Olimpiadi di Matematica Scuola Media

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Olimpiadi di Matematica Scuola Media
Olimpiadi di Matematica Scuola Media
“Giochi di Archimede” - 1 Dicembre 2010
QUESITO N.1 (Punti 20) - Inglese/Francese
“ Il berretto di Anna”
In a dark room there are three bonnets,
two red ones and a white one. Anne and
Brigitte take one each, put it on and leave
the room, Anne first, then Brigitte.
Brigitte can see the colour of Anne’s
bonnet but Anne can’t see the colour of
Brigitte’s bonnet. Brigitte says: « I am not sure what the colour of my bonnet is ».
Anne answers:« So I know the colour of mine ».
What colour is Anne’s bonnet? Explain why.
“Il berretto di Anna”
Dance une pièce obscure il y a trois bonnets, deux rouge et un blanc.
Anne et Brigitte en prennent chacune un, s’en coiffent et sortent de la pièce.
Anne d’abord, puis Brigitte.
Brigitte voit la couleur du bonnet d’Anne mais Anne ne voit pas la couleur du bonnet
de Brigitte. Brigitte dit:
« Je ne suis pas sure de la couleur de mon bonnet ». Anne repond : « Alors
moi ; je connais la couleur du mien ». De quelle couleur est le bonnet d’Anne?
Expliquer pourquoi Anne le sait.
2
Giochi di Archimede dell’1-12-2010
Soluzioni
Quesito N.1(Punti 20 = 10 +10). Risposta: Anna indossa un berretto di colore rosso.
Il fatto che Brigitte afferma di non essere sicura del colore del suo berretto è perché, potendo vedere quello di Anna, che
la precede, nota che è di colore rosso. Essendoci due berretti di colore rosso il suo potrebbe essere rosso o bianco. Da
qui la sua insicurezza. Ma la sua affermazione è sufficiente ad Anna per essere certa che lei indossa un berretto di
colore rosso.
Quesito N.2 (Punti 5). La risposta corretta è (B).
Cancellando tutti i multipli di 7, si cancellano 14 numeri; cancellando tutti i multipli di 11, si cancellano solo 8 numeri,
tenuto conto che 77 è stato già cancellato come multiplo di 7. Quindi le caselle vuote sono 22.
Quesito N.3 (Punti 10). La risposta corretta è (B).
L’apotema della piramide è pari all’altezza di un triangolo equilatero unitario, e vale
√
.
L’altezza ℎ della piramide può essere
calcolata applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo VOH e quindi ℎ = − =
=
∙
=
∙ √
∙
=
√
√
∙
√
da cui il volume risulta :
Quesito N.4 (Punti 10). La risposta corretta è (B).
Il numero degli studenti della scuola è lo stesso sia per quest’anno che per l’anno scorso. Alla fine dello scorso anno
hanno lasciato la scuola complessivamente il 21% degli studenti (la somma dei diplomati e di quelli che si sono
trasferiti). Quest’anno sono arrivati 84 studenti nuovi. Poiché il numero complessivo di studenti è rimasto invariato,
deduciamo che il 21% di è pari ad 84. Quindi l’1% degli studenti è 84/21= 4 ed vale 400.
Quesito N.5 (Punti 10). La risposta corretta è (A).
Lanciando contemporaneamente due dadi si ottengono 36 possibili casi (tutte i numeri del primo dado abbinati, uno alla volta, con
quelli del secondo). Le coppie che contengono due numeri la cui somma è multipla di 3 sono: 2, 1, 1,2,
2,4, 4,2, 3,3, 1,5, 5,1, 3,6, 6,3, 6,6, 4,5, 5,4 in tutto 12, per cui la risposta è 1/3.
Quesito N.6 (Punti 10). La risposta corretta è (D).
Chiamiamo , , il numero dei cubi di lato 3 , 4 e 5 rispettivamente. Essi sono numeri interi strettamente
positivi che soddisfano le due relazioni: + + = 10 e 27 + 64 + 125 = 577. Dalla prima equazione si
ottiene: = 10 − + che, sostituita nella seconda, dà: 270 − 27 − 27 + 64 + 125 = 577 ⇒ 37 +
98 = 307. Da essa segue che non può essere maggiore di 2, perché se fosse ≥ 3, dovrebbe essere
necessariamente minore di 1, il che è impossibile. Quindi = 1 oppure 2. Ma = 1 dà un numero non intero, per cui
dev’essere = 2 che dà = 3 e, di conseguenza, dev 6 essere = 5.
Quesito N.7 (Punti 5). La risposta corretta è (B).
Il fanciullo sale a sinistra verso l’alto fino ad entrare nel quarto triangolo in alto a destra, poi scende di tre triangoli fino in fondo ed
esce in basso a destra per la porta (e). Per uscire dalle altre porte dovrebbe attraversare almeno una stanza avente forma
quadrangolare.
