Richiami di autovalori e autovettori
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Richiami di autovalori e autovettori
Richiami di autovalori e autovettori • Data una matrice A∈Cnxn (A∈ ℜnxn ), un numero λ∈C e un vettore X∈Cn, X≠ 0, sono un autovalore ed il corrispondente autovettore della matrice A, se soddisfano il sistema: AX = λX ovvero (A − λI )X = 0 • Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema omogeneo ammetta una soluzione diversa dalla soluzione banale (X= 0), è che la matrice dei coefficienti sia singolare. det (A − λI ) = 0 • Il polinomio di grado n è detto polinomio caratteristico, le radici sono gli autovalori della matrice A. Richiami di autovalori e autovettori • Una matrice quadrata nxn ha sempre ha n autovalori eventualmente complessi. • Gli autovalori di una matrice reale possono essere complessi, ad autovalori reali corrispondono autovettori reali. • Gli autovalori sono determinati a meno di una costante moltiplicativa. • Una matrice è singolare se e solo se ha un autovalore nullo • Per una matrice triangolare (superiore od inferiore) o diagonale gli autovalori sono rappresentati dagli elementi sulla diagonale. Richiami di autovalori e autovettori • L’insieme degli autovalori {λi} di una matrice è detto spettro, mentre il raggio spettrale di una matrice è il massimo in modulo degli autovalori: ρ (A ) = max λi 1≤i ≤ n • Se λ è autovalore di A, allora λk è autovalore di Ak ∀k>0; se A è regolare allora λ-k è autovalore di A-k. • A ed AT hanno gli stessi autovalori (ma non gli stessi autovettori), Se λ è un autovalore di A, allora il complesso coniugato di λ è un autovalore di AH. • Una matrice simmetrica ha autovalori reali. • Una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se ha autovalori (reali e) positivi. Richiami di autovalori e autovettori • Si chiama molteplicità algebrica di un autovalore λ, la molteplicità di λ come radice del polinomio (mA(λ)). • Si chiama molteplicità geometrica di un autovalore λ, il numero massimo di autovalori linearmente indipendenti associati ad esso (mG(λ)). • Teorema: per ogni autovalore λ di una matrice A risulta: mG (λ ) ≤ mA (λ ) Localizzazione degli autovalori • Teorema (primo di Gershgorin): data una matrice A di ordine n, A=[aij], si introducano i numeri reali: n n ri = ∑ aij ci = ∑ a ji j =1 j ≠i i = 1,2, K , n j =1 j ≠i e si introducano i seguenti cerchi nel piano complesso (detti cerchi di Gershgorin): Ri = {z : z − aii ≤ ri } n n i =1 j =1 posto R = U Ri e C = U C j per ogni autovalore si ha: { C j = z : z − a jj ≤ rj λ ∈ R ∩C } Localizzazione degli autovalori • Per le matrici simmetriche, avendo autovalori reali, è sufficiente prendere l’intersezione dei cerche con l’asse reale. • Teorema (secondo di Gershgorin): se m cerchi di Gershgorin formano un insieme connesso M, disgiunto dagli altri n-m, allora M contiene esattamente m autovalori, contati con le loro molteplicità. Localizzazione degli autovalori: Esempio • Esempio 5.5.1: Localizzare gli autovalori della matrice 1 A = 2 − 1 − 1 7 0 0 − 5 2 • La matrice è simmetrica, quindi gli autovalori sono reali. Per la matrice A si ha: r1= c1=3, r2= c2=2, r3= c3=1 e quindi: – R1=C1 con centro in 1 e raggio 3 – R2=C2 con centro in 7 e raggio 2 – R3=C3 con centro in -5 e raggio 1 • Essendo gli autovalori reali, questi sono negli intervalli [-2,4], [5,9] e [-6,-4].