Soluzione

FISICA MODERNA / FISICA III
I homework: fisica relativistica - 12 Ottobre 2010
consegna 26 Ottobre 2010
1. Una nave spaziale lascia la terra a velocità 3c/5. Quando l’orologio sulla nave indica
che è passata un’ora dalla partenza, la nave spedisce un segnale di luce verso la terra.
• Secondo l’orologio sulla terra, dopo quanto tempo dalla partenza è stato spedito
il segnale?
• Secondo l’orologio sulla terra, dopo quanto tempo dalla partenza il segnale arriva
sulla terra?
• Secondo l’osservatore sulla nave spaziale, dopo quanto tempo dalla partenza il
segnale arriva sulla terra?
2. Dimostrare esplicitamente che due trasformazioni di Lorentz successive: i) fra un sistema inerziale S e uno S’ in moto con velocità v1 rispetto a S; ii) fra S’ e un sistema
inerziale S” in moto con velocità v2 rispetto a S’, equivalgono ad una singola trasformazione di Lorentz con velocità V = (v1 + v2 )/(1 + v1 v2 /c2 ). Si assumano v1 e v2
parallele all’asse x.
3. Un nucleo di massa M inizialmente a riposo emette un elettrone con quantità di moto
1.73 MeV/c e un neutrino con quantità di moto 1.00 MeV/c in direzione ortogonale
alla precedente. (1 eV = 1.6 × 10−19 J, c = 3 × 108 m/s)
• Qual è la direzione di rinculo del nucleo, e quanto vale la sua quantità di moto?
• Se M = 3.9 × 10−26 Kg, quanto vale l’energia cinetica (classica) del nucleo, in eV?
E’ giustificata l’approssimazione classica?
• Assumiano che la massa del neutrino sia nulla; la massa dell’elettrone è me = 0.51
MeV/c2 . Quanto valgono le energie del neutrino e dell’elettrone?
• Quale frazione della massa originaria del nucleo è stata convertita in energia (inclusa l’energia a riposo dell’elettrone)?
4. E’ comune in fisica delle particelle elementari far collidere due fasci di particelle viaggianti in direzione opposta, piuttosto che un solo fascio di particelle su di un bersaglio
fisso. Consideriamo due particelle uguali di energia EC , che viaggiano in direzioni opposte; consideriamo tale processo nel sistema di riferimento in cui una particella incide
con energia EL sull’altra particella ferma.
• Dimostrare che vale la seguente relazione (dove m è la massa della particella):
EL =
2EC2
− mc2 .
mc2
• Supponiamo che le particelle siano protoni (m = 0.94 GeV/c2 ) e che i due fasci
collidano con energia EC = 20 GeV. Qual è l’energia equivalente per un solo fascio
di protoni incidente su di un bersaglio di protoni fissi?
• Dimostrare che nel caso classico, vale EL = 4EC (dove EL ed EC sono in questo
caso energie cinetiche classiche).
Soluzioni
1. ∆t0 = 1h è il tempo trascorso nel sistema di riferimento dell’astronave; β = 3/5, γ = 5/4.
• Per la dilatazione del tempo, l’orologio sulla terra indicherà ∆t = γ∆t0 = 5/4 h.
• L’astronave dista v∆t = cβ∆t da terra quando spedisce il segnale, che viaggia a
velocità c. Da qui ∆T = ∆t + β∆t = 2 h.
• Il tempo ∆T trascorso sulla terra corrisponde ad un tempo ∆T 0 = γ∆T =2.5 h
sull’astronave. Soluzione alternativa: l’astronave vede la terra a distanza β∆t0 che
si allontana con velocità −β, da cui ∆T 0 = ∆t0 + β/(1 − β)∆t0 = 2.5 h.
