Richiami di autovalori e autovettori

Richiami di autovalori e autovettori
• Data una matrice A∈Cnxn (A∈ ℜnxn ), un numero λ∈C e un
vettore X∈Cn, X≠ 0, sono un autovalore ed il corrispondente
autovettore della matrice A, se soddisfano il sistema:
AX = λX
ovvero
(A − λI )X = 0
• Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema omogeneo ammetta una soluzione diversa dalla soluzione banale (X= 0), è che la matrice dei coefficienti sia singolare.
det (A − λI ) = 0
• Il polinomio di grado n è detto polinomio caratteristico, le
radici sono gli autovalori della matrice A.
Richiami di autovalori e autovettori
• Una matrice quadrata nxn ha sempre ha n autovalori
eventualmente complessi.
• Gli autovalori di una matrice reale possono essere complessi,
ad autovalori reali corrispondono autovettori reali.
• Gli autovalori sono determinati a meno di una costante
moltiplicativa.
• Una matrice è singolare se e solo se ha un autovalore nullo
• Per una matrice triangolare (superiore od inferiore) o
diagonale gli autovalori sono rappresentati dagli elementi sulla
diagonale.
Richiami di autovalori e autovettori
• L’insieme degli autovalori {λi} di una matrice è detto spettro,
mentre il raggio spettrale di una matrice è il massimo in
modulo degli autovalori:
ρ (A ) = max λi
1≤i ≤ n
• Se λ è autovalore di A, allora λk è autovalore di Ak ∀k>0; se A
è regolare allora λ-k è autovalore di A-k.
• A ed AT hanno gli stessi autovalori (ma non gli stessi
autovettori), Se λ è un autovalore di A, allora il complesso
coniugato di λ è un autovalore di AH.
• Una matrice simmetrica ha autovalori reali.
• Una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se ha
autovalori (reali e) positivi.
Richiami di autovalori e autovettori
• Si chiama molteplicità algebrica di un autovalore λ, la
molteplicità di λ come radice del polinomio (mA(λ)).
• Si chiama molteplicità geometrica di un autovalore λ, il
numero massimo di autovalori linearmente indipendenti
associati ad esso (mG(λ)).
• Teorema: per ogni autovalore λ di una matrice A risulta:
mG (λ ) ≤ mA (λ )
Localizzazione degli autovalori
• Teorema (primo di Gershgorin): data una matrice A di
ordine n, A=[aij], si introducano i numeri reali:
n
n
ri = ∑ aij
ci = ∑ a ji
j =1
j ≠i
i = 1,2, K , n
j =1
j ≠i
e si introducano i seguenti cerchi nel piano complesso (detti
cerchi di Gershgorin):
Ri = {z : z − aii ≤ ri }
n
n
i =1
j =1
posto R = U Ri e C = U C j
per ogni autovalore si ha:
{
C j = z : z − a jj ≤ rj
λ ∈ R ∩C
}
Localizzazione degli autovalori
• Per le matrici simmetriche, avendo autovalori reali, è
sufficiente prendere l’intersezione dei cerche con l’asse reale.
• Teorema (secondo di Gershgorin): se m cerchi di Gershgorin
formano un insieme connesso M, disgiunto dagli altri n-m,
allora M contiene esattamente m autovalori, contati con le loro
molteplicità.
Localizzazione degli autovalori: Esempio
• Esempio 5.5.1: Localizzare gli autovalori della matrice
 1
A =  2
 − 1
− 1
7
0
0 − 5
2
• La matrice è simmetrica, quindi gli autovalori sono reali. Per
la matrice A si ha: r1= c1=3, r2= c2=2, r3= c3=1 e quindi:
– R1=C1 con centro in 1 e raggio 3
– R2=C2 con centro in 7 e raggio 2
– R3=C3 con centro in -5 e raggio 1
• Essendo gli autovalori reali, questi sono negli intervalli [-2,4],
[5,9] e [-6,-4].