autovalori-autovettori
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Geometria AUTOVALORI-AUTOVETTORI Matrice di partenza: 4 1 1 A = 1 4 1 1 1 4 Calcolare: • Autovalori • Polinomio caratteristico • Autospazi • Autovettori • Diagonalizzabilità • Matrice M e A’ x x 3 • Risolvere il sistema A y = 27 y z z 1. Trovare gli autovalori Calcolo analitico: det( A − λI ) = 0 MATLAB: autoval = eig(A) 3.0000 3.0000 6.0000 Quindi λ1, 2 = 3 con molteplicità d (λ ) = 2 λ3 = 6 con molteplicità d (λ ) = 1 2. Trovare il polinomio caratteristico: Calcolo analitico: P (λ ) = det( A − λI ) MATLAB: P = poly(A) 1.0000 Quindi -12.0000 45.0000 -54.0000 P (λ ) = λ3 − 12λ2 + 45λ − 54 Pagina 1 di 6 Geometria 3. Trovare gli autospazi: Calcolo analitico: per ogni autovalore calcolare ( A − λI ) X = 0 e X è il mio autospazio. Autospazio associato a λ1, 2 = 3 : ( A − λI ) X = 0 Î Quindi 1 1 1 1 1 4 − 3 ( A − 3I ) = 1 4−3 1 = 1 1 1 1 1 4 − 3 1 1 1 1 1 1 x 0 1 1 1 ⋅ y = 0 1 1 1 z 0 La matrice ha rango 1, quindi ho 2 incognite libere (utilizzo una equazione del sistema). Trovo la soluzione, che è il mio autospazio: x − y − z y = y z z Poiché ho due incognite libere, avrò 2 autovettori associati a questo autospazio. Autospazio associato a λ3 = 6 : ( A − λI ) X = 0 Quindi Î 1 1 − 2 1 1 4 − 6 ( A − 6I ) = 1 4−6 1 = 1 − 2 1 1 1 4 − 6 1 1 − 2 1 x 0 − 2 1 1 − 2 1 ⋅ y = 0 1 1 − 2 z 0 La matrice ha rango 2 (determinante è uguale a zero), quindi ho 1 incognita libera (utilizzo 2 equazioni del sistema). Trovo la soluzione, che è il mio autospazio: x z y = z z z Poiché ho una incognita libera, avrò 1 autovettore associato a questo autospazio. Pagina 2 di 6 Geometria 4. Trovare gli autovettori: Calcolo gli autovettori partendo dagli autospazi: Autospazio associato a λ1, 2 = 3 genera due autovettori: x − y − z y =1 − 1 y = y → z =0 v1 = 1 z z 0 x − y − z y =0 − 1 y = y z =1 → v2 = 0 z z 1 Autospazio associato a λ3 = 6 genera un autovettore: x z 1 y = z → z =1 v3 = 1 z z 1 Verifica: ( A − 3I ) ⋅ v1 = 0 ( A − 3 I ) ⋅ v2 = 0 ( A − 6 I ) ⋅ v3 = 0 5. Diagonalizzabilità Per la diagonalizzabilità devo analizzare gli autovalori: λ1, 2 = 3 con molteplicità algebrica d (λ ) = 2 con molteplicità geometrica m(λ ) = 2 λ3 = 6 con molteplicità algebrica d (λ ) = 1 con molteplicità geometrica m(λ ) = 1 n=3 grado del polinomio caratteristico La molteplicità algebrica è l’esponente dell’autovalore, e la molteplicità geometrica è il numero di incognite libere dell’autospazio associato all’autovalore. Pagina 3 di 6 Geometria Poiché sono rispettate le proprietà: d (λ ) = m(λ ) per ogni autovalore ∑ d (λ ) = n • • si può concludere che gli autovalori sono tutti regolari, quindi la matrice A è diagonalizzabile. 6. Matrice M La matrice M è la matrice che ha per colonne gli autovettori. Se la matrice A è diagonalizzabile, allora posso applicare la seguente formula: A1 = M −1 AM dove la matrice A1 è una matrice di zeri che ha sulla diagonale gli autovalori di A. − 1 − 1 1 M = 1 0 1 0 1 1 Quindi 3 0 0 A1 = 0 3 0 0 0 6 MATLAB: Adiag = 3.0000 0 0 0.0000 3.0000 0.0000 0.0000 0.0000 6.0000 Pagina 4 di 6 Geometria 7. Sistema lineare x x A y = 27 y z z 3 Calcolo A3: con 4 1 1 A = 1 4 1 1 1 4 90 63 63 A = A ⋅ A ⋅ A = 63 90 63 63 63 90 3 Quindi scrivo A3 ⋅ X = 27 ⋅ X 90 63 63 x x 63 90 63 ⋅ y = 27 ⋅ y 63 63 90 z z 90 63 63 x x 0 63 90 63 ⋅ y − 27 ⋅ y = 0 63 63 90 z z 0 Scrivo il sistema: 90 x + 63 y + 63z − 27 x = 0 63 x + 63 y + 63z = 0 63 x + 90 y + 63z − 27 y = 0 63 x + 63 y + 90 z − 27 z = 0 63 x + 63 y + 63z = 0 63 x + 63 y + 63z = 0 In forma matriciale: B⋅ X = 0 63 63 63 x 0 63 63 63 ⋅ y = 0 63 63 63 z 0 La matrice B ha rango 1, ho due ingenite libere e quindi posso eliminare due righe della matrice. Il sistema è omogeneo ( B ⋅ X = 0 ), quindi ammette sempre soluzione. Ora devo trovare il numero di soluzioni. n=3 m=3 r =1 numero di incognite numero di equazioni rango della matrice B Poiché n>r Nel nostro caso: n−r allora il sistema ha ∞ soluzioni ∞ 2 soluzioni Pagina 5 di 6 Geometria Voglio ora trovare la soluzione analitica del sistema di equazioni. Poiché ho due incognite libere, mi basta prendere una sola equazione: Considero la prima equazione: 63x + 63 y + 63 z = 0 Î x+ y+z =0 Î x = −y − z Quindi la mia soluzione è: x − y − z y = y z z Pagina 6 di 6