Quesito N.8 (Punti 10). La risposta corretta è (B).
Per numerare i fogli da 1 a 9 occorrono 9 etichette adesive; da 10 a 99 occorrono 90x2 = 180 etichette perché ogni
numero ha due cifre; infine per numerare i fogli da 100 a 284 occorrono 185x3 = 555 etichette poiché i numeri sono di
tre cifre. In totale occorrono 9 + 180 + 555 = 744 etichette adesive per numerare tutti gli appunti di Anatomia.
Quesito N.9 (Punti 5). La risposta corretta è (B).
Prima riga: 416235; seconda riga: 365124; terza riga: 624513; eventuali altre soluzioni, che rispettino i vincoli posti,
sono esatte. Esse, comunque, non alterano il numero dei quadrati perfetti che sono 7 (tre 1, tre 4, un 9).
Quesito N.10 (Punti 10). La risposta corretta è (A).
Quando le due macchine si incrociano, avranno percorso insieme l’intera circonferenza, ovvero: SA + SB = 180. Sappiamo che SA : SB
8
= 7 : quindi 89 = ⇒ SA = SB e, componendo, 180 ∶ @7 = 5 ∶ 2 , per cui @7 = 72 A ed @ = 108 km. Tenuto conto
:
che = 90A/ℎ e 7 = 60A/ℎ, 72 : 60 = 108 : 90 = 1,2 h; per cui si incontrano dopo 72 minuti.
Quesito N.11 (Punti da 0 a 20; la risposta è Bea).
Le affermazioni di Anna e Bea sono in contraddizione tra loro. Infatti se Anna ha un poker deve avere almeno una carta di cuori e
quindi Bea non può avere tutte le cinque carte di cuori. Quindi una tra Anna e Bea mente. Se fosse Anna a mentire, le affermazioni di
Bea, Caio e Dino dovrebbero essere tutte vere. D’altra parte Dino afferma di avere tre carte dello stesso valore, quindi in particolare
ha una carta rossa, ma Bea ha tutte le carte di cuori e di conseguenza Caio, che ha cinque carte rosse, deve avere tutte le carte di
quadri. Quindi l’affermazione di Dino è in contrasto con quelle di Bea e Caio. Deduciamo che Bea, Caio e Dino non stanno dicendo
tutti la verità, quindi Anna afferma il vero e Bea mente. Le affermazioni di Anna, Caio e Dino sono tra loro compatibili. Anna, ad
esempio, potrebbe avere un poker di assi e il re di picche; Caio il re di cuori, il re di quadri, la regina di quadri, la regina di cuori e il
fante di cuori; Dino il fante di quadri, di picche e di fiori, il dieci di cuori e di quadri; Bea le cinque carte rimanenti.
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Quesito N.1 Traduzione e risoluzione).
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U.M.I - I.T.C.G. “Pitagora-Calvosa” Castrovillari
OLIMPIADI DI MATEMATICA SCUOLA MEDIA
“Giochi di Archimede” - 1 Dicembre 2010
Istruzioni
1) Non sfogliate questo fascicolo finchè l’insegnante non dice di farlo.
2) I quesiti che sottoponiamo sono a risposta multipla dal n.2 al n.10. Ogni domanda è seguita da cinque
risposte indicate con le lettere A, B, C, D, E.
3) Ciascuna delle domande ammette una sola risposta corretta: la lettera corrispondente alla risposta esatta
dovrà, per ogni quesito, essere riportata in fondo a questa pagina nella relativa finestrella.
4) Ogni risposta esatta vale il numero di punti indicato nel testo, ogni risposta errata vale 0 punti , ogni
problema lasciato senza risposta vale 0 punti.
5) Il quesito n. 1 vale da 0 a 20 punti, di cui la metà per la traduzione; il quesito n. 11 vale da 0 a 20 punti.
Il procedimento del n.1 va illustrato su foglio a parte, preceduto dalla traduzione in italiano del testo in lingua
straniera, mentre il n.11 va svolto sullo stesso foglio della traccia.
6) Durante la prova NON E’ AMMESSO L’USO DI CALCOLATRICI TASCABILI, mentre, trattandosi di
lavoro di gruppo è lecita, tra gli allievi componenti la classe, ogni utile forma di collaborazione o strategia.
7) In caso di classi bilingue il quesito n.1 può essere tradotto da una delle due lingue indifferentemente.
8) Quando l’insegnante darà il via potrete cominciare a lavorare. Avrete 2 ore di tempo. Buon lavoro!
CLASSE : _________________________ SCUOLA ___________________________________
Indirizzo:____________________________________ Città:_______________________________
Risposte ai quesiti da 2 a 10
2
3
4
5
6
7
PUNTEGGIO (da riempirsi a cura dell’insegnante)
Valutazione esercizi da 2 a 10
Valutazione esercizio n.1
Valutazione esercizio n.11
PUNTEGGIO TOTALE
1
8
9
10
Quesito N. 2(Punti 5).
