Studio Teorico dei Margini di Miglioramento della Corrente Massima

Transcript

UNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI UDINE
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica
Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Gestionale e
Meccanica
Tesi di Laurea
Studio Teorico dei Margini di
Miglioramento della Corrente
Massima in Transistori MOS
Nanometrici
Relatore:
Laureando:
Prof. David Esseni
Marco De Michielis
Correlatori:
Prof. Luca Selmi
Dott. Ing. Pierpaolo Palestri
Anno Accademico 2003-04
Indice
1 Introduzione
1.1 Il MOSFET come Interruttore Digitale . . . . . . . . . . . . .
1.2 Scaling dei MOSFET Nanometrici . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 MOSFET in Regime di Trasporto Balistico e Scopo della Tesi
1
1
2
4
2 Modelli per MOSFET Tradizionale e Balistico
2.1 Modello per MOSFET Tradizionale . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Modello per MOSFET Balistico . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
14
3 Estensione del Modello per MOSFET Balistico
3.1 Struttura a Bande negli Strati d’Inversione . . . . . . . . . .
3.2 Generalizzazione per Ellissi Ruotate . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Velocità Elettronica e Densità degli Stati 2D . . . . . . . . .
3.4 Il Problema della Quantum Capacitance . . . . . . . . . . . .
3.5 Modello Analitico Approssimato per la Corrente Balistica:
Caso Degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Dipendenza da mL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Dipendenza da mW . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Dipendenza da nν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Dipendenza da Cox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Modello Analitico Approssimato per la Corrente Balistica:
Caso non Degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
21
23
28
30
33
36
37
37
38
39
4 Simulatore Schr1D
41
4.1 Funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Modifiche Apportate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Limiti del Simulatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Simulazioni
49
5.1 Risultati per Piccole Masse di Quantizzazione e Singola Banda Occupata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.1 Confronto con il Modello Approssimato . . . . . . . . 53
5.2 Effetto del Caricamento di più Sottobande: Silicio (001) e
Silicio (110) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
I
5.3
5.4
5.5
Effetto della Direzione del Trasporto nel Piano
5.3.1 Silicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Germanio e Arseniuro di Gallio . . . . .
Confronto fra i Diversi Semiconduttori . . . . .
Scaling del Tox . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 58
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. 63
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6 Conclusioni
69
A Porzione del File solution.c Modificata
77
B Concentrazione Superficiale per Ellissi Ruotate
81
C Programma per l’Analisi Automatica dei Dati
83
II
Elenco delle figure
1.1
Rappresentazione del MOSFET: (a) VDS = 0, (b) VDS > 0 . .
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
Tipi di trasporto: (a) lineare, (b) saturato . . . . .
Curve v-x: (a) regime lineare, (b) regime saturato
Caratteristiche I-V parametrizzate in µef f . . . . .
Caratteristiche I-C . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caratteristiche I-V con L parametro . . . . . . . .
Caratteristiche I-L . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trasporto balistico . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stati riempiti nel caso balistico . . . . . . . . . . .
Curva v-x: regime balistico . . . . . . . . . . . . .
Approssimazione di F 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Caratteristiche I-mW . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caratteristiche I-mL . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caratteristiche I-nν . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Rappresentazione schematica degli ellissi
Sistemi di riferimento . . . . . . . . . .
Dominio D in (kx0 , ky0 ) . . . . . . . . . .
Dominio D in (ε, θ) . . . . . . . . . . . .
Rappresentazione della DOS2D . . . . .
Curve v-θ . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rappresentazione circuitale della Cef f .
C
Curva Cefoxf - Vg . . . . . . . . . . . . . .
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
Curva
Curva
Curva
Curva
Curva
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8
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. 13
. 14
. 14
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. 17
. 19
. 19
. 20
equienergetici
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36
38
39
4.1
Flow Chart di main.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.1
5.2
Curva ID - mL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curva ID - mL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
50
C
ef f
Cox - Vg
√
mID in
I − mL .
I − mW
I − nν .
. . . . .
funzione
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di θr
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III
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1
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5.3
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5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
5.23
5.24
5.25
Curva ID - mW . . . . . . . . . . . .
Curva ID - mW . . . . . . . . . . . .
Curva ID - nν . . . . . . . . . . . . .
Curve ID - mW . . . . . . . . . . . .
Curva ID - Vg . . . . . . . . . . . . .
Curva nIN V - Vg . . . . . . . . . . .
Curva vinj - Vg . . . . . . . . . . . .
Curva Cef f - Vg . . . . . . . . . . . .
Curva vinj - Vg . . . . . . . . . . . .
Curva gm e ID in funzione di Vg . .
Curva ID - Vg . . . . . . . . . . . . .
Grafico polare di ID in funzione di β
Curva ID - Vg . . . . . . . . . . . . .
Curva ID - Vg . . . . . . . . . . . . .
Curva ID - Vg . . . . . . . . . . . . .
ID - β . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curva ID − Vg . . . . . . . . . . . .
Curva nIN V − Vg . . . . . . . . . . .
Curva vinj − Vg . . . . . . . . . . . .
−1 . . . . . . . . .
Curva IDM AX - Tox
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52
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56
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58
59
60
60
61
61
62
63
64
65
65
66
68
6.1
−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curva IDM AX - Tox
70
IV
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Elenco delle tabelle
3.1
3.2
Masse efficaci per semiconduttori bulk . . . . . . . . . . . . .
Masse efficaci per semiconduttori con quantizzazione . . . . .
22
23
4.1
4.2
Masse, degenerazioni ed angoli per Si (solo valli ∆) . . . . . .
Masse, degenerazioni ed angoli per Ge . . . . . . . . . . . . .
44
44
V
Capitolo 1
Introduzione
1.1
Il MOSFET come Interruttore Digitale
Lo sviluppo che si è avuto nel campo della microelettronica negli ultimi
30 anni è unico nel suo genere. Basti pensare come l’elettronica integrata
in complessi sistemi digitali sia penetrata progressivamente in ogni singolo
aspetto della nostra vita e quali opportunità e benefici essa abbia procurato.
Il MOSFET (Metal - Oxide - Semiconductor - Field - Effect - Transistor)
è il dispositivo principale della moderna micro e nano-elettronica soprattutto
per quanto riguarda le applicazioni di tipo digitale. Infatti esso realizza la
funzione base di interruttore, indispensabile ad ogni sistema digitale.
Il MOSFET può essere rappresentato come un condensatore in cui viene
indotta carica elettrica per accoppiamento capacitivo attraverso la tensione
applicata all’elettrodo di gate (Fig. 1.1(a)). L’applicazione di una tensione
tra gli elettrodi di source e drain produce poi un campo elettrico longitudinale che, muovendo la carica indotta, produce una corrente lungo il canale
(Fig. 1.1(b)). Dal punto di vista della massima corrente è quindi importante
Vg>0
Source
Vg>0
Drain
Source
v
Drain
Vd
Strato invertito
(a)
(b)
Figura 1.1: Rappresentazione del MOSFET: (a) VDS = 0, (b) VDS > 0
1
I
indurre maggior carica di inversione ed aumentarne la velocità nel canale.
Il processo di scaling, cioè di riduzione progressiva delle dimensioni fisiche,
punta proprio a questo: attraverso la riduzione dello spessore dell’isolante
Tox viene aumentata la capacità Cox del dispositivo portando cosı̀ ad un aumento della carica d’inversione. Allo stesso modo riducendo la lunghezza di
gate LG (e quindi del canale L) si aumenta il campo elettrico longitudinale
incentivando cosı̀ la velocità della carica d’inversione.
A prescindere dall’effetto sul singolo dispositivo, lo scaling è stato determinante per l’aumento del numero di dispositivi sul chip e per la complessità
delle funzioni implementate. Tale possibilità di avere funzioni sempre più
complesse ha portato alla realizzazione di interi sistemi su un singolo chip.
Nell’ambito dell’elettronica digitale la più naturale metrica di ritardo per
una porta logica è CV /Ion , ovvero il rapporto tra la carica e la corrente di
canale. Tuttavia i parassiti legati alle capacità di giunzione dei transistors
ed alle capacità delle interconnessioni non scalano come la carica indotta nel
canale e producono quindi dei ritardi inversamente proporzionali alla Ion .
Quindi anche la semplice Ion è un’importante metrica di ritardo.
In questa tesi l’attenzione è rivolta allo studio della massima Ion ottenibile da transistors nano-metrici in regime di trasporto pressochè balistico.
1.2
Scaling dei MOSFET Nanometrici
La progressiva riduzione delle dimensioni dei transistors è regolata e programmata nella ITRS (International Technology Roadmap for Semiconductors) [1], che è un documento, pubblicato periodicamente, in cui si fissano
i termini temporali da rispettare, nel breve e nel lungo periodo, per la realizzazione dei nodi tecnologici. Le varie specifiche elettriche vengono differenziate in base alle applicazioni a cui sono rivolte: HP(High Performance),
LOP(Low Operating Power), LSTP(Low STandby Power). In questa tesi,
essendo l’attenzione concentrata sulla corrente massima dei transistors, si
farà riferimento alle specifiche dei dispositivi HP.
La ITRS sta chiaramente spingendo la tecnologia CMOS al limite per
soddisfare le crescenti richieste di prodotti ad alte prestazioni.
In particolare, al fine di preservare un comportamento soddisfacente del
MOSFET Bulk, il rapporto tra la lunghezza del gate LG e lo spessore dell’ossido Tox non deve scendere approssimativamente sotto 50. Questo vincolo
impone spessori efficaci degli ossidi al di sotto di 1 nanometro per dispositivi
HP dal 2006 in poi [1]. Tali spessori potrebbero soffrire di correnti di leakage
eccessive e/o di problemi di affidabilità [2]. Anche se i dielettrici high-κ in
un futuro sostituiranno l’ossido di silicio, lo scaling di Tox al di sotto di 1
nm non è tutt’oggi realizzabile.
Assieme allo scaling aggressivo dell’ossido, il MOSFET Bulk richiede anche una concentrazione di drogaggio maggiore di 1018 cm−3 per ridurre gli
2
effetti di canale corto (SCE) per LG sotto i 100 nm. Le fluttuazioni statistiche del doping nel canale introducono un’apprezzabile dispersione della tensione di soglia (VT ) che è una limitazione fondamentale per la realizzazione
di lunghezze di canale estremamente corte nei MOSFET Bulk. In aggiunta,
un pesante doping nel canale aumenta le capacità di giunzione source-drain
e riduce la mobilità efficace (µef f ) comportando quindi un degrado delle
performance del dispositivo per un dato LG [3].
Infine, nei MOSFETs Bulk lo scaling della profondità delle giunzioni di
source e drain è un altro ingrediente essenziale per ridurre gli effetti di canale corto [4]. Anche per questo problema non esistono ancora soluzioni note
per realizzare le specifiche suggerite dalla Roadmap. In un futuro non prossimo forse nuovi dispositivi elettronici basati su principi di funzionamento
quanto meccanici e caratterizzati da dimensioni nanometriche forniranno
un’alternativa ai transistori MOS.
Rimanendo invece nel campo dei CMOS, una valida alternativa al MOSFET Bulk è il transistor SOI (Silicon On Insulator) che, se realizzato con
strati di silicio sottile (TSi < 10nm), rappresenta un dispositivo molto scalabile anche con canale praticamente non drogato [5] [6]. Il MOSFET SOI
può funzionare con un singolo gate (SG) o con un gate doppio (DG). Simulazioni numeriche hanno mostrato che proprio il DG MOSFET con UTB
(Ultra Thin Body) è probabilmente l’architettura con possibilità di scaling
superiori [7]. In particolare gli UT-SOI MOSFET possono ridurre il rapporto tra LG e Tox rilassando cosı̀ il vincolo critico sullo scaling dell’ossido
nei transistori Bulk. In aggiunta il sottile strato di silicio non drogato elimina il problema delle fluttuazioni statistiche del doping riducendo anche il
campo elettrico efficace [8] data una certa densità d’inversione con possibili
miglioramenti delle µef f rispetto ai MOSFET Bulk. Infine si ricorda che la
riduzione dello spessore di silicio TSi limita la profondità delle giunzioni di
source e drain comportando una riduzione delle loro capacità.
Quindi l’introduzione di queste architetture di dispositivi su film di silicio sottile porta ad una ottima scalabilità ed ad una importante riduzione
delle capacità parassite, tuttavia nasce anche il problema di un eventuale degrado del trasporto e della mobilità nei film di semiconduttore molto sottili.
Quest’ultima problematica è stata affrontata sia dal punto di vista sperimentale [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] che modellistica attraverso simulazioni
numeriche [16] [17].
Grazie a questo straordinario e continuo scaling geometrico si è quindi
arrivati a produrre capacità di gate che corrispondono a spessori efficaci di
ossido di silicio dell’ordine di 1 nm. Contestualmente anche le lunghezze di
canale hanno raggiunto le poche decine di nanometri. In questa situazione il
numero di eventi di scattering è cosı̀ ridotto che le relazioni tra campo elettrico e velocità elettronica sono profondamente diverse da quelle utilizzate
nei dispositivi lunghi con trasporto uniforme. Inoltre anche la capacità di
gate non è semplicemente la capacità dell’ossido Cox perchè la capacità in
3
serie dello strato d’inversione diventa comparabile alla Cox .
1.3
MOSFET in Regime di Trasporto Balistico e
Scopo della Tesi
Anche per dispositivi con lunghezze intorno a 20 nm le simulazioni numeriche indicano che lo scattering nel canale riduce ancora la Ion del dispositivo rispetto al valore teoricamente raggiungibile in un MOSFET realmente
balistico [18] [19] [17].
Tuttavia la discussione delle prestazioni balistiche è importante perchè
studia la massima corrente ottenibile e consente di individuare quali elementi saranno importanti per la Ion quando ci si avvicinerà a tale regime di
trasporto.
In questo ambito si capisce che le massime Ion in regime balistico sono
legate alle proprietà del materiale costituente il canale e quindi non sorprende il recente interesse per semiconduttori di canale diversi dal silicio e lo
studio della ottima orientazione del trasporto nel piano, fissato il materiale.
In particolare le prime formulazioni analitiche per la corrente balistica
sono state discusse in [20] [21] e più di recente lo studio della massima Ion
ottenibile in transistori MOSFET con canale in silicio o germanio è stato
affrontato tramite complesse simulazioni numeriche [22] [23].
Lo scopo di questa tesi è invece quello di sviluppare modelli semianalitici
per capire la dipendenza della Ion dalla:
• Orientazione del trasporto nel piano
• Masse efficaci nel piano del trasporto
• Degenerazione delle valli
A questo scopo si generalizza il modello sviluppato da Lundstrom per
ellissi orientate arbitrariamente rispetto alla direzione del trasporto ottenendo delle espressioni compatte per la Ion dipendenti soltanto dalla tensione
di gate e dalle proprietà del materiale [24]. Lo studio del materiale ottimo
è condotto attraverso queste espressioni semianalitiche.
Nel capitolo 2 della tesi si analizzano i modelli che descrivono il funzionamento del MOSFET tradizionale e del MOSFET balistico, osservando le
differenze tra i 2 tipi di funzionamento.
Nel capitolo 3 si generalizza la teoria del MOSFET balistico per qualsiasi orientazione del trasporto. Questo conduce alla derivazione di un modello analitico semplificato della dipendenza della Ion dalla orientazione del
trasporto nel piano.
Nel capitolo 4 si presenta il simulatore Schr1D utilizzato per implementare la teoria sviluppata, riportando anche le modifiche apportate.
4
Nel capitolo 5 sono riportate le simulazioni, i grafici e le tabelle utilizzate
per verificare e comprendere i comportamenti dei dispositivi.
La tesi termina con il capitolo 6 relativo alle conclusioni traibili del lavoro
svolto.
5
6
Capitolo 2
Modelli per MOSFET
Tradizionale e Balistico
A partire dagli anni settanta diversi modelli per lo studio e per la comprensione del funzionamento del MOSFET sono stati sviluppati. In questo
capitolo si analizzeranno i modelli tradizionali, anche usati per la simulazione circuitale, ed inoltre i modelli più recentemente studiati per descrivere i
nano-MOSFET lunghi poche decine di nanometri in cui il trasporto di carica
può avvicinarsi ad un regime balistico.
2.1
Modello per MOSFET Tradizionale
Il modello che descrive il funzionamento del MOSFET tradizionale si basa
sulla risoluzione approssimata della BTE (Boltzmann Transport Equation)
tramite l’utilizzo del metodo dei momenti.
Considerando solo i primi 2 momenti (di ordine 0 e 1) e sotto l’ipotesi
che il gas elettronico sia sempre in equilibrio con il campo elettrico locale
si giunge al modello drift-diffusion su cui si basano i modelli tradizionali
del MOSFET. La condizione di equilibrio tra energia cinetica fornita dal
campo elettrico locale e energia spesa negli eventi di scattering (figura 2.1
(a)) implica che la velocità ed energia media dei portatori sono univocamente
correlate al campo elettrico longitudinale El .
Si considera una struttura MOSFET orientata come segue: il canale (con
lunghezza L) lungo l’asse x, la direzione ortogonale al piano del trasporto
lungo y e la direzione nella larghezza del dispositivo (W ) lungo z. L’espressione della densità di corrente dovuta agli elettroni lungo il canale secondo
il modello drift-diffusion è:
dφ
dn
Jn = −qµn n
+ qDn
(2.1)
dx
dx
dove µn è la mobilità elettronica, φ è il potenziale, n la concentrazione di
elettroni, q è la carica elettrica dell’elettrone e Dn il coefficiente di diffusione
7
Ec
Ec
Eav
(a)
(b)
Figura 2.1: Tipi di trasporto: (a) lineare, (b) saturato
elettronica. Integrando lungo le direzioni y e z, facendo l’ipotesi che tutta
la carica di inversione sia concentrata in un sottile strato all’interfaccia tra
ossido e semiconduttore e ricordando la relazione di Einstein Dn = µn Vth si
può srivere che:
Z
Z
+∞
dn
dφ
I = −qW
µn dy
nµn dy + qW Vth
dx
dx
0
0
dQn (x)
dφs
Qn (x) − W Vth µef f
(2.2)
= W µef f
dx
dx
dove µef f è la mobilità media dello strato d’inversione ottenuta pesando
µn con la concentrazione di elettroni lungo y. La mobilità µef f esprime
la capacità degli elettroni di acquisire velocità tramite il campo elettrico
ed è legata alla frequenza di scattering (cioè agli eventi di interazione fra
i portatori e le deviazioni dalla idealità del cristallo che li ospita) e alla
loro massa efficace nella direzione x del trasporto. Quindi la µef f è legata
ai parametri fisici del materiale. Con φs (x) viene indicato il potenziale
superficiale. Per il secondo addendo si è portato fuori dal segno di integrale
l’operatore di derivazione parziale consentendo cosı̀ di ritrovare l’espressione
di Qn . Si cerca ora di esprime la Qn (x) tramite φs (x) per giungere ad una
Qn (φs ). Procedendo con l’integrazione lungo x si ha:
W
I=
µef f
L
"Z
+∞
φs (L)
φs (0)
Qn (φs )dφs − Vth (Qn (φs (L)) − Qn (φs (0)))
#
(2.3)
che è essenzialmente costituita da 2 componenti: il primo addendo costituisce la parte ohmica mentre il secondo quella di diffusione. Facendo l’appros8
simazione di Canale Graduale, cioè supponendo che lungo tutta l’estensione
del canale sia vero che il campo elettrico verticale sia molto più grande di
quello longitudinale (Fy À Fx ), si ottiene:
µ
Qn (φs ) = −Cox VGB − VF B − φs +
QB (φs )
Cox
¶
dove Cox è la capacità dell’ossido, VGB la tensione tra gate e bulk, VF B è la
tensione di flat band e QB la carica di svuotamento nel bulk. Trascurando
il secondo addendo della relazione (2.3) si ha che:
W
I'
µef f
L
"Z
φs (L)
φs (0)
Qn (φs )dφs
#
Assumendo condizioni di inversione dal source al drain, φs varia da (2φs +
VSB ) a (2φs + VDB ) e ipotizzando
la carica nel bulk costante per VGB >
√
VT cioè QB (φs ) = −γCox φs = QB (2φs + VSB ) (dove γ è il coefficiente
di effetto body), si risolve l’integrale giungendo cosı̀ al modello di prima
