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Università di Roma “La Sapienza” – A.A. 2004/05 Controllo dei Processi Analisi delle prestazioni - I Prof. Leonardo Lanari DIS, Università di Roma “La Sapienza” Generalità – Le funzioni di sensitività Si consideri il generico schema di controllo a controreazione rappresentato in figura r + - e + + d3 d2 d1 C(s) m + + P(s) + + + + y r riferimento d1 , d2 , d3 disturbi n disturbi sulla misura y uscita controllata m ingresso di controllo n Fig. 1 – Generico sistema di controllo a controreazione Pertanto il sistema di controllo ha come ingressi d1 , d2 , d3 , n e r mentre possono essere considerate grandezze di particolare interesse le variabili y, e e m (influenzate da tutti gli ingressi). Il principio di sovrapposizione degli effetti ci permette di considerare i contributi dovuti alle singole cause e si possono individuare 15 funzioni di trasferimento. y(s) = Wr,y (s)r(s) + Wd1 ,y (s)d1(s) + Wd2 ,y (s)d2 (s) + Wd3 ,y (s)d3 (s) + Wn,y (s)n(s) m(s) = Wr,m (s)r(s) + Wd1,m (s)d1 (s) + Wd2,m (s)d2(s) + Wd3 ,m(s)d3 (s) + Wn,m (s)n(s) e(s) = Wr,e (s)r(s) + Wd1,e (s)d1(s) + Wd2 ,e(s)d2 (s) + Wd3,e (s)d3 (s) + Wn,e (s)n(s) L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Analisi delle prestazioni - Parte 1 2 Generalità – Le funzioni di sensitività Alcune delle funzioni di trasferimento precedenti hanno espressioni simili, ed in particolare C(s)P (s) 1 + C(s)P (s) 1 Wr,e (s) = Wd3,y (s) = 1 + C(s)P (s) C(s) Wr,u(s) = Wd1 ,m(s) = −Wd3,m (s) = −Wn,m (s) = 1 + C(s)P (s) Wr,y (s) = Wd1 ,y (s) = −Wn,y (s) = 4 = L(s) 4 = S(s) 4 = Q(s) mentre Wd2,y (s) = P (s)S(s). Si definisce F (s) = C(s)P (s) funzione d’anello. Si noti che in presenza di un sistema H(s) nel ramo di reazione, la funzione d’anello diventa C(s)P (s)H(s). Appare immediato notare che, con la sola scelta del controllore C(s), sarà difficile soddisfare contemporaneamente specifiche sul riferimento/disturbo/ingresso di controllo. Le funzioni S(s), L(s) e Q(s) vengono rispettivamente chiamate • S(s) – Funzione di sensitività • L(s) – Funzione di sensitività complementare • Q(s) – Funzione di sensitività del controllo Di seguito si metterà in evidenza l’importanza di ciascuna funzione di sensitività. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Analisi delle prestazioni - Parte 1 3 Generalità – Le funzioni di sensitività Hyp. Sistema di controllo stabile asintoticamente Dalle espressioni di L e S si nota che vale la relazione L(s) + S(s) = 1 Att. relazione in s = 6 relazione in modulo |L(jω)| + |S(jω)| = 1 2 1.8 1.6 1.4 |S(jω)| Magnitude 1.2 1 0.8 Im 0.6 |L(jω)| 0.4 -1 b a 2 Re 0.2 0 −2 10 −1 10 0 10 Frequency (rad/s) 1 10 2 10 Fig. 2 – Andamento reale di |S(jω)| e |L(jω)| Obiettivi ideali: • l’uscita controllata riproduce fedelmente il riferimento Wr,y ≡ 1 ⇒ L(s) = 1; W ≡ 0 ⇒ S(s) = 0 d3,y Wd2,y ≡ 0 ⇒ S(s) = 0 • l’uscita controllata non dipende dai disturbi Wd1,y ≡ 0 ⇒ L(s) = 0 Wn,y ≡ 0 ⇒ L(s) = 0 L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Analisi delle prestazioni - Parte 1 4 Generalità – Le funzioni di sensitività Dalle semplici osservazioni precedenti risulta già ovvio come non sia possibile soddisfare, in uno schema di controllo a controreazione, le specifiche ideali. Sarà quindi necessario raggiungere un compromesso. Ad esempio, notando che i vari segnali in ingresso al sistema di controllo possono avere componenti significative in bande diverse di frequenze, tipicamente • r, d1 e d2 bassa frequenza • n alta frequenza si può, in questo caso, ottenere un giusto compromesso • a bassa frequenza |L(jω)| ≈ 1 e |S(jω)| ≈ 0 • ad alta frequenza |L(jω)| ≈ 0 e |S(jω)| ≈ 1 Si noti invece come, nel caso ad esempio di disturbo sul ramo di reazione costante, una specifica di astatismo rispetto a tale disturbo, L(0) = 0 sia incompatibile con una specifica di errore a regime permanente nullo per un riferimento costante S(0) = 0 (e quindi L(0) = 1 – guadagno unitario riferimento/uscita). L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Analisi delle prestazioni - Parte 1 5 Generalità – Funzione d’anello 60 Per ω → 0 in generale si ha |F (jω)| elevato: dalle specifiche a regime permanente – su riferimenti di tipo polinomiali – su disturbi d3 di tipo sinusoidale a bassa frequenza Ad esempio: Sch di Tipo 0, e0 piccolo ⇒ guadagno di F elevato Sch di Tipo k, k ≥ 1, |F (jω)| elevato a basse frequenze per la presenza di uno o più poli in s = 0 50 Magnitude (dB) 40 Tipo 1 30 20 Tipo 0 10 ω t 0 −10 −20 −3 10 −2 10 −1 10 Frequency (rad/s) 0 10 1 10 Fig. 3 – Andamenti tipici del modulo della funzione d’anello |F (jω)|dB Inoltre se P (s) è strettamente propria e C(s) al più propria, allora F (s) è strettamente propria e L(s) è strettamente propria mentre S(s) è propria. Se L(s) è strettamente propria non può essere sempre uguale a 1. Hyp. F (s) priva di poli a parte reale positiva e una sola pulsazione di attraversamento Approssimazione: ½ |1 + F (jω)| ≈ |F (jω)| se ω ≤ ωt 1 se ω > ωt tanto peggiore quanto |F (jω)| ≈ 1 (e quindi in prossimità di ωt). L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Analisi delle prestazioni - Parte 1 6 Funzione di sensitività S(s) Approssimazione |S(jω)|dB |S(jω)| approx 1 = ≈ |1 + F (jω)| 1 |F (jω)| se ω ≤ ωt 1 se ω > ωt 30 |F|dB 20 10 |S| Magnitude (dB) dB 0 ω t |S|approx −10 — |F (jω)|dB dB −20 — |S(jω)|approx approssimato dB −30 — |S(jω)|dB esatto −40 −2 10 −1 10 0 10 Frequency (rad/s) 1 10 2 10 Fig. 4 – Andamenti tipici di |F (jω)|dB , |S(jω)|dB e |S(jω)|approx dB Si noti come l’approssimazione peggiora in prossimità della pulsazione di attraversamento. Il sistema di controllo si comporta, rispetto a disturbi in uscita d3 , come un filtro passa-alto. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Analisi delle prestazioni - Parte 1 7 Funzione di sensitività S(s) Si possono formulare delle specifiche di regime permanente, ad esempio rispetto al segnale di riferimento r(t). Si suppone che il segnale di riferimento abbia un contenuto armonico |r(jω)| apprezzabile fino a pulsazione ω1 . Le capacità di inseguimento della risposta in uscita possono essere valutate attraverso l’ampiezza dell’errore. Se ad esempio si richiede che tale errore, in modulo, debba risultare inferiore al valore limite e0 per tutte le sinusoidi con pulsazioni ω ∈ [0, ω1 ] e ampiezza |r(jω)|, si ha dalla relazione 1 e(jω) = r(jω) = S(jω)r(jω) 1 + F (jω) la condizione |e(jω)| = |S(jω)||r(jω)| ≤ e0 . Al fine di normalizzare la condizione – senza quindi ogni volta dover specificare lo spettro di r e e0 – si definisce la funzione reale R(ω) = |r(jω)|/e0 . La specifica diventa |S(jω)|R(ω) ≤ 1, ∀ω ∈ [0, ω1 ] In altri termini si richiede, nel campo di pulsazioni di interesse, un modulo della funzione di sensitivà elevato a cui corrisponde la specifica, in termini della funzione d’anello F (s), |F (jω)| ≥ R(ω), ∀ω ∈ [0, ω1 ] Si noti infine che, essendo tipicamente R(ω) À 1, indirettamente