PERMEABILITÀ E MOTI DI FILTRAZIONE

Transcript

PERMEABILITÀ
E MOTI DI FILTRAZIONE
Università degli Studi di Trento - Facoltà di Ingegneria
Geotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
1.1
Richiami di idraulica
1.2
Pressione idrostatica
∆x
z
∆y
W
z
uw
uw ∆x ∆y = W = γw z ∆x ∆y
⇒
uw = γw z
La pressione idrostatica dell’acqua è pari al prodotto del peso specifico
dell’acqua γw per l’affondamento z rispetto alla superficie a pressione nulla
1.3
Il carico piezometrico
z1
1
z’=0
z’1
uw1 = γw z1 ≠ uw2 = γw z2
z2
z’2
H
2
Carico piezometrico
h = z '+
uw
γw
z’ = altezza geodetica
uw/γw = altezza piezometrica
La pressione differisce da punto a
punto tuttavia il fluido è in quiete
h1 = z1'+
uw 1
h2 = z2 '+
γw
uw 2
γw
= z1'+
(H − z1')γ w
= z2 ' +
γw
=H
(H − z2 ')γ w
γw
=H
h1 = h2
Il carico idraulico è costante da punto a punto ⇒ il fluido è in quiete
1.4
Liquido in quiete
HA
A
h
uA=γw HA
HB
z’=0
B
uB=γw HB
uA ≠ uB
hA = hB
Liquido in quiete
1.5
Liquido in movimento
HA
A
H
uA=γw HA
z’=0
HB
B
uB=γw HB
uA = uB
hA ≠ hB
Liquido in movimento
1.6
FILTRAZIONE NEI TERRENI
1.7
Pressione dell’acqua interstiziale
zw
uw=γw zw
Il comportamento meccanico del terreno dipende dalla pressione
efficace σ’=σ-uw, e quindi dalla pressione totale e dalla pressione
dell’acqua interstiziale uw
1.8
Falda in quiete
zwA
zwB
uA=γw zwA
uB=γw
zwB
La pressione dell’acqua interstiziale in ogni punto è pari al prodotto del
peso specifico dell’acqua γw per l’affondamento zw rispetto alla
superficie a pressione nulla
1.9
Falda in movimento
zwA
zwB
uA=γw zwA
uB=γw
zwB
La pressione dell’acqua interstiziale non è più idrostatica
Come calcolare la pressione dell’acqua interstiziale?
1.10
La velocità di filtrazione
Il moto di filtrazione avviene nella
direzione del carico piezometrico
decrescente
A
Q
La velocità di filtrazione si definisce
come rapporto tra la portata filtrante Q e
la sezione filtrante totale A:
terreno
v=
Q
A
1.11
Effetto del percorso di filtrazione
L
Q
L/2
2Q
A pari dislivello piezometrico, la portata filtrante è inversamente
proporzionale al percorso di filtrazione
1.12
Effetto della differenza di carico
piezometrico
∆h
Q
2∆h
2Q
La portata filtrante è proporzionale al dislivello piezometrico
1.13
Effetto del tipo di terreno
∆h
∆h
Qsabbia
Qargilla
Qsabbia >> Q argilla
1.14
La relazione di Darcy
∆h
v=
∆h
Q
=K
A
L
A
L
Qsabbia
v = velocità di filtrazione
Q = portata filtrante
A = area filtrante totale
K = conducibilità idraulica
h = dislivello carico piezometrico
L = percorso di filtrazione
1.15
Generalizzazione della relazione di Darcy
al caso tridimensionale
K xx
v x 