approssimazione del MOSFET
·
1 2
W
µef f Cox (VGS − VT )VDS − VDS
ID =
L
2
¸
(2.4)
2 nella (2.4) può essere trascurato e quindi la
Per VDS piccoli il termine VDS
stessa si riduce a:
ID =
W
µef f Cox [(VGS − VT )VDS ]
L
In tal caso si dice che il MOSFET è in regione lineare. Per valori di VDS più
grandi si ha che la corrente segue un andamento parabolico fino a raggiungere
un valore massimo. Questa corrente è detta corrente di saturazione I Dsat e
vale:
W
ID = IDsat =
µef f Cox (VGS − VT )2
(2.5)
2L
Fino a quando si ipotizza un trasporto di tipo lineare, in cui la velocità
degli elettroni è proporzionale al campo elettrico longitudinale (figura 2.2
(a)), si può scrivere che:
v = µef f Fx
V
Tuttavia per valori di Fx maggiori di circa 104 cm
, misurazioni sperimentali
evidenziano una dipendenza velocità-campo diversa dalla precedente. Se
Fx supera il campo critico Fc , la velocità degli elettroni e la loro energia
media (vedi figura 2.1 (b)) tende a crescere meno di quanto previsto dal
modello del trasporto lineare. Per valori di campo elettrico longitudinali
sempre più alti gli elettroni tenderanno a raggiungere una velocità limite
detta di saturazione vsat (figura 2.2 (b)). In queste circostanze la relazione
9
v
v
vsat
Fx crescente
Fx crescente
x
x
(a)
(b)
Figura 2.2: Curve v-x: (a) regime lineare, (b) regime saturato
generale tra velocità e campo elettrico assume una nuova espressione del
tipo (Caughey and Thomas):
v=
µef f Fx
1
[1 + ( FFxc )n ] n
(2.6)
dove n=2 per gli elettroni e n=1 per le lacune. Questa espressione racchiude
sia il caso di trasporto lineare v = µef f Fx (a bassi campi il denominatore è
circa 1) che quello di trasporto totalmente saturato in cui v = vsat = µef f Fc .
Da qui si deduce che:
vsat
Fc =
µef f
Combinando la (2.6) con l’approssimazione di Canale Graduale si arriva a
descrivere il trasporto in regime di velocità saturata; infatti si può dimostrare
che in tale regime la densità di corrente assume l’espressione:
q
−VT )
1 + 2µef f (VGS
−1
IDsat
vsat L
= Cox vsat (VGS − VT ) q
−VT )
W
1 + 2µef f (VGS
+1
vsat L
(2.7)
Come è stato riportato in letteratura [3] [25], la mobilità negli strati invertiti dei MOSFET dipende da grandezze quali la temperatura e la
concentrazione di droganti nel semiconduttore. Altre grandezze, quali le
orientazioni di quantizzazione e trasporto (come si evince dal grafico 2.3),
modificano le masse efficaci, quindi di conseguenza la mobilità e dunque la
corrente.
10
VDS=VDD=4 V
1400
VT=0.2VDD
L=200 nm
(100) µ =350 cm2/Vs T =20nm
eff
ox
(110) µ =80 cm2/Vs
eff
2
(111) µ =120 cm /Vs
eff
(100) Tox=15nm
1200
(110)
(111)
(100) T =10nm
1000
ox
IDsat/W [A/m]
(110)
(111)
(100) T =5nm
(110)
(111)
800
ox
600
400
200
0
0
0.5
1
1.5
VGS−VT
2
2.5
3
3.5
Figura 2.3: Caratteristiche I-V parametrizzate in µef f
Si nota subito, anche osservando la figura 2.4, che la dipendenza della
relazione (2.7) da Cox è di tipo lineare con Cox :
Cox =
²ox
Tox
Come si vede questa variabile dipende sia da parametri fisici (²ox ) relativi
al materiale che costituisce l’isolante sia dalla grandezza geometrica relativa
al suo spessore (Tox ).
Per quanto riguarda la dipendenza della corrente dalla lunghezza del
canale si può dimostrare che per L grande, cioè per canale lungo, la (2.7)
si semplifica nell’espressione classica del MOSFET in regime di saturazione
(2.5). Man mano che L diminuisce la corrente di saturazione è significativamente inferiore a quella prevista nel caso di canale lungo. Nel limite di
L → 0 la (2.7) diventa:
IDsat
= Cox vsat (VGS − VT )
W
(2.8)
Si nota che, diversamente dal caso del MOSFET a canale lungo avente una IDsat con dipendenza quadratica da (VGS − VT ), la relazione (2.8)
non dipende da L ed è funzione lineare dell’overdrive. Tale differenza di
comportamento è evidenziata nelle figure 2.5 e 2.6.
11
10nm < Tox < 50 nm
800
VGS=VDS=VDD=4 V
(100) L=500 nm
(110)
(111)
(100) L=100 nm
(110)
(111)
700
600
IDsat/W [A/m]
500
400
300
200
100
0
0.5
1
1.5
2
Cox [F/m2]
2.5
3
3.5
−3
x 10
Figura 2.4: Caratteristiche I-C
Nei dispositivi attuali le lunghezze di canale sono talmente corte da essere inferiori a quelle necessarie per l’equilibrio dinamico tra campo elettrico
e eventi di scattering. Questo significa che gli elettroni tendono ad acquisire una temperatura superiore a quella del reticolo cristallino andando cosı̀
contro l’ipotesi base del modello drift-diffusion. Infatti questo modello non
riesce a spiegare fenomeni come l’overshoot di velocità e la ionizzazione da
impatto che sono dovuti proprio a condizioni di forte non equilibrio.
Quindi, per poter spiegare i fenomeni che avvengono in dispositivi che
tendono a comportarsi in modo diverso dal classico, sono necessari altri
modelli basati su ipotesi differenti.
12
VDS=VDD=4 V
3500
Tox=3nm
(100) L=1µm
(110)
(111)
(100) L=500 nm
(110)
(111)
(100) L=100 nm
(110)
(111)
(100) L=10 nm
(110)
(111)
3000
2500
IDsat/W [A/m]
VT=0.2VDD
2000
1500
1000
500
0
0
0.5
1
1.5
2
VGS−VT [V]
2.5
3
3.5
Figura 2.5: Caratteristiche I-V con L parametro
Tox=5 nm
2200
VGS=VDS=VDD=4 V
(100)
(110)
(111)
2000
1800
IDsat/W [A/m]
1600
1400
1200
1000
800
600
400
0
0.5
1
1.5
L [m]
2
Figura 2.6: Caratteristiche I-L
13
2.5
3
−7
x 10
Ec
Figura 2.7: Trasporto balistico
E(k)
Ef
Ef−qVds
+k
Ec(x)
Figura 2.8: Stati riempiti nel caso balistico
2.2
Modello per MOSFET Balistico
Nel limite balistico, gli elettroni responsabili del trasporto nel MOSFET
percorrono il canale senza incorrere in eventi di scattering (con fononi, impurezze o asperità dell’interfaccia semiconduttore-ossido) (vedi figura 2.7).
Questo è possibile quando il libero cammino medio degli elettroni, cioè la
distanza media percorsa dell’elettrone tra due eventi consecutivi di scattering, è inferiore alla lunghezza del canale. Questo tipo di trasporto è
completamente diverso da quello di tipo lineare e saturato: infatti in regime
balistico si ha una forte condizione di non equilibrio tra campo elettrico e
gas elettronico vista l’assenza di eventi di scattering.
Fissata la differenza di potenziale tra drain e source, per bassi valori
14
delle tensione di gate (per esempio sotto soglia), il profilo della banda di
conduzione evidenzia una barriera di energia potenziale relativamente alta
lungo il canale che non consente il transito di una corrente apprezzabile. Un
aumento della tensione di gate abbassa questa barriera di energia potenziale
consentendo cosı̀ il flusso di corrente. Tipicamente si analizza il MOSFET
in termini di carica nel canale, ma in questo caso è la modulazione della
altezza della barriera di energia da parte della tensione di gate che consente
il fluire della carica dal source nel canale.
La capacità e la tensione di gate determinano la carica in un punto di
massimo di energia potenziale lungo il canale in prossimità del source detto
source virtuale. Questa carica deriva dagli elettroni iniettati, all’interno del
canale, sia dal source che dal drain. In condizioni di balisticità si ha che gli
stati elettronici con k > 0 (nella direzione source - drain) sono occupati da
una funzione di Fermi d’equilibrio con livello di Fermi del source e che quelli
con k < 0 (nella direzione drain - source) sono occupati in accordo con una
funzione di Fermi d’equilibrio ma con livello di Fermi del drain (figura 2.8).
Si conclude cosı̀ che la carica totale nel massimo del profilo della banda di
conduzione ha due componenti: una con velocità positive e determinata del
livello di Fermi al source e l’altra con velocità negative e dipendente dal
livello di Fermi del drain. In modo analogo si avranno due componenti di
corrente che sommate algebricamente andranno a comporre il flusso totale di
carica nel MOSFET: una positiva determinata dal livello di Fermi del source
e una negativa determinata dal livello di Fermi del drain. La velocità degli
elettroni all’uscita dal source viene definita velocità d’iniezione e per campi
longitudinali sempre più alti aumenta e tende poi a saturare alla velocità di
equilibrio termico [26]. Quindi per differenze di potenziali tra drain e source
sufficientemente grandi la velocità d’iniezione non dipende più dal campo
longitudinale.
Una volta entrati nel canale gli elettroni, essendo sottoposti al campo
elettrico longitudinale, sono progressivamente accelerati dal campo elettrico
fino al drain come rappresentato in figura 2.9.
Per arrivare ad un modello per transistor balistico si procede considerando un MOSFET (SG o DG) con direzione di quantizzazione lungo l’asse
z. Con il termine quantizzazione si indica che il campo elettrico ortogonale al gate è tale da rendere il piegamento della banda di conduzione (nella
zona dell’interfaccia tra silico e ossido) cosı̀ accentuato da non poter essere
più considerata vera l’ipotesi di un continuo di livelli energetici in quella
direzione; infatti si parlerà di sottobande energetiche. Si ha quindi una
quantizzazione del vettore d’onda kz che porta ad un gas elettronico di tipo
2D.
Si intende analizzare le dipendenze della corrente dalle varie grandezze
fisiche. Per far ciò si indica l’espressione della corrente e della concentrazione
elettronica nel caso di transistore balistico. La corrente e la concentrazione
di elettroni per ogni sottobanda i-esima, derivate da [24] trascurando l’inie15
zione di elettroni dal drain e quindi ipotizzando il riempimento dei soli stati
elettronici con k positivi, sono:
(i)
ID
q
=√ 2
W
2h̄
µ
(i)
ns(i)
KT
π
(i)
nν m d
=
πh̄2
¶3
2
µ
nν(i)
KT
2
¶
q
(i)
mW F 1 (ηi )
ln(1 + eηi )
con F 1 (ηi ) integrale di Fermi completo di ordine
2
Fj (η) =
con j = 12 .
Nell’eq. (2.9) ηi =
(i)
nν
EF −Ei
KT
Z
1
Γ(1 + j)
+∞
0
(2.9)
2
1
2
(2.10)
definito come:
tj
dt
1 + et−η
(2.11)
con EF energia di Fermi e Ei energia dell’au(i)
tovalore i-esimo;
è la degenerazione di ogni sottobanda; mW è la massa
efficace dell’elettrone dell’i-esima sottobanda nella direzione della larghezza
(i)
(i)
del canale mentre mL è quella nella direzione del canale; infine con md si
indica la massa efficace della densità degli stati. Dal rapporto tra la (2.9)
e la (2.10) si ricava l’espressione della velocità di iniezione (vinj ) per ogni
sottobanda. Tale velocità è espressa da:
(i)
(i)
vinj
=
ID
W
(i)
qns
=
s
2KT F 21 (ηi )
πmL ln(1 + eηi )
(2.12)
L’origine fisica di questa velocità è totalmente diversa da quella della velocità di saturazione. Qui, come già detto, non si fa riferimento a condizioni
di equilibrio tra energia acquisita dal campo e quella persa in eventi di
scattering ma si prende in considerazione solo la porzione della funzione di
occupazione d’equilibrio al source caratterizzata da una componente positiva della velocità nella direzione da source a drain. Quindi le relazioni (2.9),
(2.10), (2.12) descrivono il comportamento dei transistors balistici servendosi
in parte della teoria sviluppata per le emissioni di tipo termoionico.
Nell’ipotesi di gas degenere (ηi > 3÷4) la F 1 (ηi ) può essere approssimata
2
con l’espressione derivata da [27] (vedi figura 2.10):
3
4
F 1 (ηi ) ≈ √ (ηi ) 2
2
3 π
(2.13)
ed inoltre la (2.10) si semplifica in:
(i)
ns(i)
(i)
nν m d
≈
πh̄2
16
µ
KT
2
¶
ηi
v
vinj
L
x
Figura 2.9: Curva v-x: regime balistico
Figura 2.10: Approssimazione di F 1
2
in quanto ln(1 + eηi ) ≈ ηi per ηi grandi.
(i)
Ecco che è possibile esprimere ηi e quindi F 1 (ηi ) in funzione di ns :
2
(i)
ηi ≈
2ns
KT
Ã
πh̄2
(i)
(i)
nν m d
!
ed elevando alla 32 quest’ultima espressione e sostituendola nella (2.13) e poi
nella (2.9) si ha:
(i)
ID
W
≈
=
q
√ 2
2h̄
µ
KT
π
8qh̄ 1
√ q
3 π
(i)
nν
¶3
Ã
2
nν(i)
q
(i)
mW
1
(i)
(i)
(mL )3 mW
π
4 √
√ 2 2
3 π
KT
µ
!1
4
3
(ns(i) ) 2
17
¶3
2
(i)
h̄
3
(ns ) 2
3
(i)
3
(i)
(i)
3
(nν ) 2 (mL mW ) 4
(2.14)
(i)
md
q
(i)
(i)
dove è stata sostituita
= mL mW , definizione della massa efficace
degli stati.
Per poter procedere nel ragionamento è necessario introdurre un’ ipotesi semplificativa: si fà l’ipotesi di singola sottobanda occupata. Questo
comporta che:
nIN V =
N
sub
X
ns(i) ≈ n(1)
s
i=1
e che quindi tutte le concentrazioni delle altre siano trascurabili; in più si
ha che:
N
(i)
(1)
sub
X
ID
ID
ID
=
≈
(2.15)
W
W
W
i=1
E’ ora necessario introdurre una relazione che leghi la ns alle grandezze
misurabili ai morsetti; la relazione più semplice che leghi la carica alla tensione è quella relativa all’elettrostatica del condensatore MOS classico (per
comodità non si indica la singola sottobanda ad apice):
1
nIN V = ns = Cox (VDD − VT )
q
Sostituendo quest’ultima espressione nella (2.14) e poi nella (2.15) si ha:
8qh̄ 1
ID
≈ √ √
W
3 π nν
µ
1
(mL )3 mW
¶1 µ
4
1
Cox (VDD − VT )
q
¶3
2
(2.16)
Rispetto alle espressioni per ID ricordate al paragrafo 2.1 l’eq. (2.16)
mette in evidenza la dipendenza da nν , mL e mW le quali intervengono
direttamente nella determinazione della densità di corrente erogabile dal
dispositivo. Si nota subito che la corrente non ha più alcuna dipendenza dalla
mobilità efficace in quanto gli scattering non sono più presi in considerazione
e quindi la definizione stessa di mobilità viene meno. Si nota anche la totale
assenza del parametro geometrico L.
Analizzando le derivate rispetto mW , mL e nν si nota una dipendenza di
tipo monotono decrescente per la IWD (vedi figure 2.11, 2.12 e 2.13); quindi
questo modello implica che, per migliorare la corrente massima erogabile
dal MOSFET, il materiale e/o l’orientazione del canale deve essere tale da
ridurre quanto più possibile nν , mL e mW . Per quanto riguarda la dipendenza da Cox , si nota che la ID non ha un andamento di tipo lineare (come
3
2
nel caso di MOSFET classico) ma del tipo Cox
.
18
T =1 nm
ox
5500
m =0.19m
L
0
n =2
V
ν
=0.5 V
V =0.2V
DD
T
DD
5000
4500
ID/W [A/m]
4000
3500
3000
2500
2000
1500
0
0.5
mW [m0]
1
1.5
Figura 2.11: Caratteristiche I-mW
4
2.5
x 10
Tox=1 nm
mW=0.19m0
nν=2
VDD=0.5 V
VT=0.2VDD
2
ID/W [A/m]
1.5
1
0.5
0
0
0.5
mL [m0]
1
Figura 2.12: Caratteristiche I-mL
19
1.5
T =1 nm
m =m =0.19m
ox
12000
W
L
0
V
=0.5 V
DD
V =0.2V
T
DD
10000
ID/W [A/m]
8000
6000
4000
2000
0
0
1
2
3
nν
4
Figura 2.13: Caratteristiche I-nν
20
5
6
Capitolo 3
Estensione del Modello per
MOSFET Balistico
In questo capitolo si estenderà il modello presentato nel paragrafo 2.2 generalizzandolo per qualsiasi orientazione del materiale costituente il canale.
Da questo si estrarrà un modello analitico approssimato per correnti balistiche che consentirà di studiare le dipendenze della massima corrente dalle
caratteristiche del materiale semiconduttore.
3.1
Struttura a Bande negli Strati d’Inversione
La conoscenza della struttura a bande dei semiconduttori ha aperto la strada
ai successivi studi sulle proprietà degli strati invertiti. Infatti la presenza di
quantizzazione modifica la distribuzione energetica di tipo ellissoidale nello
spazio k portando alla genesi di ellissi equienergetici nel piano ortogonale
alla direzione quantizzata. Tali ellissi assumono nella zona di Brillouin forme
e posizioni che dipendono dalla direzione di quantizzazione.
Fra i primi studi sugli strati d’inversione per diverse direzioni di quantizzazione si ricorda quello di Stern and Howard [28]. In tale studio si cercano
i livelli energetici E e e le funzioni inviluppo ψ che soddisfano l’equazione
di massa efficace
[T − qφ(z) − E]ψ = 0
(3.1)
dove φ(z) è il potenziale elettrostatico e T è l’operatore energia-cinetica
definito cosı̀
1X
T =
wij pi pj
(3.2)
2 i,j
dove pj = −ih̄( ∂x∂ j ) e wij è il tensore dei reciproci delle masse efficaci in un
sistema di riferimento in cui l’interfaccia del dispositivo è nel piano z = 0.
Tramite una trasformazione di coordinate da gli assi principali degli ellissoidi
equienergetici ad un sistema di riferimento opportuno e la sostituzione di una
21
funzione ξ(z) = f (ζ(z)) nella soluzione di prova ψ(x, y, z) = f (ξ(z)), si ha
che dall’equazione di Schrödinger si ottiene una relazione del tipo:
d2 ζi 2mz 00
+ 2 [Ei + qφ(z)]ζi (z) = 0
dz 2
h̄
(3.3)
che dipende dalla coordinata dell’asse di quantizzazione. Il moto lungo gli
assi del sistema di riferimento solidale al dispositivo rientra solo attraverso
la seguente relazione:
1
Ei (k1 , k2 ) = Ei + h̄2
2
00
"Ã
w2
w11 − 13
w33
!
¶
µ
k12 +
Ã
w2
w13 w23
k1 k2 + w22 − 23
+ 2 w12 −
w33
w33
!
k22
#
(3.4)
Nella (3.3) con ζi (z) si indica una soluzione della relazione dipendente dalla
funzione inviluppo ψ che a sua volta soluzione della equazione di massa
efficace (3.1). Nella (3.4) k1 , k2 sono le componenti dei vettori d’onda nel
00
piano mentre Ei è l’autovalore i-esimo indipendente da k1 e k2 . In tal
modo 3 masse efficaci entrano nei livelli energetici degli elettroni nello strato
−1
invertito: mz = w33
è la massa che determina il livello energetico per il
moto ortogonale alla superficie attraverso la (3.3) mentre m long e mtr sono le
principali masse efficaci degli ellissi equienergetici associate al moto parallelo
alla superficie che possono essere dedotte dalla (3.4).
Nella tabella 3.1 sono indicate le masse efficaci longitudinali ml e trasversali mt per i vari tipi di valli nei rispettivi semiconduttori bulk. Usando
Materiali
Si
Ge
GaAs
mt−∆ [m0 ]
0.19
0.2
-
ml−∆ [m0 ]
0.916
0.95
-
mt−Λ [m0 ]
0.12
0.08
-
ml−Λ [m0 ]
1.7
1.64
-
mΓ [m0 ]
0.067
Tabella 3.1: Masse efficaci per semiconduttori bulk
i valori della tabella 3.1 si è compilata la tabella 3.2 dove si sono indicate le
3 masse efficaci per le sottobande a energia quantizzata derivate da valli di
tipo ∆ nel Si e di tipo Λ nel Ge (il GaAs mantiene sempre la stessa massa
mtr = mlong = mz = mΓ ) per 3 orientazioni superficiali ad alta simmetria
(che diagonalizzano la 3.4), indicando anche la degenerazione nν cioè il numero di ellissoidi nel materiale bulk che hanno i set di valori equivalenti. Nei
casi in cui sono indicate 2 masse di quantizzazione, quella a valore più alto
(unprimed) rappresenta la sottobanda a energia più bassa mentre quella a
valore più basso (primed) implica sottobanda a energia più alta.
In figura 3.1 sono riportati gli ellissi equienergetici nella prima zona di
Brillouin per le principali direzioni di quantizzazione per Ge e Si. Dove
22
Orientazione
Superficiale
Si
Ge
mtr [m0 ]
mlong [m0 ]
∆
mz [m0 ]
nν
mtr [m0 ]
mlong [m0 ]
Λ
mz [m0 ]
nν
0.190
0.916
0.553
0.916
0.674
0.916
0.190
0.315
0.190
0.258
2
4
4
2
6
0.080
1.120
0.117
4
(111)
0.190
0.190
0.190
0.190
0.190
0.080
0.080
0.080
0.080
0.600
1.640
0.080
1.467
0.219
0.080
1.640
0.089
2
2
1
3
(001)
0.120
1.173
0.174
4
(110)
0.120
0.120
0.120
0.120
0.647
1.700
0.120
1.524
0.315
0.120
1.700
0.134
2
2
1
3
0.200
0.200
0.200
0.200
0.200
0.200
0.950
0.575
0.950
0.700
0.950
0.200
0.330
0.200
0.271
2
4
4
2
6
(001)
(110)
Λ
(111)
∆
Tabella 3.2: Masse efficaci per semiconduttori con quantizzazione
appaiono contemporaneamente le curve a tratto continuo e tratteggiato,
quelle a tratto continuo rappresentano le sottobande a energia più bassa.
Con gli ellissi concentrici si indicano i livelli doppiamente degeneri.
ky−kx
ky
Si
kx
kx+ky−2kz
ky−kx
ky
Ge
kz
kx−ky
kx+ky−2kz
kx
(001)
kx−ky
(111)
kz
(110)
Figura 3.1: Rappresentazione schematica degli ellissi equienergetici
3.2
Generalizzazione per Ellissi Ruotate
Si affronta il calcolo della corrente balistica in un MOSFET nel caso in cui le
ellissi abbiano un’orientazione qualunque rispetto al sistema di riferimento
solidale al dispositivo. Si indicherà con (kx0 , ky0 ) il sistema di riferimento dell’ellisse, mentre con (kx , ky ) quello del dispositivo; θr sarà l’angolo da kx0 a
kx (vedi figura 3.2). Si indicheranno con mtr e mlong rispettivamente la mas23
k’y
kx
ky
θr
0
k’x
Figura 3.2: Sistemi di riferimento
sa efficace trasversale e longitudinale dell’elettrone lungo gli assi principali
dell’ellisse. Per convenzione si impone mlong ≥ mtr .
Nel riferimento (kx0 , ky0 ) la velocità di gruppo sarà:
vg0 =
h̄
mlong
k0x +
h̄ 0
k
mtr y
mentre per il calcolo della ID si ha che:
ID
q X
=
vx fL (E)
W
A k0 ,v >0
x
dove vx è la velocità lungo kx (direzione del trasporto source-drain) e la
fL (E) è la Fermi-Dirac. Si è trascurata l’iniezione di elettroni dal drain.
L’espressione del modulo della velocità vx in (kx0 , ky0 ) sarà:
vx = vg0 · ikˆx = vx0 cos(θr ) + vy0 sin(θr ) =
h̄
mlong
kx0 cos(θr ) +
h̄ 0
k sin(θr )
mtr y
Il vincolo sulla componente vx della velocità nella direzione source-drain si
traduce in:
vx > 0 =⇒
=⇒
h̄
h̄ 0
k sin(θr ) > 0
mlong
mtr y
1 0
1
ky sin(θr ) > −
k 0 cos(θr )
mtr
mlong x
kx0 cos(θr ) +
24
Se cos(θr ) > 0 cioè θr ∈ ] − π2 , π2 [ si ha:
kx0 > −
Si ha quindi che:
mlong
tan(θr ) ky0
mtr
{z
|
}
CR
X
q X
q
vx fL (E) =
A k0 ,v >0
A k0 ,k0 >−C
y
x
x
vx fL (E)
0
R ky
e passando dalle somme in k agli integrali:
X
q
A k0 ,k0 >−C
y
x
0
R ky
2q
vx fL (E) −→
nν
(2π)2
Z
+∞
−∞
dky0
Z
+∞
−CR ky0
dkx0 vx fL (E)
(3.5)
Ma indicando per comodità di notazione con Ξ l’integrale della 3.5 si ha:
Ξ=
=
Z
+∞
−∞
dky0
Z
+∞
−CR ky0
"
h̄
mlong
Z
+∞
−∞
kx0 cos(θr )
dky0
Z
+∞
−CR ky0
dkx0 vx fL (E) =
#
h̄ 0
+
k sin(θr ) fL (E)dkx0
mtr y
(3.6)
Per risolvere l’integrale, si esegue sul sistema di riferimento la seguente
trasformazione : (kx0 , ky0 ) −→ (ε, θ) con ε = E − Ei e:

√
√
2mlong


cos(θ) ε
 kx0 =
h̄


 k0 =
y
√
2mtr
h̄
√
=⇒ det(J) =
√
mtr mlong
h̄2
sin(θ) ε
Invece per quanto concerne gli estremi del dominio di integrazione (figura
3.3) si ha:
D = {(kx0 , ky0 )| kx0 > −CR ky0 }
Si considera il solo caso θr > 0 in quanto per semplice simmetria si nota
che è equivalente al caso opposto. A seguito della trasformazione il domino
D sarà (vedi figura 3.4)
µ
1
D = {(ε, θ)| ε > 0; arctan −
CR
|
{z
A
¶
}
Sostituendo nella (3.6) si ha che:
√
mtr mlong Z +∞ √
Ξ =
εfL (ε)dε ×
h̄2
0
25
µ
1
< θ < arctan −
CR
|
{z
B
¶
+ π}
}
k’y
k’x > -C Rk’y
θr > 0
0
k’x
Figura 3.3: Dominio D in (kx0 , ky0 )
!
√
2mlong
2mtr
cos(θ) cos(θr ) +
sin(θ) sin(θr ) dθ =
×
mlong
mtr
A
√ √mtr mlong Z +∞ √
2
εfL (ε)dε ×
=
h̄2
0
{z
}
|
Z
B
Ãp
G
"
#
cos(θr )
sin(θr )
×
[sin(θ)]B
[− cos(θ)]B
√
A + √
A =
mlong
mtr
√ √mtr mlong
G×
= 2 2
h̄2
"
¶¶
¶¶#
µ
µ
µ
µ
cos(θr )
sin(θr )
1
1
×
+ √
(3.7)
sin arctan
cos arctan
√
mlong
CR
mtr
CR
Sostituendo la (3.7) nella (3.5) si ha:
ID
W
√ √mtr mlong
2q
n
2
2
G×
ν
(2π)2
h̄2
"
µ
µ
¶¶
µ
µ
¶¶#
cos(θr )
1
sin(θr )
1
sin arctan
+ √
cos arctan
×
√
mlong
CR
mtr
CR
=
Risolvendo G, ricordando la definizione di CR e la relazione tra cot e tan
cioè:
√

