Costruzioni origami - Dip. di Matematica Roma Tre

università degli studi di roma tre
facoltà di s.m.f.n.
corso di laurea magistrale in matematica
Tesi di Laurea Magistrale in
Matematica
Sintesi
Costruzioni origami
Candidato
Relatore
Federica Soldatelli
Prof. Andrea Bruno
Anno Accademico 2011/2012
La tesi di laurea Costruzioni origami tratta le costruzioni geometriche che si effettuano piegando un foglio di carta. In particolare, le costruzioni arontate saranno
quelle in cui ad ogni operazione è consentita un'unica piegatura.
Questo metodo, pur molto semplice da mettere in pratica e capire, non solo permette
di realizzare tutte le tradizionali costruzioni con riga e compasso in maniera talora
più semplice, ma risolve anche i problemi classici della trisezione dell'angolo e della
duplicazione del cubo e in generale tutti i problemi di terzo e quarto grado.
La tesi è costituita da sei capitoli, che vediamo ora nel dettaglio.
Capitolo 1: Storia del metodo origami
In questo capitolo vengono riassunte, in ordine cronologico, le varie fasi dell'aermarsi di questo metodo come valido per costruzioni geometriche.
noto come gioco in Cina prima dell'VIII secolo d.
Probabilmente, è
C., ma è solo ne 1840, grazie a
Lardner, che si ricorre alla piegatura della carta in un libro di geometria.
Tuttavia,
sono precedenti gli utilizzi di questo metodo per motivi pratici, come per lavori manuali
proposti da maestri ai bambini delle scuole elementari.
La prima trattazione geometrica conosciuta sulle costruzioni piegando la carta è
il libro dall'insegnante indiano di matematica Sundara Row, Geometric Exercises in
Paper Folding, pubblicato per la prima volta nel 1893. A favorire la divulgazione di
quest'opera e quindi della costruzione origami, è stato Felix Klein, che lo ha citato in
un suo libro nel 1897. Tuttavia, il libro di Row non contiene alcuna assiomatica, ma
risolve solamente dei problemi, che sono di grado non superiore al secondo, a meno che
non ne vanga proposta un'approssimazione.
Successivamente, altri insegnanti si interessano a questo metodo, citandolo in articoli e volumetti divulgativi. In tutte queste pubblicazioni, però, il metodo non produceva
risultati che andassero oltre i conni della riga e del compasso.
La piega che permette di passare dalla risoluzione di equazioni di grado al più
quadratico alla risoluzione di problemi no al quarto, è stata ideata dalla matematica
Margherita Piazzolla Beloch, docente per 28 anni presso l'Università di Ferrara. Nel
1936 ha pubblicato Sul metodo del ripiegamento della carta per la risoluzione dei
problemi geometrici, nel giornale Periodico di Matematiche, riportando stralci delle
sue lezioni di matematiche complementari tenute nell'anno accademico 1933-34.
Beloch è stata la prima a scoprire che gli origami possono trovare le tangenti comuni
a due parabole e risolvere così generiche equazioni cubiche.
Questo grazie ad una
operazione che piega due punti in due rette simultaneamente. Dato che le equazioni
di quarto grado possono ridursi ad altre di secondo e terzo, sono anch'esse risolubili
con tale metodo. Robert J. Lang ha dimostrato nel 2003, in Origami and Geometric
Constructions, che questa particolare piega è la più complicata possibile.
2
Il matematico che si occupa della sistematizzazione rigorosa di questo metodo è
l'italo-giapponese Humiaki Huzita. Nel 1985 formula le sei operazioni origami che vengono chiamate Huzita Axioms (HAs).
Di queste, la sesta è la piega di Piazzolla
Beloch. Gli HAs costituiscono una lista di sei pieghe elementari che sono consentite,
in modo da far diventare un metodo ricreativo un sistema matematico, mettendo insieme combinazioni di punti (deniti come intersezione di pieghe) preesistenti e rette
preesistenti. Concettualmente, piega e retta vengono considerati equivalenti.
