Filtri analogici - Ingegneria elettrica ed elettronica
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Filtri analogici - Ingegneria elettrica ed elettronica
Filtri analogici 1915 Primi filtri elettrici per ripetitori Tutte le applicazioni di trattamento e trasmissione dei segnali Un filtro è un calcolatore analogico • componenti poco precisi, soggetti a variazioni di temperatura ed all’invecchiamento • tecnologia semplice • realizzazione poco costosa • dispositivo affidabile Un filtro elettrico è un dispositivo progettato per •separare •far passare •o sopprimere un gruppo di segnali da diversi segnali che utilizzano lo stesso canale di trasmissione. E' difficile trovare un sistema elettronico che non impieghi un filtro. 1 Esempi Eliminare ciò che contamina il segnale (rumore nei sistemi di comunicazione) Separare componenti in frequenza rilevanti da quelle irrilevanti Demodulare segnali Limitare i segnali in banda prima del campionamento Convertire i segnali campionati in continui Migliorare la qualità di segnali audio (altoparlanti) Sintesi del parlato Equalizzazione di cavi e linee di trasmissione Su larga scala televisione e radio Su scala più piccola i componenti elettronici base usati nei telefoni, nella televisione, nella radio, nei radar e nei computer. Filtri attivi (resistori, capacitori ed elementi attivi) •economici (avanzamento della tecnologia dei circuiti integrati) •produzione di serie •pesano poco e occupano poco spazio •larghezza di banda finita (<30kHz) Filtri passivi (resistori, capacitori ed induttori) •problemi di costi e ingombri •minore sensibilità rispetto ai filtri attivi •larghezza di banda fino a 500kHz 2 Poiché ZL=ωL, valori elevati di reattanza richiedono alle basse frequenze valori elevati di induttanza. f=1 MHz ZL=6.28 kΩ Ex. L=1mH f=100 Hz ZL=0.628 Ω Elevato numero di spire della bobina aumento della R, della dimensione e del costo dell’induttore Materiali ferromagnetici con elevata µ Gli induttori sono generalmente incompatibili con la miniaturizzazione Filtri attivi |H(jω)| |H(jω)| K K ωc ω filtro passa-basso ideale |H(jω)| ωc ω filtro passa-alto ideale |H(jω)| K K ω1 ω2 filtro passa-banda ideale ω ω1 ω2 ω filtro elimina-banda ideale 3 1 per ω ≤ ωC Il filtro passa basso ideale ha H(j ω) = . 0 altrove La corrispondente risposta impulsiva è 1 h(t) = 2π ωC ∫e ω − C jωt dω = ( ) 1 e jωt 2πjt ωC −ωC = sen (ωC t ) ≠ 0 per t < 0 πt Il filtro ideale è quindi NON CAUSALE La risposta dovrebbe esistere prima dell’applicazione dell’impulso h(t) Tanto più alto è l’ordine del filtro reale, tanto più si avvicina al filtro ideale Procedura di sintesi di una data rete 1. Approssimazione Generare una funzione di trasferimento che soddisfi certe specifiche (ampiezza o fase etc.,). Metodi in forma chiusa: il problema è risolto attraverso un certo numero di passi utilizzando formule e trasformazioni