PCM - rumore di quantizzazione

La quantizzazione non lineare
1. Il rumore di quantizzazione.
Il processo di digitalizzazione produce per sua natura un errore, detto errore di
quantizzazione, infatti ogni campione analogico viene associato ad un valore scelto tra una
serie di livelli discreti.
Se indichiamo con q l’ampiezza dell’intervallo di quantizzazione, possiamo dire che il
campione digitalizzato avrà un’incertezza + q / 2 sull’ampiezza esatta del campione analogico.
Soltanto i campioni analogici con una ampiezza corrispondente al punto centrale dell’intervallo
di quantizzazione non sono affetti da alcun errore.
Il segnale PCM demodulato che si ottiene in ricezione non corrisponde quindi esattamente al
segnale analogico di partenza e può essere considerato come un segnale analogico a cui si è
sommato un rumore, detto appunto rumore di quantizzazione.
Valutazione del rumore di quantizzazione.
Cerchiamo di valutare ora il rapporto segnale-rumore determinato dalla quantizzazione, in
funzione del numero di bit utilizzati per la codifica
La tensione di rumore di quantizzazione Vqn ha un valore di picco pari a q/2 e si può
dimostrare che il corrispondente valore efficace vale:
Vqn = q / 2V 3
La potenza di rumore di quantizzazione risulta quindi:
2
Pqn = q / 12R
Possiamo quindi calcolare il rapporto segnale-rumore di quantizzazione, o S.q.e.r. (Signal-toquantizazion error ratio). Applicando all’ADC un segnale sinusoidale della massima ampiezza
si ha:
Vspp = q M
Vs max = q M / 2
Vs eff = q M / 2 V 2
(R.M.S.)
La corrispondente potenza media vale:
2
S=V
2
s eff
2
/R=q M /8R
La potenza di rumore di quantizzazione risultava:
2
Pqn = q / 12R
pertanto il rapporto Segnale - Rumore vale:
2
2
2
2
S / Nq = (q M / 8 ) / (q / 12 ) = 3/2 M
Questo è il massimo rapporto segnale-rumore di quantizzazione per una sinusoide quantizzata
in M livelli. Con n = 8 bit risultano M = 256 livelli e quindi:
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2
(S / Nq ) dB = 10 log 3/2 M = 10 log 98304 = 49,9 dB.
Si noti però che il valore ricavato corrisponde al massimo valore di rapporto segnale - rumore
di quantizzazione di un ADC, cioè il valore di S / Nq in corrispondenza di Vs di grande
ampiezza, mentre con segnali in ingresso di debole ampiezza avremo valori di S / Nq inferiori.
2. Quantizzazione non uniforme
L'errore di quantizzazione può essere ridotto ad un valore desiderato utilizzando degli intervalli
di quantizzazione più piccoli, e quindi un grande numero di livelli nel processo di
quantizzazione, ciò che comporta un maggior numero di bit per definire il singolo livello, cioè
una maggiore velocità di trasmissione e, in definitiva, una maggiore larghezza di banda richiesta
al canale trasmissivo.
Ai fini della riduzione del rumore di quantizzazione, l'impiego di intervalli di quantizzazione più
fitti può risultare pertanto una soluzione non conveniente.
Una alternativa tecnica che consente di ridurre il rumore di quantizzazione senza comportare
un allargamento di banda è dato dall'impiego di una quantizzazione non uniforme (o
quantizzazione non lineare).
Si può infatti osservare che in un segnale quantizzato in modo uniforme l'errore di
quantizzazione è massimo per segnali di piccola ampiezza, mentre si riduce in corrispondenza
di segnali di grande ampiezza. L'errore di quantizzazione infatti nel caso più sfavorevole può
essere pari all'ampiezza dell'intervallo di quantizzazione, così che un segnale di debole
ampiezza, dell'ordine di grandezza di un intervallo di quantizzazione, può essere affetto da un
errore relativamente grosso, mentre un segnale di grande ampiezza, pari a diversi intervalli, può
essere affetto da un errore relativamente molto minore.
Un sistema di quantizzazione non uniforme utilizza quindi dei gradini di ampiezza molto più
piccola in corrispondenza dei segnali di piccola ampiezza e dei gradini di ampiezza maggiore
in corrispondenza dei segnali di ampiezza maggiore; il processo di conversione che ne
consegue sarà senz'altro più preciso.
