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S - DEI, UniPd
Università di Roma “La Sapienza” – A.A. 2004/05
Controllo dei Processi
Analisi delle prestazioni - I
Prof. Leonardo Lanari
DIS, Università di Roma “La Sapienza”
Generalità – Le funzioni di sensitività
Si consideri il generico schema di controllo a controreazione rappresentato in figura
r
+
-
e
+
+
d3
d2
d1
C(s)
m
+
+
P(s)
+ +
+ +
y
r riferimento
d1 , d2 , d3 disturbi
n disturbi sulla misura
y uscita controllata
m ingresso di controllo
n
Fig. 1 – Generico sistema di controllo a controreazione
Pertanto il sistema di controllo ha come ingressi d1 , d2 , d3 , n e r mentre possono essere
considerate grandezze di particolare interesse le variabili y, e e m (influenzate da tutti gli
ingressi).
Il principio di sovrapposizione degli effetti ci permette di considerare i contributi dovuti alle
singole cause e si possono individuare 15 funzioni di trasferimento.
y(s) = Wr,y (s)r(s) + Wd1 ,y (s)d1(s) + Wd2 ,y (s)d2 (s) + Wd3 ,y (s)d3 (s) + Wn,y (s)n(s)
m(s) = Wr,m (s)r(s) + Wd1,m (s)d1 (s) + Wd2,m (s)d2(s) + Wd3 ,m(s)d3 (s) + Wn,m (s)n(s)
e(s) = Wr,e (s)r(s) + Wd1,e (s)d1(s) + Wd2 ,e(s)d2 (s) + Wd3,e (s)d3 (s) + Wn,e (s)n(s)
L. Lanari
Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Analisi delle prestazioni - Parte 1
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Generalità – Le funzioni di sensitività
Alcune delle funzioni di trasferimento precedenti hanno espressioni simili, ed in particolare
C(s)P (s)
1 + C(s)P (s)
1
Wr,e (s) = Wd3,y (s) =
1 + C(s)P (s)
C(s)
Wr,u(s) = Wd1 ,m(s) = −Wd3,m (s) = −Wn,m (s) =
1 + C(s)P (s)
Wr,y (s) = Wd1 ,y (s) = −Wn,y (s) =
4
= L(s)
4
= S(s)
4
= Q(s)
mentre Wd2,y (s) = P (s)S(s). Si definisce F (s) = C(s)P (s) funzione d’anello. Si noti che in
presenza di un sistema H(s) nel ramo di reazione, la funzione d’anello diventa C(s)P (s)H(s).
Appare immediato notare che, con la sola scelta del controllore C(s), sarà difficile soddisfare
contemporaneamente specifiche sul riferimento/disturbo/ingresso di controllo.
Le funzioni S(s), L(s) e Q(s) vengono rispettivamente chiamate
• S(s) – Funzione di sensitività
• L(s) – Funzione di sensitività complementare
• Q(s) – Funzione di sensitività del controllo
Di seguito si metterà in evidenza l’importanza di ciascuna funzione di sensitività.
L. Lanari
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Generalità – Le funzioni di sensitività
Hyp. Sistema di controllo stabile asintoticamente
Dalle espressioni di L e S si nota che vale la relazione
L(s) + S(s) = 1
Att. relazione in s =
6 relazione in modulo |L(jω)| + |S(jω)| = 1
2
1.8
1.6
1.4
|S(jω)|
Magnitude
1.2
1
0.8
Im
0.6
|L(jω)|
0.4
-1 b
a
2
Re
0.2
0
−2
10
−1
10
0
10
Frequency (rad/s)
1
10
2
10
Fig. 2 – Andamento reale di |S(jω)| e |L(jω)|
Obiettivi ideali:
• l’uscita controllata riproduce fedelmente il riferimento Wr,y ≡ 1 ⇒ L(s) = 1;

W
≡ 0 ⇒ S(s) = 0

 d3,y
Wd2,y ≡ 0 ⇒ S(s) = 0
• l’uscita controllata non dipende dai disturbi

 Wd1,y ≡ 0 ⇒ L(s) = 0
Wn,y ≡ 0 ⇒ L(s) = 0
L. Lanari
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Generalità – Le funzioni di sensitività
Dalle semplici osservazioni precedenti risulta già ovvio come non sia possibile soddisfare,
in uno schema di controllo a controreazione, le specifiche ideali. Sarà quindi necessario
raggiungere un compromesso.