in forma chiusa (Butterworth, Chebyschev, etc). • • • Soluzioni molto precise Pochi calcoli Adatti per caratteristiche con distorsione in ampiezza costante a tratti, all’interno di certe tolleranze. Metodi iterativi: a partire da una soluzione iniziale attraverso un metodo di ottimizzazione si ottengono una serie di soluzioni migliori finché un certo criterio non è soddisfatto. • • Molti calcoli Adatti per caratteristiche arbitrarie 4 2. Realizzazione Conversione delle caratteristiche del filtro nella corrispondente rete elettrica (ne esiste generalmente più di una). 3. Studio delle imperfezioni Al passo 1. i coefficienti della funzione di trasferimento sono determinati con elevata precisione; la realizzazione al punto 2. è ottenuta assumendo gli elementi ideali (C senza perdite, L senza C parassite, amplificatori con larghezza di banda infinita, etc.) Occorre studiare l’effetto delle imperfezioni (tolleranze, non linearità, etc.) mediante analisi di tolleranza, analisi di sensibilità, analisi del rumore, etc.. 2. Implementazione Risposta in frequenza Caratterizza la risposta a regime sinusoidale + Vi(s) + Vu(s) - H (s ) - Funzione di trasferimento s=j ω + Vi(j ω) + Vu(j ω) - H ( jω ) - H ( jω ) = M (ω )e jφ (ω ) M (ω ) φ (ω ) Risposta in frequenza Risposta in ampiezza Risposta in fase 5 Un filtro distorce il segnale in ingresso: Distorsione d’ampiezza Risposta in ampiezza non costante componenti in frequenza diverse del segnale amplificate diversamente. Distorsione di fase Risposta in fase non lineare componenti in frequenza diverse del segnale ritardate diversamente. Esempio x(t ) = X 0 cos(2πf 0t ) + X a cos(2πf a t ) + X b cos(2πfbt ) f0> fb >fa xˆ (t ) = X a cos(2πf a t ) + X b cos(2πf bt ) segnale desiderato Filtro passa basso con risposta in frequenza 1 1 < f < f C A(2πf ) = 0 f C < f φ (2πf ) L’uscita accettabile è risposta in ampiezza fa < fb < fc< f0 risposta in fase u a (t ) = kxˆ (t − τ ) ritardo attenuazione 6 Esempio x(t ) = X 0 cos(2πf 0t ) + X a cos(2πf a t ) + X b cos(2πfbt ) f0> fb >fa xˆ (t ) = X a cos(2πf a t ) + X b cos(2πf bt ) segnale desiderato Filtro passa basso con risposta in frequenza 1 1 < f < f C A(2πf ) = 0 f C < f φ (2πf ) L’uscita accettabile è risposta in ampiezza fa < fb < fc< f0 risposta in fase u a (t ) = kxˆ (t − τ ) ritardo attenuazione L’uscita del filtro è u (t ) = X a cos(2πf a t + φ (2πf a )) + X b cos(2πfbt + φ (2πf b )) Si ha u(t) = ua(t) se la risposta in fase è lineare φ (2πf ) = −2πfτ φ (2πf a ) = −2πf aτ → φ (2πfb ) = −2πfbτ Infatti, in tal caso u (t ) = X a cos(2πf a (t − τ ) ) + X b cos(2πfb (t − τ ) ) 7 Esempio 1 Individuazione di segnali generati da un telefono in multifrequenza (devono essere individuati i 10 digit decimali da 0 a 9 e 2 bottoni * e # usati per scopi speciali) 697 Hz Banda bassa 1 ABC 2 DEF 3 770 Hz GHI 4 JKL 5 MNO 6 852 Hz PRS 7 TUV 8 