Va infine considerato il fatto che la distribuzione statistica delle ampiezze di un tipico segnale
di informazione (ad esempio il segnale vocale) non è uniforme: le ampiezze più piccole hanno
senz'altro una maggiore probabilità di verificarsi rispetto alle ampiezze di valore maggiore; è
quindi vantaggioso impiegare un sistema di quantizzazione che utilizza un numero maggiore di
gradini per segnali di piccoli ampiezza, ed invece dei gradini molto più larghi in corrispondenza
ai segnali di ampiezza elevata.
3. Implementazione della quantizzazione non lineare: tecniche analogiche.
Vediamo ora come può essere realizzata in pratica una quantizzazione non uniforme: vi sono in
effetti diverse soluzioni.
La soluzione più intuitiva del problema è quella di utilizzare un codificatore lineare preceduto
da un compressore di dinamica analogico. In ricezione, dopo la decodifica un espansore
complementare dovrà ripristinare la gamma dinamica originale.
Questa tecnica di compressione-espansione, o companding (sintesi di compress-expanding ),
utilizza in corrispondenza del terminale trasmittente del sistema un blocco chiamato
compressore, e successivamente un espansore in corrispondenza del terminale ricevente. Uno
schema a blocchi che illustra la tecnica del companding è riportato in figura 13.
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Fig. 13. Tecnica del companding.
Il compressore è un quadripolo che comprime il range dinamico delle ampiezze del segnale di
informazione: le componenti del segnale di elevata ampiezza sono attenuate più che non le
componenti di modesta ampiezza. La compressione è quindi una operazione non lineare, il
segnale applicato al compressore è deliberatamente distorto. L'uscita del compressore è
applicata ad un quantizzatore uniforme, ne risulta complessivamente l'effetto di una
quantizzazione non uniforme.
All'estremità ricevente poi il segnale analogico ottenuto dalla conversione digitale-analogica
viene applicato ad un espansore che ripristina l'originaria relazione tra le ampiezze.
Per realizzare la compressione (e l’espansione in ricezione) si utilizzano componenti non lineari
con caratteristica tensione-corrente prossima alla legge di compressione da realizzare.
Alla semplicità concettuale della tecnica analogica fa riscontro una difficoltà realizzativa.
Infatti, perchè non si abbia distorsione del segnale, la caratteristica di trasferimento
dell’espansore deve essere perfettamente complementare a quella del compressore, mentre
nella pratica è difficile ottenere questo risultato (a parte i problemi di messa a punto per
ottenere una perfetta complementarità delle curve, queste poi non si mantengono tali nel tempo
per problemi di instabilità termica). Per questi motivi le tecniche analogiche sono oggi del tutto
abbandonate, anche se è interessante il loro esame perchè permettono di capire bene le leggi di
compressioni logaritmiche che stanno alla base anche delle tecniche utilizzate successivamente.
4. Leggi di compressione logaritmica
Ogni tipo di informazione (audio, video, grafica) richiede una propria legge di quantizzazionecompressione che permette di ottimizzare da un lato la intelligibilità del messaggio restituito e
dall’altro di rendere minima la frequenza del segnale numerico equivalente.
La curva di compressione e di espansione utilizzata nel PCM telefonico dipende dal
particolare standard utilizzato: nei sistemi telefonici realizzati nel nord America viene utilizzata
una curva denominata curva di tipo µ (standard Bell), mentre in quelli realizzati in Europa si
utilizza una curva denominata di tipo A (standard CEPT).
Le curve di companding normalmente non sono curve continue ma sono curve ottenute da
spezzate, cioè da serie di segmenti, detti corde, che approssimano l’andamento della curva
logaritmica desiderata; all’interno di ogni corda si utilizzano gradini di uguale ampiezza. Ad
esempio la curva µ dispone di 16 corde, 8 per la parte positiva e 8 per la parte negativa.
Legge di tipo µ = 255 (Bell)
y=
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x = ampiezza relativa del segnale all’ingresso del compressore (cioè Vi / VFS ).
y = ampiezza relativa del segnale all’uscita del compressore (cioè Vo / VFS ).
µ = parametro adimensionale che caratterizza il tasso di compressione utilizzato.
La pendenza della curva di compressione nell’origine è detta Guadagno di compressione.