è
stato dimostrato che tutte le costruzioni standard con riga e compasso della
geometria euclidea possono essere eseguite usando gli HAs. Nel 2001 Koshiro Hatori
ha riscoperto un'operazione per le costruzioni origami già utilizzata un decennio prima
da Jacques Justin. Questa operazione è simile agli altri sei HAs, ma non è equivalente
a nessuno di questi. Ciò nonostante, non espande il campo dei numeri costruibili con
gli origami attraverso i primi sei assiomi. Queste sette operazioni prendono il nome di
assiomi di Huzita-Justin/Hatori (HJAs).
Capitolo 2: Costruzioni di numeri
I numeri origami sono il più piccolo sottoinsieme di punti costruibili ottenuti dai
seguenti assiomi:
(0)L'insieme contiene tre punti
A, B, C
non allineati appartenenti all'insieme dei
numeri complessi;
(1)La retta che congiunge due punti costruibili è una retta costruibile;
(2)Il punto di intersezione di due rette costruibili è un punto costruibile;
(3)L'asse del segmento che congiunge due punti costruibili è una retta costruibile;
(4)La retta che biseca ogni angolo costruito dato può essere costruito;
l e punti costruiti P e Q, allora, quando possibile, la retta
riette P su l può essere costruita;
(5)Data una retta costruita
che passa per
Q
e
P
ogni retta che riette contemporaneamente P su l
(6)Date le rette costruite
l
ed
m
e i punti costruiti
Q, allora, quando possibile,
e Q su m può essere costruita.
e
Se questi assiomi non si considerano tutti insieme, ma se ne prendono inizialmente
solo quelli no al (3), si possono costruire, in modo gerarchico, dierenti sottocampi di
numeri complessi, aggiungendo un assioma alla volta.
Grazie agli assiomi no al (3), otteniamo le costruzioni di Talete. Con esse possiamo
costruire:
3
1. un segmento con origine o ne in un punto dato, con stessa lunghezza di un
segmento dato e parallelo ad esso;
2. la perpendicolare ad una retta data, passante per un punto dato;
3. il triangolo con lato un segmento dato, che sia simile ad un triangolo dato;
4. la riessione di un punto o una retta attraverso una retta.
Per quanto riguarda l'aspetto algebrico, si ha che l'insieme dei numeri di Talete,
Π,
ha la struttura di gruppo. Inoltre,
Π[z],
con
z ∈ C,
ha la struttura di campo. Più
precisamente:
Teorema 1. Il sottoinsieme Π è chiuso rispetto all'addizione di segmenti in C. Se
prendiamo A = 0, allora Π è un gruppo abeliano.
Teorema 2. ∀z = a + ib, con b 6= 0, Π[z] è un campo su Q che contiene z , chiuso
rispetto alla coniugazione complessa e contenuto nel campoQ(a, b, i).
Il numero complesso non-reale
z
si dice di Talete se
Π[z]
contiene
i.
Allora si ha il
seguente teorema:
Teorema 3. Il numero complesso non-reale z è di Talete ⇔ b ∈ Q(a, b2 ). Di conse-
guenza, il campo X = Π[z] ∩ R è Q(a, b) oppure Q(a, b2 ), dipende dal fatto che z sia
di Talete oppure no. ∀ z non di Talete, Π[z] è il campo Q(z, z̄), mentre ∀ z di Talete,
Π[z] è il campo Q(z, z̄, i).
Aggiungendo l'assioma (4), si ottengono le costruzioni di Pitagora.
Le principali
costruzioni che si ottengono, oltre alle precedenti, sono:
1. costruire un segmento di lunghezza unitaria su una qualsiasi semiretta costruita;
2. marcare la lunghezza di un segmento costruito su ogni semiretta costruita.
Dato che con questo nuovo assioma le lunghezze dei segmenti possono essere costruite, si ha la chiusura del campo dell'insieme dei numeri di Pitagora,
√
a2 + b 2
per ogni punto costruibile
numeri reali contenente
Q,
(a, b).