Ad esempio, notando che i vari segnali in ingresso al sistema di controllo possono avere
componenti significative in bande diverse di frequenze, tipicamente
• r, d1 e d2 bassa frequenza
• n alta frequenza
si può, in questo caso, ottenere un giusto compromesso
• a bassa frequenza |L(jω)| ≈ 1 e |S(jω)| ≈ 0
• ad alta frequenza |L(jω)| ≈ 0 e |S(jω)| ≈ 1
Si noti invece come, nel caso ad esempio di disturbo sul ramo di reazione costante, una
specifica di astatismo rispetto a tale disturbo, L(0) = 0 sia incompatibile con una specifica
di errore a regime permanente nullo per un riferimento costante S(0) = 0 (e quindi L(0) = 1
– guadagno unitario riferimento/uscita).
L. Lanari
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Generalità – Funzione d’anello
60
Per ω → 0 in generale si ha |F (jω)| elevato:
dalle specifiche a regime permanente
– su riferimenti di tipo polinomiali
– su disturbi d3 di tipo sinusoidale a bassa frequenza
Ad esempio:
Sch di Tipo 0, e0 piccolo ⇒ guadagno di F elevato
Sch di Tipo k, k ≥ 1, |F (jω)| elevato a basse frequenze
per la presenza di uno o più poli in s = 0
50
Magnitude (dB)
40
Tipo 1
30
20
Tipo 0
10
ω
t
0
−10
−20
−3
10
−2
10
−1
10
Frequency (rad/s)
0
10
1
10
Fig. 3 – Andamenti tipici del modulo della funzione d’anello |F (jω)|dB
Inoltre se P (s) è strettamente propria e C(s) al più propria, allora F (s) è strettamente
propria e L(s) è strettamente propria mentre S(s) è propria.
Se L(s) è strettamente propria non può essere sempre uguale a 1.
Hyp. F (s) priva di poli a parte reale positiva e una sola pulsazione di attraversamento
Approssimazione:
½
|1 + F (jω)| ≈
|F (jω)| se ω ≤ ωt
1 se ω > ωt
tanto peggiore quanto |F (jω)| ≈ 1 (e quindi in prossimità di ωt).
L. Lanari
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Funzione di sensitività S(s)
Approssimazione |S(jω)|dB
|S(jω)|
approx


1
=
≈
|1 + F (jω)| 
1
|F (jω)|
se ω ≤ ωt
1 se ω > ωt
30
|F|dB
20
10
|S|
Magnitude (dB)
dB
0
ω
t
|S|approx
−10
— |F (jω)|dB
dB
−20
— |S(jω)|approx
approssimato
dB
−30
— |S(jω)|dB esatto
−40
−2
10
−1
10
0
10
Frequency (rad/s)
1
10
2
10
Fig. 4 – Andamenti tipici di |F (jω)|dB , |S(jω)|dB e |S(jω)|approx
dB
Si noti come l’approssimazione peggiora in prossimità della pulsazione di attraversamento.
Il sistema di controllo si comporta, rispetto a disturbi in uscita d3 , come un filtro passa-alto.
L. Lanari
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Funzione di sensitività S(s)
Si possono formulare delle specifiche di regime permanente, ad esempio rispetto al segnale
di riferimento r(t). Si suppone che il segnale di riferimento abbia un contenuto armonico
|r(jω)| apprezzabile fino a pulsazione ω1 .
Le capacità di inseguimento della risposta in uscita possono essere valutate attraverso
l’ampiezza dell’errore. Se ad esempio si richiede che tale errore, in modulo, debba risultare
inferiore al valore limite e0 per tutte le sinusoidi con pulsazioni ω ∈ [0, ω1 ] e ampiezza |r(jω)|,
si ha dalla relazione
1
e(jω) =
r(jω) = S(jω)r(jω)
1 + F (jω)
la condizione |e(jω)| = |S(jω)||r(jω)| ≤ e0 . Al fine di normalizzare la condizione – senza
quindi ogni volta dover specificare lo spettro di r e e0 – si definisce la funzione reale
R(ω) = |r(jω)|/e0 . La specifica diventa
|S(jω)|R(ω) ≤ 1,
∀ω ∈ [0, ω1 ]
In altri termini si richiede, nel campo di pulsazioni di interesse, un modulo della funzione di
sensitivà elevato a cui corrisponde la specifica, in termini della funzione d’anello F (s),
|F (jω)| ≥ R(ω),
∀ω ∈ [0, ω1 ]
Si noti infine che, essendo tipicamente R(ω) À 1, indirettamente si richiede che la pulsazione
di attraversamento ωt sia maggiore di ω1 .