Su una griglia rettangolare, vedi figura, costituita da 100 caselle sono riportati i primi 100 numeri
interi positivi nell’ordine da 1 a 100. Quante caselle resteranno vuote dopo aver cancellato tutti
i multipli di 7 e di 11?
1
2
3
4
5
6
(A) 23
7
8 9
(B ) 22
10 11 12
(C) 21
13 14 15
(B ) 25
….
(D) 24
Quesito N. 3 (Punti 10). Una piramide retta a base quadrata ha tutti gli spigoli di lunghezza
unitaria. Il suo volume è:
(A)
C
(B)
D
(D)
V
√E
F
√E
E
(C)
(E)
√D
F
C
√D
D
D
O
A
H
B
Quesito N. 4 (Punti 10).
Al termine dell’anno scorso in una scuola di musica
si è diplomato il 18% degli studenti di tutta la scuola
e un altro 3% degli studenti si è trasferito in altre scuole.
Quest’anno si sono iscritti alla scuola 84 nuovi studenti
e ora il numero di studenti è uguale quello dello scorso
anno. Quanti studenti ha la scuola?
(A) 324
(B) 400
(C) 500
(D) 525
(E) 600
Quesito N. 5 (Punti 10). Si lanciano contemporaneamente due dadi regolari, dire qual è la
probabilità che la somma dei due numeri estratti sia multipla di tre.
(A)
(C)
CD
DF
C
(B)
D
(D)
G
F
CC
DF
(E)
C
DF
Quesito N. 6 (Punti 10). Gabriele ha 10 cubi, di tre dimensioni:
alcuni hanno lato di 3 cm, altri hanno il lato di 4 cm ed altri ancora
hanno il lato di 5cm (ne ha almeno uno di ciascun tipo). La somma
dei volumi dei 10 cubi è 577 cm3. Quanti sono i cubi con lato di 3 cm?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
3
Quesito N. 7(Punti 5).
Un fanciullo, per curiosità, entra in un labirinto, che ha
la pianta come in figura, dalla porta indicata dalla
freccia. Ha smarrito l’orientamento ma sa che se vuole
uscire deve attraversare solo stanze triangolari.
Da quale porta deve uscire?
a
(A) dalla porta a
d
b
c
(B) dalla porta e (C) dalla porta b
(D) dalla porta c
(E) dalla porta d
e
Quesito N. 8 (Punti 10).
Aldo è uno studente del primo anno di medicina e
possiede 284 fogli contenti appunti di Anatomia.
I fogli sono sciolti e Aldo, per evitare che si crei
confusione tra essi, decide di ordinarli apponendo
su ogni foglio, avanti e dietro, un numero intero,
progressivo, da 1 a 284. Egli dispone di tantissime
etichette adesive che riportano le cifre decimali da
0 a 9. Di quante etichette necessita per numerare
i suoi appunti?
(A) 720 (B) 744 (C) 284 (D) 656 (E) 740
Quesito N. 9 (Punti 5). Nel disegno a lato scrivi
in ogni casella vuota un numero intero, utilizzando solo
i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6 in modo che in ogni riga ed in
ogni colonna i numeri siano tutti diversi tra loro ed
inoltre la somma in colonna dia come risultato il numero
posto in cima nel triangolo. Completato lo schema, si
dica quanti quadrati perfetti compaiono nella figura.
(A) 6
(B) 7
(C) 10
(D) 11
(E) 4
Quesito N. 10 (Punti 10).
Due macchine partono da due stazioni A e B,
diametralmente opposte, e si muovono in senso
contrario su un percorso circolare lungo180 km,
con velocità costante. Tenuto conto che la prima
macchina impiega 3 ore per fare l’intero percorso
e la seconda 2 ore, indicare dopo quanti minuti
le due macchine si incontrano per la prima volta.
(A) 72
(D) 120
(B) 80
(C) 60
(E) 76
4
13
9
15
8
6
12
QUESITO N. 11 (Punti 0-20).
“ I quattro amici ”
Quattro amici, Anna, Bea, Caio e Dino, giocano a
poker con 20 carte di uno stesso mazzo: i quattro
re, le quattro regine, i quattro fanti, i quattro assi
e i quattro dieci. Vengono distribuite 5 carte a
testa. Anna dice: “ Io ho un poker ” (quattro carte
dello stesso valore).
Bea dice. “ Io ho tutte e cinque le carte di cuori ”.
Caio dice: “Io ho cinque carte rosse”. Infine Dino
dice: “Io ho tre carte di uno stesso valore e anche
le altre due hanno tra loro lo stesso valore”.
Sappiamo che una e una sola delle affermazioni è
falsa; chi sta mentendo?
Dire, secondo voi, chi e spiegare il perché.
(N.B. Le 20 carte sono metà nere e metà rosse, a due a due
dello stesso valore)
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