5.Larghezza di Banda, Formula di Nyquist, Canale in Frequenza

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5: Strato fisico:
limitazione di banda, formula di Nyquist;
caratterizzazione del canale in frequenza
R. Cusani, F. Cuomo: Telecomunicazioni – Strato fisico: banda, Nyquist, canale in frequenza, Marzo 2010
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Larghezza di banda di un segnale
 La larghezza di banda di un segnale è data dall’intervallo delle frequenze di cui è
composto il suo spettro
 Generalmente un segnale ha banda infinita
 Tuttavia spesso la potenza del segnale è contenuta per la maggior parte in un
insieme limitato di frequenze
 Questo intervallo limitato di frequenze si dice banda efficace del segnale
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Limitazione della banda in trasmissione
 Nella trasmissione dei segnali è impossibile trasmettere tutte le frequenze di
cui è composto il segnale stesso
 Il mezzo trasmissivo, la tecnologia che genera il segnale o scelte volontarie
impongono una limitazione alla banda utilizzabile
 La trasmissione di un numero limitato delle armoniche del segnale fa si che in
ricezione il segnale apparirà differente
 Maggiore è il numero di armoniche trasmesse, migliore apparirà il segnale in
ricezione
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Effetto della limitazione di banda
 Supponiamo di voler trasmettere
ripetutamente il carattere ASCII ‘B’,
che è dato dalla sequenza di bit
01100010,
ad
una
velocità
di
trasferimento di 2000 bps
 Il segnale che rappresenta il carattere di 8 bit avrà un periodo di 8/2000 secondi,
quindi una frequenza fondamentale pari a 250 Hz
 La trasmissione su un canale con banda limitata permette di trasmettere solo le
prime armoniche
 Un canale con 2 KHz di banda (8 armoniche) permette una ricostruzione agevole del
segnale inviato, mentre un canale con banda ridotta a 500 Hz (2 armoniche) la
rende molto più problematica; risulta impossibile lasciando passare solo la prima
armonica
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5
Effetti della limitazione di banda
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Velocità di trasmissione e larghezza di banda
 Dall’esempio possiamo intuire come la presenza di un canale a banda limitata di
fatto limita la velocità di trasmissione dati ottenibile sul canale
 Supponiamo di avere una linea telefonica, con larghezza di banda circa 3.1
KHz, e di trasmettere il carattere di prima alla velocità di B bit al secondo
 La frequenza del segnale (cioè quella della prima armonica) è B/8 Hz
 Ne segue che l’armonica più alta che potrà attraversare il canale avrà
n=3000/(B/8), cioè 24000/B.
 Da questo consegue che, ad esempio, una trasmissione a 9600 bps lascia
passare soltanto le prime due armoniche, compromettendo la ricostruibilità dei
bit in ricezione, mentre una trasmissione a 2400 o 4800 bps sarà efficace.
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Formula di Nyquist
 Nyquist ha dimostrato una relazione tra la velocità massima di trasmissione
attraverso un canale senza rumore ed a banda limitata in funzione della
larghezza di banda:
 il tasso di trasmissione dati massimo ottenibile attraverso un canale privo
di rumore con larghezza di banda H è dato da
B  2 H
bit/s
 Se si trasmettono segnali multilivello, con molteplicità M, il tasso di
trasmissione massimo è dato da:
B  2  H  log 2 M
bit/s
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Linee di trasmissione e circuiti
 Una linea di trasmissione dati può essere vista come un circuito che fa
corrispondere ad un segnale in ingresso un segnale in uscita
 Il comportamento di un circuito viene descritto dalla sua risposta in frequenza, vale a
dire dalle caratteristiche del segnale in uscita in corrispondenza ad un segnale
sinusoidale in ingresso
 Si definisce funzione di trasferimento il rapporto tra il segnale in uscita e quello in
ingresso, che in genere dipenderà dalla frequenza del segnale in ingresso
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Circuiti lineari
 Un circuito lineare soddisfa le seguenti caratteristiche: detto I il segnale di ingresso e
U il segnale in uscita:
U = f(I)
f(I1+I2) = f(I1)+f(I2)
f(aI) = af(I)
 Il criterio di linearità implica che la risposta di un circuito lineare ad un segnale
sinusoidale sarà un segnale sinusoidale alla stessa frequenza, con fase ed
ampiezza eventualmente differenti
 L’effetto del circuito sul segnale di ingresso cambierà al variare della frequenza del
segnale di ingresso
 Il comportamento in funzione della frequenza è la caratterizzazione del circuito in
frequenza (cioè la definizione di come variano l’ampiezza e la fase dell’uscita in
funzione della frequenza)
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Root Mean Square Amplitude
 La potenza di un segnale sinusoidale del tipo:
vt   V sin( 2ft )
dove V è l’ampiezza ed f la frequenza, è data da:
P
 Il valore
1
T
VRMS 
T

