cap_10 - Dipartimento di Fisica e Astronomia and

Capitolo 10
PROBLEMA A DUE CORPI:
STATI DEL CONTINUO
Riprendiamo l’equazione di Schrödinger per il sistema di due particelle interagenti con l’intento di cercare
la classe di soluzioni che descrivono stati di diffusioni. In questo caso si deve avere E > 0, affinchè la
probabilità di trovare le particelle lontano dalla regione d’interazione sia finita.
Consideriamo direttamente l’equazione di Schrödinger per il moto relativo
[
p2
+ V (r)]|ψ >= E|ψ >
2m
(10.1)
Se il potenziale si annulla |ψ > diventa la funzione d’onda di una particella libera |⃗
p > di impulso
√
p = 2mE. Riscriviamo l’equazione di Schrödinger introducendo la soluzione di particella libera
(E −
essendo (E −
p2
p
2m )|⃗
p2
)(|ψ > −|⃗
p >) = V (r)|ψ >,
2m
(10.2)
>= 0. Allora possiamo scrivere
|ψ >= |⃗
p>+
1
V (r)|ψ >
E ± − p2 /2m
(10.3)
L’introduzione dell’operatore inverso richiede una precauzione: per evitare la singolarità E ± − p2 /2m
abbiamo introdotto in una quantità immaginaria infinitesima nell’energia,cioè E ± = E ± iϵ, che alla fine
degli sviluppi va posta uguale a zero. Il doppio segno corrisponde, come vedremo, alla scelta di condizioni
fisiche al contorno diverse.
L’equazione di Schrödinger per la funzione d’onda si scrive infine
∫
1
|⃗r ′ >< ⃗r ′ |V|ψ >
(10.4)
< ⃗r|ψ >=< ⃗r|⃗
p > + d3⃗r ′ < ⃗r| ±
E − p2 /2m
10.1
Forma asintotica degli stati nel continuo
L’equazione precedente può essere risolta e la funzione d’onda determinata esattamente. Ma qui ci
poniamo un obiettivo più limitato, cioè quello di determinare la forma asintotica della funzione d’onda per
r → ∞. Quest’ultima infatti contiene le sole informazioni osservabili in laboratorio, mediante rivelatori
di particelle posti appunto lontano dalla regione d’interazione.
51
CAPITOLO 10. PROBLEMA A DUE CORPI: STATI DEL CONTINUO
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Per determinare la forma asintotica dell’equazione di Schrödinger, dobbiamo studiare il kernel (funzione di Green)
G(⃗r, ⃗r ′ )
=
< ⃗r|
1
1 3
|⃗r ′ >= (
)
±
2
E − p /2m
2π~
∫
d3 p⃗
′e
i⃗
p ′ ·(⃗
r −⃗
r ′ )/~
E± −
p ′2
2m
(10.5)
′
= −
m e±ip|⃗r−⃗r |/~
·
2π~2 |⃗r − ⃗r ′ |
(10.6)
Il calcolo dell’integrale che porta all’ultima linea viene presentato nell’ Appendice a questo capitolo.
Per r → ∞ possiamo approssimare
lim
r→∞
lim |⃗r − ⃗r ′ | =
r→∞
√
r2 + r
′2
1
|⃗r − ⃗r′ |
− 2⃗r · ⃗r
′
≈
1
r
(10.7)
≈ r(1 −
⃗r · ⃗r ′
)·
r2
(10.8)
Con queste approssimazioni la funzione di Green assume la forma asintotica
G(⃗r, ⃗r ′ ) ≈ −
m e±ipr/~ ∓i⃗pr ·⃗r
e
2π~2
r
′
/~
(10.9)
dove p⃗r è un vettore di modulo p nella direzione di ⃗r. In definitiva la equazione di Schrödinger asintoticamente si scrive
e±ipr/~
ψp (⃗r) ≈ ei⃗p·⃗r/~ − fp⃗p⃗ ′
(10.10)
r
dove abbiamo introdotto la quantià fp⃗p⃗ ′
∫
′
m
fp⃗p⃗ ′ = −
e−i⃗pr ·⃗r /~ V (⃗r ′ )ψp (⃗r ′ )
(10.11)
2π~2
chiamata ampiezza di diffusione, con p⃗′ = p⃗r .
Figura 10.1: Funzione d’onda asintotica di diffusione
La forma asintotica dell’equazione di Schrödinger si interpreta facilmente con l’ausilio della figura
accanto. Si distinguono due parti: l’onda piana incidente corrispondente alle particelle incidenti di
impulso p⃗ che non interagiscono con il centro diffusore, e un’onda sferica uscente (segno +) dal centro
del potenziale, che corrisponde alle particelle interagenti con il potenziale. Queste ultime possono uscire
in qualunque direzione, ma con probabilità diversa data dal modulo quadro della ampiezza fp⃗,⃗p ′ .