Quindi,
P
P,
rispetto a
è il più piccolo sottocampo dei
che è chiuso rispetto all'operazione di radici quadrate della
somma di due quadrati, cioè chiuso rispetto a
√
1 + x2 .
Di conseguenza, abbiamo il
seguente teorema:
Teorema 4. I punti costruibili usando gli assiomi (0)-(4) sono il campo P ⊕ iP . Gli
elementi positivi di P sono l'insieme delle lunghezze dei segmenti costruibili.
4
Con l'assioma (5), otteniamo le costruzioni di Euclide, che ci permettono di costruire
esattamente lo stesso insieme che otterremmo usando le costruzioni con riga e compasso.
Com'è noto, il campo dei numeri costruiti con riga e compasso è il più piccolo campo
che contiene
è
Q
ed è chiuso rispetto all'estrazione di radici quadrate.
grazie all'assioma (6) che otteniamo i numeri Origami
sta costruzione origami può essere ottenuta ripiegando
scorrere
Q
nché non giaccia su
m.
P
su
O.
l e,
In particolare, quese possibile, facendo
Questa è la costruzione della retta tangente simul-
taneamente alle due parabole descritte dai fuochi
P
e
Q
e dalle direttrici
m
ed
l
dati,
se esiste.
Le costruzioni origami ottenute con questi assiomi ci permettono di costruire una
soluzione reale ad un'equazione cubica a coecienti reali nel campo
O.
In particolare,
si ha che:
Teorema 5. Sia p(x) = x3 + a1 x2 + a2 x + a3 ∈ Q[x]. Una radice di p(x) si può trovare
mediante operazioni razionali ed estrazioni di radici quadrate e cubiche, trisezione di
angoli.
Da un punto di vista superiore, si può studiare il problema della tangente comune
a due parabole con le curve duali. Infatti, come una conica è un insieme di punti, la
sua conica duale è un insieme di rette, in particolare l'insieme delle rette tangenti alla
conica originale. Per questo motivo, la retta tangente a due parabole corrisponde per
dualità all'intersezione delle coniche duali.
Capitolo 3: Dalla pratica alla teoria
Nel terzo capitolo vengono discussi alcuni accorgimenti pratici per realizzare in
modo corretto le costruzioni origami.
Si inizia, così, ad esaminare procedure che ri-
chiamano le costruzioni tradizionali con riga e compasso e si verica, con alcuni esempi,
come, piegando la carta, bastino spesso meno operazioni pratiche. Di tutte queste operazioni consentite, vengono giudicate lecite solo quelle che producono un numero nito
di soluzioni.
Si stabiliscono quattro operazioni lecite e fondamentali, che permettono le costruzioni della geometria euclidea. Ognuna di queste operazioni consente di trovare una
piega che:
op.1) passa fra due distinti punti ssi;
op.2) permette di sovrapporre due rette date;
op.3) permette di sovrapporre un punto ad un altro;
op.4) ssa un punto dato mentre un altro va su una retta data.
5
A questo punto si ha una coincidenza fra ciò che è possibile costruire con la procedura origami e la costruzione con riga e compasso, coprendo i problemi no al secondo
grado.
Con l'introduzione di una quinta ed ultima operazione, che consente di trovare una
piega che:
op.5) dati due punti e due rette, manda contemporaneamente il primo punto sulla prima retta e il secondo sulla seconda,
Possiamo vericare che si possono ottenere no a tre pieghe che la risolvono.
Ciò
signica aver risolto un problema di terzo grado. A questo punto, si ha il viceversa:
Teorema 6. Ogni problema di terzo grado può essere risolto con costruzioni origami.
Dato che un problema di quarto grado può essere ridotto ad un'equazione di terzo,
possiamo risolvere anche problemi di quarto grado piegando la carta.