si richiede che la pulsazione di attraversamento ωt sia maggiore di ω1 . L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Analisi delle prestazioni - Parte 1 8 Funzione di sensitività complementare L(s) approx Approssimazione |L(jω)|dB |L(jω)| 1 se ω ≤ ωt |F (jω)| = ≈ |1 + F (jω)| |F (jω)| se ω > ω t 30 |F|dB 20 Magnitude (dB) 10 |L| — |F (jω)|dB dB 0 ωt — |L(jω)|approx approssimato dB −10 — |L(jω)|dB esatto −20 N.B. In prima approssimazione B3 ≈ ωt con B3 banda passante del sistema di controllo −30 −40 −2 10 −1 10 0 10 Frequency (rad/s) 1 10 2 10 Fig. 5 – Andamenti tipici di |F (jω)|dB , |L(jω)|dB e |L(jω)|approx dB Il sistema di controllo si comporta, rispetto al riferimento r e al disturbo n, come un filtro passa-basso con guadagno unitario (o prossimo a 1). Tutte le componenti del segnale di riferimento a pulsazione inferiore a ωt vengono riprodotte fedelmente (in termini di ampiezza). L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Analisi delle prestazioni - Parte 1 9 Funzione di sensitività complementare L(s) Per quanto riguarda il rumore di misura introdotto in n, si ricorda che tipicamente tale rumore ha componenti armoniche ad alta frequenza ω ≥ ω2 . Il legame n → y è dato dalla funzione di sensitività complementare e pertanto si può scrivere, analogamente a quanto fatto per la funzione di sensibilità, |L(jω)|N (ω) ≤ 1, per ω ≥ ω2 con N (ω) avente il significato analogo di R(ω) precedentemente definito. Per trasformare tale requisito in termini di vincolo sulla funzione d’anello, si sfrutta l’approssimazione ad alta frequenza di |L(jω)| ottenendo |F (jω)| ≤ F( j ! ) 1 , N (ω) per ω ≥ ω2 dB rumore alta frequenza specifiche bassa frequenza !1 !t !2 log ! Fig. 6 – Vincoli sul modulo della funzione d’anello |F (jω)|dB Ulteriori vincoli nascono da considerazioni sulla specifica di stabilità in presenza di incertezze sul modello. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Analisi delle prestazioni - Parte 1 10 Stabilità robusta - Incertezza additiva Si assuma che il processo sia descritto dalla funzione di trasferimento P (s) = Pn (s) + δP (s) nella quale Pn (s) rappresenta la funzione di trasferimento nominale e δP (s) una perturbazione incognita detta, in questo caso, additiva. Ad esempio, se un parametro α del processo (come una costante di tempo o un coefficiente) subisce una piccola variazione δα rispetto ad un valore nominale α0 , in prima approssimazione si può scrivere ¯ ∂P ¯¯ P (s, α0 + δα) = P (s, α0 ) + δα ∂α ¯α=α0 Si ipotizzi che il numero di poli a parte reale maggiore di zero Pp di P (s) e Pn (s) sia uguale e che il controllore non cancelli nessuna singolarità nel semipiano destro chiuso. Per caratterizzare l’incertezza è necessario darne una caratterizzazione, ad esempio supponendo di conoscere una funzione maggiorante γ(ω) tale che |δP (jω)| ≤ γ(ω), ∀ω Si ipotizzi di aver individuato un controllore stabilizzante C(s) per il processo nominale e cioè, dal criterio di Nyquist, tale che sia verificata la condizione Nn = Pp (Nn numero di giri antiorari intorno al punto (-1,0) compiuti dalla funzione d’anello nominale Fn (jω) = C(jω)Pn (jω)). Lo stesso controllore sarà in grado di stabilizzare il processo perturbato se il numero di giri N compiuti da F (jω) = Fn (jω) + δF (jω), con δF (jω) = C(jω)δP (jω), è uguale a Nn (si ricordi l’ipotesi sul numero di poli a parte reale positiva). L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Analisi delle