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Dagli insiemi al calcolo combinatorio
Il calcolo combinatorio è una parte della matematica che si occupa di contare
gli elementi di un insieme finito, ottenuto a partire da altri insiemi, dei quali si
conosce il numero di elementi .
Esempio 1: quanti sono i numeri compresi tra 1 e 100 che sono multipli di 3 o di 5? I
multipli di 3 sono 33, i multipli di 5 sono 20; però la risposta al problema non è
33+20, perché da questa somma dobbiamo togliere i numeri che sono multipli sia di
3 che di 5, cioè i multipli di 15, che da 1 a 100 sono 6. La soluzione è quindi 33+206=47.
Il risultato dell’esempio può essere generalizzato:
se A ha n elementi e
B m elementi, e AB ha p elementi, allora AB ha m+n-p elementi.
Vediamo un altro esempio.
Esempio 2: quante coppie diverse possiamo ottenere a partire da un insieme
costituito da 8 persone? Indichiamo con p1,p2,..p8 le persone. Le coppie possibili
saranno (p1,p2), (p1,p3),.., (p1,p8) (8 coppie con p1); poi (p2,p3),.. (p2,p8) (7 coppie con
p2); quindi 6 coppie con p3, ecc. fino all’ultima coppia, (p7,p8). In totale
1+2+3+..+8=28 coppie.
n!
Generalizziamo anche questo problema. Introduciamo un nuovo numero, lo
indichiamo con “n!” e lo chiamiamo “n fattoriale”: rappresenta il prodotto di tutti i
numeri da 1 a n. Ad esempio 4!=1∙2∙3∙4=24.
Introduciamo ancora un altro numero, che indichiamo con
frazione
e che è dato dalla
. Lo chiamiamo coefficiente binomiale. Ad esempio
.
Combinazioni semplici
Il numero
rappresenta le “combinazioni semplici di n oggetti presi k a k” (o
combinazioni semplici di classe k), cioè i modi possibili di raggruppare gli n elementi
di un insieme in sottoinsiemi formati da k elementi.
Gli elementi dell’insieme dell’esempio 2, possono essere anche contati come
Esercizio 1. Quanti possibili incontri si possono prevedere in un torneo di ping-pong
al quale partecipano 4 giocatori?
Soluzione. Indicati con A,B,C,D i quattro giocatori, si possono avere gli incontri:
A, B, A, C, A, D, B, C, B, D, C, D. Quindi le partite sono 6.
Esercizio 2. In un torneo di tennis, 8 persone decidono di giocare degli incontri di
doppio (cioè 2 contro 2), in tutti i modi possibili. Quanti incontri ci sono nell’intero
torneo?
(Olimpiadi della Matematica, Gara Senior, 1993)
Soluzione. Si possono scegliere 4 giocatori (di una partita di doppio) tra 8 persone in
8 
   70 modi differenti. I quattro giocatori, una volta scelti, possono incontrarsi in 3
 4
modi diversi, per disputare quindi 3 partite. Allora la soluzione del problema è
70x3=210 incontri.
Esercizio 3. Quanti numeri di quattro cifre si possono formare in modo che la cifra
delle migliaia sia minore di quella delle centinaia, a sua volta minore di quella delle
decine, che infine deve essere minore di quella delle unità?
Soluzione. Si tratta di contare quanti sottoinsiemi di 4 elementi possiede un insieme
di 9 elementi (le cifre da 1 a 9; lo 0 non si prende in considerazione perché la prima
cifra di un numero non può essere zero e quindi non possono essere zero nemmeno
la cifra delle centinaia, quella delle decine e quella delle unità, per i vincoli imposti
9
dal problema). Quindi il risultato è    126 .
4
 
Esercizio 4. Quante schedine è necessario giocare al superenalotto per essere certi
di fare 6?
 90 
Soluzione. Occorre giocare    622614630 schedine.
6


Esercizio 5. In quanti modi diversi un’insegnante può scegliere 2 alunni da
interrogare, in una classe di 23 alunni?
 23 
Soluzione. In    253 modi.
2


Esercizio 6. In quanti modi diversi possono essere distribuite 5 carte nel gioco del
poker?
Soluzione. Il mazzo da poker ha 52 carte. Quindi 5 carte si possono distribuire in
 52 
   2598960 modi differenti.
5 
Esercizio 7. Dati 10 punti nel piano, a tre a tre non allineati, quante sono le rette che
li congiungono 2 a 2?
10 
10!
 45 .
Soluzione. Sono   
 2  2!8!
Esercizio 8. Quante sono al gioco del lotto le possibili cinquine su una ruota?
 90 
90!
Soluzione. Sono   
 43949268 .
 5  5!85!
Esercizio 9. Quante partite di scacchi diverse possono giocare 5 amici?
5
Soluzione. Sono    10 .
2
 
Esercizio 10. Si vuole formare una squadra composta da tre femmine e due maschi.
Le femmine vengono scelte in un gruppo di 10 e i maschi in un gruppo di 8. In quanti
modi diversi può essere formata la squadra?
10 
10!
8  9 10
Soluzione. Le femmine possono essere scelte in   

 4  3 10  120 modi
23
 3  3!7!
8 
8!
7 8
diversi, mentre i maschi in   

 28 modi. Complessivamente le squadre
2
 2  2!6!
diverse possono essere allora 120∙28=3360.