Un metodo che si presta molto bene ad essere utilizzato per trovare praticamente le
soluzioni ad un'equazione è il metodo di Lill. Per risolvere l'equazione
· · · + a0
xn + an−1 xn−1 +
con questo metodo, si deve tracciare un cammino che formi un angolo retto
dall'origine
O
al punto di arrivo
T.
In esso, le lunghezze e le direzioni dei segmenti
sono date dai coecienti dell'equazione, a partire dal coeciente direttore
a0 ,
1
no ad
dirigendosi verso destra o sinistra ad ogni giunzione a seconda del segno di ogni
coeciente (sinistra o su=positivo, destra o giù=negativo). Quindi si deve tracciare
una retta da
O
con una certa inclinazione in modo che cambi direzione formando, con
ogni retta successiva, un angolo retto verso la linea seguente, aggiustando l'inclinazione iniziale nché all'ultima svolta si arrivi al punto
soddisfatta, il primo punto d'intersezione dà la
T.
soluzione
Quando questa condizione è
desiderata.
In particolare, si ha il seguente teorema:
Teorema 7. Nel metodo di Lill, siano f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 il polinomio a
coecienti reali di cui si cercano le soluzioni, se esistono, e θ l'angolo che la prima
parte del cammino forma con l'asse x (che contiene il primo segmento an ). Allora,
x = − tan θ è una radice di f (x).
Capitolo 4: L'assiomatica del metodo origami ed applicazioni
Sono qui contenute le principali denizioni ed i più importanti teoremi delle costruzioni piegando la carta:
6
Denizione 1. Dato un insieme U di punti del piano, una costruzione piegando la carta
(origami)
a partire da
U
E1 , E2 , . . . Ei , . . . , En
precedenti (i.e. da Ej
è una sequenza
una retta ottenuto dai punti e le rette
Ei è un punto o
j < i) secondo le
dove
con
seguenti regole:
1. Se
Ei
è un
punto, allora si ha uno dei seguenti casi:
(a)
Ei ∈ U ;
(b)
Ei = Ej ∩ Ek ,
(c)
Ei
Ei
Ej , Ek
rette distinte;
è il simmetrico di un punto
mandato in
2. Se
con
è una
Ei
dalla piega
Ej
rispetto ad una retta
Ek ,
viene
Ek .
retta, allora si ha uno dei seguenti casi:
(a)
Ei
passa per due punti distinti
(b)
Ei
è un asse di simmetria, ovvero una piega che manda il punto
Ej
ed
Ek ;
Ej sulla
Ej ∈ Ek
Ek ed il punto El sulla retta Em (operazione 5 ). Quando
El ∈ Em , possiamo assumere che questi due punti siano distinti
retta
ed
Ej
ovvero
e le due
rette non parallele.
Denizione 2.
partire da
U
Un punto
P
o una retta
p
nel piano si dice
n−1
se esiste una costruzione origami {Ei }i=1 da
Denizione 3.
Rispettando un riferimento cartesiano
complesso z = a + ib
si dice
costruibile con origami
U
xy
costruibile con origami
o
En = p.
dato nel piano, un
numero
tale che
a partire da
U
En = P
a
se il punto
P (a, b)
è costruibile con origami.
Teorema 8. Un numero z ∈ C è costruibile con origami a partire da U ⇔ esiste una
successione nita di estensioni di campi Q =: K0 ⊂ K1 ⊂ · · · ⊂ Kn = Kn−1 (i) tale
che z ∈ Kn ed il grado [Ki : Ki−1 ] ≤ 3 ∀i = 1, . . . , n. In particolare, se z ∈ O, allora
[Q(z) : Q] = 2r 3s per qualche 0 ≤ r, s ∈ Z.
Per quanto riguarda la costruibilità di poligoni regolari, tema caro ai greci, si ha
un teorema che caratterizza il numero di lati dei poligoni regolari costruibili piegando
la carta. Si può facilmente dedurre che i poligoni con le caratteristiche richieste sono
tutti quelli costruibili con riga e compasso, ma ne comprendono anche altri, come ad
esempio l'ettagono regolare.