L. Lanari
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Funzione di sensitività complementare L(s)
approx
Approssimazione |L(jω)|dB
|L(jω)|


1 se ω ≤ ωt
|F (jω)|
=
≈
|1 + F (jω)|  |F (jω)| se ω > ω
t
30
|F|dB
20
Magnitude (dB)
10
|L|
— |F (jω)|dB
dB
0
ωt
— |L(jω)|approx
approssimato
dB
−10
— |L(jω)|dB esatto
−20
N.B. In prima approssimazione B3 ≈ ωt
con B3 banda passante del sistema di controllo
−30
−40
−2
10
−1
10
0
10
Frequency (rad/s)
1
10
2
10
Fig. 5 – Andamenti tipici di |F (jω)|dB , |L(jω)|dB e |L(jω)|approx
dB
Il sistema di controllo si comporta, rispetto al riferimento r e al disturbo n, come un filtro
passa-basso con guadagno unitario (o prossimo a 1).
Tutte le componenti del segnale di riferimento a pulsazione inferiore a ωt vengono riprodotte
fedelmente (in termini di ampiezza).
L. Lanari
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Funzione di sensitività complementare L(s)
Per quanto riguarda il rumore di misura introdotto in n, si ricorda che tipicamente tale
rumore ha componenti armoniche ad alta frequenza ω ≥ ω2 . Il legame n → y è dato dalla
funzione di sensitività complementare e pertanto si può scrivere, analogamente a quanto
fatto per la funzione di sensibilità,
|L(jω)|N (ω) ≤ 1,
per ω ≥ ω2
con N (ω) avente il significato analogo di R(ω) precedentemente definito. Per trasformare
tale requisito in termini di vincolo sulla funzione d’anello, si sfrutta l’approssimazione ad
alta frequenza di |L(jω)| ottenendo
|F (jω)| ≤
F( j ! )
1
,
N (ω)
per
ω ≥ ω2
dB
rumore
alta frequenza
specifiche
bassa frequenza
!1 !t
!2
log !
Fig. 6 – Vincoli sul modulo della funzione d’anello |F (jω)|dB
Ulteriori vincoli nascono da considerazioni sulla specifica di stabilità in presenza di incertezze
sul modello.
L. Lanari
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Stabilità robusta - Incertezza additiva
Si assuma che il processo sia descritto dalla funzione di trasferimento
P (s) = Pn (s) + δP (s)
nella quale Pn (s) rappresenta la funzione di trasferimento nominale e δP (s) una perturbazione incognita detta, in questo caso, additiva. Ad esempio, se un parametro α del
processo (come una costante di tempo o un coefficiente) subisce una piccola variazione δα
rispetto ad un valore nominale α0 , in prima approssimazione si può scrivere
¯
∂P ¯¯
P (s, α0 + δα) = P (s, α0 ) +
δα
∂α ¯α=α0
Si ipotizzi che il numero di poli a parte reale maggiore di zero Pp di P (s) e Pn (s) sia
uguale e che il controllore non cancelli nessuna singolarità nel semipiano destro chiuso. Per
caratterizzare l’incertezza è necessario darne una caratterizzazione, ad esempio supponendo
di conoscere una funzione maggiorante γ(ω) tale che
|δP (jω)| ≤ γ(ω),
∀ω
Si ipotizzi di aver individuato un controllore stabilizzante C(s) per il processo nominale e
cioè, dal criterio di Nyquist, tale che sia verificata la condizione Nn = Pp (Nn numero di
giri antiorari intorno al punto (-1,0) compiuti dalla funzione d’anello nominale Fn (jω) =
C(jω)Pn (jω)). Lo stesso controllore sarà in grado di stabilizzare il processo perturbato se
il numero di giri N compiuti da F (jω) = Fn (jω) + δF (jω), con δF (jω) = C(jω)δP (jω), è
uguale a Nn (si ricordi l’ipotesi sul numero di poli a parte reale positiva).