0
2
v( t ) dt 
V2
2
V2
V

2
2
è detto ampiezza quadratica media del segnale
 Ad esempio, l’alimentazione elettrica domestica è data da un segnale di tensione a
50 Hz, con VRMS=220 volt
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Decibel
 Per confrontare potenze o ampiezze si fa utilizzo di una misura del loro
rapporto in scala logaritmica, detto decibel:
P 
dB  10  log  2 
 P1 
 In caso di segnali sinusoidali, il decibel si può esprimere come:


 V2 2RMS
dB  10  log  2
 V
 1 RMS
  20  log  V 
V 
 
 
2
1
 Ad esempio:
V2
V
V
 10  20 dB, 2  0.1  20 dB, 2  0.5  3 dB
V1
V1
V1
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Esempio: circuito RC
 Come esempio, calcoliamo la funzione di trasferimento di un circuito RC
misurando la tensione in uscita ai capi del condensatore
 qui ed in seguito si esprimerà la frequenza in termini di pulsazione:
  2f
Vin  vi e it
Vout 
H 
1
Vin
i C R  1
i C
1
1   2 R 2C 2
Arg ( H )  arctan  RC 
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Frequenza di taglio
 Il circuito RC di esempio lascia passare pressochè inalterate le frequenze
inferiori ad un certo valore, mentre attenua l’ampiezza di quelle superiori
 Il circuito si comporta quindi come un filtro che elimina le alte frequenze
 I filtri di questo tipo si chiamano filtro passa basso
 Si definisce frequenza di taglio la frequenza per la quale si ha un valore di 3dB del rapporto tra le ampiezze (corrispondente al dimezzamento del livello
del segnale)
 Nel caso del circuito RC visto ora, la frequenza di taglio corrisponde alla
frequenza
c 
1
RC
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Filtro passa alto
 Analizzando la risposta ad un circuito RC misurando la tensione ai capi della
resistenza si ha:
Vin  vi e it
Vout  R
Vin
1
i C
1
H 
1
1 2 2 2
 RC
R
 1 
Arg ( H )  arctan 

 RC 
 In questo caso le frequenze che passano inalterate sono quelle alte, mentre
vengono filtrate le basse frequenze
 La frequenza di taglio, valutata sempre come la frequenza a -3 dB, è ancora:
1
c 
RC
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Filtro passa banda
 Un filtro passa banda è un circuito che lascia passare solo le frequenze entro
un certo intervallo
 In questo caso avremo due frequenze di taglio, e si definisce banda passante
del circuito:
B  2  1
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Canali trasmissivi come filtri
 Un canale trasmissivo è sostanzialmente un circuito dotato della sua funzione
di trasferimento
 Le condizioni ideali per la trasmissione dati è che la funzione di trasferimento
abbia le seguenti caratteristiche:
 Modulo di H costante ed indipendente dalla frequenza (per non alterare
in ricezione il rapporto di intensità delle diverse armoniche del segnale)
 Fase di H funzione lineare della frequenza. Infatti:
A sin t   a sin t     a sin t   
dove  e' il ritardo che deve essere indipendente da 
quindi
t    t      
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Esempio di canale ideale
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Effetti della non linearità
 Un circuito la cui risposta non sia lineare presenta un comportamento che non
può essere descritto come abbiamo visto
 Per dare una idea di cosa può accadere, in approssimazione di piccoli segnali
di input la risposta (temporale) può essere approssimata da un polinomio
vo ( t )  a1  vi ( t )  a2  vi2 ( t )  a3  vi3 ( t )  ...
 L’effetto dei termini non lineari si evidenzia nel caso di segnale sinusoidale in
ingresso: ponendo
vi ( t )  v  cos( t )
si ottengono in uscita termini a frequenza 2ω, 3ω, 4ω, …, cioè armoniche
della frequenza del segnale in ingresso
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