Teorema 9
(Criterio di costruibilità dei poligoni regolari piegando la carta)
. Il poli-
gono regolare di n lati è costruibile con origami ⇔ la fattorizzazione in primi di n è
2r 3s p1 p2 . . . pm , dove r, s ≥ 0 e ∀i = 1, . . . , m, m ≥ 0 intero, i pi sono primi distinti
ognuno della forma 2a 3b + 1, con a, b ≥ 0 interi.
7
Come applicazioni, vediamo nello specico la costruzione di
1. ottagono regolare, di cui viene anche proposta la costruzione con riga e compasso
come esempio di costruzione eseguibile in meno operazioni piegando la carta;
2. ettagono regolare;
3. duplicazione del cubo;
4. trisezione dell'angolo.
\ all'angolo
XOZ
assi x ed y di un
Vediamo nel dettaglio la trisezione dell'angolo. Sia dato un angolo
del foglio di carta. Si considerino i lati del foglio di carta come gli
sistema di coordinate cartesiane. Per trisecare
\,
XOZ
è necessario eseguire le seguenti
operazioni:
1. Piegare la carta mantenendola parallela ad
la carta in modo che il lato
ottenuta è
OY
OX .
Per fare questo, basta piegare
venga mandato in sé stesso (
La piega
ALa , A ∈ OY .
2. Eettuare la piega che manda
A (op.3 ).
ALa ed OX .
O
su
è la mediana delle rette parallele
La piega ottenuta
3. Realizzare la piega che manda contemporaneamente
retta
op.2 ).
BLb (op.5 ).
Siano
0
0
0
A ,B ,O
A
sulla retta
BLb , B ∈ OY ,
OZ
ed
i simmetrici rispetto a questa piega di
O sulla
A, B, O
rispettivamente.
4. Piegare il segmento
OO0
fra
O
ed
5. Piegare il segmento
OB 0
fra
O
e
Gli angoli
0 OO 0
\0 , B
\
XOO
ed
0 OB 0
\
A
O0 (op.1 ).
B 0 (op.1 ).
sono ciascuno un terzo dell'angolo di partenza
\.
XOZ
Capitolo 5: La teoria degli allineamenti
Innanzitutto, sostituiamo le operazioni lecite considerate nora con veri e propri
assiomi, ad esse equivalenti: gli assiomi di Huzita. A questi se ne aggiunge un settimo,
formulato da Jacques Justin e riscoperto da Koshiro Hatori. Pur essendo simile agli
altri sei, non è equivalente a nessuno di essi. Ecco gli assiomi (HJAs):
O1)Dati due punti
p1
e
p2 ,
esiste un'unica piegatura che passa per entrambi;
O2)Dati due punti
p1
e
p2 ,
esiste un'unica piegatura che porta
8
p1
su
p2 ;
O3) Date due rette l1 ed l2 , esiste una piegatura che porta l1 su l2 ;
p1 ed
p1 ;
O4) Dati un punto
e passante per
O5) Dati due punti
p1
p1
e
una retta l1 , esiste un'unica piegatura perpendicolare ad l1
p2
ed una retta l1 , esiste una piega che passa per
e manda
su l1 ;
p1 e p2 e due rette l1 ed l2 ,
p2 su l2 contemporaneamente;
O6) Dati due punti
p1
p2
su l1 e
p1 e due rette l1
porti p1 su l1 .
O7) Dati un punto
ad l2 che
esiste sempre una piegatura che porti
ed l2 , esiste sempre una piegatura perpendicolare
Rideniamo i punti, le rette e deniamo le immagini di questi dopo che sono stati
riessi rispetto ad una piegatura.
Denizione 4
.
(Punto)
Un punto
(x, y)
è la coppia ordinata in cui
x
ed
y
sono le
coordinate cartesiane del punto.