Quindi
Si può tracciare un diagramma che indica l’aumento del guadagno di compressione G in
funzione di µ (può esprimersi anche in termini di aumento equivalente del numero di cifre
binarie). I sistemi Bell di prima generazione adottarono n = 7 e µ = 100 ,cui corrisponde G =
26,7 dB ; attualmente µ = 255 , cui corrisponde G = 33,2 dB (si ha un aumento equivalente di
5 cifre binarie).
Legge di tipo A = 87,6 (CEPT)
y=
x = ampiezza relativa del segnale all’ingresso del compressore (cioè Vi / VFS ).
y = ampiezza relativa del segnale all’uscita del compressore (cioè Vo / VFS ).
A = parametro adimensionale che caratterizza il tasso di compressione utilizzato.
La pendenza della curva di compressione nell’origine è detta Guadagno di compressione.
Quindi
Il sistema europeo utilizza una curva segmentata a tratti lineari, cioè una curva di compressione
con legge A = 87,6 approssimata da 13 segmenti di spezzata.
I segmenti approssimano la curva logaritmica, ma all’interno del singolo segmento i quanti
hanno ampiezza uniforme.
Fig. 14. Curve di compressione (legge A e legge µ)
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Fig. 15. Curve di compressione (spezzate)
5. Implementazione della quantizzazione non lineare: tecniche numeriche
I circuiti sono più complessi rispetto a quelli delle tecniche analogiche, ma non richiedono
particolari accorgimenti per garantire l’uniformità e la stabilità delle prestazioni.
• le tecniche analogiche sono più idonee per la realizzazione di leggi di compressione ed
espansione ad andamento continuo;
• le tecniche numeriche sono più adatte alla realizzazione di leggi ad andamento discontinuo.
In questo caso le curve di compressione-espansione sono ottenute approssimando la curva
teorica con una serie di segmenti lineari (corde) la cui pendenza diminuisce all’aumentare
della distanza dall’origine. Avremo quindi in realtà:
- caratteristica a 13 spezzate che approssima la legge A=87,6 (adottata in sede CEPT)
- caratteristica a 15 spezzate che approssima la legge µ= 255 (adottata in USA)
- ogni corda comprende 16 gradini di altezza uguale (fig. 15).
Le soluzioni per ottenere una quantizzazione non lineare con tecniche numeriche sono
sostanzialmente due:
• L’impiego di un codificatore non lineare (codifica autocompressa), che prevede un
hardware alquanto complesso, ma attualmente implementabile in tutti i codec LSI.
• L’impiego di un codificatore lineare (a 12 bit) seguito da un compressore digitale che
elabora i dati da 12 a 8 bit.
a) Codifica autocompressa.
Viene realizzata con una distribuzione non uniforme dei livelli di decisione.
Si tratta di fare in modo che, nella realizzazione del codificatore, le tensioni di riferimento in
corrispondenza di ogni gradino siano modificate, per esempio i gradini intorno ai primi
comparatori, quelli di valore più basso, devono essere decrementati, mentre i gradini in
corrispondenza dei comparatori più alti devono essere aumentati. Le difficoltà derivanti da
questa soluzione stanno sia nella precisione richiesta in questo caso ai resistori, sia dal fatto di
dover disporre di tensioni di riferimento esenti da deriva.
A differenza del codificatore lineare che usa i pesi dal maggiore al minore, il codificatore
autocompresso deve individuare prima di tutto la spezzata che corrisponde al campione in
esame (3 bit) e successivamente effettuare una codifica lineare (4 bit).
Parola di 8 bit
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S
A
B
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C
x
y
z
w
S = bit di segno
A, B, C = 3 bit individuano il segmento
x, y, z, w = 4 bit per determinare l’ampiezza dei 16 livelli compresi nel segmento.
b) Codifica lineare a 12 bit e compressione numerica.
Il processo consiste nell'effettuare dapprima una quantizzazione uniforme molto accurata,
utilizzando un gran numero di gradini di piccola ampiezza, e successivamente, dopo che
l'informazione è codificata in forma digitale, nell'elaborare il segnale digitale in modo da
trasformarlo in una nuova forma, sempre digitale, che è quella che si otterrebbe da una
quantizzazione non uniforme.
Si noti che è necessaria una diversa e più veloce temporizzazione all’interno del tempo di
canale di 3,9 µs. (In generale si opera a frequenza doppia e si usano 12 dei 16 intervalli per la
codifica).
Fig. 16 – Compressione numerica.
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