L. Lanari
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Stabilità robusta - Incertezza additiva
Dal diagramma di Nyquist riportato in Fig. 7, si nota che |1 + Fn (jω)| è la distanza tra
il punto (-1,0) e Fn (jω); in altri termini si può affermare che il modulo della funzione di
sensitività S(jω) è anche l’inverso della distanza dal punto (-1,0) al diagramma di Nyquist.
Un valore elevato di |S(jω)| indica che il diagramma di Nyquist si avvicina alla condizione
di instabilità. Poiché, sfruttando la maggiorazione di |δP (jω)|, si ha
|δF (jω)| = |C(jω)||δP (jω)| ≤ |C(jω)|γ(ω),
∀ω
il punto F (jω) si trova certamente all’interno della circonferenza centrata in Fn (jω) e di
raggio |C(jω)|γ(ω). Quindi, affinché si abbia stabilità robusta (N = Nn ) per ogni possibile
perturbazione δP (che soddisfi la maggiorazione precedente) è necessario e sufficiente che
per ogni valore di ω tale circonferenza non contenga il punto (-1,0), cioè
|C(jω)|γ(ω) < |1 + Fn (jω)|,
∀ω
Im
-1
1+Fn( j ! )
C( j ! ) ° ( j ! )
Re
Fn( j ! )
-1
Fig. 7 – Diagramma di Nyquist del sistema nominale
L. Lanari
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Stabilità robusta - Incertezza additiva
Si può esprimere la condizione precedente in termini della funzione di sensitività S(jω)
|S(jω)| <
1
,
|C(jω)|γ(ω)
∀ω
in altri termini si richiede che il modulo di S(jω) – per il sistema nominale – sia piccolo
dove l’incertezza è grande.
In generale il modello del sistema è ben noto alle basse frequenze mentre alle alte frequenze
(ω > ω2 ) entrano in gioco dinamiche non modellate (risonanze, ritardi, ...). C(s), per avere
stabilità robusta, deve essere tale da rendere piccola la quantità
SM = sup |S(jω)|
ω
In termini di L(jω), dalla condizione su |1 + Fn (jω)| dividendo per |Fn (jω)|, si ottiene
γ(ω)
1
|Pn (jω)|
<
, ∀ω
⇒
|L(jω)| <
∀ω
|Pn (jω)|
|L(jω)|
γ(ω)
Per garantire la stabilità asintotica a fronte di un elevato grado di incertezza in una certa
banda di frequenze, è necessario fare sı́ che in questa banda il modulo della funzione d’anello
sia sufficientemente piccolo. Più in generale, C(s) deve essere tale da rendere piccolo il
valore
LM = sup |L(jω)|
ω
Sfruttando l’approssimazione ad alta frequenza di |L(jω)| si ha
|F (jω)| <
L. Lanari
|Pn (jω)|
γ(ω)
∀ω > ω2
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Stabilità robusta - Incertezza moltiplicativa
Si possono effettuare considerazioni simili nel caso di incertezza moltiplicativa; la risposta
armonica del processo si esprime
P (jω) = Pn (jω) [1 + Wp (ω)∆(jω)]
nella quale Wp (ω) è una funzione reale di ampiezza ed esprime la dimensione della perturbazione che ci si può attendere al variare della pulsazione, mentre la funzione complessa
∆(jω) rappresenta l’incertezza in fase. Per la Wp (ω) vale l’espressione
Wp (ω) =
P (jω) − Pn (jω)
Pn (jω)
e assume solitamente valori piccoli alle basse frequenze ed aumenta alle alte frequenze
(stesse considerazioni precedenti sull’andamento dell’incertezza in funzione della pulsazione).
Per la ∆(jω) vale la seguente relazione
0 ≤ |∆(jω)| ≤ 1
Assumendo che il controllore C(s) stabilizzi il processo nominale, si ha che l’equazione
caratteristica 1 + CPn = 0 non è mai soddisfatta (∀ω). La stessa condizione deve valere
per il sistema perturbato si si desidera la stabilità robusta, e cioè, in modo equivalente deve
essere
1 + C(jω)P (jω) =
6
0
1 + C(jω)Pn (jω) [1 + Wp (ω)∆(jω)] =
6
0
6
0
[1 + C(jω)Pn (jω)] [1 + L(jω)Wp (ω)∆(jω)] =
per qualsiasi valore di ω e ∆.