3
π
EF −Ei

 G = 2 (KT ) 2 F 21 ( KT )
m
tan(θr )
CR = mlong

tr

cot(θr ) = tan( π2 − θr )
26
θ
π + arctan(-1/C R)
0
ε
arctan(-1/C R )
Figura 3.4: Dominio D in (ε, θ)
si arriva a concludere che:
ID
W
¶3
µ
¶
µ
qnν
KT 2
EF − E i
F1
= √ 2
×
2
π
KT
2h̄
"
Ã
Ã
µ
¶! !
√
mtr
π
×
mtr cos(θr ) sin arctan
tan
− θr
+
mlong
2
√
+
mlong sin(θr ) cos
qn
√ ν2
2h̄
=
µ
KT
π
¶3
2
F1
2
Ã
Ã
arctan
µ
EF − E i √
mID
KT
µ
π
mtr
tan
− θr
mlong
2
¶! !#
¶
(3.8)
Quest’ultima espressione può essere considerata una generalizzazione della
√
(2.9) con mID definita cosı̀:
√
√
mID =
mtr cos(θr ) sin
+
√
mlong sin(θr ) cos
3
=
Ã
arctan
Ã
Ã
arctan
µ
mtr
π
− θr
tan
mlong
2
Ã
mtr
π
tan
− θr
mlong
2
+
¶! !
3
2
2
mtr
cos2 (θr ) + mlong
sin2 (θr )
q
µ
¶! !
m2tr cos2 (θr ) + m2long sin2 (θr )
(3.9)
Questa espressione consente il calcolo della corrente balistica in tutte le
direzioni tra 0 e π2 . Ovviamente, viste le simmetrie del reticolo reciproco,
quest’analisi copre tutte le possibili orientazioni.
27
3.3
Velocità Elettronica e Densità degli Stati 2D
Ora si vuole mettere in risalto le diverse dipendenze della velocità elettronica
e della densità degli stati 2D dalle masse efficaci. La densità degli stati 2D
è cosı̀ definita:
X nν(i) m(i)
d
DOS2D (E) =
(3.10)
2 H(E − Ei )
πh̄
i
(dove H(E) è la funzione a gradino) e quindi è direttamente proporzionale
alla massa efficace della densità degli stati md . All’aumentare della radice del prodotto delle masse efficaci mL e mW aumenta la disponibilità di
stati elettronici (vedi figura 3.5) che possono essere riempiti dagli elettroni
contribuendo cosı̀ alla carica d’inversione.
Altra dipendenza ha la velocità dello stato k dalle varie masse efficaci;
infatti nell’ipotesi di bande paraboliche si ha:
E(kx , ky ) = Ei +
h̄2 2
h̄2 2
kx +
k
2mL
2mW y
(3.11)
e dalla definizione di velocità con una trasformazione in coordinate polari si
ha:
h̄kx
h̄
1 ∂E
=
=
k cos(θ)
(3.12)
vx =
h̄ ∂kx
mL
mL
Ricavando il modulo di k dal’eq. (3.11) e sostituendolo nel’eq. (3.12), la
velocità può essere espressa cosı̀:
v
u
u
vx = t
mL
2
E − Ei
+
m2L
2mW
tan2 θ
(3.13)
Come si vede in figura 3.6 la dipendenza della velocità dalle masse efficaci è
tale per cui sia ipotizzabile la presenza di una massa efficace ottima tale da
mantenere alta sia la velocità che la DOS2D .
28
DOS2D [1/(eV cm^2) ]
Ef
md2>md1
proporz. a md1
E0
E1
E [eV]
Figura 3.5: Rappresentazione della DOS2D
E−Ei=100 meV
7
7
x 10
6
vx [cm/s]
5
4
3
2
m =m =0.19m
L
W
0
m =0.08m m =0.19m
L
0
W
0
mL=0.19m0 mW=0.08m0
mL=mW=0.08m0
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
θ [rad]
1
Figura 3.6: Curve v-θ
29
1.2
1.4
1.6
3.4
Il Problema della Quantum Capacitance
Il MOSFET può essere schematizzato come un condensatore nel quale viene indotta carica che sottoposta ad un campo elettrico acquisisce velocità.
Carica e velocità sono gli ingredienti che compongono la corrente.
Per procedere alla scrittura del modello analitico semplificato, è necessario tenere in considerazione un fenomeno non più trascurabile nel caso di
forte quantizzazione che influenza la capacità del MOSFET di accumulare
carica. Infatti se si considera una struttura SOI (SG o DG) con spessore
dell’ossido pari a Tox e spessore del silicio pari a TSi in regime di inversione
con tensione di gate pari a VG si avrà:
QSCT ' QIN V + QDEP
con
QDEP = qNA TSi
visto il regime di inversione. Si considera il MOSFET SOI come un condensatore e si può quindi scrivere che:
Cox = −
dQSCT
dQSCT
=−
d(VG − VF B − ϕs )
d(VG − ϕs )
dove l’ultimo passaggio è possibile in quanto VF B è una costante. Ma dato
che QDEP , in regime di forte inversione, è indipendente da (VG − VF B ) si ha
che:
dQIN V
dQSCT
≈−
−
d(VG − ϕs )
d(VG − ϕs )
quindi
Cox = −
Si può quindi scrivere che:
µ
−1
Cox
= −
|
dQIN V
dVG
{z
dQIN V
d(VG − ϕs )
¶−1
}
−1
Cef
f
µ
− −
|
dQIN V
dϕs
{z
¶−1
−1
CIN
V
(3.14)
}
Da quest’ultima relazione si ricava che la Drive Capacitance è:
Cef f =
Cox CIN V
Cox + CIN V
(3.15)
Per il MOSFET classico con CIN V À Cox si ha che Cef f ' Cox .
Nel caso di quantizzazione, la QIN V è cosı̀ definita:
QIN V = −q
N
sub
X
i=1
(i)
nIN V (EF − Ei )
30
|
{z
ηf i
}
(3.16)
Vg
Cox
Qinv
Cqm
Vs
Figura 3.7: Rappresentazione circuitale della Cef f
(i)
Se si considera la derivata parziale di nIN V rispetto ϕs si può scrivere che:
(i)
∂nIN V
=
∂ϕs
Ã
(i)
∂n
− IN V
∂Ei
!µ
−
∂Ei
∂ϕs
¶
(i)
=
(i)
CQM αs
q
(i)
dove CQM è la Quantum Capacitance della sottobanda i-esima definita
come:
Ã (i) !
∂nIN V
(i)
CQM = −q 2
∂Ei
e
µ
¶
∂Ei
1
αs(i) = −
−
q
∂ϕs
è un numero positivo minore di 1 che dà un indicazione di come l’autovalore
i-esimo segua il potenziale superficiale ϕs .
Sostituendo nella (3.16) si ottiene:
N
sub
X
∂QIN V
(i)
(ef f )
−
=
αs(i) CQM = CQM
∂ϕs
i=1
Sostituendo infine nella (3.14) si trova l’espressione per Cef f :
(ef f )
Cef f =
Cox CQM
(ef f )
Cox + CQM
analoga alla (3.15).
Per un dispositivo single-gate la Cox è la capacità dell’ossido Cox = T²ox
ox
.
mentre in un double-gate la presenza di due gate si traduce in Cox = 2 T²ox
ox
Questo effetto può essere riassunto dicendo che la quantizzazione comporta una diminuzione del massimo della densità di carica di inversione rispetto al caso non quantizzato e un suo spostamento dall’interfaccia isolantesemiconduttore verso l’interno del semiconduttore facendo cosı̀ diminuire
31
DG
1
TSi=3nm Tox=1.0nm Ioff=1uA/um
0.9
Si (110)
Ge (110)
GaAs
0.8
Ceff / Cox
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Vg [V]
Figura 3.8: Curva
DG
1
0.7
0.5
0.6
Cef f
Cox
- Vg
0.8
TSi=3nm Tox=0.6nm Ioff=1uA/um
0.9
Si (110)
Ge (110)
GaAs
0.8
Ceff / Cox
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Vg [V]
Figura 3.9: Curva
0.5
0.6
Cef f
Cox
- Vg
0.7
0.8
ulteriormente la CQM e abbassando quindi la Cef f (vedi figure 3.8 e 3.9).
Quindi in tal modo diminuisce progressivamente l’attitudine del MOSFET
a controllare l’induzione della carica d’inversione.
In bande paraboliche:
(i)
nIN V =
Z
+∞
Ei
(i)
dove F (ηF ) è la Fermi-Dirac e ηF =
secondo Ei si ha:
(i)
(i)
(i)
nν m d
F (ηF )dE
πh̄2
E−EF
KT
(i)
nν m d
∂nIN V
F
=−
∂Ei
πh̄2
. Se ne si considera la derivata
µ
Ei − E F
KT
¶
Questo passaggio si estende immediatamente alle bande non paraboliche. In
32
generale si ha:
(i)
CQM
=
(i) (i)
2 nν m d
q
2 F
πh̄
µ
Ei − E F
KT
¶
E’ da notare con attenzione che nel caso balistico con stati riempiti solo per
(i)
k positivi nella direzione del canale si ha un fattore 21 nel calcolo della nIN V
(i)
e quindi nel calcolo della CQM ; infatti si ha:
(i)
CQM
(i)
(i)
1 nν m d
= q2
F
2
πh̄2
µ
Ei − E F
KT
¶
(3.17)
−EF
Nel caso degenere (F ( EiKT
) ≈ 1) e tralasciando la scrittura dell’apice
si riduce a:
1 nν m d
CQM = q 2
(3.18)
2
πh̄2
3.5
Modello Analitico Approssimato per la Corrente Balistica: Caso Degenere
Possono essere applicate al modello generalizzato le stesse considerazioni
fatte nel paragrafo 2.2: partendo da un modello fisico in cui la corrente balistica è espressa solo attraverso grandezze interne al dispositivo si continua
introducendo nel modello anche gli aspetti legati alla capacità quanto meccanica del semiconduttore. Aggiungendo la relazione che lega le grandezze
fisiche a quelle ai morsetti si giunge ad un modello analitico semplificato per
le correnti balistiche.
La (3.8) può essere scritta cosı̀:
(i)
ID
q
=√ 2
W
2h̄
µ
KT
π
¶3
2
nν(i)
q
(i)
mID F 1 (ηi )
2
Per gas degenere vale la semplificazione:
3
4
F 1 (ηi ) ≈ √ (ηi ) 2
2
3 π
ed è poi possibile esprimere ns in funzione di ηi tramite la
(i)
ns(i)
(i)
nν m d
≈
πh̄2
µ
KT
2
¶
ηi
Si fa anche qui l’ipotesi di singola sottobanda occupata:
nIN V =
N
sub
X
i=1
33
ns(i) ≈ n(1)
s
N
(1)
(i)
sub
X
I
ID
ID
=
≈ D
W
W
W
i=1
e si utilizza come relazione per legare la ns alle grandezze ai morsetti la:
1
nIN V = ns = Cef f (VDD − VT )
q
(3.19)
dove è stata presa in considerazione anche la CQM a differenza del modello sviluppato nel capitolo precedente. Si giunge quindi alla seguente
espressione:
3

(ef f )
√
2
mID  1 Cox CQM
ID
8qh̄ 1

(VDD − VT )
≈ √ √
W
3 π nν (md ) 32 q Cox + C (ef f )
QM
(3.20)
(ef f )
dove si è sostituita alla Cef f la sua espressione in Cox e CQM . Infine per poter giungere ad un modello analitico si semplifica ulteriormente
imponendo:
(ef f )
αs = 1 =⇒ CQM = CQM
In tal modo la (3.20) si semplifica in:
Ã
!3
√
2
mID 1 Cox CQM
ID
8qh̄ 1
≈ √ √
(V
−
V
)
DD
T
W
3 π nν (md ) 32 q Cox + CQM
Per giungere all’espressione finale si sostituisce la definizione della CQM
balistica (3.18). Si arriva cosı̀ a:
√
ID
≈ Anν mID
W
con



A=











B=


µ
Cox
Cox + Bnν md
¶3
2
3
5
2
4q 2 (V
√DD −VT )
3 2h̄2 π 2
q2
2πh̄2
3
3


2 cos2 (θ )+m 2

sin2 (θr )
mtr
√
r

long

p
m
=

ID

m2tr cos2 (θr )+m2long sin2 (θr )







