
La carica presente su C1 e C2 è uguale, quindi:
𝑞1 = 𝐶1 ∙ 𝑉1 𝑞2 = 𝐶2 ∙ 𝑉2
𝑉1 =
𝐶2 ∙ 𝑉2
𝐶1
𝑐ℎ𝑒, 𝑖𝑛𝑠𝑒𝑟𝑖𝑡𝑎 𝑛𝑒𝑙𝑙𝑎 1 , 𝑑𝑎:
𝑉2 =
𝑉0
𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖 𝐶1 ∙ 𝑉1 = 𝐶2 ∙ 𝑉2
𝐶2 ∙ 𝑉2
+ 𝑉2 = 𝑉0 
𝐶1
= 16,8 𝑉 𝑒 𝑉1 =
𝐶2 ∙ 𝑉2
= 7,2 𝑉
𝐶1
𝐶2
+ 1 𝑉2 = 𝑉0
𝐶1
𝐶2
𝐶1 + 1
Relativamente al quesito c) si deve considerare che inserendo un dielettrico in un condensatore, questo vede
modificata la propria capacità secondo la relazione
𝐶2′ = 𝜀𝑟 ∙ 𝐶2 = 6 ∙ 10−7 𝐹
’
Sostituendo C2 a C2 nelle relazioni che permettono di calcolare V2 e V1 si otterrano le V2’ e V1’ e da queste si
possono calcolare q1’ e q2’ ---- eseguite i calcoli!!!
PROCESSO DI CARICA E SCARICA DI UN CONDENSATORE
(cap. 6 pagg. 199-200 del libro di testo)
PROCESSO DI CARICA
Un condensatore può essere caricato per mezzo di un generatore di f.e.m., con resistenza interna
trascurabile, collegato tramite un resistore. Durante il processo, la carica sulle armature cresce nel tempo ed
è quindi una funzione Q(t)
Possiamo scrivere la relazione della carica in funzione del tempo:
𝑡
𝑡
𝑄 𝑡 = 𝑄0 ∙ 1 − 𝑒 −𝑅𝐶 = 𝐶 ∙ ℰ ∙ 1 − 𝑒 −𝑅𝐶
ℰ ≡ 𝑉0 𝑛𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑜 𝑑𝑖 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑜
Q0
carica massima accumulabile su C
RC = 
costante di tempo
La corrente, variabile dal valore massimo
data dalla relazione:
ℰ
𝑅
a zero (quando le armature sono completamente cariche) è
𝑖 𝑡 =
ℰ −𝑡
∙ 𝑒 𝑅𝐶
𝑅
PROCESSO DI SCARICA
Un condensatore può essere scaricato per mezzo di un circuito come in figura, nel momento che
l’interruttore viene posizionato su B, quindi il condensatore (carico) si scaricherà direttamente su R. Durante
il processo, la carica sulle armature decrescerà nel tempo, fino ad annullarsi, sempre in funzione del tempo
Possiamo scrivere la relazione della carica in funzione del tempo:
𝑡
𝑄 𝑡 = 𝑄0 ∙ 𝑒 −𝑅𝐶
La corrente, variabile dal valore massimo
data dalla relazione:
ℰ
𝑅
a zero (quando le armature sono completamente scariche) è
𝑖 𝑡 =
𝑄0 − 𝑡
∙ 𝑒 𝑅𝐶
𝑅𝐶
Poiché
ℰ 𝑡 =𝑅∙𝑖 𝑡
𝑠𝑖 ℎ𝑎 ℰ 𝑡 = 𝑅 ∙
𝑄0 − 𝑡
𝑄0 − 𝑡
∙ 𝑒 𝑅𝐶 =
∙ 𝑒 𝑅𝐶
𝑅𝐶
𝐶
Problema n°2
Due condensatori di capacità C = 6 F, due resistenze R = 2,2 k ed una batteria da 12 V sono collegati in
serie come in Figura. I condensatori sono inizialmente scarichi.
Calcolare:
1. la corrente iniziale nel circuito (cioè non appena il circuito viene chiuso)
2. il tempo necessario perchè la corrente scenda al valore I = 1,2 mA
C = 6 F = 610-6 F
capacità dei condensatori
-3
R = 2,2 k = 2,210 
resistenza dei resistori
I0 = ?
corrente iniziale
t = ?
tempo necessario affinché I scenda a 1,2 mA
Semplifichiamo, dapprima, il circuito, calcolando la resistenza equivalente e la capacità equivalente.
𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 = 4,4 𝑘Ω
𝐶𝑒𝑞 =
𝐶1 ∙ 𝐶2
𝐶2
𝐶
=
= = 3 ∙ 10−6 𝐹
𝐶1 + 𝐶2 2 ∙ 𝐶 2
Il circuito si semplifica come in figura
Alla chiusura dell'interruttore, il condensatore Ceq inizia a sentire la differenza di potenziale fornita dal
generatore, e dunque inizia ad accumularsi carica sulle sue armature, permettendo il passaggio di corrente
lungo il circuito. Per 𝑡  ∞ , fra le armature del condensatore vi sarà una d.d.p. pari alla tensione fornita dal
generatore; a quel punto, nel circuito non scorrerà più corrente. La presenza della resistenza ha l'effetto di
distribuire nel tempo il caricamento del condensatore; se i collegamenti fra il generatore e il condensatore
non presentassero resistenza, la carica del condensatore avverrebbe idealmente in un tempo istantaneo.
La corrente al tempo t=0 si determina dalla relazione di i in funzione di t:
𝑖 0 =
ℰ −0
12 𝑉
∙ 𝑒 𝑅𝐶 =
∙ 1 = 2,7 𝑚𝐴
𝑅
4,4 ∙ 103 Ω
La corrente al tempo tx sarà uguale a 1,2 mA, quindi:
𝑖 𝑡𝑥 =
𝑡
ℰ − 𝑡𝑥
− 𝑥
∙ 𝑒 𝑅𝐶 → 1,2 ∙ 10−3 = 2,7 ∙ 10−3 ∙ 𝑒 0,0132
𝑅
(1)
Poiché:
𝑅 ∙ 𝐶 = 𝑅𝑒𝑞 ∙ 𝐶𝑒𝑞 = 4,4 ∙ 103 ∙ 3 ∙ 10−6 = 0,0132 𝑠
Risolvendo la (1):
𝑒
𝑡
− 𝑥
0,0132
= 0,44
𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑖
−
𝑡𝑥
= log 𝑒 0,44
0,0132
→
𝑡𝑥 = 0,011𝑠
Risolvere il seguente problema:
Nel circuito in Figura si hanno R1 = 850 , R2 = 250 , R3 = 750 , C = 150 F, V = 12 V.
Inizialmente, l'interruttore è chiuso ed il condensatore è carico. All'istante t = 0 si apre l'interruttore ed il
condensatore comincia a scaricarsi. Determinare:
1. quanto vale la costante di tempo  per la scarica
2. quanto vale la tensione ai capi del condensatore dopo che è trascorso un tempo pari ad una volta la
costante di tempo (cioè dopo un tempo t = 