prestazioni - Parte 1 11 Stabilità robusta - Incertezza additiva Dal diagramma di Nyquist riportato in Fig. 7, si nota che |1 + Fn (jω)| è la distanza tra il punto (-1,0) e Fn (jω); in altri termini si può affermare che il modulo della funzione di sensitività S(jω) è anche l’inverso della distanza dal punto (-1,0) al diagramma di Nyquist. Un valore elevato di |S(jω)| indica che il diagramma di Nyquist si avvicina alla condizione di instabilità. Poiché, sfruttando la maggiorazione di |δP (jω)|, si ha |δF (jω)| = |C(jω)||δP (jω)| ≤ |C(jω)|γ(ω), ∀ω il punto F (jω) si trova certamente all’interno della circonferenza centrata in Fn (jω) e di raggio |C(jω)|γ(ω). Quindi, affinché si abbia stabilità robusta (N = Nn ) per ogni possibile perturbazione δP (che soddisfi la maggiorazione precedente) è necessario e sufficiente che per ogni valore di ω tale circonferenza non contenga il punto (-1,0), cioè |C(jω)|γ(ω) < |1 + Fn (jω)|, ∀ω Im -1 1+Fn( j ! ) C( j ! ) ° ( j ! ) Re Fn( j ! ) -1 Fig. 7 – Diagramma di Nyquist del sistema nominale L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Analisi delle prestazioni - Parte 1 12 Stabilità robusta - Incertezza additiva Si può esprimere la condizione precedente in termini della funzione di sensitività S(jω) |S(jω)| < 1 , |C(jω)|γ(ω) ∀ω in altri termini si richiede che il modulo di S(jω) – per il sistema nominale – sia piccolo dove l’incertezza è grande. In generale il modello del sistema è ben noto alle basse frequenze mentre alle alte frequenze (ω > ω2 ) entrano in gioco dinamiche non modellate (risonanze, ritardi, ...). C(s), per avere stabilità robusta, deve essere tale da rendere piccola la quantità SM = sup |S(jω)| ω In termini di L(jω), dalla condizione su |1 + Fn (jω)| dividendo per |Fn (jω)|, si ottiene γ(ω) 1 |Pn (jω)| < , ∀ω ⇒ |L(jω)| < ∀ω |Pn (jω)| |L(jω)| γ(ω) Per garantire la stabilità asintotica a fronte di un elevato grado di incertezza in una certa banda di frequenze, è necessario fare sı́ che in questa banda il modulo della funzione d’anello sia sufficientemente piccolo. Più in generale, C(s) deve essere tale da rendere piccolo il valore LM = sup |L(jω)| ω Sfruttando l’approssimazione ad alta frequenza di |L(jω)| si ha |F (jω)| < L. Lanari |Pn (jω)| γ(ω) ∀ω > ω2 Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Analisi delle prestazioni - Parte 1 13 Stabilità robusta - Incertezza moltiplicativa Si possono effettuare considerazioni simili nel caso di incertezza moltiplicativa; la risposta armonica del processo si esprime P (jω) = Pn (jω) [1 + Wp (ω)∆(jω)] nella quale Wp (ω) è una funzione reale di ampiezza ed esprime la dimensione della perturbazione che ci si può attendere al variare della pulsazione, mentre la funzione complessa ∆(jω) rappresenta l’incertezza in fase. Per la Wp (ω) vale l’espressione Wp (ω) = P (jω) − Pn (jω) Pn (jω) e assume solitamente valori piccoli alle basse frequenze ed aumenta alle alte frequenze (stesse considerazioni precedenti sull’andamento dell’incertezza in funzione della pulsazione). Per la ∆(jω) vale la seguente relazione 0 ≤ |∆(jω)| ≤ 1 Assumendo che il controllore C(s) stabilizzi il processo nominale, si ha che l’equazione caratteristica 1 + CPn = 0 non è mai soddisfatta (∀ω). La stessa condizione deve valere per il sistema perturbato si si desidera la stabilità robusta, e cioè, in modo equivalente deve essere 1 + C(jω)P (jω) = 6 0 1 + C(jω)Pn (jω) [1 + Wp (ω)∆(jω)] = 6 0 6 0 [1 + C(jω)Pn (jω)] [1 + L(jω)Wp (ω)∆(jω)] = per qualsiasi valore di ω e ∆. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Analisi delle prestazioni - Parte 1 14 Stabilità robusta - Incertezza moltiplicativa Essendo per ipotesi il sistema di controllo nominale stabile asintoticamente, il primo termine dell’ultima relazione non si annulla mai. Una condizione equivalente diventa quindi |L(jω)Wp (ω)∆(jω)| < 1, ⇒ |L(jω)|Wp (ω) < 1 nella quale si è sfruttato la proprietà di ∆. Si noti che nel campo di frequenze per le quali la Wp non è trascurabile ω > ω2 ) (cioè sussistono significative incertezze sul modello), |L(jω)| ≈ |Fn (jω)|. La condizione di robustezza si esprime infine |Fn (jω)| < 1 , Wp (ω) ∀ω > ω2 I vincoli finora descritti sono riassunti nella Fig. 8. F( j ! ) dB rumore alta frequenza & stabilita robusta log ! specifiche bassa frequenza !1 !t !2 Fig. 8 – Vincoli sul modulo della funzione d’anello |F (jω)|dB L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Analisi delle prestazioni - Parte 1 15 Stabilità robusta - Incertezza parametrica Si è precedentemente usato, a titolo di esempio di incertezza additiva, l’analisi rispetto a variazioni di un parametro α (incertezza parametrica) della funzione di trasferimento espressa come ¯ ∂P ¯¯ δα P (s, α0 + δα) = P (s, α0 ) + ∂α ¯ α=α0 Si vogliono analizzare gli effetti di una variazione δα sulle caratteristiche del sistema a controreazione unitaria. A tal fine si rappresenta la variazione relativa della funzione di trasferimento del processo come VPα(s, α, α0 ) = con ∆P (s, α, α0 ) P (s, α0 ) ¯ ∂P (s, α ¯¯ ∆P (s, α, α0 ) = P (s, α) − P (s, α0 ) ≈ ∂α ¯ δα α=α0 La funzione VPα(jω, α, α0 ) descrive l’effetto dell’incertezza parametrica sulla risposta in frequenza associata; in effetti elevati valori di |VPα(jω, α, α0 )| in una certa banda di pulsazioni stanno ad indicare un elevato grado di sensitività (o sensibilità) della risposta in frequenza in quella banda rispetto alla variazione del parametro α. Per valutare l’effetto della variazione del parametro sul sistema ad anello chiuso (avente F (s) = C(s)P (s) in catena diretta) a controreazione unitaria, ponendo W (s) = L. Lanari C(s)P (s) F (s) = 1 + F (s) 1 + C(s)P (s) Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Analisi delle prestazioni - Parte 1 16 Stabilità robusta - Incertezza parametrica si ha ∂W (s, α) C(s) ∂P (s, α) = ∂α (1 + C(s)P (s))2 ∂α In termini di variazione relativa, la relazione precedente si riscrive VWα (s, α, α0) = S(s, α0 )VPα(s, α, α0 ) o in modulo |VWα (jω, α, α0 )| = |S(jω, α0)||VPα(jω, α, α0 )| Il modulo della funzione di sensitività rappresenta il rapporto tra gli effetti dell’incertezza parametrica ad anello chiuso e ad anello aperto. Nell’intervallo di frequenze per le quali |S(jω, α0)| ¿ 1, la retroazione produce una notevole attenuazione dell’effetto dell’incertezza. Poiché la funzione S(jω, α0 ) ha tipicamente modulo inferiore a 1 per pulsazioni minori della pulsazione di attraversamento ωt, si ha che la controreazione garantisce una buona insensitività rispetto a variazioni parametriche all’interno della banda passante. In presenza di un sistema H(s) in controreazione, lo studio dell’effetto di variazioni di un parametro α in H(s) porta alla VWα (s, α, α0 ) = −L(s, α, α0 )VHα(jω, α, α0 ) e pertanto il sistema di controllo a controreazione è sensibile a variazioni parametriche nel ramo di reazione. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Analisi delle prestazioni - Parte 1 17