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di Tecnica
T i delle
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i i – I° Modulo
M d l – A/A 2007-08
2007 08
LEZIONE N
N° 4 – STATO LIMITE ULTIMO DI TORSIONE
•
•
•
•
•
•
Posizione del problema
La torsione di travi in c.a - II° stadio: il comportamento elastico
– la torsione nelle sezioni monoconnesse
– La torsione nelle sezioni biconnesse
La torsione di travi in c.a - III° stadio: SLU
– quadro fessurativo di una trave in c.a. soggetta a torsione
– Il modello a traliccio
– Il progetto delle armature longitudinali
– Il progetto delle armature trasversali
Indicazioni normative
– Le prescrizioni del D.M. 14.09.05
– Le prescrizioni dell’Eurocodice EC2
La contemporanea presenza di Torsione e taglio
Esempio: progetto di una trave in c.a. soggetta a torsione
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SLU per torsione in travi in c.a. (Posizione del Problema)
Le azioni torcenti sono presenti in molte situazioni strutturali essendo i carichi
difficilmente applicati al centro di taglio della trave. Tuttavia, nella pratica
progettuale esse vengono in genere trascurate sia perché le strutture sono
normalmente considerate piane, sia perché in effetti, a parte casi particolari, esse
non producono rilevanti effetti indesiderati.
indesiderati
Torsione Primaria
(Balconi, Scale, etc.)
Mt
Torsione
i
Secondaria
d i
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SLU per torsione in travi in c.a. (Posizione del Problema)
Torsione secondaria delle travi di
un solaio
Torsione p
primaria della trave di un
balcone o dell’impalcato di un
ponte
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SLU per torsione in travi in c.a. (Posizione del Problema)
Il comportamento di travi in calcestruzzo soggette a torsione è molto differente al
variare del livello di sollecitazione. Per bassi livelli di sollecitazione la trave si
comporta con buona approssimazione come una trave di De Saint-Venant,
dunque con sezione interamente reagente (I° Stadio). Al crescere del momento
torcente la trave comincia a fessurarsi con riduzione della rigidezza torsionale.
torsionale La
resistenza della trave allo stato limite ultimo è fornita da una parte limitata della
sezione e dalle armature presenti.
Mt crescente
I° Stadio
III° Stadio
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La torsione in travi in c.a. (I° stadio)
SEZIONI MONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI)
Andamennto delle teensioni tanggenziali τ
Al I° stadio la trave si comporta approssimativamente come una trave di De
Saint-Venant soggetta a Momento Torcente. Le tensioni tangenziali presentano un
andamento lineare che si annulla a metà dello spessore.
Tensioni Tangenziali
τ max
ma
Mt
=ψ 2
bh
⎧h / b = 1 → 4.79
ψ =⎨
⎩h / b = ∞ → 3
Rigidezza Torsionale
Kt =
Mt
θ
= β Gb 3 h
⎧h / b = 1 → 0.41
β =⎨
⎩h / b = ∞ → 1 / 3
Angolo di torsione: Rotazione tra due sezioni a distanza unitaria
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SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)
SEZIONI MONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI)
Nelle travi con sezione decomponibile in più rettangoli, il momento torcente
agente nei singoli rettangoli si valuta in proporzione alla rigidezza torsionale dei
rettangoli stessi.
Momento Torcente e tensioni tangenziali nel rettangolo i-mo
τmax,i
Mt1
Mt2
K ti
M ti = M t
∑ K ti
i
Mt3
τ max,i = ψ i
M ti
2
bi h i
N.B. il procedimento per la valutazione dei singoli momenti
torcenti Mti è in realtà esatta solo per h/b=∞, ma può essere
accettata
tt t con tollerabile
t ll bil approssimazione
i
i
anche
h in
i sezioni
i i con
spessore non trascurabile.
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SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)
SEZIONI CAVE (VALUTAZOINE TENSIONI TANGENZIALI)
Nelle travi a sezione cava le relazioni precedenti non sono applicabili. Per sezioni
di piccolo spessore esiste una teoria approssimata dovuta a Bredt che permette
di valutare la tensione media lungo lo spessore.
La forza elementare agente sul tratto di
sezione di lunghezza ds risulta essere pari a:
dF = q ds = τ h ds
Ω
Il momento esterno Mt dovrà essere
equilibrato dalla somma dei momenti che le
forze dF hanno rispetto al baricentro della
Costanza flusso
sezione:
delle tensioni
M t = ∫ qdsr = ∫ q ds r = q ∫ rds = 2qΩ
Mt
Formula
se h=cost
τ=
2Ωh di Bredt
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SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)
SEZIONI CAVE (VALUTAZIONE RIGIDEZZA TORSIONALE)
La rigidezza torsionale di travi cave di piccolo spessore si può trovare
facilmente utilizzando il principio di conservazione dell’energia. Uguagliando
infatti l’energia di deformazione al lavoro delle forze esterne si ha:
Lavoro Esterno
1
L e = M tθ (Teorema
di Clapeyron)
C
)
2
Energia di deformazione
1
L i = ∫ τ γ dV
2
Li = Le
4GΩ 2
Mt =
θ = K tθ
ds
∫
h Rigidezza Torsionale
1
1
M tθ = ∫ τ γ dV
2
2
Ponendo
γ=
τ
G
G=
τ=
E
2(1 +ν )
Mt
2Ωh
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SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)
LINEE ISOSTATICHE DI UNA TRAVE SOGGETTA A TORSIONE
Le linee isostatiche di una trave cava soggetta a
momento torcente sono quelle schematicamente
indicate nella figura in basso.