 
v
=
−
K yx
 y
K zx
v z 

K xy
K yy
K zy
K xz  ∂h ∂x 

K yz  ∂h ∂y 
K zz   ∂h ∂z 
Se x, y, z direzioni principali:
v x 
K xx
 

v
=
−
 y
 0
v z 
 0
0
K yy
0
0   ∂h ∂x 


0  ∂h ∂y 
K zz   ∂h ∂z 
1.16
Relazione di Darcy
nel caso di mezzo isotropo
r
v = −K grad h
r
v
r
dx
r r
r
v ⋅ dx = −K grad h ⋅ dx = −Kdh = 0
h=cost.
Il vettore velocità è ortogonale alla superficie equipotenziale e diretto secondo
la direzione del carico piezometrico decrescente
1.17
La conducibilità idraulica
Come ordine di grandezza del coefficiente di permeabilità si possono
indicare i seguenti valori:
sabbia
K = 10-2 – 10-6 m/s
limo
K = 10-6 – 10-8 m/s
argilla
K = 10-8 – 10-11 m/s
La conducibilità idraulica varia di molti ordini di grandezza al variare
della granulometria del terreno
1.18
Velocità effettiva di filtrazione
Ipotizzando che la porosità superficiale sia uguale alla porosità
volmetrica n:
rw
 uw

nv = −K grad 
+ z 

 γw
La relazione tra velocità di filtrazione effettiva vw e gradiente idraulico
è di tipo lineare
1.19
Intepretazione della relazione di Darcy
Equazione di Navier-Stokes per fluido incompressibile:
r
1
µ r
dv
=−
∇ uw +
v − ∇(gz )
ρw
ρw
dt
Integrazionedell’equazione di Navier-Stokes nel caso di moto
laminare, moto uniforme e condotto cilindrico (formula di Poiseuille)
v=
1 ρw g 2 dh
D
32 µ
dl
La relazione tra velocità e gradiente idraulico è di tipo lineare nel
caso di moto laminare
La relazione tra velocità e gradiente idraulico dipende dalle proprietà
del fluido e dalla geometria
1.20
Permabilità intrinseca
 ρw g  1 2  dh
 D 
v = 
 dl
 µ  32
K
k=
Kµ K η
=
g
ρg
[L ]
2
Per l’acqua a 20°C η=10-6 m2/s e
[
]
K [m s ] ⋅ 10 −6 m 2 s
−5
[
]
k=
≅
K
m
s
⋅
10
9 .8 m s 2
[
]
[m ]
2
1.21
Validità della relazione di Darcy
Re =
η
d=
v
η
k
n
0.1 < Re < 10
Interazioni fisico-chimiche
Re =
v
v
η
k Ki
=
n η
Regime turbolento
K [m s ] ⋅ 10 −5 m 2
n
Per i=1, K=10-2m/s (ghiaia), n=0.5
Re =
Ki
η
K [m s ]10 −5 m 2 10 −2 ⋅ 1 10 −2 ⋅ 10 −5 m 2
=
= 4.4
n
0 .5
10 −6
1.22
Relazione di Darcy nel caso di velocità
del solido non nulla
Nel caso in cui anche le particelle solide siano interessate al moto, la
relazione di Darcy deve essere scritta in termini di velocità relativa
del liquido rispetto alla fase solida:
(
)
rw r s
r w ,s
 uw