2. Sfruttando la formulazione matriciale delle trasformazioni di Lorentz si ha (composizione delle due trasformazioni):
00
γ 00
−γ 00 β 00
x
=
0 =
00
00
00
−γ β
γ
x1
0
0
γ 00
−γ 00 β 00
γ
−γ 0 β 0
x
=
00
00
00
0
0
0
−γ β
γ
−γ β
γ
x1
00 0
0
γ γ + γ 00 γ 0 β 00 β 0 −γ 00 γ 0 β 0 − γ 00 γ 0 β 00
x
−γ 00 γ 0 β 0 − γ 00 γ 0 β 00 γ 00 γ 0 + γ 00 γ 0 β 00 β 0
x1
00 x0
00
x1
dove abbiamo posto
γ 00 = γ(v2 ) = q
1
1−
γ 0 = γ(v1 )
v2
c
2
β 00 = β(v2 ) =
v2
c
β 0 = β(v1 )
Dobbiamo dimostrare che esiste un V tale che γ 00 γ 0 (1 + β 00 β 0 ) = γ(V ), e che −γ 00 γ 0 (β 00 +
β 0 ) = −γ(V )β(V ). Risulta:
γ 00 γ 0 (1 + β 00 β 0 ) = q
1−
1
=q 4 2 2 2 2 2
1
v12
c2
c −c (v1 +v2 )+v1 v2
c4
c4
(c2 +v1 v2 )2
1
=r
c2 (v1 +v2 )2
v v
c4 (1+ 12 2 )2
1−
c
−
v22
c2
v12 v22
c4
+
c2 + v1 v2
=
c2
1
=q
1−
2c2 v1 v2 −c2 (v12 +v22 )
(c2 +v1 v2 )2
1
=s
v1 +v2
v v
1+ 12 2
c
c2
1−
=
2
Analogamente si trova che:
00 0
00
0
−γ γ (β + β ) = · · · = − v
u
u
t
1−
v1 +v2
v v
1+ 12 2
1
c
!2
c
v1 +v2
v v
1+ 12 2
c
c2
v1 + v2
, le due trasformazioni di Lorentz successive sono
1 + v1c2v2
equivalenti ad un’unica trasformazione di Lorentz tra due sistemi inerziali in moto con
velocità relativa V .
Pertanto, ponendo V =
3.
• Poniamo pe = pe x̂, pν = pν ŷ. Per la conservazione
della quantità di moto, P =
p
−pe x̂ − pν ŷ. Tale vettore, di modulo P = p2e + p2ν ' 2.00 MeV/c2 , forma un
angolo θ ' 30o con l’asse −x̂ (perché cos θ = pν /P ).
• Supponiamo che il processo sia classico e trascuriamo la variazione della massa M
dopo l’emissione delle particelle:
Ec =
P2
(2.00M eV )2
4.00 · 1.6 × 10−19 · (106 )2
=
=
eV u 91.2eV
2M
2 · 3.9 × 10−26 · c2 Kg
2 · 3.9 × 10−26 · (3 × 108 )2
L’approssimazione non relativistica è pienamente giustificata, in quanto P M c.
• Assumendo massa nulla per il neutrino,p
Eν = pν c = 1.00M eV . La massa dell’elettrone
;
la
sua
energia
è
E
=
m2e c4 + p2e c2 u 1.80M eV .
me = 0.51 MceV
e
2
2
P
• L’energia prima del processo vale M c2 ; dopo il processo, vale M 0 c2 + 2M
0 +Eν +Ee .
Il termine cinetico della particella è trascurabile (90 eV contro 1 Mev e 1.80 MeV).
Di conseguenza, (M −M 0 )c2 u Eν +Ee = 2.8 MeV. La perdita di massa del nucleo è
quindi ∆M = 2.8 MeV/c2 , ovvero ∆M u 0.5×10−29 Kg, cioè ∆M/M u 1.3×10−4 ,
ovvero 0.013%.
4.
• Nel sistema di riferimento “del laboratorio” (una particella in moto che incide su
di una in quiete), il quadrivettore energia-impulso vale pµ = (mc + EL /c, p), con
EL2 = c2 p2 + m2 c4 , da cui
E2
E2
EL 2 2
pµ pµ = − mc +
+p = −m2 c2 − 2L −2mEL + 2L −m2 c2 = −2m(mc2 +EL ).
c
c
c
Nel sistema di riferimento (“del centro di massa”, o più correttamente del “momento”) in cui le due particelle collidono l’una sull’altra: pµ = (2EC /c, 0) e
pµ pµ = −4Ec2 /c2 . Sfruttiamo l’invarianza del modulo dei quadrivettori per scrivere
−
2E 2
4E 2
2
=
−2m(mc
− mc2
+
E
)
⇒
E
=
L
L
c2
mc2
• EL = (2 · 202 /0.94 − 0.94) MeV ' 850 GeV.
1
1
• Nel caso classico, EL = mV 2 , EC = mv 2 , con V = 2v, da cui EL = 12 mV 2 =
2
2
4EC .