WXY 9 * oper 0 # 1209 Hz 1336 Hz 1477 Hz 941 Hz 1 segnale = =1 coppia di toni sinusoidali Banda alta Quando viene composto un n. di telefono viene trasmesso un insieme di segnali, che vengono convertiti in segnali in continua usati da un sistema di switch che connette il chiamante al chiamato. Come si individuano i numeri da chiamare? BP Filtri passa-banda D Rilevatore A Amplificatore Passa basso BP1 D1 697 Hz BP2 D2 770 Hz BP3 D3 852 Hz BP4 D4 941 Hz Al sistema di switch A D5 1209 Hz BP6 D6 1336 Hz BP7 D7 1477 Hz BP5 Passa alto Ogni filtro passa-banda passa un solo tono ed è seguito da un rivelatore D che, si attiva quando la sua tensione supera un determinato livello e fornisce il segnale di switch in continua per connettere l’utente al numero chiamato. 8 Esempio 2 Un convertitore ac/dc consente di realizzare un alimentatore in continua partendo da una rete di alimentazione in corrente alternata Ingresso c.a. Ingresso c.a. Uscita c.c. = Trasformatore Raddrizzatore Filtro Uscita c.c. Il trasformatore isola galvanicamente l’uscita in continua dall’ingresso in alternata ed adatta la tensione di rete alla tensione di uscita richiesta. Il raddrizzatore è un componente non lineare che converte l’energia da alternata a unidirezionale. Il filtro assolve la funzione di far passare solo la componente continua dello spettro prodotto dal raddrizzatore e di bloccare tutte le altre righe dello spettro (armoniche) La tensione (corrente) all’uscita del raddrizzatore non è rigorosamente continua ma possiede un certo residuo (ripple) Ripple% = Veffcarico carico Vmedio (componente continua) Per far passare la componente continua si utilizza un filtro passa-basso Filtro LC ad ingresso induttivo Filtri ad ingresso capacitivo 9 Esempio 3 Il circuito crossover accoppia un amplificatore audio a degli altoparlanti di tipo woofer o tweeter Canale di amplificatore stereo Tweeter C L Vs + - L C R1 Woofer + - T V1 V2 + - R2 W Un woofer è un altoparlante progettato per riprodurre accuratamente la parte bassa dell’intervallo delle frequenze audio (<3 kHz) Un tweeter è un altoparlante progettato per riprodurre accuratamente la parte alta dell’intervallo delle frequenze audio (3-20 kHz) H 2 (ω ) H 1 (ω ) = V1 jωR1C = Vs 1 + jωR1C H 2 (ω ) = V2 R2 = passa basso Vs R2 + jωL passa alto H 1 (ω ) ω ωc Filtri passa basso •La funzione di rete di un passa basso del 1° ordine H ( jω ) = k ω0 jω + ω 0 0 kω0 ≅ k H (ω ) = ω02 + ω 2 k 2 ω0 = pulsazione di taglio k guadagno ω >> ω0 ω << ω0 |H(j ω)| ω = ω0 Log(ωc) log(j ω) 10 R v (t ) C vc (t ) 1 / ( jωC ) 1 / RC Vc = = V R + 1 / ( jωC ) jω + 1 / RC ω0 = 1 / RC H ( jω ) = k =1 vR (t ) R v (t ) L Cf Ri Rf + vi (t ) vu (t ) 1 − 1 Z j ωC f Ri C f 1 = H ( jω ) = − f = − 1 Zi Ri R + 1 jω + f jω C f Rf C f Rf ω0 = 1 non dipende da Ri (se sommo diversi ingressi con diverse Ri , ω0 rimane la stessa Rf C f per tutti