1 Informazioni generali - Dipartimento di Matematica "Ulisse Dini"

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Informazioni generali
• nome del corso: Istituzioni di Matematiche I (cod. 0105085)
• docente: Prof. Fabio Rosso
• assistente: Prof. Fabio Vlacci
• reperibilità: 0554237147 (Rosso), 0554237154 (Vlacci)
• email: [email protected], [email protected]
• indirizzo: Dip. Matematica, V.le Morgagni 67/A
• inizio corso: merc. 1 ottobre
• durata del corso: circa 55÷60 ore complessivamente (fra lezioni teoriche ed
esercitazioni)
• prove di valutazione intermedia: sí con cadenza mensile. Date previste (da
confermare) 31/10, 28/11,16/1
• informazioni via web (all’indirizzo www.math.unifi.it/ rosso/INTRO.html): calendario delle sessioni d’esame, programma del corso, esito di test e prove scritte, avvisi urgenti, procedura di registrazione telematica alle prove d’esame sia
intermedie che finali (obbligatoria).
• testi utilizzati: Metodi Matematici e Statistici nelle Scienze della Terra, vol I Ed.
Liguori, Autori: Buccianti, Rosso, Vlacci
Istituzioni di Matematica: problemi risolti, esercizi e test Ed. Pitagora, Autori:
Rosso, Vlacci. I testi indicati contengono errori di stampa: l’errata corrige è
disponibile all’indirizzo web sopra indicato.
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Test d’ingresso per Matematica I,
ccl in Sc. Geologiche
Il test ha come unico scopo quello di permettere ad ogni studente di auto–
valutare le proprie conoscenze di base su argomenti come l’algebra, la
logica, gli insiemi, le equazioni e disequazioni, la geometria analitica e
simili aree della Matematica che usualmente vengono trattati nelle scuole
superiori ma in modo generalmente molto disomogeneo e più o meno completo. Il test può tranquillamente essere svolto a casa propria e non deve
essere riconsegnato. La chiave delle risposte esatte verrà resa disponibile
in rete all’indirizzo
www.math.unifi.it/ rosso/testingresso.html.
La percentuale di risposte esatte è certamente indicativa del proprio grado
di “confidenza” con la Matematica. Lo studente tenga comunque presente
che anche un risultato fortemente negativo non equivale affatto ad una incapacità a priori di poter seguire proficuamente e con successo sia il corso
di Matematica I che di Matematica II. È ampiamente provato infatti che le
dichiarate “insofferenze e idiosincrasie” (... non ho mai capito niente di
M...., ...sono negato per la M....) che alcuni studenti provano verso questa
disciplina sono spesso determinate esclusivamente da un cattivo rapporto
col docente responsabile del corso nel precedente iter di studio oppure col
suo metodo di insegnamento. È però evidente che un risultato mediamente
o fortemente negativo suggerisce che lo studente rimanga particolarmente
attento e concentrato per tutta la durata del corso.
1. L’espressione (a2 )4 è equivalente a
¤ 2a4
¤ a8
¤ a6
¤ 4a2
2. Il numero log2 16 è
¤8
¤ e4
¤ 4e
¤4
3. L’espressione log10 a + log10 b è equivalente a
¤ log10 (ab)
¤ log10 (a + b)
¤ loga+b (10)
nessuna delle precedenti
4. L’espressione algebrica
(x − 2)2 + 2x − 1 = x2 − 2x + 3
¤ è un’equazione
¤ è un’identità
¤ è una contraddizione
¤ è valida solo per x = 2
5. L’equazione x4 + 1 = 0 ha
¤ due soluzioni reali, +1 e −1
¤ quattro soluzioni reali
¤ nessuna soluzione reale
¤ tre soluzioni reali e una immaginaria
6. Dati due numeri reali a e b, posto (a − b) = c ricaviamo algebricamente, nell’ordine indicato, i risultati seguenti [A] (a − b)2 = c(a − b), [B] a2 + b2 − 2ab =
ca − cb, [C] a(a − b − c) = b(a − b − c) da cui infine si ha [D] a = b, cioè
che dati due numeri reali qualsiasi questi sono necessariamente uguali. Indicare
in quale passaggio c’è un errore oppure se il risultato è esatto (un tale risultato prenderebbe il nome di Teorema dell’uguaglianza incondizionata fra numeri
reali)
¤ da [C] a [D]
¤ da [A] a [B]
¤ da [B] a [C]
¤ il risultato è esatto
√
7. L’espressione a2 + b2 è equivalente a
¤ sé stessa
¤a+b
¤ |a + b|
¤ |a| + |b|
8. Date le due frazioni 31 e 12 , quale delle seguenti frazioni della forma
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presa fra esse (cioè 13 < m
n < 2 )?
¤
¤
¤
¤
m
n
5
7
1
5
3
8
3
2
9. L’insieme di numeri descritto dalla proprietà |x − 1| < 2 è equivalente a
¤1<x<2
¤ −1 < x < 3
¤ −1 < x < 2
¤0<x<2
è com-
10. Supposto che 0 < a < b < 7 e che c = −2, risulta
¤ 7c > a
¤ ca > 0 e cb > 7
¤ cb > ac
¤ −14 < cb
11. La relazione fra i numeri interi relativi n ≤
√
4
n4 + 1 è vera:
¤ solo per gli interi n < 0
¤ solo per gli interi n > 1
¤ per ogni intero n purchè positivo
¤ per ogni intero relativo n
12. Quanti sono i sottoinsiemi dell’insieme {1, 2, 3, 4}?
¤8
¤ 14
¤ 16
¤4
13. Se mediamente 7 uomini su 100 sono criminali, quanti uomini su 500 mediamente non sono criminali?
¤ 35
¤ 465
¤ il 35 per cento
¤ il 70 per cento
14. Dal fatto che n è pari si può dedurre che
¤ 3n è dispari
¤ n2 è dispari
¤ n + 3n è dispari
¤ n2 è pari
15. Sia A = {divisori di 154},B = {divisori di 210}; allora l’insieme A ∩ B è
l’insieme
¤ {1, 2, 7}
¤ vuoto
¤ {0, 1, 2, 7}
¤ {2, 3, 5, 7, 11}
16. Qual è la frazione corrispondente al numero periodico 1.23̄?
¤
¤
¤
¤
37
30
37
33
5
4
123
100
17. Ad un convegno ogni partecipante dà la mano una sola volta a tutti gli altri partecipanti. In tutto vi sono state 15 strette di mano; quanti sono i partecipanti al
convegno?
¤6
¤ 30
¤3
¤5
18. Sapendo che una persona non ha più di 150000 capelli, quale delle seguenti
affermazioni vi sembra una logica conseguenza della precedente?
¤ vivono a Roma esattamente due persone con lo stesso numero di capelli;
¤ fra gli abitanti di Roma non esistono due persone con lo stesso numero di
capelli;
¤ fra gli abitanti di Roma vi è sicuramente almeno una persona calva
¤ vivono a Roma almeno due persone con lo stesso numero di capelli
19. Siete il giudice di un processo per omicidio. Sapete che: (a) se l’imputato è
colpevole allora è passato per Vicolo Stretto (b) l’imputato è passato per Vicolo
Stretto Come agite?
¤ Lo condannate
¤ Lo assolvete per insufficienza di prove
¤ Lo assolvete con formula piena
20. Tutti gli studenti di una classe amano il gelato alla fragola e quello al limone.
Questa frase è falsa. Ne deducete che
¤ A nessun ragazzo della classe piace il gelato alla fragola
¤ Esiste almeno un ragazzo della classe a cui non piace nessuno dei due gusti di
gelati
¤ Ad un ragazzo piace il gelato alla fragola ma non quello al limone
¤ Ad un ragazzo piace il gelato al limone ma non quello alla fragola
21. Dati due insiemi A e B si dice funzione una legge f che associa ad ogni elemento a appartenente ad A uno ed un solo elemento b appartenente a B (e si scrive
b = f (a)). Supposto che A = B = N (dove N indica l’insieme dei numeri
naturali), una sola di queste leggi non è una funzione. Quale?
¤ f (n) = n(n+1)
2
¤ f (n) = n2
¤ f (n) = n2
¤ f (n) = 2n + 1
22. Cosa descrive nel piano cartesiano l’insieme dei punti (x, y) tali che
x + y ≤ 1,
x ≥ 0,
e y ≥ 0?
¤ il quadrato di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)
¤ il triangolo di vertici (0, 0), (0, −1), (1, 0)
¤ il triangolo di vertici (0, 0), (0, 1), (−1, 0)
¤ il triangolo di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 0)
23. La retta passante per A = (1, 2),
B = (3, 3)
¤ è ortogonale alla retta di equazione 2y + 4x = 3
¤ è parallela alla retta di equazione y = x
¤ è incidente l’asse x nel punto (−1, 0)
¤ è passante per l’origine degli assi
24. Il luogo geometrico costituito dai punti del piano che hanno costante la somma
delle distanze da due punti distinti assegnati è
¤ un’ellisse
¤ un’iperbole
¤ una parabola
¤ l’insieme vuoto
25. Il luogo dei punti del piano equidistanti da due punti distinti è:
¤ un’ellisse
¤ una retta
¤ una parabola
¤ un triangolo
26. Data una piramide retta a base quadrata di volume V , si costruisca la piramide
simile con lato di base di lunghezza doppia. Il suo volume è:
¤ 8V
¤ 2V
¤ 4V
¤ 16V
27. Se si raddoppiano i lati di un rettangolo, le sue diagonali
¤ triplicano
¤ quadruplicano
¤ restano invariate
¤ raddoppiano
28. Se in un triangolo equilatero si raddoppiano le misure dei lati, l’area
¤ raddoppia
¤ quadruplica
¤ triplica
¤ diventa una volta e mezzo l’area originaria
29. Se il perimetro di un rettangolo è di 4 m, la sua area è
¤ ≤ 1 m2
¤ ≥ 1 m2
¤ 1 m2
¤ 2 m2
30. Un esagono regolare ha perimetro A. Qual è il raggio del cerchio in cui esso è
inscrivibile?
¤
¤
¤
¤
A
6
√
3
12 A
A
π
√
3A
24π
31. I numeri 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . vengono generati da una opportuna legge matematica. Qualè il numero che segue 8?
¤ 12
¤ 13
¤ 14
¤ 11
32. Il simbolo ∞ indica
¤ un numero immaginario
¤ un numero complesso
¤ un concetto
¤ un insieme di numeri reali
33. Se il raggio terrestre aumentasse di un metro, di quanto aumenterebbe all’incirca
l’equatore?
¤ 6.28 km
¤ 62.8 m
¤ 3.14 km
¤ 6.28 m
34. Si immagini di poter costruire una struttura piramidale formata da bocce sovrapposte in modo da restare in equilibrio. Se la base è costituita da un quadrato di
6 × 6 bocce, quante sono in tutto le bocce formanti la piramide?
¤ 91
¤ 61
¤ 101
¤ 21
35. Una compagnia aerea fra servizio fra n città. Quanti differenti voli diretti opera
detta compagnia?
¤ n2
¤ n(n − 1)
¤ 2n
¤ 21 n(n − 1)