n v − v = nv
= −K grad 
+ z 
 γw

1.23
Meccanica dei mezzi continui multifase
Sistema di continui sovrapposti, ciascuno caratterizzato da un
campo di velocità
rs rs v
v = v ( x, t )
rw rw v
v = v ( x, t )
r
r v
v a = v a ( x, t )
Fase solida
Fase liquida
Fase gassosa
Ciascuna fase occupa una frazione del volume totale
1− n
nS
n(1 − S )
Fase solida
Fase liquida
Fase gassosa
1.24
Bilancio di massa della fase liquida
(formulazione euleriana)
r
vw
rw r
v ⋅N
dV
Variazione di massa nell’unità di tempo
∂
∫ (ρw nS )dV
∂t V
Massa uscente nell’unità di tempo
r r
rw r
∫ v w ⋅ N (ρw nSdA ) = ∫ nSρw v ⋅ NdA
V
∂V
∂V
(
)
rw
∂
∫ (ρw nS )dV + ∫ ∇ ⋅ ρw nSv dV = 0
V ∂t
V
1.25
Bilancio di massa locale della fase liquida
(
)
rw
∂
(ρw nS ) + ∇ ⋅ ρw nSv = 0
∂t
Ipotizzando il terreno saturo (S=1) ed il liquido incomprimibile (dρw=0) si ottiene:
(
)
rw
∂
n + ∇ ⋅ nv = 0
∂t
Introducendo la velocità relativa tra liquido e solido
[(
)]
r s r w ,s
∂
n +∇⋅ n v +v
=0
∂t
1.26
Bilancio di massa locale della fase solida
[
]
rs
∂
[ρ s (1 − n )] + ∇ ⋅ ρs (1 − n )v = 0
∂t
Ipotizzando solido incomprimibile (dρw=0) si ottiene:
[
]
rs
∂
(1 − n ) + ∇ ⋅ (1 − n )v = 0
∂t
1.27
Equazione di continuità della miscela
[(
)]
r
r
∂n
+ ∇ ⋅ n v s + v w ,s = 0
∂t
r
r
∂n
+ ∇ ⋅ nv w ,s + ∇ ⋅ nv s = 0
∂t
r
r
r
∂n
+ ∇ ⋅ nv w ,s + n∇ ⋅ v s + v s ⋅ ∇n = 0
∂t
(
)
(
)
( )
[
(
)
r w ,s
rs
∇ ⋅ nv
+ ∇ ⋅v = 0
]
r
∂
(1 − n ) + ∇ ⋅ (1 − n )v s = 0
∂t
rs rs
∂n
−
+ (1 − n )∇ ⋅ v + v ⋅ ∇(1 − n ) = 0
∂t
r
r
r
∂n
−
+ ∇ ⋅ v s − n∇ ⋅ v s − v s ⋅ ∇n = 0
∂t
1.28
Equazione generale dei moti di filtrazione
(
)
r w ,s
rs
∇ ⋅ nv
+ ∇ ⋅v = 0

r w ,s
 uw


∇ ⋅ nv
= ∇ ⋅ − k grad
+ z 

 γw

(
)
i.p.d.
r s ∂v is
∂ Ds s
D s  ∂v is

∇ ⋅v =
=
vi =
∂x i
∂x i Dt
Dt  ∂x i
( )

 uw
 ∂ε v

∇ ⋅ − k grad
+ z  −
=0
t
γ
∂

 w

 Ds
∂
=
(
)
(− ε v )
−
≅
ε
v
 Dt
∂t

problema accoppiato
1.29
Equazione generale dei moti di filtrazione
in condizioni monodimensionali

 uu
 ∂ε v
∇ ⋅ − k grad
+ z  −
=0

 γw
 ∂t
 ∂ε v
∂ 
∂  uu

+ z  −
=0
− k

∂z 
t
∂z  γ w
∂

k ∂ 2uw ∂ε v
=
−
2
∂t
γ w ∂z
1.30
Moti di filtrazione in condizioni
monodimensionali e stazionarie
∂ 2 uw
=0
2
∂z
La pressione idrostatica u0 in condizioni cdi flusso monodimensionale
in regime stazionario varia lineramente con la profondità
1.31

PERMEABILITÀ E MOTI DI FILTRAZIONE

Transcript

Documenti analoghi

Il prof. Claudio SCAVIA, nato ad Alessandria il 9 giugno 1954

scheda 08-047 Tramway de Constantine

stato tensionale in sito

Visualizza documento allegato

e LABORATORIO di GEOTECNICA di MECCANICA

Master ENGEO

Leuzzi_Giovanni_CV_esteso MIN

Agenzia Entrate - Agenzia delle Entrate

LAI CV Ita - Ottobre 2016 - Dipartimento di Ingegneria Civile ed

Verbale 2° incontro del 6 dicembre 2016