CAPITOLO 10. PROBLEMA A DUE CORPI: STATI DEL CONTINUO
10.2
53
Sezione d’urto di diffusione elastica
Negli esperimenti di collisione si misura la sezione d’urto per avere informazione sulla struttura della
materia e sui meccanismi d’interazione. La sezione d’urto è il rapporto tra il numero di particelle rivelate
sul rivelatore posto all’angolo Ω (per unità di tempo) sul numero di particelle incidenti sulla targhetta
(per unità di tempo). Teoricamente è il rapporto tra il flusso uscente per unità di angolo solido dΩ nella
direzione p⃗ ′ ed il flusso incidente per unità di superficie nella direzione p⃗
σ(Ω) =
dΦout
dΩ
dΦin
dS
=
dΦout
dS
dΦin
dS
r2
(10.12)
dove dS = r2 dΩ Il flusso entrante nella direzione p̂ è uguale alla corrente nella direzione p̂
dΦin
~
p
= p̂ · J⃗in = p̂ · [
(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ )] =
=v
dS
2im
m
(10.13)
dove abbiamo solo preso la parte di ψ corrispondente all’onda piana incidente. La corrente uscente nella
direzione p̂ ′ è
dΦout
~
~
∂
∂
v
= pˆ′ · J⃗out = pˆ′ · [
(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ )] =
(ψ ∗ ψ − ψ ψ ∗ ) = 2 |fp⃗,⃗p ′ |2
dS
2im
2im
∂r
∂r
r
(10.14)
dove ora abbiamo considerato la parte della funzione d’onda che corrisponde all’onda sferica uscente. Nel
∂
calcolo si è utilizzata la proprietà pˆ′ ·∇ = ∂r
. Si sono trascurati termini dell’ordine di 1/r4 . Considerando
il rapporto tra le due correnti finiamo con
σ(Ω) = |fp⃗,⃗p ′ |2
(10.15)
Quindi la sezione d’urto determinabile sperimentalmente si collega all’ampiezza di diffusione teorica.
Questo risultato mostra l’importanza di aver studiato il comportamento asintotico della funzione d’onda.
10.3
Approssimazione di Born per la sezione d’urto di diffusione
elastica
L’ampiezza di diffusione, Eq.(8.11), si può porre sotto forma di serie di potenze dell’interazione V , applicando ripetutamente l’equazione di Schrödinger alla funzione d’onda ψ che appare sotto segno d’integrale.
Si ottiene facilmente
∫
∫
′
′′
′′
m
′ −i⃗
p ′ ·⃗
r ′ /~
′
i⃗
p·⃗
r ′ /~
d⃗
r
e
V
(⃗
r
)[e
+
d⃗r ′′ e−i⃗p ·⃗r /~ V (⃗r ′′ )ei⃗p ·⃗r /~ + .....]
(10.16)
fp⃗,⃗p ′ = −
2
2π~
Se l’interazione è sufficientemente debole, si ci può aspettare che i termini successivi al primo siano
trascurabili. Il troncamento al primo ordine della serie si chiama approssimazione di Born: in pratico
consiste nell’approssimare la funzione d’onda esatta nell’equazione Eq.(10.4) con la sua forma asintotica,
che è l’onda piana. Si ha allora in approssimazione di Born
∫
′
′
m
d⃗r′ e−i(⃗p −⃗p)·⃗r /~ V (⃗r ′ )
(10.17)
fp⃗,⃗p ′ ≈ −
2
2π~
La funzione Ṽ è la trasformata di Fourier del potenziale.
CAPITOLO 10. PROBLEMA A DUE CORPI: STATI DEL CONTINUO
10.4
54
Scattering da potenziale nucleare e coulombiano
Consideriamo il caso del potenziale di Yukawa
V (r) = V0
e−µr
r
(10.18)
Osserviamo, en passant, che questo potenziale è il limite statico della interazione tra due nucleoni basata
sullo scambio di mesoni. Il raggio d’interazione è inversamente proporzionale alla massa del mesone
scambiato e quindi l’interazione di Yukawa è a raggio finito diversamente dal caso coulombiano (che è
a raggio infinito). In effetti l’interazione di Yukawa contiene come caso limite l’interazione coulombiana
per µ → 0, che è consistente col modello che anche l’interazione coulombiana sia mediata dallo scambio
di particelle. Queste ultime sono i fotoni, aventi appunto massa nulla. La trasformata di Fourier del
potenziale di Yukawa si calcola facilmente
Ṽ =
(⃗
p′
4πV0
4πV0
=
2
2
2
− p⃗) /~ + µ
(2psin(θ/2))2 + µ2
(10.19)
Quindi si calcola la sezione d’urto di diffusione elastica. Nel caso limite di diffusione da potenziale
coulombiano (µ = 0) si ottiene
1
V0 2
) ·
(10.20)
σ(θ) = (
2E
sin4 θ2
che coincide con la formula classica di Rutherford per collisione fra due cariche puntiformi (in questo
caso V0 = e2 in unit di Gauss). Questa coincidenza è ritenuta puramente casuale. L’approssimazione
di Born per la diffusione coulombiana risulta un’ottima approssimazione poichè l’intensità del campo
coulombiano è piccola. Quest’ultima è governata dalla costante di struttura fine
α=
e2
1
≈
4π~c
137
(10.21)
il cui valore ≪ 1 giustifica appunto il troncamento al primo ordine della ampiezza di diffusione. La sezione
d’urto sperimentale della diffusione elastica protone-protone è mostrata in Fig.10.2 (allegata) per diverse
energie. Ad angoli in avanti (ed anche all’indietro) la sezione d’urto diverge, al crescere dell’energia
diminuisce in accordo con la formula teorica.