√

md =
mtr mlong
dove si è scelta questa scrittura per evidenziare le dipendenze da mlong ,
mtr , nν e Cox . L’identificazione di mW e mL è chiara solo nei casi in cui
queste coincidano con le due masse dell’ellisse (mtr , mlong ): questi casi sono
rappresentati da:
(
mW = mtr
θr = 0 =⇒
mL = mlong
34
π
θr = =⇒
2
(
mW = mlong
mL = mtr
Essendo stata fatta l’ipotesi di mlong ≥ mtr si ha che l’angolo che assicura
la massima corrente è θr = π2 come si vede in figura 3.10. Quindi si sceglie
1.2
m =m
=0.19m
tr
long
0
m =0.19m m
=0.916m
tr
0
long
0
m =0.08m
m
=0.6m
tr
0
long
0
m =0.08m
m
=1.12m
1.1
tr
1
0
long
0
0.9
mID1/2 [m0]
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0
0.2
0.4
0.6
Figura 3.10: Curva
0.8
θr [rad]
1
1.2
1.4
1.6
√
mID in funzione di θr
di studiare quest’ultimo caso.
Fatte le opportune sostituzioni si può scrivere:
√
ID
= Anν mW
W
Ã
Cox
√
Cox + Bnν mW mL
!3
2
(3.21)
Dall’eq. (3.21) si possono mettere in risalto i due ingredienti che compongono la corrente: la carica di inversione e la velocità di iniezione, espressi in
funzione di nν , mW e mL . Infatti, attraverso l’eq. (3.19) e la definizione di
capacità quanto meccanica balistica, la nIN V può essere espressa cosı̀:
nIN V
B(VDD − VT ) √
=
nν m W m L
q
Ã
Cox
√
Cox + Bnν mW mL
mentre sfruttando la definizione di velocità di iniezione si ha:
vinj
1
=
√
B(VDD − VT ) mL
A
Ã
35
Cox
√
Cox + Bnν mW mL
!1
2
!
Da una semplice analisi qualitativa si osserva che la nIN V è monotona crescente in nν , mW e mL mentre la vinj è sempre monotona ma decrescente.
Da qui si evince l’esistenza di un compromesso sulla corrente che verrà trattato più nel dettaglio analizzando il comportamento dell’eq. (3.21) in m L ,
mW , nν e Cox .
3.5.1
Dipendenza da mL
Per quanto riguarda la dipendenza da mL si ha un comportamento di tipo
monotonico decrescente. Infatti ∀mL > 0:
∂ IWD
∂mL
10000
s
Cox
3
= − Anν 2 mW 3/2
Cox B ×
√
4
Cox + Bnν mW mL
√
1
× (Cox + Bnν mW mL )−2 √
<0
m W mL
Tox=1nm
mW=0.19m0 nν=2 VDD=0.5 V
VT=0.2VDD
9000
8000
IDsat/W [A/m]
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
−3
10
−2
10
−1
10
mL [m0]
0
10
1
10
Figura 3.11: Curva I − mL
Dall’andamento in figura 3.11 si capisce che sono favorevoli quelle orientazioni e/o materiali che esibiscono una massa efficace piccola nella direzione
del trasporto e quindi del canale. Questo andamento deriva dal fatto che
elettroni con massa efficace più leggera raggiungono velocità più alte e quindi
36
aumentano il loro contributo alla corrente totale. L’andamento della corrente in funzione di mL non si discosta di molto da quello trovato nel modello
precedente.
3.5.2
Dipendenza da mW
In questo caso si ha la possibilità di ottimizzare in mW . E’ necessario
procedere con il calcolo della derivata parziale prima rispetto m W . Si ha:
∂ IWD
∂mW
=
×
×
1
nν
2
Ã
Cox
√
Cox + Bnν mW mL
!3/2
√
1
3
− Anν 2 mW ×
√
mW
4
s
√
Cox
Cox BmL (Cox + Bnν mW mL )−2 ×
√
Cox + Bnν mW mL
1
=
√
m W mL
s
Cox
Cox ×
√
Cox + Bnν mW mL
³
´
√
√
× −2Cox 2 mW mL − nν mW Cox BmL + nν 2 mW B 2 mL mW mL ×
1
= − Anν
4
√
1
1
× (Cox + Bnν mW mL )−3 √
√
mW m W mL
che si annulla per:
mW =
2
4Cox
B 2 n2ν mL
(3.22)
In figura 3.12 si ha la presenza di un punto di massimo relativo; si ha
quindi una sorta di compromesso sulla mW che è in netto contrasto con
l’andamento monotonico previsto dal modello precedente.
3.5.3
Dipendenza da nν
Anche per quanto concerne la dipendenza da nν si procede con la derivazione
secondo nν ; si ha:
∂ IWD
∂nν
√
= A mW
×
s
Ã
Cox
√
Cox + Bnν mW mL
!3/2
√
3
− Anν mW ×
2
√
√
Cox
Cox B mW mL (Cox + Bnν mW mL )−2 =
√
Cox + Bnν mW mL
1 √
A mW
2
s
Cox
Cox ×
√
Cox + Bnν mW mL
³
´
√
√
× 2Cox 2 + nν Cox B mW mL − nν 2 mW B 2 mL (Cox + Bnν mW mL )−3
=
37
2000
Tox=1nm
mL=0.19m0 nν=2 VDD=0.5 V
VT=0.2VDD
1900
IDsat/W [A/m]
1800
1700
1600
1500
1400
1300
−3
10
−2
−1
10
10
mW [m0]
0
10
1
10
Figura 3.12: Curva I − mW
che si annulla per:
nν =
2Cox
√
B m W mL
(3.23)
Anche nella figura 3.13 si ha un punto di massimo relativo che contrasta
nettamente con le previsioni di totale monotonicità del modello precedente.
In aggiunta si nota che la (3.23) coincide con la (3.22) e che quindi rappresenta la condizione per un punto di massimo assoluto per la ID (mW , nν ). Questa condizione può essere espressa tramite la definizione di capacità quanto
meccanica per il caso balistico. Infatti sostituendo la condizione di ottimo
alla (3.18) si ha:
CQM = 2Cox
3.5.4
Dipendenza da Cox
Salta subito all’occhio che il modello del paragrafo 2.2 e quello svolto in
questo capitolo prevedono dipendenze di ID da Cox fortemente diverse. La
differenza maggiormente importante è che:
lim
Cox →+∞
√
ID
= Anν mW
W
38
Tox=1nm
2000
mW=mL=0.19m0 VDD=0.5 V
VT=0.2VDD
1800
1600
IDsat/W [A/m]
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
1
2
3
nν
4
5
6
Figura 3.13: Curva I − nν
cioè la corrente balistica tende ad un valore limite costante mentre il modello iniziale prevede che per Cox → +∞ =⇒ IWD → +∞. Questa differenza
è fondamentale in quanto il nuovo modello indica una progressiva vanificazione dei miglioramenti derivanti da ogni successiva riduzione di Tox . Più
lo scaling sarà aggressivo, più la capacità quanto meccanica del dispositivo predominerà sulla Cox e quindi la corrente balistica verrà controllata da
CQM e non dalla capacità dell’ossido.
Questo fa presumere che sarà sempre più critica la scelta dell’orientazione
e del tipo di materiale costituente il canale dei transistors balistici. Infatti è
ipotizzabile che orientazioni e materiali scartati per MOSFETs con trasporto classico vengano rivalutati alla luce dei nuovi parametri principalmente
responsabili delle performances dei dispositivi balistici.
3.6
Modello Analitico Approssimato per la Corrente Balistica: Caso non Degenere
Nel caso di gas elettronico non degenere cioè per ηi < −4 si ha che F 1 (ηi ) ≈
2
eηi e che ln(1+eηi ) ≈ ηi . Queste approssimazioni comportano che l’eq. (2.9)
39
divenga:
(i)
ID
q
=√ 2
W
2h̄
µ
KT
π
¶3
(i)
(i)
µ
2
nν(i)
q
(i)
mW eηi
(3.24)
eηi
(3.25)
e la (2.10) si riduca a:
ns(i) =
nν m d
πh̄2
KT
2
¶
Di conseguenza la velocità di iniezione è:
(i)
(i)
vinj
=
ID
W
(i)
qns
=
s
2KT
πmL
(3.26)
Differentemente dal caso degenere qui la velocità di iniezione dipende soI
(i)
(i)
D
∝ ns . Nell’ipolamente dalla massa efficace mL proprio perchè la W
tesi di singola banda occupata e ricavando dall’eq. (3.25) il termine eη e
sostituendolo nell’eq. (3.24) si ha:
ID
=q
W
s
2KT 1
nIN V
√
π
mL
Sostituendo la (3.19) (relativa alla nIN V ) all’ultima espressione ricavata si
ha:
s
2KT 1
ID
=
Cef f (VDD − VT )
(3.27)
√
W
π
mL
Nel caso in cui si abbia che CQM À Cox l’eq. (3.19) si riduce a:
ID
=
W
s
2KT 1
Cox (VDD − VT )
√
π
mL
Nel caso di gas non degenere e di drive capacitance non perturbata dalla
capacità dello strato invertito si ha quindi che la corrente balistica dipende
linearmente da Cox differentemente da quello che accade nel caso degenere
3
2
.
dove la dipendenza è del tipo Cox
40
Capitolo 4
Simulatore Schr1D
Il modello analitico sviluppato nel precedente capitolo, è stato confrontato
con i risultati di un simulatore numerico.
Si è utilizzato il simulatore Schr1D: esso rientra in quella classe di codici
chiamata Self-consistent Schröedinger - Poisson Solver ed originalmente il
suo scopo era quello di poter simulare le caratteristiche carica tensione e
quindi capacità tensione di un sistema MOS unidimensionale, cioè uniforme
e molto esteso nel piano normale all’interfaccia silicio ossido. Durante lo
svolgimento della presente tesi sono state aggiunte delle porzioni di codice
che rendono possibile il calcolo delle variabili relative al trasporto balistico
nei transistori MOSFET.
4.1
Funzionamento
Il simulatore Schr1D necessita di 2 file d’ingresso. Nel primo file vengono specificate tutte le variabili geometriche unidimensionali del dispositivo
(spessore degli ossidi), il tipo di dispositivo (SG, DG), il numero di nodi
negli ossidi e nel silicio, il numero massimo di iterazioni del simulatore, il
tipo di valli considerate (unprimed, primed), la loro degenerazione, le masse efficaci degli elettroni e delle lacune nelle varie direzioni (quantizzazione,
trasporto e ortogonale alle due precedenti), le tensioni di gate iniziale e finali
con relativo step, il tipo di soluzione (balistica o classica) e la scelta dell’output (autovalori, autofunzioni, profili di potenziale, concentrazioni di carica,
correnti balistiche, velocità di iniezione, capacità quanto meccaniche). Nel
secondo file viene specificato il profilo di drogaggio della zona del canale con
il relativo spessore. Come si vede dalla figura 4.1 il main() del simulatore
si limita a chiamare in sequenza i blocchi costituenti il programma organizzando cosı̀ il flusso di calcoli che generano la simulazione a partire dai file di
input fino ad arrivare a quelli di output.
Dopo avere individuato le richieste per specificare i files di input, output ed error tramite la routine parCheck() e aver stampato l’intestazione
41
START
parCheck.c
controllo parametri
header.c
stampa intestazione
parInit.c
inizializzazione parametri
parse.c
interprete input file
meshInit.c
inizializzazione mesh
solution.c
calcola soluzione
simEnd.c
fine
END
Figura 4.1: Flow Chart di main.c
(header.c) il programma è in grado di ricevere i dati d’ingresso e la routine
parInit(), tramite la chiamata all’interprete contenuto nel file parse.c, inizializza i valori dei comandi e delle opzioni impartite. Queste informazioni
sono sufficienti per creare un modello ad elementi finiti del dispositivo che
viene generato automaticamente dal modulo meshInit.c, individuando cosı̀
le porzioni principali costituenti il transistor: gate, ossido, e substrato.
Inizializzata in tal modo la mesh, il simulatore procede nel calcolare la
soluzione. Il cuore dello Schr1D risiede nel file solution.c in cui il calcolo
complessivo è diviso in due flussi principali: uno si occupa di risolvere il
singolo punto di bias mentre l’altro consente il passaggio da un punto di
bias all’altro, fino al termine della simulazione. La soluzione del punto di
bias richiede di risolvere l’equazione di Poisson con potenziale imposto dal
42
precedente punto di bias. Trovata cosı̀ la carica si ricalcola il potenziale in
equilibrio con quest’ultima nelle nuove condizioni di bias. Se si è richiesto il
calcolo di tipo quantistico, quest’ultimo potenziale è inserito nella equazione di Schröedinger che fornisce in uscita le autofunzioni e gli autovalori per
gli elettroni confinati nella buca di potenziale tra isolante e semiconduttore.
Tramite questi è possibile calcolare le concentrazioni di elettroni e di lacune
che poi vengono nuovamente inserite nell’equazione di Poisson. Quest’ultima fornisce il nuovo potenziale che, se sufficientemente vicino a quello del
ciclo precedente determina la convergenza del processo di calcolo. A convergenza avvenuta si hanno cosı̀ carica, potenziali e autostati nel punto di bias
considerato.
Tramite aggiunte successive al file solution.c, il simulatore è stato dotato
di formule che, partendo dalle grandezze in un punto di bias, consentono
il calcolo delle correnti balistiche, delle concentrazioni di elettroni, delle velocità di iniezione e delle capacità quanto meccaniche per ogni sottobanda.
Essenzialmente sono state implementate le relazioni (2.9), (2.10), (2.12) e
(3.17) che vengono attivate se nel campo solve del file di input è presente
il flag ballistic. Ripetendo questa routine per ogni punto di bias fino al
potenziale finale vengono generanti in uscita i file che contengono i valori
delle variabili richieste.
La routine simEnd() conclude la simulazione informando sul tempo di
CPU occorso e sull’eventuale presenza di messaggi di warning. Gli eventuali errori e/o eccezioni vengono gestiti dal modulo except.c che risulta
trasversale a tutto il programma.
4.2
Modifiche Apportate
Nel file solution.c si è aggiunta una porzione di codice per simulare dispositivi
in cui il materiale costituente il canale non si trovi con gli assi cristallografici
allineati con gli assi principali del dispositivo. Per far ciò si usa la generalizzazione svolta nel capitolo 3 sfruttando l’eq. (3.9). Da questa discende
che il simulatore continuerà a servirsi della massa efficace nella direzione
di quantizzazione mz ma non accetterà più quelle degli elettroni nella direzione del trasporto e quella lungo la larghezza del dispositivo. Infatti esso
richiederà nel file di input le masse efficaci degli elettroni relative agli assi
principali degli ellissi (mtr , mlong ) che nel codice del programma verranno
cosı̀ identificate:
EmStarX indica la massa efficace elettronica mlong .
EmStarY indica la massa efficace elettronica mtr .
EmStarZ indica la massa efficace di quantizzazione mz .
43
Ovviamente tutte le ellissi partecipano alla conduzione di corrente ma contribuiscono in modi diversi in base alla loro disposizione sul piano del trasporto.
Comunque, data la simmetricità degli ellissi risultanti dalla quantizzazione,
si è ritenuto sufficiente dotare il simulatore di 3 possibili gruppi di ellissi
cosı̀ da specificare per ognuno di essi la molteplicità nνIDi e l’angolo θrIDi
rispetto alla direzione del trasporto. Tali valori vengono indicati cosı̀ nel
codice del simulatore:
EmultID1, EmultID2, EmultID3 indicano la molteplicità nνID dell’ellisse di ogni set.
tetaID1, tetaID2, tetaID3 indicano l’angolo θrID tra l’asse maggiore dell’ellisse (di ogni set) e la direzione del trasporto.
A titolo esemplificativo vengono riportate delle tabelle compilate con
molteplicità ed angoli per direzioni di quantizzazione e trasporto che comportino alta simmetria spaziale tra gli ellissi equienergetici.
Orientazione
Superf./Tras.
(001)/[100]
(110)/[001]
(111)/[112]
mtr
0.19
0.19
0.19
mlong
0.19
0.553
0.674
mz
0.916
0.315
0.258
nν
2
4
6
nνID1
2
4
2
Si - ∆
θrID1
[0 : π2 ]
π
2
0
nνID2
0
0
4
θrID2
0
0
π
3
nνID3
0
0
0
θrID3
0
0
0
Tabella 4.1: Masse, degenerazioni ed angoli per Si (solo valli ∆)
Orientazione
Superf./Tras.
(001)/[100]
(110)/[001]
(111)/[112]
mtr
0.08
0.08
0.08
mlong
1.12
0.6
0.08
mz
0.117
0.219
1.640
nν
4
2
1
nνID1
4
2
1
mtr
0.2
0.2
0.2
mlong
0.2
0.575
0.7
mz
0.95
0.33
0.271
nν
2
4
6
nνID1
2
4
2
Orientazione
Superf./Tras.
(001)/[100]
(110)/[001]
(111)/[112]
Ge - Λ
θrID1
π
4
0
[0 : π2 ]
Ge - ∆
θrID1
[0 : π2 ]
π
2
0
nνID2
0
0
4
θrID2
0
0
0
nνID3
0
0
0
θrID3
0
0
0
nνID2
0
0
4
θrID2
0
0
nνID3
0
0
0
θrID3
0
0
0
π
3
Tabella 4.2: Masse, degenerazioni ed angoli per Ge
Di seguito vengono riportati degli input files di esempio che sfruttano i
valori delle tabelle 4.1 e 4.2.
44
title
control
debug
mesh
solution
solve
print
"Si(001)/[100]";
POISloops = 2000
exitOnPoissonNotConverged;
POISprint;
tox=10 Sox=10
oxideNodes = 300 SoxNodes = 300
siliconNodes = 300 dopingFile = "doping"
NHMASS = 2 NEMASS = 1
Hmult0 = 1 Hmult1 = 1 Emult0 = 2 Emult1 = 0
EmStarZ = 0.916 EmStarX = 0.19 EmStarY = 0.19
HmStarZ = 0.49 HmStarX = 0.16 HmStarY = 0.16
EmultID1 = 2 tetaID1 = 0.0
EmultID3 = 0 tetaID3 = 0.0;
fromGateBias = -0.2 toGateBias = 1.4
withGateBiasStep=0.05;
doubleGate schrPoints = 600 howManyEigs = 100
doCapacitance
capacitanceDeltaV = 0.03 ballistic;
poisFinalAllPrint WavesPrint subQMCprint = 10
QM6columnsPrint;
end;
title
control
debug
mesh
solution
solve
print
"Ge(110)/[1-10]";
POISloops = 2000
exitOnPoissonNotConverged;
POISprint;
tox = 10 Sox = 10
oxideNodes =300 SoxNodes = 300
siliconNodes = 300 dopingFile = "doping"
NHMASS = 2 NEMASS = 1
Hmult0 = 1 Hmult1 = 1
Emult0 = 2 Emult1 = 0
EmStarZ = 0.219 EmStarX = 0.6 EmStarY = 0.080
HmStarZ = 0.49 HmStarX = 0.16 HmStarY = 0.16
EmultID3 = 0 tetaID3 = 0.0;
fromGateBias = -0.2 toGateBias = 1.4
withGateBiasStep = 0.05;
doubleGate schrPoints = 600 howManyEigs = 100
doCapacitance
capacitanceDeltaV = 0.03 ballistic;
poisFinalAllPrint WavesPrint subQMCprint = 10
QM6columnsPrint;
end;
Questo secondo input file è relativo al Ge(110)/[110] che non è presente in
tabella 4.2. L’unica modifica che lo contraddistingue del caso Ge(110)/[001]
45
è una sua rotazione di π2 attorno all’asse di quantizzazione che viene specificata tramite il differente valore di tetaID1 rispetto a quello riportato
in tabella 4.2. I valori relativi alle lacune non influenzano le simulazioni
considerate dato che è stato assunto un doping di canale molto basso.
Si è poi aggiunta una porzione di codice che consente il calcolo di una
mIDi , massa efficace di ogni singolo set di ellissi, analoga alla (3.9). Tramite
√
una somma pesata delle mIDi con le nνi su ogni set di ellissi i si giunge
√
alla determinazione della mID . La formula implementata è la seguente:
√
mID =
√
1 X
(nνIDi mIDi )
nν i
dove
nν =
X
(4.1)
nνIDi
i
In tal modo è possibile inserire la (4.1) direttamente nella espressione (2.9),
sommare le correnti di ogni sottobanda (vedi appendice per il listato) e
giungere cosı̀ al calcolo delle correnti totali nei MOSFET balistici aventi
materiali di canale con le principali direzioni di quantizzazione ([001], [110]
e [111]) e con ogni direzioni nel piano del trasporto.
Non sono necessarie modifiche alla parte relativa al calcolo dell’elettrostatica del dispositivo in quanto, a parità di direzione di quantizzazione, è
indipendente dall’angolo di rotazione (dimostrazione in appendice).
4.3
Limiti del Simulatore
Tutta una serie di decisioni che hanno semplificato la realizzazione del simulatore Schr1D ora vanno a scapito della sua flessibilità d’utilizzo.
Si prevede che si avrà conduzione di tipo balistico già a lunghezze di
canale attorno a L=10 nm e che quindi saranno necessari simulatori di tipo
bi-dimensionale (nello spazio reale) per rappresentare in modo più adeguato