Mt
Elemento
infinitesimo
Riferimento
principale
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SLU per torsione in travi in c.a.
c a (III
(III° stadio)
STATO FESSURATIVO E MODELLO A TRALICCIO
Nel momento in cui la trave si fessura perde rigidezza e la sezione reagisce solo
parzialmente alla sollecitazione. Allo stato limite ultimo è ragionevole adottare
un modello a traliccio, considerando come parte reagente della sezione una
sezione cava di spessore h.
h L
L’andamento
andamento delle linee isostatiche prima
illustrato suggerisce il modello indicato in figura costituito da bielle compresse
di cls e bielle tese rappresentate dall’armatura in ognuna delle quattro facce
esterne. Questi quattro modelli piani sono poi connessi nello spazio mediante
armature longitudinali.
TRALICCIO
DI
RAUSCH
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SLU per torsione in travi in c.a.
c a (III
(III° stadio)
CALCOLO ARMATURE LONGITUDINALI
Considerata un porzione della sezione di lunghezza unitaria la forza su di esse
(scorrimento) vale τh dove h è lo spessore della sezione tubolare. Per
l‘equilibrio questa forza si scompone in una forza nell’armatura long. (Fl) e
un’altra
un
altra nella biella compressa (C).
(C) La forza di compressione C allo spigolo della
sezione ha una componente orizzontale equilibrata dall’armatura longitudinale.
Mt
τ h1
=
sin α 2Ω sin α
Mt
τ h1
=
Fl 1 =
tan α 2Ω tan α
C=
d
Al =
1.0 <cotα <2.0
p = perimetro sezione tubolare
Mt p
Fl 1 p
=
f yd
2Ω tan α f yd
Armatura Longitudinale
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c a (III
(III° stadio)
CALCOLO ARMATURE TRASVERSALI
La componente verticale deve essere invece equilibrata da un’armatura
trasversale (staffe)
M
Fst = τ ⋅ h ⋅1 = C sin α = t
2Ω
Ast nst A1,st
Mt
=
=
tan α
s
d cot α 2Ωf yd
α
Mt =
2 Al f yd
p
tan α
N° staffe intercettare da una biella di cls
n st =
d cot α
s
nst A1,st f yd =
Mt
d
2Ω
Ast Al
= tan 2 α
s
p
Armatura Trasversale
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c a (III
(III° stadio)
CALCOLO ARMATURE A TORSIONE
Ast Al
= tan 2 α
p
s
α
Fissato l’angolo α e determinata la quantità di
armatura longitudinale Al si può determinare
l’area delle staffe per unità di lunghezza della
trave.
In alternativa, fissata l’armatura trasversale e
l’angolo α di inclinazione delle fessure si può
valutare l’armatura longitudinale.
g
Se p
poi si
valutano
indipendentemente
armatura
longitudinale e trasversale si può ricavare il
valore dell’angolo di inclinazione delle bielle α
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(III° stadio)
VERIFICA BIELLE COMPRESSE
La forza di compressione C deve essere compatibile con la resistenza del cls. In
particolare la tensione nella biella di cls compresa tra due fessure a distanza
unitaria, la cui area resistente è pari a A=1 x h x cosα
σc =
cosα
Mt
C
=
A Ωh sin 2α
M tu,C = f cdΩh sin 2α
Se α = 45°
σc =
C Mt
=
A Ωh
M tu ,C = f cd Ωh
Momento ultimo per
schiacciamento delle
bielle di cls
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c a (III
(III° stadio)
RIFERIMENTI NORMATIVI (EUROCODICE 2)
L’eurocodice impone che lo spessore sia pari
al rapporto tra l’area racchiusa dal
perimetro esterno e il perimetro esterno p
stesso.