La formula ricavata vale per cariche puntiformi. Se consideriamo la diffusione di un elettrone su un nucleo, l’elettrone vede una distribuzione di cariche positive (protoni), con cui interagisce simultaneamente.
Quindi l’energia potenziale dell’elettrone è
V (r) = −
Z
∑
k=1
e2
=
|⃗r − ⃗rk |
∫
d⃗r ′ ρ(r ′ )
Ze2
,
|⃗r − ⃗r ′ |
(10.22)
avendo introdotto la densita’ di carica
ρ(r) =
Z
1 ∑
δ(⃗r − ⃗rk )
Z
(10.23)
k=1
dove rk è la posizione del k-imo protone e Z è il numero di protoni del nucleo in cosiderazione (numero
atomico). Con questa definizione la densita’ di carica è normalizzata ad uno. Adoperando il nuovo
potenziale nella Eq.(10.17) (con ~⃗q = p⃗ − p⃗′ ), e scambiando l’ordine di integrazione si ottiene facilmente
∫
′
′
m
d⃗r′ e−i(⃗p −⃗p)·⃗r /~ V (⃗r ′ )
fp⃗,⃗p ′ ≈ −
2
2π~
∫
= f0 (θ) · d⃗rρ(r)ei⃗q·⃗r ≡ f0 (θ) · F (q),
CAPITOLO 10. PROBLEMA A DUE CORPI: STATI DEL CONTINUO
55
dove f0 è l’ampiezza di diffusione tra cariche puntiformi e e Ze, mentre il nuovo termine F (q)è l’effetto
della distribuzione di carica nucleare e prende il nome di fattore di forma. Infatti la sua trasformata di
Fourier F̃ (r) rappresenta la distribuzione di carica del nucleo. In Fig.10.3 è riportata la sezione d’urto
sperimentale ed un fit teorico, da cui si estrae il fattore di forma la cui trasformata di Fourier da’ la
distribuzione di carica (Fig.10.4). Notiamo due fatti importantissimi per la fisica nucleare: primo, la
presenza di una superficie nucleare, dove la distribuzione di carica va a zero gradualmente; secondo,
all’interno del nucleo la distribuzione di carica è costante e non varia apprezzabilmente passando dai nuclei
piu’ leggeri (40 Ca) a quelli piu’ pesanti (209 Bi). Quest’ultimo fenomeno prende il nome di saturazione
della forza nucleare.
CAPITOLO 10. PROBLEMA A DUE CORPI: STATI DEL CONTINUO
56
γ
*
-∞
+∞
*
Figura 10.2: Poli della funzione di Green
;
10.5
Appendice
Effettuiamo l’integrale dell’ Eq.(10.5) facendo uso del teorema dei residui. Posto ~ = 1, r − r ′ = s
l’integrale si scrive
∫ ∞
ip ′ s
′
′ e
I=
p dp 2
(10.24)
p − p ′2
−∞
Si estende prima l’integrando nel piano p ′ complesso quindi si chiude il dominio d’integrazione mediante
il semicerchio γ di raggio R → ∞ nel semipiano superiore, come illustrato in figura. L’integrale su γ da
un contributo nullo poichè l’esponenziale converge a zero per Im(p ′ ) > 0. Avendo trasformato il dominio
d’integrazione in un circuito chiuso possiamo applicare il teorema dei residui, secondo cui I é uguale a
2πi per la somma sui residui nei poli interni al circuito
I
I=
′
p ′ dp
′
eip s
=
2
p − p ′2
I
′
p ′ dp
′
eip s
(p − p ′ )(p + p ′ )
(10.25)
Ricordiamo che la piccola quantità immaginaria aggiunta all’energia E che ha consentito l’inversione del
kernel si ritrova in p + iϵ (scegliamo il segno +) quindi abbiamo due poli come in figura di cui solo il polo
p′ = p + iϵ contribuisce all’integrale. Calcolato il residuo, troviamo
I = −iπeips
10.6
(10.26)
Problemi
1. Calcolare in approssimazione di Born la sezione d’urto di diffusione elastica per il potenziale
V (r) = V0 θ(r0 − r)
e confrontare con la sezione d’urto classica.
2. Calcolare il fattore di forma nucleare, assumendo la densit di carica del nucleo costante (ρ = ρ0 per
r ≤ R e ρ = 0 per r > R)