il trasporto degli elettroni, per considerare l’influenza del trasporto stesso
sull’elettrostatica del dispositivo e per simulare i fenomeni quantistici nella
direzione del trasporto come tunneling quantistico e band to band tunneling.
E’ comunque vero che col continuo ridursi della lunghezza di canale le ipotesi
su cui è fondato il modello implementato nel simulatore saranno via via
sempre più vere e quindi i risultati forniti sempre più verosimili.
Una causa di limitazioni all’utilizzo è il fatto che lo Schr1D sia stato
pensato per simulare principalmente dispositivi in Si. Nel Si, le valli che
sono responsabili della conduzione di corrente, cioè quelle in cui si trova
la carica elettronica sono quelle di tipo ∆. Solamente queste sono state
prese in considerazione ed il loro comportamento implementato nel codice.
In altri semiconduttori, come ad esempio il Ge, sono 2 i tipi di valli che
contribuiscono alla conduzione: prima quelle di tipo Λ e subito dopo quelle
46
di tipo ∆. Solo in alcuni casi è possibile identificare un solo tipo di banda
principalmente responsabile della conduzione; in tutti gli altri casi lo stato
attuale del simulatore Schr1D rende inaffidabile la simulazione.
47
48
Capitolo 5
Simulazioni
In questo capitolo vengono mostrati e commentati i risultati delle simulazioni
che sono state effettuate a conferma della teoria sviluppata. Si confronteranno gli andamenti della corrente in funzione delle masse e degenerazioni
delle valli calcolate col modello analitico con quelli ottenuti dalle simulazioni numeriche. Si procederà quindi confrontando le ID ottenibili con diversi
semiconduttori reali e al variare dell’orientazione.
5.1
Risultati per Piccole Masse di Quantizzazione
e Singola Banda Occupata
Si sono simulati dispositivi DG con TSi = 3nm, aventi concentrazione di drogante accettore pari a 1015 cm−3 e con Tox uguali a 1.0nm, 0.8nm e 0.6nm.
In questo gruppo di simulazioni si è impostato mz = 0.2m0 in modo tale che gli autovalori derivanti dalla soluzione dell’equazione di Schrödinger
risultino fortemente separati in energia. In tal modo la carica indotta nel
dispositivo va a popolare unicamente la prima sottobanda verificando cosı̀
l’ipotesi di singola banda occupata necessaria per il corretto confronto dei
dati numerici con quelli del modello analitico. Per una trattazione omogenea
dei risultati si è impostata la stessa corrente di riposo Iof f grazie all’utilizzo
di un programma creato opportunamente per eseguire traslazioni rigide in
VG delle caratteristiche di tutte le grandezze elettriche d’interesse. In aggiunta è stato realizzato anche un secondo programma che, partendo dalle
caratteristiche I − V prodotte dal simulatore, genera in modo automatico le
corrispondenti caratteristiche I − m normalizzate alla stessa I of f ed entro
un range di tensioni VG impostabile (vedi listato in appendice). Si procede
con l’esposizione dei risultati ottenuti.
49
Id_av - mL
DG
TSi=3nm
mz=0.2m0
valley 0 Ioff=10 nA/um Vdd=0.8 V
22000
Id_av [uA/um]
20000
nv=2
18000
Tox=0.6nm
Tox=0.8nm
Tox=1.0nm
16000
simbolo vuoto: mW=0.19m0
14000
simbolo pieno: mW=0.553m0
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
mL [m0]
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Figura 5.1: Curva ID - mL
Id_av - mL
DG
TSi=3nm
mz=0.2m0
24000
nv=4
Tox=0.6nm
Tox=0.8nm
Tox=1.0nm
22000
20000
simbolo vuoto: mW=0.19m0
Id_av [uA/um]
18000
simbolo pieno: mW=0.553m0
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
mL [m0]
0.3
0.35
Figura 5.2: Curva ID - mL
50
0.4
0.45
0.5
Id_av - mW
DG
TSi=3nm
mz=0.2m0
10000
9000
8000
Id_av [uA/um]
7000
6000
5000
4000
nv=2
3000
Tox=0.6nm
Tox=0.8nm
Tox=1.0nm
2000
simbolo vuoto: mL=0.08m0
simbolo pieno: mL=0.19m0
1000
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.3
0.25
mW [m0]
0.35
0.4
0.45
0.5
Figura 5.3: Curva ID - mW
Come si nota dalle figure 5.1 e 5.2 gli andamenti della ID in funzione della
massa nella direzione del trasporto mL è di tipo monotonico decrescente. Si
osserva che all’aumentare della molteplicità delle valli si ha l’accentuarsi
della corrente balistica per valori piccoli di mL . Da notare anche come per
valori non troppo piccoli della mL si abbia una debole modulazione della
corrente al variare della mW .
Differenti sono gli andamenti ID − mW rappresentati in figura 5.3 e
5.4. In questo caso gli andamenti non sono monotonici: infatti mostrano la
presenza di un punto di massimo che si sposta a valori di mW più piccoli per
nν crescente e a valori più grandi per Cox crescente. Gli andamenti hanno
una forte sensibilità alla mL .
Lo stesso tipo di comportamento non monotono della ID in funzione di
nν è evidenziato in figura 5.5.
51
Id_av - mW
DG
TSi=3nm
mz=0.2m0
10000
9000
8000
Id_av [uA/um]
7000
6000
5000
4000
nv=4
3000
Tox=0.6nm
Tox=0.8nm
Tox=1.0nm
2000
1000
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.3
0.25
mW [m0]
0.35
0.4
0.45
0.5
Figura 5.4: Curva ID - mW
Id_av - nv
DG TSi=3nm
mz=0.2m0
valley 0
Ioff=10 nA/um Vdd=0.8 V
7000
6000
Id_av [uA/um]
5000
4000
3000
mL=mW=0.19m0
Tox=0.6 nm
Tox=0.8 nm
Tox=1.0 nm
2000
1000
0
1
2
3
nv
4
Figura 5.5: Curva ID - nν
52
5
6
DG
TSi=3nm
mz=0.2m0
valley 0
Ioff=10 nA/um Vdd=0.8 V
10000
Id_av [uA/um]
8000
6000
4000
Tox=0.6nm
Tox=0.8nm
Tox=1.0nm
nv=2
Modello analitico
Simulazioni
2000
0
0
0.1
0.2
0.3
mW [m0]
0.4
0.5
Figura 5.6: Curve ID - mW
5.1.1
Confronto con il Modello Approssimato
Si può notare come, dal punto di vista qualitativo, gli andamenti evidenziati
dal modello analitico sviluppato nel capitolo 3 vengano confermati da quelli
delle simulazioni appena commentate.
Però, come si vede dalla figura 5.6, dal punto di vista quantitativo il modello analitico non copre in modo sufficientemente accurato i risultati delle
simulazione numeriche. Ciò deriva dal non verificarsi (nelle simulazioni) di
un’ipotesi³fatta ´nel modello analitico. Infatti si era supposto che il termine
∂Ei
fosse pari a 1 (e quindi indipendente dalle masse efficaci
αs = − 1q − ∂ϕ
s
degli elettroni) in modo tale da consentire la scrittura compatta della condizione di massimo per la ID . La dipendenza di α dalle masse efficaci rientra
nella condizione di massimo influenzandone cosı̀ la posizione.
5.2
Effetto del Caricamento di più Sottobande:
Silicio (001) e Silicio (110)
Vengono riportati gli andamenti delle grandezze fondamentali delle simulazioni per MOSFET DG in Si con TSi = 3nm, con Tox pari a 0.8 e 0.6
µA
nm aventi Iof f = 1 µm
. Sono state prese in considerazione le direzioni di
quantizzazione [001] e [110] con direzioni del trasporto [100] e [001] rispettivamente. In figura 5.7 si può notare nel caso di Si (110) come per bassi
valori di Vg la corrente balistica media sia pressochè uguale a quella del
Si (110) mentre per alti valori della tensione di gate, quest’ultimo esibisca
53
DG
TSi=3nm valley 0
Ioff=1 uA/um
9000
8000
Si (001) mz=0.916m0 nv=2
Si (110) mz=0.315m0 nv=4
7000
simbolo vuoto: Tox=0.8 nm
simbolo pieno: Tox=0.6 nm
Id [uA/um]
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Vg [V]
0.5
0.6
0.7
0.8
Figura 5.7: Curva ID - Vg
una corrente più bassa. Dall’analisi delle figure 5.8 e 5.9 si nota come il
Si (001) abbia una carica di inversione inferiore al caso Si (110) ma una
velocità di iniezione media superiore. Si ha una flessione della velocità di
iniezione nel caso di Si (001) perchè tale orientazione è caratterizzata da
una massa di quantizzazione mz = 0.916m0 che risulta superiore a quella
del caso (110) (mz = 0.315m0 ). Ciò si traduce (nel caso (001)) in un più
ristretto salto energetico tra sottobande che rende più facile il caricamento
di ulteriori bande energetiche. Proprio il caricamento della seconda sottobanda è responsabile della flessione dell’andamento della velocità d’iniezione
del caso (001). Tale caricamento può essere evinto anche dalla figura 5.10
dalla presenza di un netto aumento della drive capacitance.
La seconda sottobanda caricandosi contribuisce cosı̀ alla carica d’inversione ma la velocità dei portatori che la popolano è funzione della differenza
tra il livello di Fermi e l’autovalore della sottobanda. Ciò vuol dire che inizialmente la seconda sottobanda contribuirà con portatori caratterizzati da
una velocità ridotta rispetto a quella dei portatori della banda fondamentale che andranno quindi a penalizzare la velocità di iniezione media, come
mostrato in figura 5.11.
Per definizione la transconduttanza è:
gm =
∂ID
∂Vg
ed indicando in maniera semplice la densità di corrente come:
ID = qnIN V vinj
54
DG TSi=3nm valley 0
Ioff=1 uA/um
Si (001) mz=0.916m0 nv=2
Si (110) mz=0.315m0 nv=4
2e+13
Ninv [cm^-2]
1e+13
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Vg [V]
0.5
0.6
0.7
0.8
Figura 5.8: Curva nIN V - Vg
si ha che:
gm = Cef f vinj + qnIN V
∂vinj
∂Vg
Da ciò si deduce che la transconduttanza contiene anche la dipendenza della
velocità d’iniezione da Vg e cosı̀ si spiega la flessione di gm in funzione della
tensione di gate riportato in figura 5.12.
55
DG
TSi=3nm valley 0
Ioff=1 uA/um
2.5e+07
Si (001) mz=0.916m0 nv=2
Si (110) mz=0.315m0 nv=4
vinj [cm/s]
2e+07
1.5e+07
1e+07
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Vg [V]
0.5
0.7
0.6
0.8
Figura 5.9: Curva vinj - Vg
DG
TSi=3nm valley 0
Ioff=1 uA/um
7e-06
6e-06
Ceff [F/cm^2]
5e-06
4e-06
3e-06
Si (001) mz=0.916m0 nv=2
Si (110) mz=0.315m0 nv=4
2e-06
1e-06
0
0
0.2
0.4
Vg [V]
0.6
Figura 5.10: Curva Cef f - Vg
56
0.8
1
Si (001) DG TSi=3nm Tox=0.6 nm Ioff=1 uA/um
2.6e+07
vinj media
vinj I sottobanda
vinj II sottobanda
2.4e+07
v [cm/s]
2.2e+07
2e+07
1.8e+07
1.6e+07
1.4e+07
1.2e+07
1e+07
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Vg [V]
0.5
0.6
0.7
0.8
Figura 5.11: Curva vinj - Vg
Si (001) TSi=3nm Tox=0.6nm
Ioff=1uA/um
20000
9000
18000
8000
16000
7000
6000
gm
12000
5000
10000
4000
8000
3000
Id_av
6000
2000
4000
1000
2000
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0
0.8
Figura 5.12: Curva gm e ID in funzione di Vg
57
Id_av [uA/um]
gm [uS/um]
14000
Si (001) DG TSi=3nm Tox=1.0nm Ioff=1uA/um
3500
direzione del trasporto:
3000
[100]
[110]
[010]
Id_av [uA/um]
2500
2000
1500
1000
500
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3 0.35
Vg [V]
0.4
0.45
0.5
0.55
5.3
Effetto della Direzione del Trasporto nel Piano
Fissati gli assi cristallografici, si andranno ad analizzare i risultati derivanti
dalle simulazioni di MOSFET DG eseguite con diverse direzioni del trasporto
per diversi semiconduttori come Si, Ge e GaAs e nelle tre principali direzioni
di quantizzazione: [001], [110], [111]. Si manterranno per tutta la sezione le
medesime condizioni: TSi = 3nm e Tox = 1.0nm e Iof f = 1µA/µm.
5.3.1
Silicio
Nel Si la differenza di energia tra i minimi delle valli di tipo ∆ e Λ è cosı̀
alta da far sı̀ che solo le prime contribuiscono significativamente al trasporto
di corrente. Infatti il minimo della valle ∆ è sotto a quello delle Λ di più di
1 eV. Tale differenza è cosı̀ grande che questa condizione continua a valere
anche nei casi di forte quantizzazione.
Il caso quantizzato (001) è caratterizzato da una banda circolare (con
molteplicità 2). Questo comporta che le masse efficaci nel piano siano indipendenti dalla direzione scelta per il trasporto. Da ciò consegue la perfetta
isotropia del trasporto, come si vede in figura 5.13 e in figura 5.14 dove
con β si è indicato l’angolo tra la direzione del trasporto e la direzione di
riferimento [100].
Si analizza ora il caso (110). Se la direzione di quantizzazione è la [110],
il silicio mostra nel piano un trasporto fortemente anisotropo (figura 5.15).
La direzione del trasporto per cui si ha un massimo è la [001]: infatti con tale
orientazione gli assi minori degli ellissi (a più bassa energia e con molteplicità
58
DG
Tox=1.0nm TSi=3nm
Id_av/W [uA/um]
[010]
Si (001)
Ioff=1 uA/um Vdd=0.5 V
90°
45°
500
[100]
0°
0
Figura 5.14: Grafico polare di ID in funzione di β
4), che comportano masse efficaci minori, si trovano in direzione parallela a
quella del trasporto massimizzando il valore della mID e quindi della corrente. Lo stesso ragionamento vale per la direzione in cui si evidenzia un
minimo della corrente balistica: nel caso di trasporto lungo la [110] sono gli
assi maggiori ad essere paralleli alla direzione del trasporto andando cosı̀ a
ridurre la velocità degli elettroni e quindi la corrente a causa della maggiore
massa efficace. Per le direzioni intermedie (β 6= 0, π2 ) si ha una modulazione
della mID che porta ad un grafico polare riportato in figura 5.16. In questo
caso l’angolo β è l’angolo compreso tra la direzione del trasporto e la [001].
Il silicio (111) è caratterizzato da un grafico polare del trasporto simile
a quello del caso (001) anche se la sua disposizione degli ellissi nel piano è
totalmente diversa. Infatti sul piano (111) si identificano 6 ellissi separati
da angoli di π3 . Variando β, che in questo caso è l’angolo compreso tra la
direzione della conduzione e la [112], cambia profondamente il contributo al
trasporto di ogni singolo ellisse (come succedeva nel caso (110)) ma la loro
disposizione simmetrica fa sı̀ che la corrente balistica media dipenda molto
poco dalla direzione del trasporto, come si vede in figure 5.17 e 5.18.
Confrontando le tre orientazioni si osserva che la corrente balistica massima si ha nel caso di Si (001) anche se si hanno valori molto simili nel caso
(110)/[001].
59
Si (110) DG TSi=3nm Tox=1.0nm Ioff=1 uA/um
3500
[001]
[1-12]
[2-21]
[1-10]
3000
2000
1500
1000
500
0
0
0.05
0.1
0.2
0.15
0.25
0.3 0.35
Vg [V]
0.4
0.45
0.5
0.55
DG
Tox=1.0nm TSi=3nm
[1-10]
Si (110)
Id_av/W [uA/um]
Id_av [uA/um]
2500
90°
45°
500
[001]
0°
0
60
Si (111) DG TSi=3nm Tox=1.0nm Ioff=1 uA/um
3000
[11-2]
[13-4]
[-13-2]
[-110]
2500
1500
1000
500
0
0
0.05
0.1
0.2
0.15
0.25
0.3 0.35
Vg [V]
0.4
0.45
0.5
0.55
DG
Tox=1.0nm TSi=3nm
[-110]
Si (111)
Id_av/W [uA/um]
Id_av [uA/um]
2000
90°
45°
500
[11-2]
0°
0
61
DG
Tox=1.0nm
Id_av/W [uA/um]
[010]
GaAs
TSi=3nm
90°
45°
1000
[100]
0°
0
5.3.2
Germanio e Arseniuro di Gallio
Si procede analizzando le dipendenze della corrente balistica dalla direzione
del trasporto per semiconduttori alternativi al silicio: arseniuro di gallio e
germanio.
Il GaAs è caratterizzato da una singola valle dominante di tipo Γ a
geometria sferica centrata nella prima zona di Brillouin. Quindi per ogni
direzione di quantizzazione si ha la formazione di bande circolari che sono
contraddistinte da masse efficaci uguali in tutte le direzioni del piano del
trasporto. Da ciò deriva il comportamento di tipo isotropo dell’arseniuro
di gallio (vedi figura 5.19) per ogni direzione di quantizzazione e per ogni
direzione del trasporto.
A causa della sua particolare struttura a bande, il caso del Ge è il più
delicato da trattare: generalmente, data l’esigua differenza energetica (173
meV) tra i due sistemi di minimi ∆ e Λ, si ha che entrambe le due famiglie di ellissoidi contribuiscono al trasporto di corrente. Quindi, a rigore,
entrambe le valli dovrebbero essere prese in considerazione: prima le Λ e
successivamente le ∆. Nel caso di MOSFET DG con tensioni di gate pari a
VDD =0.5 V e con spessori di canale TSi =3nm e di ossido Tox =1nm, il contributo delle valli ∆ risulta trascurabile per il Ge (111) mentre nel caso (110)
tale contributo rappresenta il 15% della corrente totale erogabile. Invece nel
caso (001) quasi la totalità della corrente è dovuta al contributo delle valli ∆
[22]. Quest’ultimo fatto è possibile dato che, nel caso di Ge (001) fortemente
quantizzato, la mz delle valli ∆ è maggiore della mz delle Λ. Ne consegue
che gli autovalori delle Λ sono maggiormente distanziati tra di loro rispetto
a quelli delle ∆. Quindi, all’aumentare dell’effetto di quantizzazione cioè al
ridursi della larghezza della buca di energia potenziale, si può giungere al
62
DG TSi=3nm
Tox=1.0nm
valley 0 Ioff=1 uA/um
6000
5500
Ge (001)/[100] (valli ∆)
Ge (110)/[001] (valli Λ)
Ge (110)/[1-10] (valli Λ )
Ge (111)/[11-2] (valli Λ)
GaAs (valle Γ )
5000
Id_av/W [uA/um]
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3 0.35
Vg [V]
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
punto in cui la prima sottobanda delle ∆ risulti quella ad energia minima
divenendo cosı̀ la sottobanda che contribuisce maggiormente alla conduzione
elettrica. Nel caso (001) si hanno quindi solo valli ∆ quantizzate con bande circolari che implicano trasporto isotropo. Nel caso (110) dominano i 2
ellissi derivanti dalla quantizzazione delle bande Λ. Le stesse considerazioni
fatte per il caso del Si(110) portando ad una diagramma polare anisotropo e caratterizzato da un massimo di corrente nella direzione [110] e da un
minimo nella [001]. Per il caso (111) si ha una singola banda circolare che
porta a trasporto isotropo. Queste ultime considerazioni sono condensate
graficamente in forma polare in figura 5.21, che evidenzia nettamente come
il caso (110)/[110] sia quello a corrente maggiore e quindi da preferire, come
confermato in [22]. Tale vantaggio può essere apprezzato anche in figura
5.20.
5.4
Confronto fra i Diversi Semiconduttori
Ora si vuole presentare un confronto generale tra i diversi semiconduttori
presi con la direzione del trasporto tale da massimizzare la corrente balistica.
In figura 5.22 si nota come per Tox = 0.6nm il MOSFET che assicura una
corrente balistica più alta è quello con canale in Ge (110)/[110]. Ciò è dovuto
alla sua relativamente alta densità degli stati 2D come si può notare in figura
5.23 e alla sua altrettanto alta velocità di iniezione media (figura 5.24).
Gli altri semiconduttori perdono nel confronto in quanto non possiedono
contemporaneamente grande carica di inversione e alta velocità di iniezione.
63
Id_av/W [uA/um]
90°