Denizione 5
l'equazione
Una retta
(X, Y )
è l'insieme dei punti
(x, y)
che soddisfano
Xx + Y y + 1 = 0.
Denizione 6
punto
.
(Retta)
(Immagine origami di un punto)
P = (x, y)
in una piega
LF = (XF , YF )
.
L'immagine origami
FLF (P )
di un
è la riessione del punto nella piega.
Nella nostra notazione, l'immagine origami di un punto è data da
FLF (P ) =
Denizione 7
retta
x(YF2 − XF2 ) − 2XF (1 + yYF ) y(XF2 − YF2 ) − 2YF (1 + xXF )
,
XF2 + YF2
XF2 + YF2
.
(Immagine origami di una retta)
L = (X, Y )
in una piega
LF = (XF , YF )
L'immagine origami
.
FLF (L)
di una
è la riessione di una retta nella piega.
Nella nostra notazione, l'immagine origami di una retta è data da
FLF (L) =
x(XF2 − YF2 ) + 2XF Y YF
y(XF2 − YF2 ) − 2XXF YF
,
XF2 − 2XXF − 2Y YF + YF2 XF2 − 2XXF − 2Y YF + YF2
.
Ognuno degli HJAs determina uno o più incidenze fra punti, rette e immagini
origami di punti e/o rette.
l'incidenza fra due oggetti
A
Un'incidenza viene chiamata
e
B
con la notazione
A ↔ B.
allineamento.
Denotiamo
Ci sono tre possibili tipi di
allineamento:
Denizione 8
(x2 , y2 ),
(Allineamento punto-punto)
l'allineamento
P1 ↔ P2
.
è soddisfatto
9
P1 = (x1 , y1 )
y1 = y2 .
Dati due punti
⇔ x1 = x2
e
e
P2 =
Denizione 9
(X2 , Y2 ),
.
(Allineamento retta-retta)
l'allineamento
L1 ↔ L2
è soddisfatto
Denizione 10 (Allineamento punto-retta).
l'allineamento
P ↔L
Date due rette
è soddisfatto
⇔ X1 = X2
e
Dato un punto
L1 = (X1 , Y1 )
Y1 = Y2 .
P = (x, y)
e
e
L2 =
L = (X, Y ),
⇔ xX + yY + 1 = 0.
Dato che ognuno degli HJAs può essere visto come una combinazione di uno o più
allineamenti, si ha la seguente denizione:
Denizione 11
(Assioma con piega singola)
.
Un assioma della singola piega (1FA)
è un insieme minimo di allineamenti che denisce una retta con piega singola in una
regione nita del piano euclideo con un numero nito di soluzioni.
Dopo una serie di osservazioni, si può dedurre che i sette HJAs sono tutti e soli gli
assiomi possibili per le costruzioni origami, per cui se ne è dimostrata la completezza.
Capitolo 6: Origami per l'insegnamento
Nel sesto ed ultimo capitolo, si sfruttano le caratteristiche della facilità ed immediatezza di questo metodo per proporre una possibile lezione da fare ad una classe di
secondo liceo classico.
Inizialmente viene fatta una panoramica generale dei due metodi, in modo che i ragazzi sappiano quali sono le regole a cui bisogna attenersi per eseguire delle costruzioni
corrette. Questo potrebbe anche servire agli studenti più interessati, intuitivi o brillanti
per immaginare una costruzione alternativa, per costruire altre gure o semplicemente
per intuire una possibile costruzione prima che venga presentata.
Successivamente, con i soli strumenti matematici che si acquisiscono in questa classe,
quindi con matematica no alla geometria analitica, si propongono le costruzioni a
confronto di diverse gure geometriche e si verica che sono esatte.
Le gure realizzate sono:
1. il triangolo equilatero,
2. il quadrato,
3. il pentagono regolare,
4. il rettangolo aureo.
Le illustrazioni aiutano la visualizzazione, anche se lo studente sarà esortato a
provare queste costruzioni praticamente.
10
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12