L. Lanari
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Stabilità robusta - Incertezza moltiplicativa
Essendo per ipotesi il sistema di controllo nominale stabile asintoticamente, il primo termine
dell’ultima relazione non si annulla mai. Una condizione equivalente diventa quindi
|L(jω)Wp (ω)∆(jω)| < 1,
⇒
|L(jω)|Wp (ω) < 1
nella quale si è sfruttato la proprietà di ∆. Si noti che nel campo di frequenze per le
quali la Wp non è trascurabile ω > ω2 ) (cioè sussistono significative incertezze sul modello),
|L(jω)| ≈ |Fn (jω)|. La condizione di robustezza si esprime infine
|Fn (jω)| <
1
,
Wp (ω)
∀ω > ω2
I vincoli finora descritti sono riassunti nella Fig. 8.
F( j ! )
dB
rumore
alta frequenza
&
stabilita
robusta
log !
specifiche
bassa frequenza
!1
!t
!2
Fig. 8 – Vincoli sul modulo della funzione d’anello |F (jω)|dB
L. Lanari
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Stabilità robusta - Incertezza parametrica
Si è precedentemente usato, a titolo di esempio di incertezza additiva, l’analisi rispetto
a variazioni di un parametro α (incertezza parametrica) della funzione di trasferimento
espressa come
¯
∂P ¯¯
δα
P (s, α0 + δα) = P (s, α0 ) +
∂α ¯
α=α0
Si vogliono analizzare gli effetti di una variazione δα sulle caratteristiche del sistema a
controreazione unitaria. A tal fine si rappresenta la variazione relativa della funzione di
trasferimento del processo come
VPα(s, α, α0 ) =
con
∆P (s, α, α0 )
P (s, α0 )
¯
∂P (s, α ¯¯
∆P (s, α, α0 ) = P (s, α) − P (s, α0 ) ≈
∂α ¯
δα
α=α0
La funzione VPα(jω, α, α0 ) descrive l’effetto dell’incertezza parametrica sulla risposta in frequenza associata; in effetti elevati valori di |VPα(jω, α, α0 )| in una certa banda di pulsazioni
stanno ad indicare un elevato grado di sensitività (o sensibilità) della risposta in frequenza in
quella banda rispetto alla variazione del parametro α. Per valutare l’effetto della variazione
del parametro sul sistema ad anello chiuso (avente F (s) = C(s)P (s) in catena diretta) a
controreazione unitaria, ponendo
W (s) =
L. Lanari
C(s)P (s)
F (s)
=
1 + F (s)
1 + C(s)P (s)
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Stabilità robusta - Incertezza parametrica
si ha
∂W (s, α)
C(s)
∂P (s, α)
=
∂α
(1 + C(s)P (s))2
∂α
In termini di variazione relativa, la relazione precedente si riscrive
VWα (s, α, α0) = S(s, α0 )VPα(s, α, α0 )
o in modulo
|VWα (jω, α, α0 )| = |S(jω, α0)||VPα(jω, α, α0 )|
Il modulo della funzione di sensitività rappresenta il rapporto tra gli effetti dell’incertezza
parametrica ad anello chiuso e ad anello aperto. Nell’intervallo di frequenze per le quali
|S(jω, α0)| ¿ 1, la retroazione produce una notevole attenuazione dell’effetto dell’incertezza.
Poiché la funzione S(jω, α0 ) ha tipicamente modulo inferiore a 1 per pulsazioni minori
della pulsazione di attraversamento ωt, si ha che la controreazione garantisce una buona
insensitività rispetto a variazioni parametriche all’interno della banda passante.
In presenza di un sistema H(s) in controreazione, lo studio dell’effetto di variazioni di un
parametro α in H(s) porta alla
VWα (s, α, α0 ) = −L(s, α, α0 )VHα(jω, α, α0 )
e pertanto il sistema di controllo a controreazione è sensibile a variazioni parametriche nel
ramo di reazione.
L. Lanari
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