(110)
[-110]
(001)
[1-10]
[010]
Ge
90°
DG
Tox=1.0nm
45°
1000
0°
[001]
0
1000
0°
[100]
0
0
90°
45°
45°
1000
(111)
0°
[11-2]
TSi=3nm valley 0 Ioff=1 uA/um Vdd=0.5 V
Figura 5.21: ID - β
Si nota in figura 5.24 come per basse tensioni di gate VG , cioè nel caso di gas non degenere, le differenze tra le varie velocità di iniezione siano
indipendenti da VG e siano funzione esclusivamente delle masse efficaci elettroniche nella direzione del trasporto. Infatti il semiconduttore a massa
efficace più bassa è proprio il GaAs seguito dal Ge (110)/[110] e dal Si (001)
e (110)/[001]. Quest’ultime due configurazioni del silicio possiedono massa efficace nella direzione del trasporto uguale e quindi le due velocità di
iniezione sono praticamente identiche.
In figura 5.23 si vede come l’ordine tra i materiali nella carica d’inversione
sia opposto a quello riscontrato nella velocità di iniezione. Infatti i MOSFET
che riescono a indurre una maggiore concentrazione di carica elettronica sono
quelli con semiconduttore a massa efficace della densità degli stati 2D più
alta.
64
DG TSi=3 nm Tox=0.6 nm Ioff=1 µA/µm
14000
Si (001)
Si (110)/[001]
Ge (110)/[110]
GaAs
12000
IDav [µA/µm]
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
VG [V]
0.5
0.6
0.7
0.8
0.7
0.8
Figura 5.22: Curva ID − Vg
DG TSi=3 nm Tox=0.6 nm Ioff=1 µA/µm
13
2.5×10
Si (001)
Si (110)/[001]
Ge (110)/[110]
GaAs
13
2
nINV [F/cm ]
2.0×10
13
1.5×10
13
1.0×10
12
5.0×10
0.0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
VG [V]
0.5
0.6
Figura 5.23: Curva nIN V − Vg
65
DG
7
TSi=3 nm Tox=0.6 nm Ioff=1 µA/µm
7×10
Si (001)
Si (110)/[001]
Ge (110)/[110]
GaAs
7
6×10
7
vinj [cm/s]
5×10
7
4×10
7
3×10
7
2×10
7
1×10
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
VG [V]
0.5
Figura 5.24: Curva vinj − Vg
66
0.6
0.7
0.8
5.5
Scaling del Tox
Si conclude il capitolo commentando le caratteristiche riportate in figura
5.25 che sottolineano, per diversi tipi di materiale costituente il canale, gli
andamenti delle correnti balistiche con direzione del trasporto ottima. Per
confronto è stato riportato anche il comune Si (001).
Si nota come le correnti balistiche massime aumentino all’aumentare
di Cox in modo fortemente sub-lineare per Tox < 1nm, con tendenza a
saturare verso una corrente balistica limite. Come previsto dal modello nel
paragrafo 3.5 per il caso degenere, tutte le curve I − Tox −1 saturano a causa
della limitata drive capacitance non più vicina alla capacità dell’ossido ma
deteriorata da quella dello strato invertito. Si evidenzia come il Si (001)
e soprattutto il GaAs saturino all’aumentare di Cox in modo più deciso
rispetto agli altri, data la loro bassa CQM dovuta alle basse masse efficaci
nel piano del trasporto. Rimanendo nell’ambito del silicio, il Si (110)/[001]
rimane sotto al silicio (001) per i Tox considerati ma continua ad avere una
pendenza leggermente superiore a quella del Si (001) e del Ge (110)/[110].
Proprio il Ge (110)/[110] risulta essere il migliore per i Tox più aggressivi con
margini di miglioramento del 40% rispetto le correnti massime del miglior
concorrente.
Invece per Tox molto alti, essendoci condizioni di non degenerazione (VDD
bassa), la dipendenza della corrente balistica massima da Cox è lineare come
previsto dal modello sviluppato nel paragrafo 3.6 per il caso non degenere.
Tale modello spiega anche il motivo per cui a Cox bassi le curve relative ai
vari semiconduttori si incrocino favorendo i materiali con masse efficaci più
piccole e quindi con velocità di iniezione più alte.
67
10000
DG TSi=3nm
VDD=0.6 V Ioff=1 µA/µm
-1
IDav_MAX [µA/µm]
Tox
Si (001)
Si (110)/[001]
Ge (110)/[110]
GaAs
1000
0.1
-1
-1
1
Tox [nm ]
−1
Figura 5.25: Curva IDM AX - Tox
68
Capitolo 6
Conclusioni
Con l’avanzare dell’innovazione tecnologica possono essere realizzati MOSFETs sempre più corti in cui il trasporto di corrente si avvicina a quello di
tipo balistico. Per poter sfruttare i vantaggi derivanti da tale tipo di trasporto è necessaria una ingegnerizzazione dei parametri del materiale costituente
il canale del dispositivo. Infatti si è messo in luce come i parametri dei semiconduttori come le masse efficaci elettroniche mW e mL e la degenerazione
delle sottobande nν influenzino il trasporto e come la direzione del trasporto
rispetto all’orientazione cristallografica del materiale sia fondamentale per
consentire al dispositivo la massima erogazione di corrente.
In questa tesi si è sviluppato un modello analitico che esprime in forma
semplice e compatta la dipendenza della corrente balistica dalla direzione del
trasporto e dalle masse efficaci mlong e mtr relative agli ellissi che descrivono
la relazione di dispersione del gas elettronico 2D vicino ai minimi energetici.
L’equazione:
ID
qnν
=√ 2
W
2h̄
con
µ
KT
π
¶3
2
F1
2
µ
¶
EF − E i √
mID
KT
3
3
2
2
cos2 (θr ) + mlong
sin2 (θr )
mtr
√
mID = q
m2tr cos2 (θr ) + m2long sin2 (θr )
è stata implementata nel simulatore numerico Schr1D.
Si è poi passati all’analisi del compromesso esistente tra la densità degli
stati 2D e la velocità di iniezione al fine di ottimizzare la corrente balistica
espressa cosı̀:
√
ID
= qnIN V vinj = Anν mW
W
Ã
Cox
√
Cox + Bnν mW mL
!3
2
Si sono analizzate le dipendenze della corrente balistica ID da mW , mL , e
nν evidenziando come la ID abbia un comportamento monotono in mL ma
69
presenti una massimo in mW e nν . Tale massimo assoluto è individuato
dalla condizione di ottimo:
CQM = 2Cox
Il modello sviluppato per lo studio di tale trade-off ha portato ad un confronto qualitativo congruente con le simulazioni numeriche.
In seguito si è passati a simulare dispositivi con materiali reali quali
silicio, germanio e arseniurio di gallio con varie direzioni del trasporto e per
Tox molto scalati evidenziando come per tali Tox la capacità dello strato
invertito assuma un peso rilevante sugli andamenti delle correnti massime.
Dai risultati di queste simulazioni si è stabilito che il semiconduttore più
promettente per il canale dei MOSFETs balistici è il Ge (110)/[110].
10000
DG TSi=3nm VDD=0.6 V Ioff=1 µA/µm
-1
IDav_MAX [µA/µm]
Tox
Si (001)
Si (110)/[001]
Ge (110)/[110]
GaAs
1000
0.1
-1
-1
1
Tox [nm ]
−1
Figura 6.1: Curva IDM AX - Tox
Si conclude ribadendo come lo sviluppo di modelli analitici (anche se
approssimati) è molto importante tanto per la comprensione degli elementi fisici quanto per il progetto e l’ottimizzazione dei dispositivi MOSFET
nanometrici.
70
Ringraziamenti
Desidero ringraziare tutti coloro che mi hanno indirizzato e seguito nel lavoro
di tesi.
Un grazie particolare va al professor David Esseni che durante questi lunghi mesi di studio mi ha supportato e guidato in modo preciso nella stesura
della tesi. Assieme a lui ringrazio anche il professor Selmi, il professor Sangiorgi e il Dott. Ing. Palestri per gli insegnamenti che mi hanno trasmesso
nei 5 anni trascorsi all’università di Udine.
Ringrazio anche i dottorandi di microelettronica per le loro innumerevoli
”dritte” su come risolvere i mille problemi connessi al lavoro da svolgere.
Fondamentale è stato il supporto fornitomi dalla mia famiglia nei momenti di difficoltà e nelle decisioni importanti ed altrettanto basilare è stata
la presenza di tutti i miei amici, tra cui in particolare Zena, Carlo, Federico,
Bistek, tutto il gruppo dei ”medici” di Udine, Andrea, Ilenia ed Anna.
71
72
Bibliografia
[1] International Technology Roadmap for Semiconductors: 2004 Update.
Austin, TX, SEMATECH, 2004.
[2] R. Degrave, B. Kaczer, and G. Groeseneken, “Reliability: a possible showstopper for oxide thickness scaling ?,” Semiconductor Science
Technology, vol. 15, pp. 436–444, 2000.
[3] S.Takagi, A.Toriumi, M.Iwase, and H.Tango, “On the Universality of
Inversion-layer Mobilty in Si MOSFETs. Part I- Effect of Substrate Impurity Concentration,” IEEE Transaction on Electron Devices, vol. 41,
no. 12, pp. 2357–62, 1994.
[4] C. Fiegna, I. Iwai, T. Wada, M. Saito, E. Sangiorgi, and B. Riccò,
“Scaling the MOS transistor below 0.1µm: Methodology, Device Structures and Technology Requirements ,” IEEE Transaction on Electron
Devices, p. 941, June 1994.
[5] E. Suzuki, K. Ishii, S. Kanemaru, T. Maeda, T. Tsutsumi, T. Sekigawa, K. Nagai, and H. Hiroshima, “Highly Suppressed Short-Channel
Effects in Ultrathin SOI n-MOSFET’s,” IEEE Transaction on Electron
Devices, vol. 47, no. 2, pp. 354–359, 2000.
[6] M.Jurczak, T.Skotnicki, M. Paoli, B.Tormen, J.Martins, J.L. Regolini,
D.Dutartre, P.Ribot, D.Lenoble, R.Pantel, and S.Monfray, “Silicon-onNothing (SON) - an Innovative Process for Advanced CMOS,” IEEE
Transaction on Electron Devices, vol. 47, no. 11, pp. 2179–2187, 2000.
[7] H.S.Wong, D. Frank, and P. Solomon, “Device Design Considerations
for Double-Gate, Ground-Plane and Single-Gated Ultra-Thin SOI Mosfet’s at the 25 nm Channel Length Generation,” in IEEE IEDM
Technical Digest, p. 407, 1998.
[8] A. G. Sabnis and J. T. Clemens, “Characterization of the electron mobility in the inverted h100i Si surface,” in IEEE IEDM Technical Digest,
pp. 18–21, 1979.
73
[9] D. Esseni, M.Mastrapasqua, G.K. Celler, F.H. Baumann, C. Fiegna,
L.Selmi, and E.Sangiorgi, “Low Field mobility of Ultra-Thin SOI Nand P-MOSFETs: Measurements and Implications on the Performance
of Ultra-Short MOSFETs,” in IEEE IEDM Technical Digest, pp. 671–
674, 2000.
[10] D. Esseni, M.Mastrapasqua, G.K.Celler, C.Fiegna, L.Selmi, and
E.Sangiorgi, “Low Field Electron and Hole Mobility of SOI Transistors
Fabricated on Ultra-Thin Silicon Films for Deep Sub-Micron Technology Application,” IEEE Transaction on Electron Devices, vol. 48, no. 12,
pp. 2842–2850, 2001.
[11] D.Esseni, M.Mastrapasqua, C.Fiegna, G.K. Celler, L.Selmi, and
E.Sangiorgi, “An experimental Study of Low Field Electron Mobility
in Double-Gate, Ultra-Thin SOI MOSFETs,” in IEEE IEDM Technical
Digest, pp. 445–448, 2001.
[12] D. Esseni, M.Mastrapasqua, G.K. Celler, C. Fiergna, L. Selmi, and
E. Sangiorgi, “An experimental Study of Mobility Enhancement in
Ultra-Thin SOI Transistors Operated in Double-Gate Mode ,” IEEE
[13] J.Koga, S.Takagi, and A.Toriumi, “Influencies of Buried-Oxide Interface on Inversion-Layer Mobility in Ultra-Thin SOI MOSFETs,” IEEE
[14] K.Uchida, J.Koga, R.Ohba, and T. S.Takagi, “Experimental Evidences
of Quantum-Mechanical Effects on Low-field Mobility, Gate-channel
Capacitance and Threshold Voltage of Utrathin Body SOI MOSFETs,”
in IEEE IEDM Technical Digest, pp. 633–636, 2001.
[15] K.Uchida, H.Watanabe, A.Kinoshita, J.Koga, T.Numata, and
S.Takagi, “Experimental Study on Carrier Transport Mechanisms in
Ultrathin-body SOI n- and p-MOSFETs with SOI Thickness less than
5nm,” in IEEE IEDM Technical Digest, pp. 47–50, 2002.
[16] D.Esseni, A.Abramo, L.Selmi, and E.Sangiorgi, “Physically Based Modeling of Low Field Electron Mobility in Ultra-Thin Single and DoubleGate SOI n-MOSFETs.,” IEEE Transaction on Electron Devices,
vol. 50, no. 12, 2003.
[17] D.Esseni, “On the Modeling of Surface Roughness Limited Mobility in
SOI MOSFETs and its Correlation to the Transistor Effective Field ,”
IEEE Transaction on Electron Devices, vol. 3, no. 3, pp. 394–401, 2004.
[18] S. D.Esseni, P.Palestri, C.Fiegna, L.Selmi, and E.Sangiorgi, “Enhanced Ballisticity in nano-MOSFET along the ITRS Roadmap: A Monte
Carlo Study,” in IEEE IEDM Technical Digest, pp. 609–612, 2004.
74
[19] P.Palestri, D.Esseni, S.Eminente, C.Fiegna, E.Sangiorgi, and L.Selmi,
“A Monte-Carlo Study of the Role of Scattering in Deca-nanometer
MOSFETs,” in IEEE IEDM Technical Digest, pp. 605–609, 2004.
[20] M. Lundstrom and Z. Ren, “Essential Physics of carrier transport in
nanoscale MOSFETs,” IEEE Transaction on Electron Devices, vol. 49,
no. 1, pp. 133–141, 2002.
[21] M.Lundstrom, “Device Physics at the Scaling Limit: What Matters,”
in IEEE IEDM Technical Digest, p. 789, 2003.
[22] T. Low, Y.T.Hou, M.F.Li, C. Zhu, A. Chin, G. Samudra, L.Chan,
and D.-L.Kwong, “Investigation of Performance Limits of Germanium
Double-Gated MOSFETs ,” in IEEE IEDM Technical Digest, pp. 691–
694, 2003.
[23] S. Laux, “Simulation Study of Ge n-channel 7.5 nm DGFETs of Arbitrary Crystallographic Alignment ,” in IEEE IEDM Technical Digest,
pp. 135–138, 2004.
[24] F. Assad, Z. Ren, D. Vasileska, S. Datta, and M. Lundstrom, “On the
Performance Limits for Si MOSFET’s: A Theoretical Study,” IEEE
[25] S.Takagi, A.Toriumi, M.Iwase, and H.Tango, “On the Universality of
Inversion-layer Mobilty in Si MOSFETs. Part II- Effect of Surface
Orientations,” IEEE Transaction on Electron Devices, vol. 41, no. 12,
pp. 2363–68, 1994.
[26] A.Rahman, J.Guo, S.Datta, and M.S.Lundstrom, “Theory of Ballistic
Nanotransistors,” IEEE Transaction on Electron Devices, vol. 50, no. 9,
pp. 1853–1863, 2003.
[27] J.S.Blakemore, “Approximations for Fermi-Dirac Integrals, especially the Function F1/2 used to decribe Electron Density in a
Semiconductor,” Solid State Electronics, vol. 25, pp. 1067–1076, 1982.
[28] F. Stern and W. E. Howard, “Properties of Semiconductor Surface
Inversion Layers in the Electric Quantum Limit ,” Physical Review,
vol. 163, no. 3, pp. 816–835, 1967.
75
76
Appendice A
Porzione del File solution.c
Modificata
Viene riportata di seguito la porzione del file solution.c modificato con le
formule del trasporto balistico con direzione della conduzione arbitraria
sviluppate nel capitolo 3.
...
/* Calculation of the drain current, of the velocity and of
the quantum capacitance */
N_inv = 0.0;
Id_av = 0.0;
v_av = 0.0;
nEigs = mesh->RenEigs;
for(im = 0; im < NEMASS; im++) {
mStar = *(mesh->EmStar + im);
mDos = *(mesh->EmDos + im);
ReEval = mesh->ReEval + im * nEigs;
if (Gib % 2) fprintf(fqmc, "# valley %d \n", im);
for (ie0 = 0; ie0 < nEigs; ie0++, ReEval++) {
if (*ReEval == MAXDOUBLE) continue;
fi = exp((nEfRight - *ReEval) / vT);
if ((fabs(fi) > 2.1e-16) && FermiStatistics) fi = log(1.0 + fi);
fi *= kT;
if (ballistic) {
n_E = 0.5 * ((double) *(mesh->Emult + im)) * mDos * 1e-4
/ (PI * hbar * hbar) * fi;
Cqm_E = 0.5 * cNorm * q * ((double) *(mesh->Emult + im))
* mDos / (PI * hbar * hbar) /
(1.0+ exp(-(nEfRight - *ReEval)/vT));
m1 = EmStarY;
m2 = EmStarX;
if (!((EmultID1 == 0) && (EmultID2 == 0) && (EmultID3 == 0)))
77
{
if (tetaID1 == 0.0)
temp = (EmultID1 / (double)Emult0) * pow(m1, 0.5);
else if ((tetaID1 >= 1.5707 ) && (tetaID1 <= 1.5708))
temp = (EmultID1 / (double)Emult0) * pow(m2, 0.5);
else
temp = (EmultID1 / (double)Emult0) *
(pow(m1, 0.5) * cos(tetaID1) * sin(atan((m1/m2)
* tan(PI/2 - tetaID1))) +
pow(m2, 0.5) * sin(tetaID1) * cos(atan((m1/m2)
* tan(PI/2 - tetaID1))));
if (tetaID2 == 0.0)
temp += (EmultID2 / (double)Emult0) * pow(m1, 0.5);
else
temp += (EmultID2 / (double)Emult0) *
* tan(PI/2 - tetaID2))) +
*tan(PI/2 - tetaID2))));
if (tetaID3 == 0.0)
else
temp += (EmultID3 / (double)Emult0) *
tan(PI/2 - tetaID3))) +
* tan(PI/2 - tetaID3))));
m_ID = pow(temp, 2) * m0;
}
else
m_ID = *(mesh->EmStar + 2);
Id_E = q / (sqrt(2.0) * hbar * hbar) *
pow((kT/PI), 1.5) * ((double) *(mesh->Emult + im))
* sqrt(m_ID) *
fermi(((nEfRight - *ReEval) / vT),0.0);
v_E = 1e-2 * Id_E / (q * n_E);
}
else {
n_E = ((double) *(mesh->Emult + im)) * mDos * 1e-4
/ (PI * hbar * hbar) * fi;
Cqm_E = cNorm * q * ((double)
78
*(mesh->Emult + im))
* mDos / (PI * hbar * hbar) /
(1.0+ exp(-(nEfRight - *ReEval)/vT));
Id_E = 0.0;
v_E = 0.0;
}
alpha_E = -(*ReEval - *(prevReEval + ie0 + im * howManyEigs))
/ (*(mesh->V + mesh->iSilicon) - prevV);
if (!(Gib % 2)) {
*(n_eigen + ie0 + im * howManyEigs) = n_E;
*(Cqm_eigen + ie0 + im * howManyEigs) = Cqm_E;
*(Id_eigen + ie0 + im * howManyEigs) = Id_E;
*(v_eigen + ie0 + im * howManyEigs) = v_E;
EV_saved++; /* per contare gli autovalori salvati
}
else *(alpha_eigen + ie0 + im * howManyEigs) = alpha_E;
if ((Gib % 2) && (ie0 < subQMCprint) && (ie0 < EV_saved)) {
fprintf(fqmc, "%e %e %e %e %e %e\n",
*(prevReEval + ie0 + im * howManyEigs),
*(n_eigen + ie0 + im * howManyEigs),
*(Id_eigen + ie0 + im * howManyEigs),
*(v_eigen + ie0 + im * howManyEigs),
*(Cqm_eigen + ie0 + im * howManyEigs),
*(alpha_eigen + ie0 + im * howManyEigs));
fflush(fqmc);
if ((ie0 == 0) && (im == 0))
alpha_1 = *(alpha_eigen + ie0 + im * howManyEigs);
}
N_inv += n_E;
Id_av += Id_E;
v_av += n_E * v_E;
*(prevReEval + ie0 + im * howManyEigs) = *ReEval;
}
}
v_av /= N_inv;
...
79
80
Appendice B
Concentrazione Superficiale
per Ellissi Ruotate
Si affronta il calcolo della concentrazione superficiale di un MOSFET nel
caso in cui le ellissi, derivanti dalla quantizzazione degli ellissoidi equienergetici, abbiano un orientazione qualunque rispetto al sistema di riferimento
solidale al dispositivo. Si indicherà con (kx0 , ky0 ) il sistema di riferimento dell’ellisse, mentre con (kx , ky ) quello del dispositivo; θr sarà l’angolo da kx0 a kx .
Si indicheranno con mtr e mlong rispettivamente la massa efficace trasversale e longitudinale dell’elettrone. Nel riferimento (kx0 , ky0 ) la concentrazione
superficiale sarà:
1 X
fL (E)
ns =
A k0 ,k >0
x
dove kx è la direzione del trasporto (source-drain) e la fL (E) è la FermiDirac. Si è trascurata l’iniezione di elettroni dal drain. L’espressione del
modulo del vettore d’onda lungo x kx in (kx0 , ky0 ) sarà:
kx = k0 · ikˆx = kx0 cos(θr ) + ky0 sin(θr )
Il vincolo sulla concentrazione superficiale:
kx > 0 =⇒ kx0 cos(θr ) + ky0 sin(θr ) > 0
Se cos(θr ) > 0 cioè θr ∈ ] − π2 , π2 [ si ha:
kx0 > − tan(θr ) ky0
| {z }
CR
Si ha quindi che:
X
1 X
1
fL (E) =
A k0 ,k >0
A k0 ,k0 >−C
y
x
81
x
fL (E)
0
R ky
e passando da
P
X
1
A k0 ,k0 >−C
y
x
a
0
R ky
R
si ha:
2
fL (E) −→
nν
(2π)2
Z
+∞
−∞
dky0
Z
+∞
−CR ky0
dkx0 fL (E)
(B.1)
Per risolvere l’integrale, si esegue sul sistema di riferimento la seguente
trasformazione : (kx0 , ky0 ) −→ (ε, θ) con ε = E − Ei e:

√
√
2mlong

0

cos(θ) ε
 kx =
h̄


 k0 =
y
√
2mtr
h̄
√
sin(θ) ε
=⇒ det(J) =
√
mtr mlong
h̄2
Invece per quanto concerne gli estremi del dominio di integrazione si ha:
D = {(kx0 , ky0 )|kx0 > −CR ky0 }
Si considera il solo caso θr > 0 in quanto per semplice simmetria si nota che
è equivalente al caso opposto. A seguito della trasformazione si avrà:
µ
1
D = {(ε, θ)| ε > 0; arctan −
CR
|
{z
A
¶
}
µ
1
< θ < arctan −
CR
|
{z
B
¶
+ π}
}
Sostituendo al doppio integrale si ha che:
√
Z B
Z +∞
Z +∞
mtr mlong Z +∞
dθ
dkx0 fL (E) =
f
(ε)dε
dky0
L
h̄2
A
−CR ky0
0
−∞
√
mtr mlong Z +∞
=
π
fL (ε)dε
(B.2)
h̄2
0
Sostituendo la (B.2) nella (B.1) si ha:
√
mtr mlong Z +∞
2
ns =
n
π
fL (ε)dε
ν
(2π)2
h̄2
0
√
nν mtr mlong Z +∞
dE
=
E−EF
2πh̄2
Ei
1 + e KT
√
EF −Ei
KT nν mtr mlong
ln(1 + e KT )
=
2
2
πh̄
Questo significa che ns è indipendente da θr .
82
(B.3)
Appendice C
Programma per l’Analisi
Automatica dei Dati
Il listato riportato fa riferimento ad un programma realizzato in linguaggio
C per la generazione automatica di file di dati partendo dai file d’uscita del
simulatore Schr1D. Infatti partendo dalle tabelle delle grandezze elettriche
in funzione della tensione di gate esso genera una famiglia di caratteristiche
in funzione della massa efficace prendendo come parametri i valori indicati a riga di comando. Essenzialmente sfrutta un interpolatore lineare per
normalizzare alla stessa Iof f le caratteristiche in VG stampando poi nel file
d’uscita le grandezze in funzione della massa efficace d’interesse.
#include<time.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include "nrutil.h"
#include"routine.h"
#define nmax_sets 40
#define nmax_points 500
#define maxline 80
int main(int argc, char ** argv) {
FILE *Dout;
double **Vg, **Id, **v_inj, **Ninv, **Cinv, **Ctot, **alpha_1;
double *mx, *my;
double Ioff;
double Vg_start, Vg_stop, Vg_step, Vg_run;
double Vg_off;
double Id_intrp;
double v_inj_intrp;
double Ninv_intrp;
double Cinv_intrp;
double Ctot_intrp;
83
double alpha_1_intrp;
int
int
int
int
int
Nsets;
nstep[nmax_sets];
cnt_sets;
status;
var;
if(argc < 8)
{
printf("\nusage: %s Source_file Mass_file Target_file Ioff[nA/um]
Vg_start[V] Vg_stop[V] Vg_step[V] var\n", argv[0]);
printf("if var=0 -> print mx
else print my\n");
exit(-1);
};
printf("\n********************************ATTENZIONE***************
**********************************\n");
printf("Se si modifica i valori o il numero delle simulazioni
modificare il file delle masse efficaci\n");
printf("***********************************************************
**********************************\n\n");
Dout = myfopen(argv[3],"w");
Ioff = 1e-3 * atof(argv[4]);
Vg_start = atof(argv[5]);
Vg_stop = atof(argv[6]);
Vg_step = atof(argv[7]);
var = atoi(argv[8]);
/* alloco spazio in mem*/
Vg = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points);
Id = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points);
v_inj = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points);
Ninv = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points);
Cinv = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points);
Ctot = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points);
alpha_1 = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points);
mx = vector(1, nmax_sets);
my = vector(1, nmax_sets);
/* leggo il file dei dati */
if(!(status = readXMGRACE_MULTsets_7columns(argv[1], Vg, Id, Ninv,
v_inj, Cinv, Ctot, alpha_1, &Nsets, nstep)))
{
fprintf(stderr,"\nError while reading %s\n",argv[1]);
exit(-1);
}
/* leggo il file delle masse efficaci */
if(!(status = readXVGR(argv[2], mx, my, nstep)))
{
fprintf(stderr,"\nError while reading %s\n",argv[2]);
84
exit(-1);
}
fprintf(Dout, "# Grandezze in funzione di mx e my \n");
fprintf(Dout, "# Ioff=%e [uA/um] \n#\n", Ioff);
for (Vg_run = Vg_start; Vg_run <= Vg_stop; Vg_run += Vg_step)
{
fprintf(Dout, "# Vg= %e [V] \n", Vg_run);
if (var == 0)
fprintf(Dout, "# mx [m0]");
else
fprintf(Dout, "# my [m0]");
fprintf(Dout, " Id [uA/um] Ninv [cm^-2] v_inj [cm/s]
Cinv [F/cm^2] Ctot [F/cm^2] Alpha_1 \n#\n");
/* interpolo le grandezze */
for(cnt_sets = 1; cnt_sets <= Nsets; cnt_sets++)
{
intrpPWL_EXP(Ioff, &Vg_off, Id[cnt_sets], Vg[cnt_sets],
1, nstep[cnt_sets], 1);
intrpPWL_EXP(Vg_off + Vg_run, &Id_intrp, Vg[cnt_sets],
Id[cnt_sets], 1, nstep[cnt_sets], 1);
intrpPWL_EXP(Vg_off + Vg_run, &v_inj_intrp, Vg[cnt_sets],
v_inj[cnt_sets], 1, nstep[cnt_sets], 1);
intrpPWL_EXP(Vg_off + Vg_run, &Ninv_intrp, Vg[cnt_sets],
Ninv[cnt_sets], 1, nstep[cnt_sets], 1);
intrpPWL_EXP(Vg_off + Vg_run, &Cinv_intrp, Vg[cnt_sets],
Cinv[cnt_sets], 1, nstep[cnt_sets], 1);
intrpPWL_EXP(Vg_off + Vg_run, &Ctot_intrp, Vg[cnt_sets],
Ctot[cnt_sets], 1, nstep[cnt_sets], 1);
intrpPWL_EXP(Vg_off + Vg_run, &alpha_1_intrp, Vg[cnt_sets],
alpha_1[cnt_sets], 1, nstep[cnt_sets], 1);
if (var == 0)
fprintf(Dout, "%e %e %e %e %e %e %e\n", mx[cnt_sets], Id_intrp,
Ninv_intrp, v_inj_intrp,
Cinv_intrp, Ctot_intrp, alpha_1_intrp);
else
fprintf(Dout, "%e %e %e %e %e %e %e\n", my[cnt_sets], Id_intrp,
Ninv_intrp, v_inj_intrp,
Cinv_intrp, Ctot_intrp, alpha_1_intrp);
}
fprintf(Dout, "#\n&\n");
}
/* libero la mem*/
free_matrix(Vg,1,nmax_sets,1,nmax_points);
free_matrix(Id,1,nmax_sets,1,nmax_points);
free_matrix(v_inj,1,nmax_sets,1,nmax_points);
free_matrix(Ninv,1,nmax_sets,1,nmax_points);
free_matrix(Cinv,1,nmax_sets,1,nmax_points);
free_matrix(Ctot,1,nmax_sets,1,nmax_points);
85
free_matrix(alpha_1,1,nmax_sets,1,nmax_points);
free_vector(mx, 1, nmax_sets);
free_vector(my, 1, nmax_sets);
fclose(Dout);
return 1;
}
86

Studio Teorico dei Margini di Miglioramento della Corrente Massima

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