gli ingressi) kω 0 = − 1 Ri C f → k= Rf Ri >=< 1 11 Filtri passa alto •La funzione di rete di un passa alto del 1° ordine H ( jω ) = k jω jω + ω 0 ω0 = pulsazione di taglio k guadagno in continua 0 ω << ω0 kω ≅ k ω >> ω0 H (ω ) = ω02 + ω 2 k ω = ω0 2 R vR (t ) v (t ) C VR R jω = = V R + 1 / ( jωC ) jω + 1 / RC ω0 = 1 / RC H ( jω ) = k =1 R v (t ) L vL (t ) 12 Rf Ri Ci + vu (t ) vi (t ) 1 R jω f jωC f Ri H ( jω ) = − =− =− 1 1 Zi Ri + jω + jω C i Ri Ci Zf ω0 = k= 1 Ri Ci Rf Ri Filtri passa banda FiLtri del II ordine •Approssimazione poco costosa dei filtri ideali •Blocco elementare per costruire filtri più complessi di tutti i tipi •Ordine minimo per realizzare passa e oscura banda La risposta in frequenza ω0 Q H ( jω ) = k ω − ω 2 + j 0 ω + ω02 Q jω 0 k ≅ 2 0 2 ω ω02 − ω 2 + 0 ω k / 2 Q ω0 Q ω >> ω0 ) ω << ω0 ω H (ω ) = k ( k guadagno ω0 pulsazione di centrobanda Q fattore di qualità ω1 pulsazione di taglio inferiore ω2 pulsazione di taglio superiore ω = ω0 ω = ω1,ω2 13 R v (t ) H ( jω ) = vR (t ) L 1 R + j ωL − ωC = jω R L − ω + jω R L + 1 LC 2 1 LC ω0 = C R k =1 ω0 R ωL = →Q = 0 Q L R R R v (t ) C vL (t ) Cascata di passa basso e passa alto L ω0= ω2 vi(t) ω0= ω1 Passa basso ω0= ω2 Passa alto ω0= ω1 C1 + R C2 vo(t) k R R R Invertitore + vi (t ) vu (t ) ω0pbasso= ω2=1/RC1 ω0palto= ω1=1/RC2 Rf Ri + vu (t ) k=-Rf / R1 14 1 R jω RC R 1 − H ( jω ) = ∏ H i = − 1 1 (Vedi slide successiva) jω + RC jω + RC 1 2 jω Rf RC1 =− 1 Ri − ω 2 + jω C1 + C2 + 2 RC1C2 R C1C2 ω0 = 1 R C1C2 ω1 = 1 1 ; ω2 = RC2 RC1 H (ω0 ) = k = − R f Ri = Rf C2 Ri C1 + C2 Filtri di ordine elevato Spesso realizzati come cascata di filtri del II ordine V1 ( s ) H1(s) V2 ( s ) H2(s) V3 ( s ) Vn (s ) Hn(s) Vn+1 ( s ) Cascata di n stadi del II ordine Molto spesso il comportamento di uno stadio cambia quando viene connesso ad un altro stadio (caricamento) Zu(s) Vi (s ) + Zi(s) - H ( s )Vi ( s ) Modello circuitale di uno stadio adatto all’analisi del caricamento 15 Zu1(s) Zi1(s) +- V1 ( s ) H 1V1 Zu2(s) V2 Zi2(s) + - H 2V2 V3 ( s ) V3 = H 2V2 V2 = Zi2 H 1V1 Z u1 + Z i 2 Con il 2° stadio Senza il 2° stadio V2 = H 1V1 Il 2° stadio carica il 1°. Ciò si può eliminare rendendo infinita la Zi2 o nulla la Zu1 V3 = H 2V2 = H 2 H= Zi2 H 1V1 Z u1 + Z i 2 V3 Zi2 H1 = H2 V1 Z u1 + Z i 2 Se Z u1 = 0 o se Z i 2 = ∞, H = H 2 H1 I filtri di Sallen Key hanno Zu=0, pertanto possono essere collegati in cascata senza caricare l’uscita. H = ∏ Hi i I filtri RLC hanno Zu≠0, e Zi ≠∞ H ≠ ∏ Hi i 16 Esempio Sallen Key Passa Banda – Calcolo della Zu R R 1 C 2 + - C 2R Vi (s ) 3 u Vu (s ) I u (s ) R (A-1)R V1 V1 − Vu V1 − V2 V1 R + 1 / sC + R + 1 / sC = 0 V2 − V1 V2 + =0 1 / sC 2 R V2 V2 − Vu (V3=V2) R + ( A − 1) R = 0 R vi (t ) R Filtro di Sallen Key + R (A-1)R vu (t ) PB R C vi (t ) R Vu Iu Vu= 0 Zu= 0 C C C Zu = + R (A-1)R PA vu (t ) 1 RC 1 Q= 3− A k=A ω0 = 1 RC 1 Q= 3− A k=A ω0 = 17