h=
A
A
p
A = area racchiusa dal perimetro esterno p
Il valore minino di h = 2 c con c=copriferro
p
h
L’EC2 impone inoltre che per la verifica delle
bielle
compresse
la
resistenza
a
compressione
p
del cls sia ridotta del fattore ν
⎛
⎝
ν = 0.7⎜ 0.7 −
f ck ⎞
⎟ ≥ 0.35
200 ⎠
Nelle travi a a cassone se le staffe sono disposte su entrambe le facce ν può essere ≥ 0.5
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c a (III
(III° stadio)
LA CONTEMPORANEA PRESENZA DI TAGLIO E TORSIONE
Nella maggior parte dei casi gli elementi strutturali sottoposti a torsione sono
anche in genere sottoposti anche a taglio. Si pensi ad esempio ad una trave che
garantisca l’equilibrio dell’aggetto di un balcone e contemporaneamente
garantisca ll’equilibrio
equilibrio ai carichi verticali rappresentati dal peso del solaio e della
tamponatura, oltre che al preso proprio. La contemporanea azione di taglio e
torsione produce un certo grado di
Vd (Taglio di calcolo)
interazione tra le due sollecitazione
Mtd (Momento torcente di calcolo) che tuttavia nella pratica progettuale si
ritiene
opportuno
trascurare.
Le
armature così calcolate si sommano
semplicemente
semplicemente.
Occorre
però
verificare la seguente condizione (Ec2)
2
2
⎛ M td ⎞ ⎛ V d ⎞
M = momento
t torcente
t
t ultimo
lti
⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ≤ 1 tu
⎜⎜
Vu = Taglio ultimo
⎝ M tu ⎠ ⎝ V u ⎠
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(III° stadio)
LA CONTEMPORANEA PRESENZA DI TAGLIO E TORSIONE (EC2)
⎛ M td
⎜⎜
⎝ M tu
2
⎞ ⎛ Vd ⎞
⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ≤ 1
⎠ ⎝ Vu ⎠
M tu = ν f cd Ωh
Vu = 0.5ν f cd b 0.9d
⎛
⎝
ν = 0.7⎜ 0.7 −
2
f ck ⎞
⎟ ≥ 0.35
200 ⎠
Mtu = momento torcente ultimo per crisi del cls
Vu = Taglio
T li ultimo
li
per crisi
i i del
d l cls
l
Vu = Fattore di riduzione della resistenza
a compressione
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c a (III
(III° stadio)
ESERCIZIO
Con riferimento all’Eurocodice 2
1) si dimensioni allo stato limite ultimo una sezione rettangolare in c.a.
soggetta ad un momento torcente Mt=46 kNm. A tale scopo di utilizzi un
calcestruzzo di classe C20/25 e un acciaio con resistenza caratteristica allo
snervamento
t fyk=430
430 MPa.
MP
2) Si dimensioni l’armatura longitudinale e trasversale a torsione della trave.
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c a (III
(III° stadio)
ESERCIZIO: PROGETTO DI UNA TRAVE SOGGETTA A TORSIONE
QUESITO N° 1
Utilizzando un copriferro di 3 cm e scegliendo lo spessore della sezione
tubolare equivalente h pari a 2 volte il copriferro c,
c ll’area
area della sezione
soggetta al momento torcente Mt si ricava dalla formula che fornisce il
momento torcente ultimo della sezione per schiacciamento delle bielle
compresse inclinate di un angolo θ:
M t = ν f cd Ω h sin 2θ
Mt
Ω=
ν f cd h sin 2θ
Ω=
Mt
2ν f cd c sin 2θ
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c a (III
(III° stadio)
ESERCIZIO
QUESITO N° 1
Scegliendo come forma della sezione quella rettangolare e prefissando la
base B l’altezza
l altezza H si può ricavare dall’espressione
dall espressione di Ω come segue:
Ω
H=
+ 2c
B − 2c
Ω = ( B − 2c ) × ( H − 2c )
Partendo da un valore cautelativo di θ=26°.5 e scegliendo una base B=40 cm si ha:
Ω=
4600
= 1765 cm 2
2 × 0.417 × 1.297 × 3 × 0.803
Æ
H=
1765
+ 2 × 3 ≅ 60 cm
40 − 2 × 3
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SLU per torsione in travi in c.a.
c a (III
(III° stadio)
ESERCIZIO
QUESITO N°2
Armatura longitudinale:
Al =
4600 × 2 ( 40 + 60 )
Mt p
=
= 13.93 cm 2
2Ω tanθ f yd 2 × 1765 × 0.5 × 37.4
Æ
si scelgono 6φ18 =15.24 cm 2
In tal modo si dispongono 4 ferri d’angolo e due ferri di parete distanti dai primi 28 cm, inferiore al
massimo ammesso dall’Ec2 e pari a 35 cm
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c a (III
(III° stadio)
ESERCIZIO
QUESITO N°2
Armatura Trasversale:
Ast
cm 2
cm 2
13.93
2
tan θ = 0.0174
=
= 1.74
s
cm
m
2 × ( 40 + 60 )
Scegliendo staffe φ8 il passo è pari a
0.5
= 0.28 m = 28 cm
1.74
Tale passo risulta superiore al massimo ammesso e pari a 1/8 del diametro esterno della sezione e
dunque pari a 1/8 × 2 (40+60) = 25 cm. Il passo delle staffe si assume quindi pari a s = 25 cm
s=