1 Rette e piani nello spazio

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Rette e piani nello spazio
Esercizio 1.1 È assegnato un riferimento cartesiano 0xyz. Sono assegnati la
retta


x = t − 2 ,
r:
y=t
,


z = −2t,
il piano π : 2x + y + z = 0 ed il punto P = (1, 1, 1). Scrivere le equazioni
(i) del piano π 0 che passa per P e parallelo a π;
(ii) della retta t che passa per P ed è perpendicolare a r;
(iii) della retta s che passa per P ed è ortogonale a π.
Inoltre si determini
(iv) le distanze di P da s e da π.
Esercizio 1.2 È assegnato un sistema di riferimento cartesiano 0xyz. Si considerino le rette:
(
(
(
x + y = 0,
x+z =1 ,
x + 2z = 0
,
r:
s:
t:
z − 1 = 0,
y=0
,
y−z−1=0 ,
(i) Verificare che sono complanari;
(ii) determinare il piano che le contiene;
(iii) trovare l’equazione del triangolo che individuano.
Esercizio 1.3 Dati il punto P = (1, −1, 2) il piano π : x + y + z − 2 = 0 e la
retta
(
x − y = 0,
r:
z = 0,
(i) Verificare che il punto P appartiene al piano π.
(ii) Scrivere le equazioni della retta s giacente sul piano π passante per P e
incidente la retta r.
(iii) Calcolare la distanza del punto P dalla retta r.
Esercizio 1.4 Data la curva parametrizzata da γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) con


,
x(t) = t
2
y(t) = t
,


z(t) = 1 − t,
(i) Determinare i vettori t, n e b.
(ii) Calcolarli nel punto P = (0, 0, 1).
(iii) Stabilire se γ è una curva piana.
1
(iv) Calcolare il piano che la contiene.
Esercizio 1.5 Dati i due vettori: u = 2i + 3j + k e v = 5i + j + 7k, calcolare
il valore di u · v.
Esercizio 1.6 Calcolare l’angolo formato dai seguenti vettori:
√
√
5 3
5
u=
i + j e v = i + 3j.
2
2
Esercizio 1.7 Verificare che sono fra loro perpendicolari i due vettori:
u = 2i − 7j + 3k
e
v = 3i + 3j + 5k.
Esercizio 1.8 Verificare che sono paralleli i due vettori:
u = 2i + 3j − k
e
v = 4i + 6j − 2k.
Esercizio 1.9 Si considerino i due vettori
1
3
2
u= √ i+ √ j− √ k
14
14
14
e
2
1
v = √ i + √ k.
5
5
1. Provare che i due vettori sono unitari (il loro modulo vale 1) e ortogonali.
2. Determinare le coordinate del vettore w tale che abbia modulo uno e sia
ortogonale a u e a v.
Esercizio 1.10 Consideriamo i vettori
u = ai + j + (b + 1)k
e
v = 2i + (a − 1)j + bk.
Per quali valori di a e b questi vettori sono paralleli?
Esercizio 1.11 Provare che i tre vettori
u = i + 5j + mk
v = i + mj + 4k
e
w = i + 3j + 5k
sono linearmente indipendenti qualunque sia m.
Esercizio 1.12 Verificare che i tre punti: P1 = (3, 2, −1), P2 = (5, −1, 4) e
P3 = (7, −4, 9) sono allineati.
Esercizio 1.13 Verificare che i quattro punti: P1 = (2, −3, 4), P2 = (1, 0, 2),
P3 = (2, −1, 2) e P4 = (1, −1, 3) sono complanari.
Esercizio 1.14 Un punto P descrive la retta r di equazioni parametriche:

 x = 2t,
y = −t,

z = 3t.
e un punto P 0 descrive la retta r0 di equazioni parametriche:

 x = 1 − 2t0 ,
y = 1 − t0 ,

z = 1 + t0 .
2
1. Quale relazione deve esistere tra t e t0 perchè la retta P P 0 risulti costantemente parallela al piano xy?
2. Soddisfatta la precedente condizione qual è il luogo percorso dal centro M
del segmento P P 0 ?
Esercizio 1.15 Siano date le due rette r ed r0 di equazioni parametriche:


 x = 1 + 2t,
 x = 3 + t0 ,
y = −2 − t,
y = 2 + 2t0 ,
r:
r0 :


z = −3 + 3t.
z = −5 − t0 .
Provare che queste due rette sono incidenti.
Esercizio 1.16 Siano date le due rette r ed r0 di equazioni parametriche:


 x = 6 − 4t,
 x = 3 − 6t0 ,
0
y = −4 + t,
y = −1 + t0 ,
r:
r :


z = 1 + t.
z = 4 + 2t0 .
1. Determinare il punto P ∈ r e il punto P 0 ∈ r0 in modo che la retta P P 0
sia perpendicolare comune alle rette r ed r0 . Dare una rappresentazione
parametrica della retta P P 0 .
2. Calcolare la distanza minima tra le rette r ed r0 .
Esercizio 1.17 Consideriamo i tre punti:
P1 = (−1, 2, 1),
P2 = (−3, 4, 5)
e
P3 = (1, 2, 0).
1. Determinare l’equazione del piano π perpendicolare al segmento AB nel
suo punto medio.
2. La perpendicolare condotta da S al piano π lo taglia nel punto H. Determinare le equazioni parametriche di questa perpendicolare. Dedurne le
coordinate del punto H e calcolarne la distanza SH.
Esercizio 1.18 Scrivere le equazioni della retta r che passa per il punto P =
(1, 2, −3) ed è incidente alle due rette:
x = z + 1,
x = z + 2,
s1 :
s2 :
y = 2z − 1,
y = z − 1.
Esercizio 1.19 Trovare le coordinate del punto d’incontro tra il piano di equazione: 3x − y + z − 5 = 0, e la retta di equazioni cartesiane:
x−1
y+1
z−2
=
=
.
2
4
3
Esercizio 1.20 Scrivere le equazioni della retta passante per il punto P =
(1, −1, 2) e parallela ai due piani
x − y + 2z − 1 = 0
e
2x + y − 3z + 2 = 0.
Esercizio 1.21 Scrivere le equazione del piano passante per il punto P =
(−1, 2, 3) sapendo che una terna di parametri direttori è (−2, 1, −1).
3
Esercizio 1.22 Verificare che le rette:

 x = 1 + t,
y = −t,
r:
r0

z = 2t.

 x = 2 + t0 ,
y = −4 + 2t0 ,
:

z = 1 + t0 ,
sono sghembe.
2
Curve polari
Si discutano e si rappresentino le seguenti curve polari:
1) r = θ;
2) r2 = sin 2θ;
3) r = sin 2θ;
4) r = cos 3θ;
5) r =
1
2
+ cos θ;
6) r2 = a2 cos 2θ;
7) r = a cos 2θ;
8) r = sin 3θ;
9) r =
3
2
− sin θ;
10) r = a(1 − sin θ).
3
Curve parametriche
1) Data la curva di equazioni parametriche:


x(t) = a cos t
y(t) = a sin t


z(t) = bt
con t ∈ [0, T ], a > 0 e b ∈ IR. Trovare: versore tangente, normale,
binormale, vettore curvatura, raggio di curvatura e cerchio osculatore.
2) Determinare i tre versori del triedo mobile in un generico punto della seguente curva di equazioni parametriche

t

x(t) = e
−t
y(t) = e

√

z(t) = 2 t.
4
3) Calcolare i versori tangente, normale e binormale alla seguente curva in
t = 1:


x(t) = t
y(t) = t2


z(t) = t3 .
4) Data la curva di equazioni parametriche:


x(t) = 2t
y(t) = t2


z(t) = ln t
Trovare: versore tangente, normale, binormale, vettore curvatura, raggio
di curvatura e cerchio osculatore.
5) Data la curva di equazioni parametriche:

1

t
x(t) = 2 cos
√
3
y(t) = − 2 cos t


z(t) = 1 + sin t
Trovare: versore tangente, normale, binormale, vettore curvatura, raggio
di curvatura e cerchio osculatore.
6) Determinare il versore tangente e normale in t =
piana di equazioni parametriche
(
x(t) = R(t − sin t)
y(t) = R(1 − cos t),
per t ∈ [0, 2π].
5
π
2
della seguente curva